Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Inżynieria finansowa – 6. Kontrakty opcyjne – MIM UW

Zagadnienia

6. Kontrakty opcyjne

6.1. Kontrakty opcyjne

Kontrakt opcyjny (krótko: opcja) to umowa na podstawie której

  • jedna strona umowy (posiadacz opcji) nabywa prawo do zrealizowania opisanej umową transakcji lub do otrzymania określonej wypłaty, zaś

  • druga strona (wystawca opcji, sprzedawca opcji) zobowiązuje się być stroną tej transakcji lub, odpowiednio, wypłacić posiadaczowi określoną kwotę.

Posiadacz kontraktu (który zajmuje tzw. długą pozycję) będzie realizował kontrakt tylko wtedy, gdy jest to dla niego korzystne lub otrzyma od wystawcy odpowiednią wypłatę jeśli tylko wypłata ta jest dodatnią wartością. Z tego względu strony kontraktu opcyjnego nie są ,,symetryczne”, w tym sensie, że posiadacz opcji w chwili realizacji opcji z pewnością nie poniesie straty, a wystawca opcji z pewnością nie będzie miał zysku. Z tego powodu wystawca opcji otrzymuje od nabywcy opcji tzw. premię, czyli opłatę, która ma zrekompensować wystawcy jego potencjalnie gorszą sytuację.

Dwa podstawowe problemy związane z kontraktami opcyjnymi są następujące:

  • jaka jest ,,sprawiedliwa” wartość opcji, w szczególności ile powinna wynosić premia opcji,

  • jak wystawca może zabezpieczać swoją pozycję wynikającą ze sprzedanej opcji.

Umowa opcji określa

  • termin wygaśnięcia opcji T,

  • rodzaj transakcji, która będzie wykonywana w przypadku realizacji opcji, lub formułę, według której oblicza się wypłatę opcji; w szczególności wyspecyfikowany jest tzw. instrument podstawowy (ang. underlying) od wartości którego zależy wartość transakcji lub wypłaty opcji,

  • termin lub terminy w których opcja może być realizowana.

Ze względu na instrument podstawowy opcji wyróżniamy w szczególności

  • opcje na akcje,

  • opcje na indeks (giełdowy),

  • opcje walutowe (FX options, currency options) – instrumentem podstawowym jest kurs walutowy,

  • opcje na obligacje (bond options),

  • opcje na kontrakty Futures (Futures options),

  • opcje na stopy procentowe, a wśród nich

    • opcje na poziom stopy procentowej – cap (seria caplet-ów, tj. pojedynczych opcji na górny poziom stopy procentowej) oraz floor (seria floorlet-ów, tj. pojedynczych opcji na dolny poziom stopy procentowej),

    • opcje na kontrakt IRS – swapcje (swaptions).

Ze względu na terminy realizacji opcji wyróżniamy

  • opcje europejskie – realizacja opcji może nastąpić tylko w terminie wygaśnięcia opcji,

  • opcje amerykańskie – realizacja opcji może nastąpić w dowolnym momencie przed terminem wygaśnięcia lub w terminie wygaśnięcia opcji,

  • opcje bermudzkie – realizacja opcji może nastąpić w kilku ustalonych chwilach czasu w trakcie trwania opcji.

Niech

  • V^{{\text{e}}} oznacza premię (wartość) opcji europejskiej,

  • V^{{\text{a}}} oznacza premię (wartość) opcji amerykańskiej,

  • V^{{\text{b}}} oznacza premię (wartość) opcji bermudzkiej.

Wówczas, dla opcji o tym samym terminie wygaśnięcia i o takim samym profilu wypłaty zachodzi

0\leq V^{{\text{e}}}\leq V^{{\text{b}}}\leq V^{{\text{a}}}.

6.2. Opcje waniliowe

Opcja waniliowa (ang. plain vanilla option) jest kontraktem opcyjnym, w którym przedmiotem umowy opcji jest transakcja kupna/sprzedaży pewnego aktywa (instrumentu podstawowego) po ustalonej umową cenie wykonania K:

  • opcja kupna (ang. call) – posiadacz opcji ma prawo do kupna aktywa po cenie K,

  • opcja sprzedaży (ang. put) – posiadacz opcji ma prawo do sprzedaży aktywa po cenie K.

Wówczas, wartości tych opcji w chwili ich realizacji t, od strony posiadacza opcji, wynoszą odpowiednio

  • dla opcji kupna: \max(S_{t}-K,0),

  • dla opcji sprzedaży: \max(K-S_{t},0),

gdzie S_{t} jest ceną aktywa w chwili realizacji opcji.

