Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Ekonometria – 6. Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa – MIM UW

Zagadnienia

6. Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa

Klasyczny jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny -cd. Przykład: Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa. (1 wykład)

6.1. Funkcja Cobba-Douglasa

6.1.1. Wprowadzenie

Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności wielkości produkcji Q od nakładów na czynniki produkcji. W dalszym ciągu ograniczymy sie do trzech czynników pracy x_{1}, kapitału x_{2} i paliwa x_{3}.

Q=Ax_{1}^{{\alpha _{1}}}x_{2}^{{\alpha _{2}}}x_{3}^{{\alpha _{3}}},\;\;\; 0<\alpha _{i}<1,\;\;\; x_{i}>0.

Współczynnik A zależy od efektywności konkretnej firmy.

Funkcja Cobba-Douglasa jest chętnie wykorzystywana w modelowaniu, gdyż dobrze przedstawia następujące fakty stylizowane:
\bullet monotoniczność;
Q jest rosnąca ze względu na każdy x_{i},

\frac{\partial Q}{\partial x_{i}}=\alpha _{i}\frac{Q}{x_{i}}>0.

\bullet wklęsłość;
Q jest wklęsła ze względu na każdy x_{i},

\frac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i}^{2}}=\alpha _{i}(\alpha _{i}-1)\frac{Q}{x_{i}^{2}}<0.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.
\bullet wzrost przychodów przy zwiększaniu nakładów na dwa czynniki produkcji;

\frac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=\alpha _{i}\alpha _{j}\frac{Q}{x_{i}x_{j}}>0\;\;\;\mbox{ dla }\;\; i\neq j.

\bullet stała elastyczność ze względu na każdy czynnik produkcji;

E_{{x_{i}}}Q=\frac{x_{i}\frac{\partial Q}{\partial x_{i}}}{Q}=\frac{x_{i}\alpha _{i}\frac{Q}{x_{i}}}{Q}=\alpha _{i}.
Uwaga 6.1

Elastyczność mówi nam o ile wzrośnie produkcja gdy zwiększymy nakłady na czynnik produkcji

\frac{Q((1+h)x_{i})-Q(x_{i})}{Q(x_{i})}\approx\frac{hx_{i}\frac{\partial Q}{\partial x_{i}}}{Q}=hE_{{x_{i}}}Q.

6.1.2. Efekt skali

Zmniejszamy albo zwiększamy proporcjonalnie wszystkie x_{i}

x_{i}^{\prime}=hx_{i},\;\;\; h>0,\;\;\; i=1,2,3.

Wówczas nowa wielkość produkcji wyniesie:

Q^{\prime}=Q(x^{\prime})=Ax_{1}^{{\alpha _{1}}}x_{2}^{{\alpha _{2}}}x_{3}^{{\alpha _{3}}}h^{{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}}}.

Czyli

\frac{Q^{\prime}}{Q}=h^{{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}}}.

Zauważmy, że gdy \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>1 to

h>1\Rightarrow\frac{Q^{\prime}}{Q}>h,
h<1\Rightarrow\frac{Q^{\prime}}{Q}<h.

Wniosek: opłaca się zwiększyć nakłady i produkcję.

Gdy \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}<1 to

h>1\Rightarrow\frac{Q^{\prime}}{Q}<h,
h<1\Rightarrow\frac{Q^{\prime}}{Q}>h.

Wniosek: opłaca się zmniejszyć nakłady i produkcję.

Podsumowując, jeśli obserwujemy ,,stan równowagi” to \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1. Mówimy wówczas o braku efektów skali.

6.1.3. Koszty produkcji

Koszty całkowite produkcji TC można wyrazić za pomocą kosztów jednostkowych dla poszczególnych czynników produkcji

TC=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+p_{3}x_{3}.

Zadanie: Zminimalizować koszty dla zadanego poziomu produkcji Q, Q>0.

TC(x)\longrightarrow min,\;\; Q(x)=Q.
Lemat 6.1

Powyższe zadanie optymalizacyjne posiada dokladnie jedno rozwiązanie.

TC_{{min}}=\frac{r}{\left(A\alpha _{1}^{{\alpha _{1}}}\alpha _{2}^{{\alpha _{2}}}\alpha _{3}^{{\alpha _{3}}}\right)^{{\frac{1}{r}}}}Q^{{\frac{1}{r}}}p_{1}^{{\frac{\alpha _{1}}{r}}}p_{2}^{{\frac{\alpha _{2}}{r}}}p_{3}^{{\frac{\alpha _{3}}{r}}},

gdzie r=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}.

