Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Ekonometria – 13. Regresja względem czasu. – MIM UW

Zagadnienia

13. Regresja względem czasu.

Teoria dużej próbki cd. Model tendencji rozwojowej z liniowym trendem. Estymatory hiper-zgodne.

13.1. Model tendencji rozwojowej z liniowym trendem

13.1.1. Założenia modelu

Rozważamy następujący model liniowy

Y_{t}=\beta _{1}t+\beta _{2}+\varepsilon _{t}, (13.1)

gdzie
t – czas (kolejny moment), t\in\mathbb{N} (lub t\in\mathbb{Z}),
\{\varepsilon _{t}\} – niezależny, biały szum; tzn. \varepsilon _{t} nie zależą od historii i mają ten sam rozkład. Ponadto zakładamy, że \varepsilon\in L^{4}, E(\varepsilon)=0 oraz E(\varepsilon _{t}^{2})=\sigma^{2}>0.

Przyjmiemy następujące oznaczenia

X_{t}=(t,1),\;\;\;\beta=(\beta _{1},\beta _{2})^{T}.

Wówczas model 13.1 można zapisać w następujący sposób

Y_{t}=X_{t}\beta+\varepsilon _{t}.

W zapisie macierzowym otrzymamy

Y=X\beta+\varepsilon.

Powyższy model spełnia założenia modelu klasycznego Z1 – Z4 (bez założenia o normalności składnika losowego) i nie spełnia założeń modelu ”dużej próbki”, bo proces \{ t\} nie jest stacjonarny.

Problem.
Co można powiedzieć o asymptotyce estymatorów MNK dla modelu opisanego równaniem 13.1?

13.1.2. Estymacja parametrów modelu

Rozważmy proces generujący dane \{ Y_{t},X_{t}\} _{{t=0}}^{\infty}, z którego bierzemy n-elementową próbkę dla t=0,\dots,n-1. MNK estymator wektora \beta wyznaczamy ze wzoru

B=(X^{T}X)^{{-1}}X^{T}Y=S_{{xx}}^{{-1}}S_{{xy}},

gdzie

S_{{xx}}=\frac{1}{n}X^{T}X=\frac{1}{n}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}X_{t}^{T}X_{t},\;\;\; S_{{xy}}=\frac{1}{n}X^{T}Y=\frac{1}{n}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}X_{t}^{T}Y_{t}.

Natomiast MNK estymator wariancji \sigma^{2} wynosi

S^{2}=\frac{1}{n-2}\xi^{t}\xi=\frac{1}{n-2}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}\xi _{t}^{2},\;\;\;\xi _{t}=Y_{t}-X_{t}B.
Twierdzenie 13.1
\left(\begin{array}[]{c}\sqrt{n}^{{3}}(B_{1}-\beta _{1})\\
\sqrt{n}(B_{2}-\beta _{2})\end{array}\right)\stackrel{d}{\longrightarrow}N(0,\sigma^{2}\Sigma),\;\;\;\Sigma=\left(\begin{array}[]{rr}12&-6\\
-6&4\end{array}\right).

Dowód.
Zauważmy, że

B-\beta=S_{{xx}}^{{-1}}\bar{g}^{T},

gdzie

g_{t}=\varepsilon _{t}X_{t}=(t\varepsilon _{t},\varepsilon _{t}),\;\;\;\bar{g}=\frac{1}{n}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}g_{t}.

Macierz S_{{xx}} można łatwo wyliczyć

S_{{xx}}=\frac{1}{n}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}X_{t}^{T}X_{t}=\frac{1}{n}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}\left(\begin{array}[]{c}t\\
1\end{array}\right)\circ(t,1)=
=\frac{1}{n}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}\left(\begin{array}[]{cc}t^{2}&t\\
t&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{(n-1)(2n-1)}{6}&\frac{n-1}{2}\\
\frac{n-1}{2}&1\end{array}\right).

Gdy n rośnie do nieskończoności to 3 wyrazy macierzy S_{{xx}} zbiegają do nieskończoności

\left(\begin{array}[]{cc}\frac{(n-1)(2n-1)}{6}&\frac{n-1}{2}\\
\frac{n-1}{2}&1\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}[]{cc}\infty&\infty\\
\infty&1\end{array}\right).

Aby uzyskać rodzine macierzy o skończonej granicy pomnożymy macierz S_{{xx}} z obu stron przez macierz diagonalną

\Phi _{n}=\left(\begin{array}[]{cc}n^{{-1}}&0\\
0&1\end{array}\right).

Otrzymujemy

\Phi _{n}S_{{xx}}\Phi _{n}=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}&\frac{n-1}{2n}\\
\frac{n-1}{2n}&1\end{array}\right)\longrightarrow Q,

gdzie

Q=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&1\end{array}\right).

Z drugiej strony z centralnego twierdzenia granicznego Linderberga-Levy'ego ([9] §10.2 Twierdzenie 1) otrzymujemy asymptotyczną normalność \Phi _{n}\bar{g}

\sqrt{n}\Phi _{n}\bar{g}^{T}=\left(\sqrt{n}^{{-3}}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}t\varepsilon _{t},\sqrt{n}^{{-1}}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}\varepsilon _{t}\right)^{T}\stackrel{d}{\longrightarrow}N(0,\sigma^{2}Q).