6.3. Opcje egzotyczne

Modyfikacje opcji waniliowych doprowadziły do skonstruowania szeregu kontraktów opcyjnych o specyficznych właściwościach – opcji egzotycznych (ang. exotic options). Najważniejsze z nich to

  • opcje azjatyckie – opcje w których zamiast ceny S_{t} aktywa w chwili realizacji t opcji do wyznaczenia kwoty wypłaty (rozliczenia) brana jest \bar{S}_{t} – pewna średnia wartość cen aktywa, na przykład:

    • dyskretna średnia arytmetyczna: \bar{S}_{t}=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}S_{{t_{i}}}, gdzie t_{1}<t_{2},\ldots,<t_{n}\leq t są ustalonymi chwilami czasu w których obserwowana jest wartość instrumentu podstawowego (przypadek najczęściej występujący w praktyce),

    • ciągła średnia arytmetyczna: \bar{S}_{t}=\frac{1}{t-t_{1}}\int _{{t_{1}}}^{t}S_{\tau}\, d\tau – graniczny przypadek dyskretnej średniej arytmetycznej,

    • dyskretna średnia geometryczna: \bar{S}_{t}=\left(\prod _{{i=1}}^{n}S_{{t_{i}}}\right)^{{1/n}} (ma bardziej znaczenie teoretyczne niż praktyczne),

    • ciągła średnia geometryczna: \bar{S}_{t}=\exp\left(\frac{1}{t-t_{1}}\int _{{t_{1}}}^{t}\ln S_{\tau}d\tau\right).

  • opcje lookback – opcje w których zamiast ceny S_{t} aktywa w chwili realizacji t opcji do wyznaczenia kwoty rozliczenia brana jest wartość \max\{ S_{t}:t\in[t_{1},t]\} lub \min\{ S_{t}:t\in[t_{1},t]\}, przy czym podobnie jak dla opcji azjatyckich możemy mieć warianty ciągłe i dyskretne.

  • opcje barierowe – opcje waniliowe z dodatkowym warunkiem uzależniającym wypłatę od tego czy w ustalonym przedziale czasu (zwykle w trakcie całego czasu trwania opcji) cena instrumentu podstawowego ,,dotknie” ustalonej w kontrakcie bariery H; opcje te występują w dwóch (komplementarnych) rodzajach:

    • opcje deaktywujące (ang. knock-out option) – dotknięcie bariery wygasza opcję waniliową,

    • opcje aktywujące (ang. knock-in option) – dotknięcie bariery powoduje uaktywnienie opcji waniliowej,

  • opcje binarne typu Cash-or-Nothing – opcje, których wypłata wynosi

    • dla opcji kupna: \mathcal{H}(S_{t}-K),

    • dla opcji sprzedaży: \mathcal{H}(K-S_{t}),

    gdzie \mathcal{H} jest funkcją Heaviside'a.

  • opcje binarne typu Asset-or-Nothing – opcje, których wypłata wynosi

    • dla opcji kupna: S_{t}\mathcal{H}(S_{t}-K),

    • dla opcji sprzedaży: S_{t}\mathcal{H}(K-S_{t}).

  • jest jeszcze wiele innych rodzajów opcji egzotycznych – patrz np. podręcznik Hull'a.

6.4. Własności opcji waniliowych

Wprowadźmy następującą notację:

  • C_{t} – wartość opcji kupna (call) w chwili t,

  • P_{t} – wartość opcji sprzedaży (put) w chwili t,

przy czym t=0 jest momentem zawarcia opcji.

Typ wykonania opcji będziemy zaznaczać odpowiednim górnym indeksem: e – dla opcji europejskiej, a – dla opcji amerykańskiej, b – dla opcji bermudzkiej.

Zauważmy, że wartości opcji waniliowych spełniają następujące oczywiste ograniczenia:

\begin{split} 0&\leq C_{0}^{{\text{e}}}\leq C_{0}^{{\text{b}}}\leq C_{0}^{{\text{a}}}\leq S_{0}\\
0&\leq P_{0}^{{\text{e}}}\leq P_{0}^{{\text{b}}}\leq P_{0}^{{\text{a}}}\leq K,\end{split}

przy czym dla europejskiej opcji sprzedaży mamy lepsze oszacowanie

0\leq P_{0}^{{\text{e}}}\leq{DF}(0,T)K,

gdzie {DF}(0,T) jest czynnikiem dyskontowym dla waluty w której wyrażona jest cena aktywa (i cena wykonania K), który odpowiada wolnej od ryzyka stopy procentowej (tj. odzwierciedlającej czysty koszt pieniądza w czasie).

