Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Ekonometria – 12. Hipoteza efektywnego rynku - ekonometria racjonalnych oczekiwań – MIM UW

Zagadnienia

12. Hipoteza efektywnego rynku - ekonometria racjonalnych oczekiwań

Teoria dużej próbki cd. Przykład: Teoria racjonalnych oczekiwań. (1 wykład)

12.1. Przykład E.Fama - konstrukcja modelu

Określenie.
Mówimy, że rynek jest efektywny, gdy w sposób efektywny wykorzytywana jest posiadana informacja. Ceny na efektywnym rynku ”w pełni” odzwierciedlają dostępne informacje.

Przeanalizujemy przykład E.Fama, aby sprawdzić na ile rynek amerykańskich bonów skarbowych jest efektywny. Ograniczymy się do bonów jednomiesięcznych.

Charakterystyka instrumentu:
\bullet czas życia 1 miesiąc,
\bullet wypłata 100 USD,
\bullet zakup z dyskontem.

Podstawą analizy będą dane miesięczne:
t – numer kolejny miesiąca;
V_{t} – cena bonu na początku miesiąca t;
P_{t} – indeks cen konsumenta (CPI) na początku miesiąca t (por. [10], §1.4).

Na ich podstawie wyznaczamy:
R_{t} – miesięczną stopę zwrotu dla bonów w miesiącu t

R_{t}=\frac{1-V_{t}}{V_{t}},\;\;\;\mbox{ czyli }\;\;\; V_{t}=\frac{1}{1+R_{t}};

\pi _{t} – miesięczną stopę inflacji od początku miesiąca t-1 do początku miesiąca t

\pi _{t}=\frac{P_{t}-P_{{t-1}}}{P_{{t-1}}}=\frac{P_{t}}{P_{{t-1}}}-1;

r_{t} – realną stopę zwrotu w miesiącu t-1 (por.[10], §1.4)

r_{t}=\frac{\frac{1}{P_{t}}-\frac{V_{{t-1}}}{P_{{t-1}}}}{\frac{V_{{t-1}}}{P_{{t-1}}}}=\frac{P_{{t-1}}}{P_{t}V_{{t-1}}}-1=\frac{1+R_{{t-1}}}{1+\pi _{t}}-1=\frac{R_{{t-1}}-\pi _{t}}{1+\pi _{t}}.

Ze względu na małą inflację będziemy stosowali wzór przybliżony

r_{t}\approx R_{{t-1}}-\pi _{t}.

Ponadto w analizie uwzględnimy wielkości nieobserwowalne:
\widehat{\pi}_{{t+1,t}} – prognozowaną (oczekiwaną) na początku miesiąca t stopę inflacji w miesiącu t ( \widehat{\pi}_{{t+1,t}} jest prognozą \pi _{{t+1}});
\eta _{t} – błąd prognozy inflacji

\eta _{t}=\pi _{t}-\widehat{\pi}_{{t,t-1}};

\widehat{r}_{{t+1,t}} – prognozowaną (oczekiwaną) na początku miesiąca t realną stopę zwrotu z bonów w miesiącu t ( \widehat{r}_{{t+1,t}} jest prognozą r_{{t+1}});

\widehat{r}_{{t+1,t}}=\frac{R_{t}-\widehat{\pi}_{{t+1,t}}}{1+\widehat{\pi}_{{t+1,t}}}\approx R_{t}-\widehat{\pi}_{{t+1,t}};

{\cal I}_{t} – zasób informacji dostępny dla inwestorów na początku miesiąca t

a) \displaystyle{\cal I}_{t}\supset\{ R_{t},R_{{t-1}},\dots,\pi _{t},\pi _{{t-1}},\dots\},
b) \displaystyle{\cal I}_{{t}}\supseteq{\cal I}_{{t-1}}\supseteq{\cal I}_{{t-2}}\supseteq\dots.

Własność b) oznacza, że agenci nie zapominają informacji z poprzednich miesięcy.

{\cal I}_{t} modelujemy jako \sigma-ciała, natomiast V_{t},P_{t},R_{t},\pi _{t},r_{t},\widehat{\pi}_{{t+1,t}},\eta _{t},\widehat{r}_{{t+1,t}} modelujemy jako zmienne losowe klasy L^{2} mierzalne względem {\cal I}_{t}.

12.2. Hipoteza efektywnego rynku

Hipoteza efektywnego rynku opiera się na dwóch założeniach:
E1. Racjonalne oczekiwania inflacyjne

\widehat{\pi}_{{t+1,t}}=E(\pi _{{t+1}}|{\cal I}_{t}).