Podsumowując

\left(\begin{array}[]{c}\sqrt{n}^{{3}}(B_{1}-\beta _{1})\\
\sqrt{n}(B_{2}-\beta _{2})\end{array}\right)=\sqrt{n}\Phi _{n}^{{-1}}(B-\beta)=\sqrt{n}\Phi _{n}^{{-1}}S_{{xx}}^{{-1}}\bar{g}^{T}=
=\sqrt{n}\Phi _{n}^{{-1}}S_{{xx}}^{{-1}}\Phi _{n}^{{-1}}\Phi _{n}\bar{g}^{T}=(\Phi _{n}S_{{xx}}\Phi _{n})^{{-1}})\cdot\sqrt{n}\Phi _{n}\bar{g}^{T}.

Ponieważ macierze (\Phi _{n}S_{{xx}}\Phi _{n})^{{-1}} zbiegają do Q^{{-1}}, a proces \sqrt{n}\Phi _{n}\bar{g}^{T} zbiega według rozkładu do N(0,\sigma^{2}Q) to

\left(\begin{array}[]{c}\sqrt{n}^{{3}}(B_{1}-\beta _{1})\\
\sqrt{n}(B_{2}-\beta _{2})\end{array}\right)\stackrel{d}{\longrightarrow}N(0,\sigma^{2}Q^{{-1}}QQ^{{-1}})=N(0,\sigma^{2}Q^{{-1}}).

Aby zakończyć dowód wystarczy zauważyć, że

Q^{{-1}}=\Sigma.
\Box
Uwaga 13.1

Estymator B_{1} nazywa się estymatorem n^{{3/2}}-zgodnym albo hiper-zgodnym (hyper-consistent).

Twierdzenie 13.2

Estymator S^{2} jest zgodny

S^{2}\stackrel{p}{\longrightarrow}\sigma^{2}.

Dowód.
Jak pokazaliśmy w rozdziale 4 (patrz równanie 4.3)

\xi^{T}\xi=\varepsilon^{T}M\varepsilon,

gdzie M macierz rzutu na dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni rozpiętej przez kolumny macierzy X

M=Id-X(X^{T}X)^{{-1}}X^{T}.

Zatem

S^{2}=\frac{1}{n-2}\xi^{t}\xi=\frac{1}{n-2}(\varepsilon^{T}\varepsilon-\varepsilon^{T}X(X^{T}X)^{{-1}}X^{T}\varepsilon)=\frac{1}{n-2}(\varepsilon^{T}\varepsilon-\varepsilon^{T}X(B-\beta)).

Stosując notację i oszacowania z dowodu poprzedniego twierdzenia otrzymujemy

S^{2}=\frac{n}{n-2}\left(\frac{1}{n}\varepsilon^{T}\varepsilon-\bar{g}\Phi _{n}\Phi _{n}^{{-1}}(B-\beta)\right)\stackrel{p}{\longrightarrow}\sigma^{2}-0.
\Box

13.1.3. Testowanie parametrów strukturalnych

Dla k=0,1 testujemy hipotezę

H_{{k,0}}:\beta _{k}=\bar{\beta _{k}},

wobec hipotezy alternatywnej

H_{{k,1}}:\beta _{k}\neq\bar{\beta _{k}}.

Analogicznie jak w modelu klasycznym przyjmujemy

T_{1}=\frac{B_{1}-\bar{\beta _{1}}}{SE(B_{1})},\;\;\; T_{2}=\frac{B_{2}-\bar{\beta _{2}}}{SE(B_{2})},

gdzie

SE(B_{k})=\sqrt{\frac{1}{n}S^{2}(S_{{xx}}^{{-1}})_{{k,k}}},\;\;\; S^{2}=\frac{1}{n-2}\sum _{{t=0}}^{{n-1}}\xi _{t}^{2}.
Twierdzenie 13.3

Przy założeniu hipotezy zerowej H_{{k,0}} rozkład statystyki T_{k} zbiega do N(0,1).

Dowód.
Korzystamy z faktu, że S^{2} zbiega do \sigma^{2}, n^{2}(S_{{xx}}^{{-1}})_{{1,1}} do \Sigma _{{1,1}}, a (S_{{xx}}^{{-1}})_{{2,2}} do \Sigma _{{2,2}}.

T_{1}=\frac{B_{1}-\bar{\beta _{1}}}{\sqrt{\frac{1}{n}S^{2}(S_{{xx}}^{{-1}})_{{1,1}}}}=\frac{\sqrt{n}^{3}(B_{1}-\bar{\beta _{1}})}{\sqrt{S^{2}n^{2}(S_{{xx}}^{{-1}})_{{1,1}}}}\stackrel{d}{\longrightarrow}N(0,\Sigma _{{1,1}}^{{-1}}\Sigma _{{1,1}})=N(0,1).
T_{2}=\frac{B_{2}-\bar{\beta _{2}}}{\sqrt{\frac{1}{n}S^{2}(S_{{xx}}^{{-1}})_{{2,2}}}}=\frac{\sqrt{n}(B_{2}-\bar{\beta _{2}})}{\sqrt{S^{2}(S_{{xx}}^{{-1}})_{{2,2}}}}\stackrel{d}{\longrightarrow}N(0,\Sigma _{{2,2}}^{{-1}}\Sigma _{{2,2}})=N(0,1).
\Box

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.