6.5. Parytet opcji kupna/sprzedaży

\blacktriangleright Parytet dla opcji europejskich których instrument podstawowy nie przynosi dochodu

Twierdzenie 6.1

Wartości europejskich opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji nie przynosi dochodu, spełniają następujący związek, zwany parytetem opcji kupna/sprzedaży,

C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}=S_{0}-{DF}(0,T)K. (6.1)

Rozpatrzmy następującą strategię (portfel):

  • kupno opcji kupna z ceną wykonania K,

  • sprzedaż opcji sprzedaży z ceną wykonania K,

  • lokata kwoty {DF}(0,T)K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka.

Koszt tej strategii w chwili jej zawiązania (w t=0) wynosi

C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}+{DF}(0,T)K.

Natomiast w chwili T wynik naszej strategii będzie następujący:

(a) w przypadku gdy S_{T}\geq K:

  • z kupionej opcji kupna: S_{T}-K

  • ze sprzedanej opcji sprzedaży: 0

  • zwrot z lokaty: K

razem otrzymamy S_{T};

b) w przypadku gdy S_{T}<K:

  • z kupionej opcji kupna: 0

  • ze sprzedanej opcji sprzedaży: -(K-S_{T})

  • zwrot z lokaty: K

razem znów otrzymamy S_{T}.

Tak więc, niezależnie od sytuacji na rynku, w chwili T nasza strategia przyniesie dochód równy S_{T}. Aby nie było możliwości do przeprowadzenia arbitrażu początkowy koszt tej strategii musi być równy cenie aktywa w chwili początkowej, czyli musi zachodzić

C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}+{DF}(0,T)K=S_{0},

co kończy uzasadnienie.

\blacktriangleright Parytet dla opcji europejskich których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód.

Twierdzenie 6.2

Parytet opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji przynosi dochód C(t_{i}) płatny w kilku ustalonych chwilach czasu t_{i}<T, i=1,\ldots,n, ma następującą postać

C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}=S_{0}-D_{0}-{DF}(0,T)K, (6.2)

gdzie D_{0}=\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(0,t_{i})C(t_{i}) jest wartością bieżącą strumienia dochodów generowanych przez aktywo w trakcie trwania opcji.

Patrz Ćwiczenia – Zadanie 6.1.

\blacktriangleright Parytet dla opcji europejskich których instrument podstawowy daje ,,ciągły” dochód.

Twierdzenie 6.3

Parytet opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji przynosi dochód płatny w sposób ciągły ze stopą q, ma następującą postać

C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}=\text{e}^{{-q\Delta(0,T)}}S_{0}-{DF}(0,T)K. (6.3)
Stwierdzenie 6.1

W przypadku opcji amerykańskich różnicę wartości opcji kupna i opcji sprzedaży możemy jedynie oszacować w następujący sposób:

S_{0}-D_{0}-K\leq C_{0}^{{\text{a}}}-P_{0}^{{\text{a}}}\leq S_{0}-{DF}(0,T)K, (6.4)

gdy instrument podstawowy generuje ,,dyskretne” dochody i wtedy D_{0} jest wartością bieżącą tych dochodów (patrz Ćwiczenia – Zadanie 6.2). Gdy aktywo generuje ,,ciągły” strumień dochodu płatny ze stopą q, oszacowanie to przyjmuje następującą postać

S_{0}\text{e}^{{-q\Delta(0,T)}}-K\leq C_{0}^{{\text{a}}}-P_{0}^{{\text{a}}}\leq S_{0}-{DF}(0,T)K. (6.5)
Uwaga 6.1

Nierówności (6.4) i (6.5) są prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że struktura stóp procentowych wolnych od ryzyka jest płaska i nie zmienia się w czasie trwania opcji.

6.6. Ograniczenia na wartość opcji

W poniższym Twierdzeniu zebrane są nierówności na wartość opcji których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód.

Twierdzenie 6.4

Wartości opcji spełniają następujące nierówności:

Dla opcji europejskich

\max(S_{0}-D_{0}-{DF}(0,T)K,0)\leq C^{{\text{e}}}_{0}\leq S_{0}, (6.6)
\max({DF}(0,T)K-(S_{0}-D_{0}),0)\leq P^{{\text{e}}}_{0}\leq{DF}(0,T)K. (6.7)

Dla opcji amerykańskich

\max(S_{0}-K,S_{0}-D_{0}-{DF}(0,T)K,0)\leq C^{{\text{a}}}_{0}\leq S_{0}, (6.8)
\max(K-S_{0},{DF}(0,T)K-(S_{0}-D_{0}),0)\leq P^{{\text{a}}}_{0}\leq K. (6.9)

Nierówności (6.6), (6.7) dla opcji europejskich wynikają z nieujemności wartości opcji i parytetu opcji kupna/sprzedaży (6.2). Ograniczenia dolne w (6.8), (6.9) dla opcji amerykańskich wynikają w części z odpowiednich nierówności dla opcji europejskich i relacji między wartością opcji amerykańskiej a wartością opcji europejskiej, oraz w pozostałej części z charakteru tych opcji (opcje amerykańskie można w każdej chwili wykonać).