E2. Stała oczekiwana realna stopa zwrotu

\exists r\;\;\;\forall t\;\;\;\widehat{r}_{{t+1,t}}=r.

Przeanalizujemy wnioski jakie wynikają z założeń E1 i E2.

Lemat 12.1
a) \displaystyle E(\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})=0;
b) \displaystyle{\cal I}_{{t}}\supseteq\sigma\{\eta _{t},\eta _{{t-1}},\dots\};
c) \displaystyle\mbox{proces }\{\eta _{t}\}\mbox{ jest ciągiem przyrostów martyngałowych.}

Dowód.
Ad a.

E(\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})=E(\pi _{{t+1}}-\widehat{\pi}_{{t+1,t}}|{\cal I}_{{t}})=E(\pi _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})-\widehat{\pi}_{{t+1,t}}=\widehat{\pi}_{{t+1,t}}-\widehat{\pi}_{{t+1,t}}=0.

Punkt b wynika z faktu, że dla s\leq t zmienna losowa \eta _{s} jest {\cal I}_{{s}} mierzalna zatem

\sigma(\eta _{s})\subset{\cal I}_{{s}}\subset{\cal I}_{{t}}.

Punkt c wynika z a i b.

E(\eta _{{t+1}})=E(E(\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}}))=E(0)=0.
E(\eta _{{t+1}}|\eta _{t},\eta _{{t-1}},\dots)=E(E(\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})|\eta _{t},\eta _{{t-1}},\dots)=E(0|\dots)=0.
\Box

Szczególnie ważne są wnioski dotyczące wielkości obserwowalnych gdyż można je przetestować.

Wniosek 12.1
a) \displaystyle R_{{t-1}}-\pi _{t}=r-\eta _{t};
b) \displaystyle E(r_{{t}})=r;
c) \displaystyle\mbox{proces }\{ r_{t}\}\mbox{ nie jest autoskorelowany;}
d) \displaystyle E(\pi _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})=-r+R_{t}.

Dowód.
Zauważmy, że z przyjętych założeń wynika co następuje

R_{{t-1}}-\pi _{t}=(R_{{t-1}}-\widehat{\pi}_{{t,t-1}})-(\pi _{t}-\widehat{\pi}_{{t,t-1}})=\widehat{r}_{{t,t-1}}-\eta _{t}=r-\eta _{t}.

Z drugiej strony

R_{{t-1}}-\pi _{t}=r_{t},

zatem

r_{t}=r-\eta _{t}.

Ponieważ stopa r jest deterministyczna to

E(r_{t})=r-E(\eta _{t})=r.

Ponadto proces \{\eta _{t}\} jest ciągiem przyrostów martyngałowych, zatem nie jest on autoskorelowany i to samo dotyczy procesu \{ r_{t}\}. Punkt d wynika z faktu, że

\pi _{{t+1}}=R_{t}-r+\eta _{{t+1}}.

Zatem

E(\pi _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})=E(R_{t}-r+\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})=R_{t}-r+E(\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}})=R_{t}-r.
\Box

12.3. Analiza danych empirycznych

Fam poddał analizie dane z okresu styczeń 1953 – lipiec 1971 obejmującego 223 miesiące.

12.3.1. Test na autokorelację realnych stóp zwrotu

W oparciu o próbę z 223 miesięcy wyznaczamy współczynniki autokorelacji szeregu czasowego r_{t}, a następnie statystyki Q Ljunga-Boxa dla j=1,2,\dots,12 współczynników autokorelacji. Wyniki przedstawione są w tabeli 12.1. W ostatniej kolumnie są przedstawione ”asymptotyczne” p-wartości (p-value) wyznaczone według wzoru

p_{j}=1-\chi^{2}_{j}(Q_{j})

gdzie \chi^{2}_{j} dystrybuanta rozkładu chi kwadrat z j stopniami swobody (granicznego rozkładu Q_{j} gdy wielkość próbki rośnie do nieskończoności).

j \widehat{\rho}_{p} Q p-value
1 -0,101 2,3 0,128
2 0,172 9,1 0,011
3 -0,019 9,1 0,027
4 -0,004 9,1 0,058
5 -0,064 10,1 0,073
6 -0,021 10,2 0,117
7 -0,091 12,1 0,096
8 0,094 14,2 0,076
9 0,094 16,3 0,061
10 0,019 16,4 0,089
11 0,004 16,4 0,128
12 0,207 26,5 0,009
Tabela 12.1. Współczynniki autokorelacji i statystyki Q Ljunga-Boxa

Otrzymane p-wartości p_{j} należą do przedziału (0{,}9\%,12{,}8\%) co można uznać za potwierdzenie hipotezy o braku autokorelacji.

