Zagadnienia

7. Modele nieliniowe

Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów w modelach nieliniowych. Opis metody. Przykłady: Modelowanie popytu konsumpcyjnego - funkcje Tórnquista. (1 wykład)

7.1. Zadanie aproksymacyjne

Dane jest m+1 n-elementowych ciągów

Y=Yt,Xi=Xt,i,i=1,,m,t=1,,n,

oraz dana jest rodzina funkcji Fη1,,ηK,x1,,xm:D×RmR, DRK.

Zadanie:
Wyznaczyć współczynniki b=b1,,bK, bDRK, które minimalizują błąd przybliżenia Y przez Y^

Y^t=Ftb=Fb1,bK,Xt,1,,Xt,m,t=1,,n.

Czyli należy rozwiązać zadanie optymalizacyjne:

ξ2=t=1nξt2min, gdzie ξ=Y-Y^.

W ogólnym przypadku, gdy nie znamy własności funkcji F, to nie wiemy czy powyższe zadanie posiada rozwiązanie i czy jeśli posiada rozwiązanie to jest ono jedynym rozwiązaniem. Gdy F jest różniczkowalne to można sformułować warunki konieczne, takie jak na przykład poniższy.

Lemat 7.1

Jeżeli F jest różniczkowalne ze względu na b i bmin należący do wnętrza zbioru D minimalizuje ξ2 to wektor reszt ξ=ξbmin jest ortogonalny do wektora pochodnych

t=1nξtFtbibmin=0 dla i=1,,K.

Dowód.
Przy założeniach lematu suma kwadratów reszt SKRb=ξb2 jest różniczkowalna. Zatem w punkcie, w którym przyjmuje najmniejszą wartość jej pochodne cząstkowe muszą się zerować. Biorąc pod uwagę, że ξtb=Yt-Ftb otrzymujemy dla każdego i

0=SKRbibmin=2t=1nξtξtbi=-2t=1nξtFtbibmin.

7.2. Założenia modelu i estymacja parametrów

Przyjmijmy dla modelu nieliniowego założenia wzorowane na modelu liniowym.
NZ1. Liniowa zależność od czynnika losowego

Yt=Fβ,Xt+εt,

gdzie β=β1,,βKT wektor parametrów, a F funkcja różniczkowalna po β.

NZ2. Ścisła egzogeniczność.

E(ϵ|X)=0.

NZ3. Liniowa niezależność pochodnych.

bD(P(rkDF(b)=K)=1,

gdzie DF oznacza macierz n×K pochodnych cząstkowych wektora F=F1,,FnT, Ftb=Fb,Xt,

DFbt,i=Ftbib=Fbib,Xt.

NZ4. Sferyczność błędu

E(εεT|X)=σ2Idn,

gdzie σ>0 deterministyczny parametr modelu.

Naturalne jest aby estymatorem NMNK wektora β nazywać rozwiązanie zadania aproksymacyjnego z poprzedniego podrozdziału.

Definicja 7.1

K-wymiarowa zmienna losowa B jest estymatorem NMNK wektora βD, gdy B przyjmuje wartości w D i prawie na pewno

t=1n(Yt(ω)-F(B(ω),Xt(ω))2=min{t=1n(Yt(ω)-F(b,Xt(ω))2:bD}.
Lemat 7.2

Niech D będzie podzbiorem otwartym RK. Jeśli B jest estymatorem NMNK wektora β to

B-β=DFBTDFB-1DFBTε+R2B,

gdzie R2B wektor reszt rozwinięcia Taylora Ft w B

R2B=FB-Fβ+DFBβ-B.

Dowód.
Mamy dwie równości wynikające z NZ1 i definicji składnika resztowego ξ

Y=Fβ+ε,
Y=FB+ξ.

Zatem

FB-Fβ=ε-ξ.

Czyli

DFBB-β=ε-ξ+R2B.

Z NZ3 wynika, że macierz DFBTDFB jest prawie na pewno odwracalna, zatem macierz K×n

PB=DFBTDFB-1DFBT

jest dobrze zdefiniowana poza, być może, zbiorem P-miary zero.
Zauważmy, że z definicji P otrzymujemy

P(B)DF(B)=(DF(B)TDF(B))-1DF(B)TDF(B)=IdK, pn.,

a z lematu 7.1

PBξ=DFBTDFB-1DFBTξ=0.

Zatem

B-β=PBDFBB-β=PBε-ξ+R2B=PBε+R2B.
Uwaga 7.1

Jak widać z powyższego warunek ścisłej egzogeniczności (NZ2) nie implikuje nieobciążoności estymatora NMNK.

7.3. Przykłady

Opisane w poprzednich podrozdziałach trudności związane ze stosowaniem nieliniowej metody najmniejszych kwadratów powodują, że nieliniowe modele stosuje się tylko wtedy gdy dobrze opisują fakty stylizowane związane z modelowanym zjawiskiem. Tak jak na przykład funkcje Törnquista, których przebieg ilustruje hipotezy dotyczące reakcji konsumentów na zmiany dochodów, albo funkcja logistyczna, która znalazła zastosowanie w modelowaniu długookresowego wzrostu liczby ludności i w reprezentacji rozwoju sprzedaży nowych produktów na określonym rynku.

7.3.1. Funkcja Törnquista I typu

Funkcja Törnquista I typu wyraża zależność między popytem na dobra podstawowe (Y), a dochodami konsumentów (X)

Y=αXX+β,α,β>0.

Popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodów i stabilizuje się na poziomie równym α. Wykres ma asymptotę poziomą. Z drugiej strony popyt spada do zera wraz ze spadkiem dochodów ale nie znika dla niezerowych dochodów.

Rys. 7.1. Wykres funkcji Törnquista I typu.

7.3.2. Funkcja Törnquista II typu

Funkcja Törnquista II typu wyraża zależność między popytem na dobra wyższego rzędu (Y), a dochodami konsumentów (X)

Y=αX-γX+β,α,β,γ>0.

Popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodów i stabilizuje się na poziomie równym α. Wykres ma asymptotę poziomą. Z drugiej strony popyt spada do zera wraz ze spadkiem dochodów i zanika dla dochodów niższych od granicznej wartości γ.

Rys. 7.2. Wykres funkcji Törnquista II typu.

7.3.3. Funkcja Törnquista III typu

Funkcja Törnquista III typu wyraża zależność między popytem na dobra i usługi luksusowe (Y), a dochodami konsumentów (X)

Y=αXX-γX+β,α,β,γ>0.

Popyt rośnie w sposób nieograniczony wraz ze wzrostem dochodów i dla dużych X można go przybliżyć funkcją liniową

Y=αX-γ+β.

Wykres posiada asymptotę ukośną. Z drugiej strony popyt spada do zera wraz ze spadkiem dochodów i zanika dla dochodów niższych od granicznej wartości γ.

Rys. 7.3. Wykres funkcji Törnquista III typu.

7.3.4. Funkcja logistyczna

Funkcja logistyczna wyraża zależność trendu wzrostowego Y od czasu t

Yt=α1+βexp-γt,α,β,γ>0.

Posiada ona następujące własności:
Jest ściśle rosnąca i przyjmuje wartości z przedziału 0,α

limt-Yt=0,limt+Yt=α.

Dla t=0 mamy Y0=α1+β.
Ma punkt przegięcia w t=γ-1lnβ. Trend ma w okolicach tego punktu największe przyrosty.
Jest rozwiązaniem równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych zwanego równaniem Robertsona

Y=γαYα-Y,

spełniającym warunek początkowy

Y0=α1+β.
Rys. 7.4. Wykres funkcji logistycznej.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.