6.7. Wczesne wykonanie w opcjach amerykańskich

Twierdzenie 6.5

Jeżeli aktywo, które jest instrumentem podstawowym waniliowej opcji amerykańskiej, nie daje dochodu w trakcie trwania opcji, to wczesne wykonanie opcji kupna nie jest optymalne.

Rozważmy dwie strategie w chwili t:

  • Wczesne wykonanie opcji

  • Trzymanie opcji do terminu zapadnięcia opcji

Zbadamy jaki jest rezultat obu strategii w T (w chwili wygaśnięcia opcji).

Aby przeprowadzić wczesne wykonanie opcji, pożyczamy kwotę K i za te pieniądze kupujemy aktywo. W chwili T mamy aktywo warte S_{T} oraz zobowiązanie (dług) w kwocie {DF}(t,T)^{{-1}}K, czyli ta strategia ma wartość

S_{T}-{DF}(t,T)^{{-1}}K.

Trzymanie opcji do chwili T: wartość opcji w chwili T wynosi

\max(S_{T}-K,0).

Przy założeniu, że stopy procentowe są dodatnie, czyli gdy {DF}(t,T)^{{-1}}>1, mamy

S_{T}-{DF}(t,T)^{{-1}}K<S_{T}-K\leq\max(S_{T}-K,0),

co oznacza iż bardziej opłaca się trzymać taką opcję do terminu wygaśnięcia opcji niż skorzystać możliwości wczesnego wykonania opcji.

Wniosek 6.1

Jeżeli aktywo nie daje dochodu w trakcie trwania opcji, to amerykańska opcja kupna jest równoważna europejskiej opcji kupna i wartości tych opcji są takie same.

Uwaga 6.2

Dla amerykańskiej opcji kupna zachodzi następujące oszacowanie

C^{{\text{a}}}_{t}>S_{t}-K,

gdzie t jest dowolną chwilą czasu w trakcie trwania opcji. Warunek ten oznacza, że chcąc zrealizować wynik na inwestycji w opcję w chwili t przed terminem wykupu, bardziej opłaca się sprzedać posiadaną opcję niż ją wykonać i natychmiast sprzedać aktywo po cenie S_{t}.

Uwaga 6.3

Gdy instrument podstawowy generuje dochód w trakcie trwania opcji amerykańskiej wcześniejsze wykonanie opcji może być korzystne. Na przykład rozpatrzmy amerykańską opcję kupna na akcję, która płaci dywidendę. Niech cena wykonania wynosi K=100. Przypuśćmy, że akcja, która kosztuje S=105, wypłaci dywidendę w wysokości D=10 w chwili dostatecznie bliskiej terminowi wygaśnięcia opcji. Przed wypłatą dywidendy opcję możemy zrealizować z zyskiem. Natomiast po wypłacie dywidendy, kiedy cena akcji spadnie do 95, opcja staje się bezwartościowa.

Uwaga 6.4

W przypadku amerykańskiej opcji sprzedaży wcześniejsze wykonanie opcji, nawet dla instrumentów, które nie generują dochodu w trakcie trwania opcji, może być opłacalne. Na przykład, tak będzie gdy {DF}(0,T)^{{-1}}(K-S)>K (dlaczego?).

6.8. Zależność wartości opcji europejskiej od ceny wykonania

Mamy następujące

Twierdzenie 6.6

Rozpatrzmy opcje europejskie na ten sam instrument podstawowy o ustalonym czasie trwania T. Niech C^{{\text{e}}}(K) (P^{{\text{e}}}(K)) oznacza cenę opcji kupna (sprzedaży) przy cenie wykonania K dla ustalonej wartości instrumentu podstawowego.

  • (a) Funkcja K\rightarrow C^{{\text{e}}}(K)

    • jest malejąca,

    • spełnia warunek Lipschitza ze stałą {DF}(0,T),

    • jest wypukła.

  • (b) Funkcja K\rightarrow P^{{\text{e}}}(K)

    • jest rosnąca,

    • spełnia warunek Lipschitza ze stałą {DF}(0,T),

    • jest wypukła.

