Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Inżynieria finansowa – 10. Analiza wrażliwości – MIM UW

Zagadnienia

10. Analiza wrażliwości

Analiza wrażliwości instrumentu pochodnego (portfela instrumentów pochodnych zależnych od tego samego instrumentu podstawowego) polega na analizowaniu zmian wartości instrumentu (portfela) następujących w skutek zmian wartości zmiennych będących argumentami funkcji wyceniającej instrument (portfel) na podstawie obserwacji kilku pochodnych tej funkcji względem odpowiednich zmiennych. W uproszczeniu, można powiedzieć, że jest to próba zastosowania wzoru Taylora (dla funkcji wielu zmiennych) do oszacowania zmiany wartości instrumentu (portfela). Ponadto, z informacji o wartościach współczynników wrażliwości oraz kierunku i wielkości zmian tych współczynników pod wpływem zmian argumentów funkcji wyceniającej instrument (portfel) wynikają dla zarządzającego instrumentem (portfelem) istotne wskazówki co do sposobu potencjalnego zabezpieczania instrumentu (portfela).

Analizę wrażliwości omówimy szczegółowo dla waniliowych opcji europejskich korzystając z rezultatów otrzymanych w modelu Blacka-Scholesa, bowiem w tym przypadku funkcje wyceniające opcje są dane w postaci analitycznych wyrażeń. Natomiast w przypadku portfeli instrumentów pochodnych przedstawimy jedynie ogólne zasady takiej analizy.

Niech

V(t,S,r,\delta,\sigma) (10.1)

oznacza funkcję, która określa wartość instrumentu pochodnego. Argumentami tej funkcji są

  • t – chwila czasu w której wyznaczamy wartość instrumentu pochodnego,

  • S – wartość instrumentu podstawowego w chwili t,

  • r – wolna od ryzyka stopa procentowa,

oraz parametry związane z przyjętym modelem opisującym proces cen instrumentu podstawowego – w przypadku prostych modeli typu Blacka-Scholesa, są to

  • \delta – stopa dochodu generowanego przez instrument podstawowy (stopa dywidendy),

  • \sigma – zmienność instrumentu podstawowego.

Funkcja V na ogół zależy jeszcze od innych parametrów charakteryzujących instrumenty pochodne, na przykład od

  • terminów zapadalności T,

oraz, w szczególności,

  • dla opcji waniliowych, od cen wykonania K,

  • a dla opcji barierowych, dodatkowo i od barier H.

Nie będziemy analizować zależności V od tych parametrów ponieważ nie są one wielkościami zmiennymi (są ustalone w kontrakcie, nie są czynnikami ryzyka).

10.1. Współczynniki wrażliwości instrumentów pochodnych

Załóżmy, że funkcja V=V(t,S,r,\delta,\sigma) jest dostatecznie gładka. Wówczas, zmianę wartości funkcji V

\vartriangle V=V(t+\vartriangle t,S+\vartriangle S,r+\vartriangle r,\delta+\vartriangle\delta,\sigma+\vartriangle\sigma)-V(t,S,r,\delta,\sigma),

która następuje przy zmianie

  • ceny instrumentu podstawowego S o wielkość \vartriangle S,

  • stopy procentowej r o wielkość \vartriangle r,

  • stopy dywidendy \delta o wielkość \vartriangle\delta,

  • zmienności \sigma o wielkość \vartriangle\sigma

oraz na skutek

  • upływu czasu o okres \vartriangle t,

możemy przybliżyć w następujący sposób

\vartriangle V\simeq\frac{\partial V}{\partial t}\vartriangle t+\frac{\partial V}{\partial S}\vartriangle S+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}(\vartriangle S)^{2}+\frac{\partial V}{\partial\sigma}\vartriangle\sigma+\frac{\partial V}{\partial r}\vartriangle r+\frac{\partial V}{\partial\delta}\vartriangle\delta, (10.2)

gdzie wszystkie pochodne są obliczane dla bieżących wartości argumentów funkcji V w chwili t. W inżynierii finansowej te pochodne oznacza się zwykle symbolami greckich liter (za wyjątkiem pochodnej po zmienności \sigma). I tak mamy:

  • deltę: \Delta=\frac{\partial V}{\partial S}

  • gammę: \Gamma=\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}

  • vegę: {\cal V}=\frac{\partial V}{\partial\sigma} (Vega nie jest literą greckiego alfabetu)

  • rho: \rho=\frac{\partial V}{\partial r}

  • rho\hbox{}^{*}: \rho^{*}=\frac{\partial V}{\partial\delta}

  • tetę: \Theta=\frac{\partial V}{\partial t}

Przy tych oznaczeniach wzór (10.2) przybiera następującą postać

\vartriangle V\simeq\Theta\,\cdot\vartriangle t+\Delta\,\cdot\vartriangle S+\frac{1}{2}\Gamma\cdot(\vartriangle S)^{2}+{\cal V}\,\cdot\vartriangle\sigma+\rho\,\cdot\vartriangle r+\rho^{*}\cdot\vartriangle\delta (10.3)

Zarządzający portfelem, prócz informacji o bieżącej wrażliwości instrumentów finansowych w portfelu, czyli o wartościach współczynników wrażliwości \Delta, \Gamma, {\cal V}, \rho, \rho^{*}, oraz \Theta, powinien analizować jak wartości tych współczynników zmienią się gdy zmienią się wartości instrumentu podstawowego, zmienności, oraz stóp procentowych. W przypadku portfeli instrumentów pochodnych na kurs walutowy lub na ceny akcji/indeksy giełdowe, dla których największy wpływ na zmianę wartości tych portfeli mają zmiany wartości instrumentu podstawowego oraz zmiany zmienności tego instrumentu, analizuje się współczynniki wrażliwości które są pierwszymi pochodnymi \Delta, \Gamma oraz {\cal V} po S i po \sigma. W szczególności obserwuje się następujące pochodne