12.3.2. Test predykcji stopy inflacji \pi w oparciu o nominalną stopę zwrotu R

Z założeń modelu wynika, że stopa inflacji \pi _{{t+1}} i nominalna stopa zwrotu R_{t} są związane zależnością liniową

\pi _{{t+1}}=R_{t}-r+\eta _{{t+1}},

gdzie r jest stałą, a \eta można interpretować jako składnik losowy.

Aby zweryfikować powyższą równość wyznaczymy parametry strukturalne modelu regresji z wyrazem wolnym

\pi _{{t+1}}=\beta _{1}R_{t}+\beta _{2}+\eta _{{t+1}}, (12.1)

a następnie przetestujemy prawdziwość hipotezy

H_{0}:\beta _{1}=1\;\;\;\mbox{ wobec }\;\;\; H_{1}:\beta _{1}\neq 1.

Sprawdzamy czy dla modelu opisanego równaniem 12.1 spełnione są założenia modelu dużej próbki Z̃1-Z̃6.

Warunek Z̃1.
Kładziemy Y_{t}=\pi _{{t+1}}, X_{t}=(R_{t},1) i \varepsilon _{t}=\eta _{{t+1}}, otrzymujemy

Y_{t}=X_{t}\beta+\varepsilon _{t}.

Warunek Z̃2.
Stacjonarność i ergodyczność procesu \{(Y_{t},X_{t})\} przyjmujemy (,,na wiarę”) po analizie wykresu.

Warunek Z̃3.

X_{t}^{T}X_{t}=\left(\begin{array}[]{c}R_{t}\\
1\end{array}\right)\cdot(R_{t},1)=\left(\begin{array}[]{cc}R_{t}^{2}&R_{t}\\
R_{t}&1\end{array}\right).

Zatem

\Sigma _{{xx}}=E(X_{t}^{T}X_{t})=\left(\begin{array}[]{cc}E(R_{t}^{2})&E(R_{t})\\
E(R_{t})&1\end{array}\right).

Warunek maksymalnego rzędu jest spełniony gdyż

det(\Sigma _{{xx}})=E(R_{t}^{2})-E(R_{t})^{2}=D^{2}(R_{t})>0.

Warunek Z̃4.
Kładziemy

g_{t}=\varepsilon _{t}(R_{t},1)=(R_{t}\eta _{{t+1}},\eta _{{t+1}}).

E(\eta _{{t+1}})=0 podobnie

E(R_{t}\eta _{{t+1}})=E(E(R_{t}\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}}))=E(R_{t}E(\eta _{{t+1}}|{\cal I}_{{t}}))=E(0)=0.

Zatem E(g_{t})=0 czyli spełniony jest warunek ortogonalności.

Warunek Z̃5.
Zauważmy, że dla każdego s zmienna losowa g_{s} jest {\cal I}_{{s+1}} mierzalna, a więc

{\cal I}_{{t}}\supset\sigma(g_{{t-1}},g_{{t-2}},\dots).

Zatem

E(g_{t}|g_{{t-1}},\dots)=E(E(g_{t}|{\cal I}_{{t}})|g_{{t-1}},\dots))=E(0)=0,

czyli proces \{ g_{t}\} jest ciągiem przyrostów martyngałowych.

Warunek Z̃6.
Warunkową homoskedastyczność przyjmujemy dla uproszczenia analizy modelu. Tym samym przyjmujemy odwracalność macierzy \Sigma _{{gg}}.

Na podstawie badanej próbki wyznaczamy estymator MNK parametrów \beta _{1} i \beta _{2}

B\approx(1{,}0147,-0{,}8678).

Błąd standardowy B_{1} wynosi 0,1227 zatem statystyka testowa

t_{1}=\frac{B_{1}-1}{SB_{1}}\approx 0{,}12.

Zatem p-wartość wynosi około 90%, czyli bez problemu możemy zaakceptować hipotezę H_{0}.

12.3.3. Dyskusja wyników

Omówione powyżej testy potwierdzają hipotezę o efektywności rynku bonów w latach 1953 – 1971. Obserwacje w latach następnych nie potwiedziły już tej własności rynku. Można to tłumaczyć
\bullet dużymi skokami inflacji
\bullet i zdecydowaną interwencją FED na rynku.

Zauważmy ponadto, że powyższy przykład nie może być modelowany w terminach klasycznego modelu regresji gdyż nie jest spełniony warunek ścisłej egzogeniczności Z2.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.