Niech K_{1}<K_{2}. Mamy udowodnić, że wówczas

C^{{\text{e}}}(K_{1})>C^{{\text{e}}}(K_{2}), (6.10)
P^{{\text{e}}}(K_{1})<P^{{\text{e}}}(K_{2}).

Rozpatrzmy przypadek opcji kupna. Przypuśćmy, że nierówność (6.10a) nie zachodzi, czyli, że C^{{\text{e}}}(K_{1})\leq C^{{\text{e}}}(K_{2}). W tej sytuacji przeprowadzamy następujące transakcje:

  • sprzedajemy opcję kupna z ceną wykonania K_{2},

  • kupujemy opcję kupna z ceną wykonania K_{1}.

Różnicę C^{{\text{e}}}(K_{2})-C^{{\text{e}}}(K_{1})\geq 0 lokujemy na rachunku bankowym. Ponadto, w chwili wygaśnięcia opcji mamy następujące możliwości:

  • (i) S_{T}<K_{1}<K_{2} – obie opcje są bezwartościowe,

  • (ii) K_{1}\leq S_{T}\leq K_{2} – opcja sprzedana jest bezwartościowa, a z kupionej opcji realizujemy zysk S_{T}-K_{1}\geq 0,

  • (iii) K_{1}<K_{2}<S_{T} – na sprzedanej opcji mamy stratę S_{T}-K_{2}, na kupionej zysk S_{T}-K_{1}, czyli w sumie mamy zysk K_{2}-K_{1}>0.

Tak więc z dodatnim prawdopodobieństwem ta strategia daje zysk. Zatem jest to strategia arbitrażowa, a to oznacza że musi zachodzić (6.10a).

Analogiczny dowód przeprowadzamy dla opcji sprzedaży.

Korzystając z parytetu opcji kupna/sprzedaży raz dla opcji z ceną wykonania K_{1}, a drugi raz dla opcji z ceną wykonania K_{2}, otrzymamy

\big(C^{{\text{e}}}(K_{1})-C^{{\text{e}}}(K_{2})\big)+\big(P^{{\text{e}}}(K_{2})-P^{{\text{e}}}(K_{1})\big)={DF}(0,T)(K_{2}-K_{1}). (6.11)

Z (6.11) oraz z monotoniczności funkcji K\rightarrow C^{{\text{e}}}(K) i K\rightarrow P^{{\text{e}}}(K) wynika iż funkcje te spełniają warunek Lipschitza ze stałą równą {DF}(0,T).

Wypukłość funkcji K\rightarrow C^{{\text{e}}}(K) oznacza że dla każdych K_{1}<K_{2} oraz każdego \alpha\in(0,1) zachodzi

C^{{\text{e}}}(\alpha K_{1}+(1-\alpha)K_{2})\leq\alpha C^{{\text{e}}}(K_{1})+(1-\alpha)C^{{\text{e}}}(K_{2}). (6.12)

Przypuśćmy, że (6.12) nie zachodzi. Wówczas, dla pewnych K_{1}<K_{2}, \alpha\in(0,1), oraz dla K=\alpha K_{1}+(1-\alpha)K_{2} mamy nierówność

C^{{\text{e}}}(K)>\alpha C^{{\text{e}}}(K_{1})+(1-\alpha)C^{{\text{e}}}(K_{2}). (6.13)

Wtedy następująca strategia:

  • sprzedajemy opcję kupna z ceną wykonania K,

  • kupujemy \alpha opcji kupna z ceną wykonania K_{1},

  • kupujemy (1-\alpha) opcji kupna z ceną wykonania K_{2},

jest strategią arbitrażową (Zadanie na Ćwiczenia).

Wypukłość funkcji K\rightarrow P^{{\text{e}}}(K) wynika z wypukłości funkcji K\rightarrow C^{{\text{e}}}(K) i parytetu opcji kupna/sprzedaży.

Uwaga 6.5

Monotoniczność funkcji C^{{\text{e}}}(K) i P^{{\text{e}}}(K) można również uzasadnić racjonalnie w następujący sposób. Na przykład w przypadku opcji kupna, wraz ze wzrostem ceny wykonania K maleją: (a) prawdopodobieństwo tego, że w chwili wygaśnięcia opcji S_{T}>K, oraz (b) wartość wypłaty opcji.

6.9. Zależność wartości opcji europejskiej od ceny instrumentu podstawowego

Twierdzenie 6.7

Rozpatrzmy opcje europejskie na ten sam instrument podstawowy o ustalonym czasie trwania T i ustalonej cenie wykonania K. Niech teraz C^{{\text{e}}}(S) (P^{{\text{e}}}(S)) oznacza cenę opcji kupna (sprzedaży) przy bieżącej cenie instrumentu podstawowego S.