  • vannę: Vanna=\frac{\partial\Delta}{\partial\sigma}=\frac{\partial{\cal V}}{\partial S}=\frac{\partial^{2}V}{\partial S\partial\sigma}

  • volgę: Volga=\frac{\partial{\cal V}}{\partial\sigma}=\frac{\partial^{2}V}{\partial\sigma^{2}}

  • \frac{\partial\Gamma}{\partial\sigma}=\frac{\partial^{3}V}{\partial S^{2}\partial\sigma}=\frac{\partial Vanna}{\partial S}=\frac{\partial^{2}{\cal V}}{\partial S^{2}}

  • \frac{\partial\Gamma}{\partial S}=\frac{\partial^{3}V}{\partial S^{3}}

Uwaga 10.1

Dla instrumentów pochodnych stopy procentowej odpowiednikiem Delty jest BPV. W przypadku takiego instrumentu Deltę możemy określić jako pochodną funkcji

\tilde{V}(\vartriangle r)=V(\tilde{r}+\vartriangle r),

gdzie V jest funkcją wyceniającą ten instrument, względem przesunięcia równoległego \vartriangle r bieżącej krzywej stóp procentowych \tilde{r}

\Delta=\frac{\partial\tilde{V}}{\partial(\vartriangle r)}(0).

Wówczas związek pomiędzy Deltą a BPV jest następujący

\text{BPV}=V(\tilde{r}-0.01\%)-V(\tilde{r})\simeq\Delta\cdot(-0.01\%).

Deltę możemy również powiązać z duracją D instrumentu, mianowicie mamy następujący związek

\Delta=-D\cdot V(\tilde{r}).

Analogicznie, jeśli zdefiniować Gammę instrumentu pochodnego stopy procentowej jako drugą pochodną

\Gamma=\frac{\partial^{2}\tilde{V}}{\partial(\vartriangle r)^{2}}(0),

to

\Gamma=W\cdot V(\tilde{r}),

gdzie W jest tak zwaną wypukłością tego instrumentu.

10.2. Współczynniki wrażliwości opcji waniliowych

W przypadku opcji waniliowych wycenianych formułami Blacka-Scholesa możemy wypisać analityczne wyrażenia na te pochodne.

Delta

Korzystając z formuł (9.32) – (9.33) na wartość opcji kupna / sprzedaży otrzymujemy następujące wyrażenia na

deltę opcji kupna:

\Delta _{C}=\frac{\partial C}{\partial S}=\text{e}^{{-\delta(T-t)}}\Phi(d_{1}), (10.4)

deltę opcji sprzedaży

\Delta _{P}=\frac{\partial P}{\partial S}=-\text{e}^{{-\delta(T-t)}}\Phi(-d_{1})=\text{e}^{{-\delta(T-t)}}(\Phi(d_{1})-1), (10.5)

gdzie, przypomnijmy,

d_{1}=\frac{\ln(S/K)+(r-\delta)(T-t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},

a \Phi jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Wzór na deltę opcji sprzedaży (10.5) można również wyprowadzić z wyrażenia (10.4) na deltę opcji kupna i związku między tymi deltami, który wynika z parytetu opcji kupna-sprzedaży. Oczywiście, są to delty kupionych opcji (długich pozycji w tych opcjach).

Własności delt

  • Delta mierzy wrażliwość (pierwszego rzędu) ceny opcji na zmianę wartości instrumentu podstawowego.

  • Jak widać ze wzorów (10.4) i (10.5),

    0<\Delta _{C}<\text{e}^{{-\delta(T-t)}}\quad\text{ oraz}\quad-\text{e}^{{-\delta(T-t)}}<\Delta _{P}<0.
  • Delta opcji kupna / sprzedaży ATM (to jest gdy S=K) wynosi w przybliżeniu \pm 0.5. Czasami opcje ATM definiuje się jako opcje z ceną wykonania K taką by delta tej opcji wynosiła dokładnie \pm 0.5.

  • Funkcje S\rightarrow\Delta _{C} oraz S\rightarrow\Delta _{P} są ściśle rosnące (bo gamma, która jest pochodną delt jest dodatnia).

  • Delta opcji, jako funkcja S, zmienia się najszybciej w otoczeniu ceny wykonania, a więc dla opcji które są (niemal) ATM – patrz własności gammy.

  • Przy t\rightarrow T \Delta _{C}\rightarrow 0 gdy S<K oraz \Delta _{C}\rightarrow 1 gdy S>K. Natomiast, dla opcji sprzedaży \Delta _{P}\rightarrow-1 gdy S<K oraz \Delta _{C}\rightarrow 0 gdy S>K.

Uwaga 10.2

W praktyce rynkowej funkcjonuje również pojęcie forward delty, która jest zdefiniowana wzorem

\Delta^{{\text{fwd}}}=\text{e}^{{\delta(T-t)}}\Delta=\omega\Phi(\omega d_{1}),

gdzie \omega=1 dla opcji kupna i \omega=-1 dla opcji sprzedaży. Jednocześnie można określić deltę względem ceny forward:

\Delta^{F}=\frac{\partial V}{\partial F},

gdzie F jest ceną forward w chwili t instrumentu podstawowego dla kontraktu zapadalnego w T, a V jest formułą Blacka, to znaczy formułą Blacka-Scholesa w której cenę bieżącą S instrumentu podstawowego wyrażono przez cenę forward F, odpowiednio dla opcji kupna i opcji sprzedaży. Można pokazać (Zadanie 10.1), że

\Delta^{F}=\omega\text{e}^{{-r(T-t)}}\Phi(\omega d_{1})=\text{e}^{{-r(T-t)}}\Delta^{{\text{fwd}}}.