Dowód. Połóżmy,

\widetilde{x}_{i}=Q^{{\frac{1}{r}}}A^{{-\frac{1}{r}}},\;\;\; i=1,2,3.

Jak łatwo zauważyć

Q(\widetilde{x})=Q.

Połóżmy

T=TC(\widetilde{x}).

Ponieważ zbiór

M=\{ x\in\mathbb{R}^{3}:x_{i}\geq 0,\;\; TC(x)\leq T,\;\;\; Q(x)=Q\},

jest niepusty, domknięty i ograniczony, zatem badane zadanie optymalizacyjne posiada rozwiązanie.

Rozważmy warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum – \nabla Q\parallel\nabla TC.

\nabla Q=Q(x)\left(\frac{\alpha _{1}}{x_{1}},\frac{\alpha _{2}}{x_{2}},\frac{\alpha _{3}}{x_{3}}\right),\;\;\;\nabla TC=(p_{1},p_{2},p_{3}).

Równoległość gradientów implikuje istnienie stałej \lambda takiej, że

\frac{\alpha _{1}}{p_{1}x_{1}}=\frac{\alpha _{2}}{p_{2}x_{2}}=\frac{\alpha _{3}}{p_{3}x_{3}}=\lambda.

A zatem

x_{i}=\frac{\alpha _{i}}{\lambda p_{i}},\;\;\; i=1,2,3.

Po podstawieniu do warunku Q(x)=Q otrzymujemy

Q=A\left(\frac{\alpha _{1}}{\lambda p_{1}}\right)^{{\alpha _{1}}}\left(\frac{\alpha _{2}}{\lambda p_{2}}\right)^{{\alpha _{2}}}\left(\frac{\alpha _{3}}{\lambda p_{3}}\right)^{{\alpha _{3}}}=\lambda^{{-r}}A\alpha _{1}^{{\alpha _{1}}}\alpha _{2}^{{\alpha _{2}}}\alpha _{3}^{{\alpha _{3}}}p_{1}^{{-\alpha _{1}}}p_{2}^{{-\alpha _{2}}}p_{3}^{{-\alpha _{3}}},

gdzie r=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}. Wyznaczamy \lambda

\lambda=Q^{{-\frac{1}{r}}}\left(A\alpha _{1}^{{\alpha _{1}}}\alpha _{2}^{{\alpha _{2}}}\alpha _{3}^{{\alpha _{3}}}\right)^{{\frac{1}{r}}}p_{1}^{{-\frac{\alpha _{1}}{r}}}p_{2}^{{-\frac{\alpha _{2}}{r}}}p_{3}^{{-\frac{\alpha _{3}}{r}}}.

Teraz możemy wyznaczyć TC_{{min}}

TC_{{min}}=TC\left(\frac{\alpha _{1}}{\lambda p_{1}},\frac{\alpha _{2}}{\lambda p_{2}},\frac{\alpha _{3}}{\lambda p_{3}}\right)=p_{1}\frac{\alpha _{1}}{\lambda p_{1}}+p_{2}\frac{\alpha _{2}}{\lambda p_{2}}+p_{3}\frac{\alpha _{3}}{\lambda p_{3}}=\frac{r}{\lambda}=\frac{r}{\left(A\alpha _{1}^{{\alpha _{1}}}\alpha _{2}^{{\alpha _{2}}}\alpha _{3}^{{\alpha _{3}}}\right)^{{\frac{1}{r}}}}Q^{{\frac{1}{r}}}p_{1}^{{\frac{\alpha _{1}}{r}}}p_{2}^{{\frac{\alpha _{2}}{r}}}p_{3}^{{\frac{\alpha _{3}}{r}}}.
\Box

6.2. Przykład Nerlove'a

6.2.1. Charakterystyka danych

M.Nerlove przeprowadził badania dotyczące produkcji energii elektrycznej w USA w 1955 roku. Dane zostały zebrane dla 145 spółek w 44 stanach. Dotyczą one:
\bullet całkowitych kosztów TC (mln USD),
\bullet wielkości produkcji Q (mld kWh),
\bullet średnich zarobków (koszt pracy) PL=p_{1},
\bullet ceny kapitału (stopy procentowe) PK=p_{2},
\bullet ceny paliwa PF=p_{3}.

Warunki działania spółek:
\bullet dostawa energii zgodnie z zapotrzebowaniem,
\bullet cena energii ustalana administracyjnie dla regionu,
\bullet firmy nie mają bezpośredniego wpływu na PL, PK i PF. PF i PK kształtuje rynek, a PL długoterminowe umowy ze związkami zawodowymi.