  • (a) Funkcja S\rightarrow C^{{\text{e}}}(S)

    • jest rosnąca,

    • spełnia warunek Lipschitza ze stała równą L,

    • jest wypukła.

  • (b) Funkcja S\rightarrow P^{{\text{e}}}(S)

  • jest malejąca,

  • spełnia warunek Lipschitza ze stała równą L,

  • jest wypukła,

gdzie L=\text{e}^{{-q\cdot\Delta(0,t)}} dla opcji na instrument podstawowy, który generuje ciągły dochód ze stopą q, lub L=1 w pozostałych przypadkach.

Dowód tego twierdzenia przebiega w sposób podobny do dowodu przeprowadzonego w przypadku poprzedniego twierdzenia. Jednakże, aby móc przeprowadzić analogiczne rozumowania arbitrażowe musimy wprowadzić instrumenty podstawowe, które, poza tym że różnią się bieżącymi cenami, są identyczne z instrumentem podstawowym. Na przykład, w dowodzie monotoniczności zakładamy, że mamy dwa instrumenty podstawowe, jeden o cenie bieżącej S_{1} i drugi identyczny ale o cenie bieżącej S_{2}.

Można pokazać, że własności opcji europejskich opisane w Twierdzeniach 6.6 i 6.7 zachodzą również w przypadku opcji amerykańskich, przy czym warunki Lipschitza sformułowane w tych twierdzeniach zachodzą jedynie ze stałymi L=1. Jednakże, dowody tych twierdzeń dla opcji amerykańskich są bardziej skomplikowane.

6.10. Wartość czasowa opcji

Wartość wewnętrzna opcji waniliowej w chwili t<T, gdzie T jest terminem wygaśnięcia opcji, to

  • dla opcji kupna wielkość \max(S_{t}-K,0),

  • dla opcji sprzedaży wielkość \max(K-S_{t},0).

Wartość czasowa opcji waniliowej w chwili t<T, gdzie T jest terminem wygaśnięcia opcji, to różnica między wartością opcji w chwili t a jej wartością wewnętrzną, czyli

  • dla opcji kupna: C_{t}-\max(S_{t}-K,0),

  • dla opcji sprzedaży: P_{t}-\max(K-S_{t},0).

Terminologia

Opcja kupna jest w chwili t

  • w cenie (ang. in the money, ITM), jeżeli S_{t}>K,

  • po cenie (ang. at the money, ATM), jeżeli S_{t}=K,

  • poza ceną (ang. out of the money, OTM), jeżeli S_{t}<K.

Opcja sprzedaży jest w chwili t

  • w cenie (ang. in the money, ITM), jeżeli S_{t}<K,

  • po cenie (ang. at the money, ATM), jeżeli S_{t}=K,

  • poza ceną (ang. out of the money, OTM), jeżeli S_{t}>K.

Wartość czasowa europejskiej opcji kupna na aktywo nie dające dochodu:

  • Dla opcji poza ceną, to znaczy gdy S_{t}<K, wartość czasowa jest równa wartości opcji.

  • Dla opcji w cenie, to znaczy gdy S_{t}>K, wartość czasowa jest większa niż K-{DF}(t,T)K>0, bowiem jak wynika z Twierdzenia 6.4,

    C(S_{t})-(S_{t}-K)\geq K-{DF}(t,T)K.

Wartość czasowa europejskiej opcji sprzedaży na aktywo nie dające dochodu:

  • Dla opcji poza ceną, to znaczy gdy S_{t}>K, wartość czasowa jest równa wartości opcji.

  • Dla opcji w cenie, to znaczy gdy S_{t}<K, wartość czasowa opcji może być ujemna. Jeśli cena bieżąca S_{t} jest dostatecznie mała to, jak wynika z Twierdzenia 6.4

    P(S_{t})-(K-S_{t})\leq({DF}(t,T)-1)K+S_{t}<0.
Twierdzenie 6.8

Wartość czasowa opcji w chwili jest największa dla opcji po cenie, to znaczy gdy S_{t}=K.

Rozpatrzmy przypadek opcji kupna. Na przedziale [0,K] wartość wewnętrzna opcji kupna jest zerowa i wartość czasowa opcji pokrywa się z wartością opcji. Ponieważ wartość opcji kupna jest funkcją rosnącą ceny instrumentu podstawowego to wartość czasowa opcji dla [0,K] będzie największa dla S_{t}=K.