Gamma

Korzystając z formuł (9.32) – (9.33) na wartość opcji kupna / sprzedaży otrzymujemy następujące wyrażenie na gammę opcji kupna / sprzedaży:

\Gamma _{C}=\Gamma _{P}=\frac{\text{e}^{{-\delta(T-t)}}}{S\sigma\sqrt{T-t}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\text{e}^{{-\frac{1}{2}d_{1}^{2}}}. (10.6)

Równość gammy opcji kupna i gammy opcji sprzedaży wynika z parytetu opcji kupna – sprzedaży. Oczywiście, są to gammy kupionych opcji (długich pozycji w tych opcjach).

Własności gammy

  • \Gamma=\frac{\partial\Delta}{\partial S} – Gamma mierzy wrażliwość delt na zmianę ceny instrumentu podstawowego oraz określa w jakim stopniu nieliniowość opcji jest istotna przy szacowaniu zmiany wartości opcji.

  • Jak widać ze wzoru (10.6), gamma (długiej pozycji) jest dodatnia. Stąd delty są funkcjami ściśle rosnącymi względem S.

  • Przy t\rightarrow T \Gamma\rightarrow 0 dla opcji OTM / ITM oraz \Gamma\rightarrow+\infty dla opcji ATM (S=K). Stąd wynika iż nieliniowość opcji jest najbardziej odczuwalna dla opcji ATM o krótkim rezydualnym czasie trwania. Zabezpieczanie takich opcji jest trudne (a raczej kłopotliwe i kosztowne), bowiem delta takich opcji zmienia się stosunkowo szybko.

  • Gamma jest największa dla opcji dla których d_{1}=0 – czyli dla opcji które są niemal ATM.

  • Pozycja o dodatniej gammie wolniej traci na wartości / szybciej zyskuje na wartości przy zmianach ceny instrumentu podstawowego. Pozycja o ujemnej gammie (np. wystawione opcje) szybciej traci na wartości / wolniej zyskuje na wartości przy zmianach ceny instrumentu podstawowego – patrz wzór (10.2).

Vega

Korzystając z formuł (9.32) – (9.33) na wartość opcji kupna / sprzedaży otrzymujemy następujące wyrażenie na vegę opcji kupna / sprzedaży:

{\cal V}_{C}={\cal V}_{P}=\text{e}^{{-\delta(T-t)}}S\sqrt{T-t}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\text{e}^{{-\frac{1}{2}d_{1}^{2}}} (10.7)

Równość vegi opcji kupna i vegi opcji sprzedaży wynika z parytetu opcji kupna-sprzedaży. Oczywiście, są to vegi kupionych opcji (długich pozycji w tych opcjach).

Własności Vegi

  • Jak widać ze wzoru (10.7), vega (długiej pozycji) jest dodatnia.

  • Vega mierzy wrażliwość wartości opcji na zmianę zmienności \sigma ceny instrumentu podstawowego.

  • Inaczej: vega mierzy błąd w wycenie opcji popełniany na skutek niepewności co do wartości zmienności \sigma ceny instrumentu podstawowego.

  • Przy t\rightarrow T {\cal V}\rightarrow 0.

  • Vega jest największa dla opcji dla których d_{1}=0 – czyli dla opcji które są niemal ATM.

Rho / Rho{}^{*}

Korzystając z formuł (9.32) – (9.33) na wartość opcji kupna / sprzedaży otrzymujemy następujące wyrażenia na

rho opcji kupna:

\rho _{C}=\frac{\partial C}{\partial r}=K\text{e}^{{-r(T-t)}}(T-t)\Phi(d_{2}), (10.8)

rho opcji sprzedaży:

\rho _{P}=\frac{\partial P}{\partial r}=-K\text{e}^{{-r(T-t)}}(T-t)\Phi(-d_{2})=K\text{e}^{{-r(T-t)}}(T-t)(\Phi(d_{2})-1) (10.9)

gdzie, przypomnijmy,

d_{2}=\frac{\ln(S/K)+(r-\delta)(T-t)-\frac{1}{2}\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}. (10.10)

Wzór na rho opcji sprzedaży (10.9) można również wyprowadzić z wyrażenia (10.8) na rho opcji kupna i związku między \rho _{C} i \rho _{P}, który wynika z parytetu opcji kupna – sprzedaży. Oczywiście, są to rho kupionych opcji (długich pozycji w tych opcjach).

Analogicznie wyznaczamy

rho{}^{*} opcji kupna:

\rho^{*}_{C}=\frac{\partial C}{\partial\delta}=-S\text{e}^{{-\delta(T-t)}}(T-t)\Phi(d_{1}) (10.11)

rho{}^{*} opcji sprzedaży:

\rho^{*}_{P}=\frac{\partial P}{\partial\delta}=S\text{e}^{{-\delta(T-t)}}(T-t)\Phi(-d_{1})=S\text{e}^{{-\delta(T-t)}}(T-t)(1-\Phi(d_{1})). (10.12)

Wzór na rho{}^{*} opcji sprzedaży (10.12) można również wyprowadzić z wyrażenia (10.11) na rho{}^{*} opcji kupna i związku między \rho^{*}_{C} i \rho^{*}_{P}, który wynika z parytetu opcji kupna – sprzedaży. Oczywiście, są to rho{}^{*} kupionych opcji (długich pozycji w tych opcjach).

