Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Ekonometria – 1. Wstęp - Co to jest ekonometria? – MIM UW

Zagadnienia

1. Wstęp - Co to jest ekonometria?

Podstawowe metody i cele. Przykłady modeli ekonometrycznych. Ogólna klasyfikacja modeli ekonometrycznych. (1 wykład)

1.1. Informacje wstępne

W skrócie można powiedzieć, że ekonometria to zestawienie danych empirycznych z teoriami ekonomicznymi przy zastosowaniu statystyki matematycznej.

Rys. 1.1. Ekonometria - schemat powiązań..

Podstawowe cele ekonometrii to:
1. Analiza danych empirycznych i prognozowanie na ich podstawie;
2. Weryfikacja i kalibrowanie teorii ekonomicznych.

Kluczowym obiektem w ekonometrii jest tzw. model ekonometryczny. Zapisujemy go w postaci

Y_{t}=F(t,X_{t},\varepsilon _{t}),

gdzie t\in\mathbb{N} zwykle oznacza czas – kolejny moment lub kolejny przedział czasowy (dzień, miesiąc, rok …), ale może też oznaczać numer porządkowy obserwacji (np. firmy, której dotyczą dane czy województwa).
X_{t}\in\mathbb{R}^{k} to wektor zmiennych objaśniających,
Y_{t}\in\mathbb{R}^{m} to wektor zmiennych objaśnianych,
F nazywa się postacią analityczną modelu, jest to funkcja o wartościach w \mathbb{R}^{m};
a \varepsilon _{t} nazywa się składnikiem losowym.

1.2. Etapy modelowania

Przedstawimy teraz uproszczony schemat konstrukcji modelu ekonometrycznego. Możemy wyróżnić trzy operacje: Zbieramy dane historyczne (empiryczne) x_{t}, y_{t}.

\;\;\;\;\Downarrow\mbox{ Aproksymacja}

Konstruujemy model y_{t}=f(t,x_{t})+\xi _{t}, gdzie \xi _{t} - błąd przybliżenia.

\;\;\;\;\Downarrow\mbox{ Estymacja}

Konstruujemy model stochastyczny Y_{t}=f(t,X_{t})+\varepsilon _{t}, gdzie X_{t} i Y_{t} to zmienne losowe, których realizacją są nasze obserwacje x_{t} i y_{t}, a \varepsilon _{t} to składnik losowy (też zmienne losowe).

\;\;\;\;\Downarrow\mbox{ Ekstrapolacja}

Zakładamy, że w przyszłości X_{t} i Y_{t} będą związane tą samą zależnością jak dotychczas.

Proszę zwrócić uwagę, że dwie pierwsze operacje aproksymację i estymację możemy wykonać dowolnie dokładnie. Natomiast o ekstrapolacji zawsze ”matematyk teoretyk” będzie mógł powiedzieć, że to ”wróżenie z fusów”.

1.3. Przykłady

1. Model konsumpcji
Przez Y_{t} oznaczamy całkowity popyt konsumpcyjny w miesiącu t, a przez X_{t} dochody gospodarstw domowych w tym okresie. Przyjmujemy, że

Y_{t}=\alpha _{0}+\alpha _{1}X_{t}+\varepsilon _{t},

gdzie \alpha _{0} wydatki stałe, \alpha _{1} część dochodów przeznaczona na konsumpcję, a \varepsilon _{t} składnik losowy.
Zauważmy, że składnik losowy ”zawiera w sobie” wszystkie czynniki nie uwzględnione w sposób jawny w modelu.

Uwagi:
W modelu zakładamy, że \alpha _{0} i \alpha _{1} są stałe, a w rzeczywistości są one tylko wolno-zmienne. Istotną wadą powyższego modelu jest nieuwzględnienie oszczędności.

2. Model oszczędności
Przez Y_{t} oznaczamy stan oszczędności na koniec miesiąca t, a przez X_{t} dochody gospodarstw domowych w tym miesiącu. Przyjmujemy, że

Y_{t}=Y_{{t-1}}-\beta _{0}+\beta _{1}X_{t}-\beta _{2}Y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

gdzie \beta _{0} wydatki stałe, \beta _{1} część dochodów przeznaczona na oszczędności, \beta _{2} część oszczędności przeznaczona na konsumpcję, a \varepsilon _{t} składnik losowy.

Uwagi:
Zauważmy, że w powyższym modelu opóźniona zmienna objaśniana jest zmienną objaśniająca.

Model 1 i 2 można połączyć i otrzymać model dwurównaniowy.