Teraz wystarczy udowodnić, że na przedziale [K,\infty) wartość czasowa opcji kupna jest funkcją malejącą ceny instrumentu podstawowego. Niech S_{t}^{{(1)}}<S_{t}^{{(2)}}. Wówczas, na mocy Twierdzenia 6.7

C(S_{t}^{{(2)}})-C(S_{t}^{{(1)}})<S_{t}^{{(2)}}-S_{t}^{{(1)}}.

Stąd po przekształceniach otrzymujemy

C(S_{t}^{{(2)}})-(S_{t}^{{(2)}}-K)<C(S_{t}^{{(1)}})-(S_{t}^{{(1)}}-K),

co oznacza, że [K,\infty)\ni S_{t}\rightarrow C(S_{t})-\max(S_{t}-K,0) jest malejąca.

W przypadku opcji sprzedaży dowód jest analogiczny.

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Udowodnij równość (6.2) (parytet kupna/sprzedaży opcji, których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód). W tym celu:

  • (a) Przypuśćmy, że C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}-S_{0}+D_{0}+{DF}(0,T)K>0. Pokaż, że strategia

    • kupno opcji sprzedaży,

    • kupno instrumentu podstawowego,

    • sprzedaż opcji kupna,

    • pożyczka kwoty {DF}(0,T)K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,

    • pożyczka kwoty {DF}(0,t_{i})C(t_{i}) na okres kończący się w t_{i} opcji po stopie wolnej od ryzyka (dla każdego i=1,\ldots,n),

    zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.

  • (b) Przypuśćmy, że C_{0}^{{\text{e}}}-P_{0}^{{\text{e}}}-S_{0}+D_{0}+{DF}(0,T)K<0. Pokaż, że strategia

    • sprzedaż opcji sprzedaży,

    • krótka sprzedaż instrumentu podstawowego,

    • kupno opcji kupna,

    • ulokowanie kwoty {DF}(0,T)K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,

    • ulokowanie kwoty {DF}(0,t_{i})C(t_{i}) na okres kończący się w t_{i} opcji po stopie wolnej od ryzyka (dla każdego i=1,\ldots,n),

    zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.

Ćwiczenie 6.2

Udowodnij nierówności (6.8) w przypadku gdy instrument podstawowy nie przynosi dochodu w trakcie trwania opcji, oraz gdy struktura stóp procentowych wolnych od ryzyka jest płaska i nie zmienia się w czasie trwania opcji:

  • (a) Przypuśćmy, że C_{0}^{{\text{a}}}-P_{0}^{{\text{a}}}-S_{0}+{DF}(0,T)K>0. Pokaż, że strategia

    • kupno opcji sprzedaży,

    • kupno instrumentu podstawowego,

    • sprzedaż opcji kupna,

    • pożyczka kwoty {DF}(0,T)K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,

    zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.

  • (b) Przypuśćmy, że C_{0}^{{\text{a}}}-P_{0}^{{\text{a}}}-S_{0}+K<0. Pokaż, że strategia

    • sprzedaż opcji sprzedaży,

    • krótka sprzedaż instrumentu podstawowego,

    • kupno opcji kupna,

    • ulokowanie kwoty K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,

    zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.

Ćwiczenie 6.3

Dokończyć dowód wypukłości funkcji K\rightarrow C^{{\text{e}}}(K) (patrz Twierdzenie 6.6).

Ćwiczenie 6.4

Przeprowadź dowód Twierdzenia 6.8 w przypadku opcji sprzedaży.

Ćwiczenie 6.5 (Delty europejskich opcji waniliowych)

Załóżmy, że funkcje S\rightarrow C^{{\text{e}}}(S) i S\rightarrow P^{{\text{e}}}(S) są różniczkowalne. Pierwsze pochodne tych funkcji, tzw. ,,delty” opcji

\Delta _{C}=\frac{\partial C^{{\text{e}}}}{\partial S}\quad\text{ oraz}\quad\Delta _{P}=\frac{\partial P^{{\text{e}}}}{\partial S}

są podstawowymi współczynnikami wrażliwości, które określają ,,ryzyko” opcji (portfeli opcji). Pokaż, że

  • \Delta _{C}-\Delta _{P}=\text{e}^{{-q\cdot\Delta(0,T)}},

  • 0\leq\Delta _{C}\leq\text{e}^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}\leq 1,

  • -1\leq-\text{e}^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}\leq\Delta _{P}\leq 0.

Ćwiczenie 6.6 (Gamma europejskich opcji waniliowych)

Załóżmy, że funkcje S\rightarrow C^{{\text{e}}}(S) i S\rightarrow P^{{\text{e}}}(S) są dwukrotnie różniczkowalne. Drugie pochodne tych funkcji, tzw. ,,gammy” opcji

\Gamma _{C}=\frac{\partial^{2}C^{{\text{e}}}}{\partial S^{2}}\quad\text{ oraz}\quad\Gamma _{P}=\frac{\partial^{2}P^{{\text{e}}}}{\partial S^{2}}

są współczynnikami wrażliwości drugiego rzędu, które określają wrażliwość ,,delt” opcji (delt portfela opcji) na zmianę ceny instrumentu podstawowego. Pokaż, że \Gamma _{C}=\Gamma _{P}\geq 0.