Analizowanie współczynnika rho{}^{*} ma szczególny sens w przypadku opcji walutowych, kiedy w miejsce stopy dywidendy bierze się stopę waluty bazowej (która jest czynnikiem ryzyka).

Teta

Mimo iż czas nie jest czynnikiem ryzyka, analizując zmiany wartości opcji bada się jak cena tych opcji zmienia się z upływem czasu. Miarą tempa tej zmiany jest teta.

Korzystając z formuł (9.32) – (9.33) na wartość opcji kupna / sprzedaży otrzymujemy następujące wyrażenia na

tetę opcji kupna:

\Theta _{C}=\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{S\text{e}^{{-\delta(T-t)}}\sigma\Phi^{\prime}(d_{1})}{2\sqrt{T-t}}+\delta\text{e}^{{-\delta(T-t)}}S\Phi(d_{1})-r\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(d_{2}), (10.13)

tetę opcji sprzedaży:

\Theta _{P}=\frac{\partial P}{\partial t}=-\frac{S\text{e}^{{-\delta(T-t)}}\sigma\Phi^{\prime}(d_{1})}{2\sqrt{T-t}}-\delta\text{e}^{{-\delta(T-t)}}S\Phi(-d_{1})+r\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(-d_{2}) (10.14)

Własności tety

  • Na ogół teta jest ujemna, bowiem zwykle wartość opcji maleje wraz z upływem czasu.

Wzór na tetę opcji sprzedaży (10.14) można również wyprowadzić z wyrażenia (10.13) na tetę opcji kupna i związku między tymi tetami, który wynika z parytetu opcji kupna – sprzedaży.

Uwaga 10.3

Zdarza się, że teta opcji jest definiowana jako pochodna funkcji wyceniającej opcję względem rezydualnego czasu trwania opcji \tau=T-t. Tak zdefiniowana teta różni się od tety określonej wzorami (10.13) – (10.14) znakiem, bowiem, na przykład

\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{\partial C}{\partial\tau}.

10.3. Równanie Blacka-Scholesa (związek między tetą, deltą i gammą)

Stosując aparat analizy stochastycznej można pokazać, że funkcja wyceniająca instrument pochodny spełnia następujące równanie różniczkowe cząstkowe:

\frac{\partial V}{\partial t}+(r-\delta)S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}=rV. (10.15)

Specyfikacja instrumentu pochodnego odbywa się przez postawienie warunków brzegowych które odpowiadają funkcji wypłaty instrumentu. Na przykład, w przypadku waniliowej opcji kupna tym warunkiem jest warunek końcowy, czyli warunek określający wypłatę w terminie zapadalności opcji, mianowicie

V(T,S)=\max(S-K,0). (10.16)

Można pokazać, że rozwiązaniem zagadnienia (10.15) – (10.16) jest funkcja C dana wzorem (9.32). Oczywiście, aby zagadnienie (10.15) – (10.16) było dobrze postawione należy jeszcze określić co rozumiemy przez rozwiązanie, bowiem jak widać rozpatrując je w klasycznym sensie będziemy mieli kłopot jako że funkcja występująca po prawej stronie (10.16) nie jest różniczkowalna w S=K.

Równanie Blacka-Scholesa (10.15) wiąże ze sobą współczynniki wrażliwości, mianowicie

\Theta+(r-\delta)S\cdot\Delta+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\Gamma=rV (10.17)

i ten związek zarządzający portfelami instrumentów pochodnych powinni rozumieć i wykorzystywać analizując potencjalne zmiany wartości portfela. W szczególności, portfele są często tak konstruowane by były delta neutralne, czyli by ich delta wynosiła zero (w rzeczywistości by była bliska zera). Wówczas, dla takiego delta neutralnego portfela

\Theta+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\Gamma=rV. (10.18)

Stąd, przy założeniu, że składnik rV po prawej stronie równania (10.18) jest zaniedbywalnie mały w porównaniu z pozostałymi wyrażeniami, wynika, że duża dodatnia gamma portfela implikuje iż teta portfela będzie duża co do wartości bezwzględnej i ujemna. Tak więc delta neutralny portfel o dużej dodatniej gammie będzie dużo tracił na wartości z tytułu upływu czasu. Podstawowym przykładem takiego portfela jest strategia opcyjna (long) straddle złożona z dwóch kupionych opcji ATM: opcji kupna i opcji sprzedaży, przy czym tu przez opcję call (put) ATM rozumie się opcję, której tzw. forward delta \text{e}^{{+\delta(T-t)}}\Delta _{C} (\text{e}^{{+\delta(T-t)}}\Delta _{P}, odpowiednio) wynosi \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}, odpowiednio), czyli opcje o takiej cenie wykonania by d_{1}=0.

10.4. Współczynniki wrażliwości portfela instrumentów pochodnych

Rozpatrzmy portfel złożony z N instrumentów pochodnych o takim samym instrumencie podstawowym. Niech V_{n}=V_{n}(t,S,r_{n},\delta _{n},\sigma _{n}) oznacza funkcję, która wycenia n-ty instrument w portfelu. Mimo iż instrument podstawowy jest ten sam w każdym z tych instrumentów, stopy procentowe r_{n} i \delta _{n} oraz zmienność \sigma _{n} mogą być specyficznymi zmiennymi dobranymi odpowiednio do parametrów instrumentu pochodnego – na przykład dla opcji waniliowych tenor stóp procentowych będzie odpowiadał czasowi trwania instrumentu pochodnego, a zmienność (implikowana) czasowi trwania i cenie wykonania. Niech

V(t,S,r_{1},\ldots,r_{n},\delta _{1},\ldots,\delta _{n},\sigma _{1},\ldots,\sigma _{n})=\sum _{{n=1}}^{N}V_{n}(t,S,r_{n},\delta _{n},\sigma _{n}).