3. Model konsumpcji z uwzględnieniem oszczędności
Przez Y_{{1,t}} oznaczamy całkowity popyt konsumpcyjny w miesiącu t, przez Y_{{2,t}} oznaczamy stan oszczędności, a przez X_{t} dochody gospodarstw domowych w tym okresie. Przyjmujemy, że

Y_{{1,t}}=\alpha _{0}+\alpha _{1}X_{t}+\alpha _{2}Y_{{2,t-1}}+\varepsilon _{{1,t}},
Y_{{2,t}}=Y_{{2,t-1}}-\beta _{0}+\beta _{1}X_{t}-\beta _{2}Y_{{2,t-1}}+\varepsilon _{{2,t}},

gdzie

\beta _{0}=\alpha _{0},\;\;\;\beta _{1}+\alpha _{1}=1,\;\;\;\beta _{2}=\alpha _{2}.

Uwagi:
Na powyższym przykładzie widzimy, jak z prostszych modeli można konstruować bardziej skomplikowane.
Pytanie: Czy w ten sposób uzyskujemy lepszy opis badanego zjawiska?
Okazuje się, że nie zawsze. Wyznaczanie wartości parametrów dla bardziej złożonego modelu, jest zwykle bardziej skomplikowane i mniej dokładne. W efekcie złożony model, który jest teoretycznie lepszy, w praktyce już takim być nie musi.

4. Model popytu dla dóbr konsumpcyjnych
Przez Y_{t} oznaczamy popyt dla wybranego dobra konsumpcyjnego, przez X_{{1,t}} jego cenę, a przez X_{{2,t}} dochody nabywcy. Przyjmujemy, że

Y_{t}=cX_{{1,t}}^{\alpha}X_{{2,t}}^{\beta}e^{{\varepsilon _{t}}},\;\;\; c>0,\;\;\alpha<0,\;\;\beta>0.

Uwagi:
Jest to przykład modelu nieliniowego, który można zlinearyzować za pomocą logarytmowania.

\ln Y_{t}=\ln c+\alpha\ln X_{{1,t}}+\beta\ln X_{{2,t}}+\varepsilon _{t}.

5. Model stochastyczny kursu walutowego
Niech Y_{t} oznacza kurs 1 USD w EUR w dniu t. Przyjmujemy

Y_{t}=Y_{{t-1}}e^{{\varepsilon _{t}}},\;\;\; E(\varepsilon)=0.

Po zlogarytmowaniu otrzymujemy model błądzenia przypadkowego

\ln Y_{t}=\ln Y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

6. Model wydajności pracy
Niech Y_{t} oznacza wydajność pracy w PLN na 1 pracownika, a X_{t} techniczne uzbrojenie miejsca pracy też w PLN na 1 pracownika. Przyjmujemy

Y_{t}=\gamma X_{t}^{\alpha}e^{{\delta t+\varepsilon _{t}}},\;\;\gamma,\alpha>0.

Po zlogarytmowaniu otrzymujemy

\ln Y_{t}=\ln\gamma+\alpha\ln X_{t}+\delta t+\varepsilon _{t}.

Uwagi:
Współczynnik \delta mierzy skalę postępu techniczno-organizacyjnego.

1.4. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych

1. Klasyfikacja ze względu na dynamikę:
a. Modele statyczne (jednokresowe) charakteryzujące się brakiem zależności od czasu, tzn. F nie zależy od czasu i wśród zmiennych objaśniających nie ma opóźnionych zmiennych objaśnianych. Przykłady 1 i 4.
b. Modele dynamiczne – zależne od czasu lub od opóźnionych zmiennych objaśnianych. Przykłady 2, 3, 5 i 6.
W klasie modeli dynamicznych wyróżniamy modele autoregresyjne w których zależność od czasu wiąże się tylko z występowaniem zmiennych opóźnionych. Przykłady 2, 3 i 5.

2. Klasyfikacja ze względu na postać analityczną modelu:
a. Modele liniowe, postać analityczna jest zadana przez funkcję liniową. Przykłady 1, 2 i 3.
b. Modele nieliniowe, postać analityczna nie jest zadana przez funkcję liniową.
W klasie modeli nieliniowych wyróżniamy modele multiplikatywne, które można zlinearyzować poprzez zlogarytmowanie. Przykłady 4, 5 i 6.

2. Klasyfikacja ze względu na wymiar zmiennej objaśnianej:
a. Modele jednorównaniowe. Przykłady 1, 2, 4, 5 i 6.
b. Modele wielorównaniowe. Przykład 3.

Klasyfikacja ze względu na dynamikę wiąże się z planowanym wykorzystaniem modelu. Do prognozowania potrzebne są modele dynamiczne. Natomiast do badania wpływu zmian konkretnych czynników wystarczy model statyczny.

Klasyfikacja ze względu na postać analityczną modelu i wymiar określa złożoność kalibracji modelu. Jeśli model jest liniowy i jednorównaniowy to istnieją ogólne, w miarę proste, algorytmy (które omówimy na dalszych wykładach) pozwalające sprawnie wyestymować parametry modelu. W przeciwnym wypadku algorytm zależy od konkretnego przypadku i zwykle jest dużo bardziej skomplikowany.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.