6.2.2. Konstrukcja modelu

Model ekonometryczny:

TC_{i}=e^{{\mu _{i}}}Q_{i}^{{\beta _{2}}}p_{{i,1}}^{{\beta _{3}}}p_{{i,2}}^{{\beta _{4}}}p_{{i,3}}^{{\beta _{5}}},\;\;\;\beta _{2}=\frac{1}{r},\;\;\;\beta _{{2+j}}=\frac{\alpha _{j}}{r},\;\;\; j=1,2,3. (6.1)
\mu _{i}=\ln\left(r\left(A_{i}\alpha _{1}^{{\alpha _{1}}}\alpha _{2}^{{\alpha _{2}}}\alpha _{3}^{{\alpha _{3}}}\right)^{{-\frac{1}{r}}}\right).

\mu _{i} zawiera część losową zależną od firmy,

E(\mu _{i})=\beta _{1},\;\;\;\mu _{i}=\beta _{1}+\varepsilon _{i}.

Logarytmujemy równanie 6.1 i przechodzimy do modelu liniowego

\ln TC_{i}=\beta _{1}+{\beta _{2}}\ln Q_{i}+{\beta _{3}}\ln p_{{i,1}}+{\beta _{4}}\ln p_{{i,2}}+{\beta _{5}}\ln p_{{i,3}}+\varepsilon _{i}. (6.2)

Dodatkowo rozważamy model ograniczony, w którym spełniona jest zależność \beta _{3}+\beta _{4}+\beta _{5}=1. Podstawiamy \beta _{5}=1-\beta _{3}-\beta _{4} i otrzymujemy

\ln\left(\frac{TC_{i}}{p_{{i,3}}}\right)=\beta _{1}+{\beta _{2}}\ln Q_{i}+{\beta _{3}}\ln\frac{p_{{i,1}}}{p_{{i,3}}}+{\beta _{4}}\ln\frac{p_{{i,2}}}{p_{{i,3}}}+\varepsilon _{i}. (6.3)

6.2.3. Estymacja parametrów modelu 6.2

Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.

\begin{array}[]{llllll}\ln TC=&-3{,}5&+0{,}72\ln Q&+0{,}44\ln p_{1}&-0{,}22\ln p_{2}&+0{,}43\ln p_{3}\\
&(1{,}8)&(0{,}017)&(0{,}29)&(0{,}34)&(0{,}10)\end{array}

Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła SKR=21{,}552.
Uwaga: Test t wskazuje na statystyczną nieistotność parametru \beta _{4}.

6.2.4. Estymacja parametrów modelu 6.3

Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.

\begin{array}[]{lllll}\ln\frac{TC}{p_{3}}=&-4{,}7&+0{,}72\ln Q&+0{,}59\ln\frac{p_{1}}{p_{3}}&-0{,}007\ln\frac{p_{2}}{p_{3}}\\
&(0{,}88)&(0{,}017)&(0{,}20)&(0{,}19)\end{array}

Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła SKR_{o}=21{,}640.
Uwaga: Test t wskazuje na statystyczną nieistotność parametru \beta _{4}.

6.2.5. Test jednorodności modelu

Testujemy hipotezę H_{0}:\beta _{3}+\beta _{4}+\beta _{5}=1 wobec H_{1}:\beta _{3}+\beta _{4}+\beta _{5}\neq 1 na poziomie istotności \alpha=0{,}05.
Mamy m=1, n-K=145-5=140 stopni swobody. Wyznaczamy statystykę F.

F=\frac{SKR_{o}-SKR}{SKR}\cdot\frac{n-K}{m}=0{,}57.

Wartość krytyczną F^{\ast} wyznaczamy z rozkładu Snedecora F(1,140) otrzymujemy

F^{\ast}=3{,}9\gg F.

Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H_{0}.

6.2.6. Test braku efektów skali dla modelu ograniczonego 6.3

Testujemy hipotezę H_{0}:\beta _{2}=1 wobec H_{1}:\beta _{2}\neq 1 na poziomie istotności \alpha=0{,}05.
Mamy n-K=145-4=141 stopni swobody. Wyznaczamy statystykę t

t=\frac{b_{2}-1}{sb_{2}}=\frac{0,72-1}{0,017}=-16.

Wartość krytyczną t^{\ast} wyznaczamy z rozkładu Studenta t(141) otrzymujemy

t^{\ast}=1{,}98\ll|t|.

Zatem odrzucamy hipotezę H_{0}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.