Wówczas

\vartriangle V\simeq\Theta\,\cdot\vartriangle t+\Delta\,\cdot\vartriangle S+\frac{1}{2}\Gamma\cdot(\vartriangle S)^{2}+\sum _{{n=1}}^{N}{\cal V}_{n}\,\cdot\vartriangle\sigma _{n}+\sum _{{n=1}}^{N}\rho _{n}\,\cdot\vartriangle r_{n}+\sum _{{n=1}}^{N}\rho _{n}^{*}\cdot\vartriangle\delta _{n},

gdzie

\Theta=\sum _{{n=1}}^{N}\Theta _{n}=\sum _{{n=1}}^{N}\frac{\partial V_{n}}{\partial t}\qquad\Delta=\sum _{{n=1}}^{N}\Delta _{n}=\sum _{{n=1}}^{N}\frac{\partial V_{n}}{\partial S}\qquad\Gamma=\sum _{{n=1}}^{N}\Gamma _{n}=\sum _{{n=1}}^{N}\frac{\partial^{2}V_{n}}{\partial^{2}S}

oraz

\rho _{n}=\frac{\partial V_{n}}{\partial r_{n}}\qquad\rho^{*}_{n}=\frac{\partial V_{n}}{\partial\delta _{n}}\qquad{\cal V}_{n}=\frac{\partial V_{n}}{\partial\sigma _{n}}.

W przypadku gdy \,\vartriangle r_{n}=\ \vartriangle r, \,\vartriangle\delta _{n}=\ \vartriangle\delta oraz \,\vartriangle\sigma _{n}=\ \vartriangle\sigma, mamy wzór analogiczny do (10.3):

\vartriangle V\simeq\Theta\,\cdot\vartriangle t+\Delta\,\cdot\vartriangle S+\frac{1}{2}\Gamma\cdot(\vartriangle S)^{2}+{\cal V}\,\cdot\vartriangle\sigma+\rho\,\cdot\vartriangle r+\rho^{*}\cdot\vartriangle\delta,

gdzie

\mathcal{V}=\sum _{{n=1}}^{N}\mathcal{V}_{n}\qquad\rho=\sum _{{n=1}}^{N}\rho _{n}\qquad\rho^{*}=\sum _{{n=1}}^{N}\rho^{*}_{n}.

10.5. Obliczanie współczynników wrażliwości metodą ilorazu różnicowego

Dla instrumentów pochodnych które, wycenia się za pomocą złożonych algorytmów numerycznych (na przykład: stosując model dwumianowy, metodę symulacji Monte-Carlo, czy też rozwiązując numerycznie równanie Blacka-Scholesa), współczynniki wrażliwości można obliczać w sposób przybliżony za pomocą odpowiednich ilorazów różnicowych (o ile te algorytmy wyceny nie dostarczają jednocześnie wartości tych współczynników). I tak, na przykład

\Delta\simeq\frac{V(S+\vartriangle S)-V(S-\vartriangle S)}{2\vartriangle S} (10.19)

dla dostatecznie małego przyrostu \vartriangle S. Iloraz różnicowy po prawej stronie (10.19) przybliża deltę z dokładnością do wyrazów rzędu O((\vartriangle S)^{2}). W uzupełnieniu do delty policzonej wzorem (10.19) rozważa się również delty kierunkowe (jednostronne), które odpowiadają wzrostowi / spadkowi ceny instrumentu podstawowego

\Delta^{{(+)}}=\frac{V(S+\vartriangle S)-V(S)}{\vartriangle S}, (10.20)
\Delta^{{(-)}}=\frac{V(S-\vartriangle S)-V(S)}{-\vartriangle S},

gdzie \vartriangle S>0. Te delty mają zastosowanie w sytuacjach gdy oczekuje się zmiany ceny instrumentu podstawowego w określonym kierunku. Ponieważ

\Delta^{{(\pm)}}=\frac{V(S\pm\vartriangle S)-V(S)}{\pm\vartriangle S}=\Delta\pm\frac{1}{2}\Gamma\vartriangle S+O\left((\vartriangle S)^{2}\right), (10.21)

w tych deltach odzwierciedlony jest efekt nieliniowości (wypukłości) opcji.

Analogicznie można obliczać pozostałe współczynniki pierwszego rzędu – vegę i tetę.

Jak widać z (10.21), gammę można obliczyć następującym wyrażeniem:

\Gamma\simeq\frac{\Delta^{{(+)}}-\Delta^{{(-)}}}{\vartriangle S}=\frac{V(S+\vartriangle S)-2V(S)+V(S-\vartriangle S)}{(\vartriangle S)^{2}}. (10.22)

10.6. Zabezpieczanie portfela instrumentów pochodnych

Portfel instrumentów pochodnych jest

  • delta neutralny jeżeli jego delta jest równa zero,

  • gamma neutralny jeżeli jego gamma jest równa zero,

  • delta-gamma neutralny jeżeli jego delta i gamma są równe zero,

  • vega neutralny jeżeli jego vega jest równa zero,

  • delta-gamma-vega neutralny jeżeli jego delta, gamma oraz vega są równe zero.

Poniżej opiszemy metody budowania portfeli neutralnych względem odpowiednich czynników ryzyka. Ogólnie mówiąc, metody te będą polegały na dołączeniu w odpowiedniej ilości do zabezpieczanego portfela wybranych instrumentów pochodnych, których instrument podstawowy jest identyczny z instrumentem podstawowym portfela.

Tworzenie portfela delta neutralnym

Rozpatrzmy portfel instrumentów pochodnych zależnych od tego samego instrumentu podstawowego, który nie jest delta neutralny, to jest

\Delta _{\Pi}=\frac{\partial\Pi}{\partial S}\not=0,

gdzie \Pi=\Pi(t,S,r,\delta,\sigma) jest funkcją wyceniającą ten portfel. Rozpatrzmy pewien instrument pochodny wyceniany funkcją V=V(t,S,r,\delta,\sigma), którego delta \Delta _{V}\not=0. Ten instrument będzie pełnił rolę instrumentu zabezpieczającego. Po dołączeniu do zabezpieczanego portfela x jednostek instrumentu zabezpieczającego wartość powiększonego portfela wyniesie

\Pi^{*}=\Pi+x\cdot V\,.

Ten powiększony portfel będzie delta neutralny (będzie uodporniony na małe zmiany ceny instrumentu podstawowego), to jest

\frac{\partial\Pi^{*}}{\partial S}=\Delta _{{\Pi^{*}}}=\Delta _{\Pi}+x\cdot\Delta _{V}=0,

jeśli ilość instrumentu zabezpieczającego będzie wynosić

x=-\frac{\Delta _{\Pi}}{\Delta _{V}}\,.

Rozpatrzmy szczególny przypadek kiedy zabezpieczany portfel składa się tylko z jednej wystawionej waniliowej opcji kupna, a instrumentem zabezpieczającym jest instrument podstawowy opcji. W naszej notacji \Pi=-C oraz V=S. Zatem, kupno

x=-\frac{-\Delta _{C}}{1}=\Delta _{C}

jednostek instrumentu podstawowego razem z wystawioną opcją kupna tworzy portfel delta neutralny.

Tworzenie portfela gamma neutralnym

Postępujemy analogicznie jak w przypadku tworzenia portfela delta neutralnym. Jeżeli portfel ma niezerową gammę (\Gamma _{\Pi}\not=0), to po dołączeniu do niego

y=-\frac{\Gamma _{\Pi}}{\Gamma _{V}}

jednostek instrumentu zabezpieczającego o niezerowej gammie \Gamma _{V}, otrzymamy portfel gamma neutralny.

Tworzenie portfela delta-gamma neutralnym

Portfel delta-gamma neutralny możemy zbudować w dwóch krokach – najpierw robimy portfel gamma neutralnym, a następnie dobierając odpowiednią ilość jednostek instrumentu podstawowego zerujemy deltę zabezpieczanego portfela.

W ogólnym przypadku do zabezpieczanego portfela dokładamy dwa instrumenty zabezpieczające o funkcjach wyceny V_{1} i V_{2} w ilościach x i y jednostek, odpowiednio. Wówczas wartość tak powiększonego portfela wynosi

\Pi^{*}=\Pi+x\cdot V_{1}+y\cdot V_{2}.

Ten portfel będzie delta-gamma neutralny, jeśli

\begin{split}\frac{\partial\Pi^{*}}{\partial S}\,=\Delta _{{\Pi^{*}}}=\,\,\Delta _{{\Pi}}+x\cdot\Delta _{{V_{1}}}+y\cdot\Delta _{{V_{2}}}&=0\\
\frac{\partial^{2}\Pi^{*}}{\partial S^{2}}\,=\Gamma _{{\Pi^{*}}}=\,\,\Gamma _{{\Pi}}+x\cdot\Gamma _{{V_{1}}}+y\cdot\Gamma _{{V_{2}}}&=0.\end{split} (10.23)

Układ równań (10.23) ma jednoznaczne rozwiązanie, jeżeli wyznacznik tego układu jest różny od zera, to jest gdy

\Delta _{{V_{1}}}\cdot\Gamma _{{V_{2}}}-\Delta _{{V_{2}}}\cdot\Gamma _{{V_{1}}}\not=0. (10.24)

Wybierając instrumenty zabezpieczające musimy uważać by warunek (10.24) był spełniony. Jeżeli jednym z instrumentów zabezpieczających jest instrument podstawowy, to dla spełnienia warunku (10.24) wystarczy by gamma drugiego instrumentu zabezpieczającego była niezerowa i wówczas portfel zabezpieczony będzie identyczny z tym który uzyskalibyśmy stosując metodę zabezpieczania opisaną na początku tego ustępu.

Tworzenie portfela vega neutralnym

Postępujemy analogicznie jak w przypadku tworzenia portfela delta neutralnym. Jeżeli portfel ma niezerową vegę (\mathcal{V}_{\Pi}\not=0), to po dołączeniu do niego

z=-\frac{\mathcal{V}_{\Pi}}{\mathcal{V}_{V}}

jednostek instrumentu zabezpieczającego o niezerowej vedze \mathcal{V}_{V}, otrzymamy portfel vega neutralny.

Tworzenie portfela delta-gamma-vega neutralnym

Tym razem do zabezpieczanego portfela musimy dołożyć trzy instrumenty zabezpieczające o funkcjach wyceny V_{1}, V_{2} i V_{3} w ilościach x, y i z jednostek, odpowiednio. Wówczas wartość tak powiększonego portfela wynosi

\Pi^{*}=\Pi+x\cdot V_{1}+y\cdot V_{2}+z\cdot V_{3}.

Ten portfel będzie delta-gamma-vega neutralny, jeśli

\begin{split}\frac{\partial\Pi^{*}}{\partial S}\,=\Delta _{{\Pi^{*}}}=\,\,\Delta _{{\Pi}}+x\cdot\Delta _{{V_{1}}}+y\cdot\Delta _{{V_{2}}}+z\cdot\Delta _{{V_{3}}}&=0\\
\frac{\partial^{2}\Pi^{*}}{\partial S^{2}}\,=\Gamma _{{\Pi^{*}}}=\,\,\Gamma _{{\Pi}}+x\cdot\Gamma _{{V_{1}}}+y\cdot\Gamma _{{V_{2}}}+z\cdot\Gamma _{{V_{3}}}&=0\\
\frac{\partial\Pi^{*}}{\partial\sigma}\,={\cal V}_{{\Pi^{*}}}=\,\,{\cal V}_{{\Pi}}+x\cdot{\cal V}_{{V_{1}}}+y\cdot{\cal V}_{{V_{2}}}+z\cdot{\cal V}_{{V_{3}}}&=0.\end{split} (10.25)

Układ równań (10.25) ma jednoznaczne rozwiązanie, jeżeli wyznacznik tego układu jest różny od zera. Jeżeli jako pierwszy z instrumentów zabezpieczających wybierzemy instrument podstawowy, czyli gdy V_{1}=S, to układ (10.25) upraszcza się w następujący sposób:

\begin{split}\Delta _{{\Pi}}+x+y\cdot\Delta _{{V_{2}}}+z\cdot\Delta _{{V_{3}}}&=0\\
\Gamma _{{\Pi}}+y\cdot\Gamma _{{V_{2}}}+z\cdot\Gamma _{{V_{3}}}&=0\\
\mathcal{V}_{{\Pi}}+y\cdot\mathcal{V}_{{V_{2}}}+z\cdot\mathcal{V}_{{V_{3}}}&=0.\end{split} (10.26)

Układ (10.26) ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

\Gamma _{{V_{2}}}\cdot\mathcal{V}_{{V_{3}}}-\Gamma _{{V_{3}}}\cdot\mathcal{V}_{{V_{3}}}\not=0. (10.27)

Wybierając dwa pozostałe (prócz instrumentu podstawowego) instrumenty zabezpieczające musimy uważać by warunek (10.27) był spełniony.

10.7. Dynamiczne zabezpieczanie portfela instrumentów pochodnych

Dynamiczne zabezpieczanie portfela instrumentów pochodnych polega na relatywnie częstym modyfikowaniu składu portfela tak by mimo zmieniającej się sytuacji rynkowej profil ryzyka portfela, widziany przez pryzmat jego wybranych współczynników wrażliwości, nie zmieniał się. Polega to na kupowaniu lub sprzedawaniu odpowiedniej ilości instrumentu podstawowego i/lub instrumentów pochodnych na ten instrument zgodnie z regułami wcześniej przedstawionymi.

Dynamiczny delta hedging portfela

Rozpatrzmy sytuację kiedy dealer, który wystawił instrument pochodny, zamierza całkowicie zabezpieczyć swoją pozycję tworząc portfel replikujący złożony z odpowiedniej pozycji w instrumencie podstawowym i pozycji w instrumencie wolnym od ryzyka (to jest w gotówce na rachunku bankowym oprocentowanym po stopie wolnej od ryzyka), a następnie dynamicznie modyfikować ten portfel w zależności od wartości instrumentu podstawowego. Przypuśćmy, że za wystawienie instrumentu pochodnego dealer otrzymał kwotę V_{0}, delta tego instrumentu (długiej pozycji w tym instrumencie) wynosiła \Delta _{0}, a w momencie wystawienia tego instrumentu wartość jego instrumentu podstawowego wynosiła S_{0}. Portfel replikujący stworzony w chwili wystawienia instrumentu pochodnego jest złożony z

  • \Delta _{0} sztuk instrumentu podstawowego,

  • kwoty B_{0}=V_{0}-\Delta _{0}S_{0} na rachunku bankowym.

Załóżmy, że dealer dokonuje modyfikacji tego portfela w chwili t_{1}, kiedy wartość instrumentu podstawowego wynosi S_{1}, a delta instrumentu pochodnego wynosi \Delta _{1}. W tym momencie portfel replikujący jest złożony z

  • \Delta _{1} sztuk instrumentu podstawowego,

  • kwoty B_{1}=(V_{0}-\Delta _{0}S_{0})\text{e}^{{r(t_{1}-t_{0})}}-(\Delta _{1}-\Delta _{0})S_{1} na rachunku bankowym,

bowiem dealer musiał zmodyfikować pozycje w instrumencie podstawowym o \Delta _{1}-\Delta _{0} sztuk instrumentu podstawowego, finansując to kwotą (\Delta _{1}-\Delta _{0})S_{1} z rachunku bankowego.

Analogicznie, portfel replikujący w chwili t_{n}, kiedy wartość instrumentu podstawowego wynosi S_{n}, a delta instrumentu pochodnego wynosi \Delta _{n}, złożony jest z

  • \Delta _{n} sztuk instrumentu podstawowego,

  • kwoty B_{n}=B_{{n-1}}\text{e}^{{r(t_{n}-t_{{n-1}})}}-(\Delta _{n}-\Delta _{{n-1}})S_{n} na rachunku bankowym.

Powyższa strategia powinna w chwili wygaśnięcia instrumentu pochodnego dać pozycję, która dostatecznie dobrze zreplikuje wypłatę z tego instrumentu – to jak dobrze zależy od częstotliwości z jaką portfel replikujący był modyfikowany. W krańcowym przypadku, kiedy modyfikacje portfela odbywałyby się w sposób ciągły, powinniśmy otrzymać dokładnie wypłatę z tego instrumentu pochodnego.

W praktyce delta hedging odbywa się co jakiś czas (jak jest on długi zależy od sytuacji na rynku – od kilku godzin do tygodnia) i związany jest kosztami transakcyjnymi kupna/sprzedaży instrumentu podstawowego, które wpływają na opłacalność tej strategii zabezpieczającej. Na ogół nie opłaca się prowadzić delta hedgingu dla pojedynczych instrumentów pochodnych, bo w tym przypadku koszty transakcyjne są zwykle znaczne w stosunku do wartości zabezpieczanego instrumentu. Natomiast, delta hedging portfela instrumentów pochodnych (na ten sam instrument podstawowy) o odpowiednio dużej wartości może być opłacalny.

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 10.1

Oblicz delty względem ceny forward dla opcji waniliowych wycenianych w modelu Blacka-Scholesa.

Ćwiczenie 10.2

Oblicz współczynniki wrażliwości dla opcji binarnych wycenianych w modelu Blacka-Scholesa.

Ćwiczenie 10.3

Rozpatrzmy europejską opcję kupna o czasie trwania T=0.25 (3 miesiące). Cena aktywa wynosi S=100 PLN, stopa procentowa r=5\%, stopa dywidendy \delta=3\%, oraz zmienność \sigma=20\%. Niech cena wykonania wynosi K=100 PLN. Oblicz

  • cenę opcji,

  • wartości współczynników wrażliwości tej opcji,

  • przybliżone wartości dziennej zmiany S, \sigma, r, \delta odpowiadające 1.65 odchylenia standardowego tych wielkości – załóż, że zmienność stóp wynosi 24\%, a zmienność zmienności wynosi 16\%,

  • wartości zmiany ceny opcji odpowiadające wyznaczonym powyżej zmianom S, \sigma, r, \delta.

Ćwiczenie 10.4

Rozpatrzmy portfel złożony z następujących opcji na kurs USD/PLN:

  • kupiony 3M call USD/put PLN o wartości nominalnej N_{1}=10 mln USD z ceną wykonania K_{1}=3.30 USD/PLN,

  • sprzedany 1M call USD/put PLN o wartości nominalnej N_{2}=5 mln USD z ceną wykonania K_{2}=3.15 USD/PLN,

  • sprzedany 6M put USD/call PLN o wartości nominalnej N_{3}=5 mln USD z ceną wykonania K_{3}=3.20 USD/PLN

oraz transakcji 3M FX forward na sprzedaż N_{4}=7.5 mln USD po kursie K_{4}=3.25 USD/PLN.

Przy założeniu, że bieżący kurs wynosi S=3.10 USD/PLN, oraz dla

  • 1M: r_{{\text{PLN}}}=6.50\%, r_{{\text{USD}}}=3.00\%, \sigma=12\%,

  • 3M: r_{{\text{PLN}}}=6.00\%, r_{{\text{USD}}}=3.20\%, \sigma=11\%,

  • 6M: r_{{\text{PLN}}}=5.50\%, r_{{\text{USD}}}=3.50\%, \sigma=10\%,

oblicz deltę tego portfela. Jaką transakcję FX spot należy zawrzeć by portfel był delta neutralny?

Ćwiczenie 10.5

Rozpatrzmy delta neutralny portfel, którego gamma wynosi - 2000 a vega -4000. Na rynku w płynnym obrocie znajdują się opcje:

  • jedna o delcie 0.6, gammie 0.5, i vedze 2.0,

  • druga o delcie 0.4, gammie 0.8, i vedze 1.5.

Zabezpiecz ten portfel tak, by był on

  • (a) delta-vega neutralny,

  • (b) delta-gamma-vega neutralny.

Oczywiście zakładamy, że portfel oraz opcje zależą od tego samego instrumentu podstawowego.

Ćwiczenie 10.6

Zakładając, że funkcja wyceniająca instrument pochodny spełnia równanie Blacka-Scholesa (10.15), wyprowadź równanie na vegę \mathcal{V} tego instrumentu pochodnego.

Ćwiczenie 10.7

Rozpatrzmy 3M opcję kupna na akcje spółki wuwu.com z ceną wykonania K=103.37 PLN. Bieżąca cena akcji wynosi 100, a jej zmienność 36.47%. Wolna od ryzyka stopa procentowa dla 3M lokat/depozytów wynosi 6.67%. Zakładamy, że spółka nie płaci dywidendy w czasie trwania opcji. Jaką pozycję w akcjach tej spółki należy utworzyć by portfel złożony z tej pozycji oraz z 10-ciu wystawionych opcji kupna był delta neutralny? Jaką sumę pieniędzy należy pożyczyć by sfinansować ten portfel?

Ćwiczenie 10.8

Udowodnij, że dowolny delta neutralny portfel złożony z

  • wystawionych opcji waniliowych (na ten sam instrument podstawowy),

  • odpowiedniej pozycji zabezpieczającej w instrumencie podstawowym,

  • pozycji gotówkowej finansującej ten portfel,

zyskuje na wartości z upływem czasu przy niezmienionych cenie i zmienności instrumentu podstawowego oraz przy niezmienionej stopie procentowej.

Ćwiczenie 10.9 (Nieefektywność strategii stop-loss dla opcji kupna)

Rozpatrzmy sytuację kiedy dealer, który wystawił opcję kupna akcji po cenie K i zamierza zabezpieczać swoją pozycję kupując akcję po cenie K jak tylko cena akcji przekroczy wartość K i sprzedawać akcję po cenie K jak tylko cena akcji spadnie poniżej K. Dlaczego ta strategia nie może działać?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.