Ćwiczenie 6.7 (Vega europejskich opcji waniliowych)

Wartość opcji zależy również od wielkości \sigma, która określa poziom zmienności ceny instrumentu podstawowego. Załóżmy, że funkcje \sigma\rightarrow C^{{\text{e}}}(\sigma) i \sigma\rightarrow P^{{\text{e}}}(\sigma) są różniczkowalne. Pochodne tych funkcji, tzw. ,,vegi” opcji

\text{Vega}_{C}=\frac{\partial C^{{\text{e}}}}{\partial\sigma}\quad\text{ oraz}\quad\text{Vega}_{P}=\frac{\partial P^{{\text{e}}}}{\partial\sigma}

są współczynnikami wrażliwości, które określają wrażliwość wartości opcji (portfela opcji) na zmianę zmienności ceny instrumentu podstawowego. Pokaż, że \text{Vega}_{C}=\text{Vega}_{P} i uzasadnij dlaczego \text{Vega}>0.

Ćwiczenie 6.8 (Europejskie opcje binarne typu Cash-or-Nothing)
  • (a) Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji binarnych typu Cash-or-Nothing.

  • (b) Call spread. Statyczna replikacja opcji binarnej kupna typu Cash-or-Nothing, która daje wypłatę jeśli cena instrumentu podstawowego jest ostro większa niż cena wykonania K. Pokaż, że strategia złożona opcji waniliowych o czasie trwania identycznym jak opcja binarna typu Cash-or-Nothing, kupionej z ceną wykonania K i sprzedanej z ceną wykonania K+\epsilon o wartościach nominalnych 1/\epsilon (sztuk instrumentu podstawowego) ma wypłatę która w przybliżeniu pokrywa się z wypłatą opcji binarnej kupna dla dostatecznie małej wartości \epsilon. Wówczas z prawa jednej ceny wynika, że

    \text{binary call}\simeq\frac{C^{{\text{e}}}(K)-C^{{\text{e}}}(K+\epsilon)}{\epsilon}.

    Uwaga: W praktyce \epsilon musi być co najmniej tak małe jak minimalna wielkość zmiany ceny instrumentu podstawowego.

  • (c) Jak wygląda replikacja opcji binarnej kupna typu Cash-or-Nothing, jeśli wypłata następuje gdy cena instrumentu podstawowego jest większa lub równa cenie wykonania K?

W praktyce rynkowej opcję typu Cash-or-Nothing wycenia się z call spreadu.

Ćwiczenie 6.9 (Europejskie opcje binarne typu Asset-or-Nothing)
  • (a) Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji binarnych typu Asset-or-Nothing.

  • (b) Przestaw opcję waniliową jako portfel złożony z opcji binarnej typu Cash-or-Nothing oraz binarnej typu Asset-or-Nothing o odpowiednich nominałach.

  • (c) Korzystając z (b) sformułuj związek pomiędzy ceną opcji waniliowej a cenami opcji binarnych typu Cash-or-Nothing oraz typu Asset-or-Nothing.

W praktyce rynkowej opcję Asset-or-Nothing wycenia się za pomocą związku opisanego w (c) powyżej, w którym opcja Cash-or-Nothing jest wyceniana z call spreadu (patrz Zadanie 6.8).

Ćwiczenie 6.10 (Strategia motyla (Butterfly strategy))

Strategia motyla to portfel europejskich opcji waniliowych o następującym składzie:

  • dwóch kupionych opcji o cenach wykonania K-\vartriangle K oraz K+\vartriangle K odpowiednio,

  • dwóch sprzedanych opcji o cenie wykonania K.

Wykreśl profil wypłaty tej strategii. W jaki sposób zbudować tę strategię korzystając z opcji sprzedaży?

Uwaga: Niech \alpha\in(0,1) oraz K=\alpha K_{1}+(1-\alpha)K_{2} gdzie K_{1}<K_{2} są ustalonymi cenami wykonania. Strategia motyla jest szczególnym przypadkiem strategii polegającej na kupnie \alpha sztuk opcji z ceną wykonania K_{1}, kupnie 1-\alpha sztuk opcji z ceną wykonania K_{2}, oraz sprzedaży jednej opcji z ceną wykonania K, wszystkie o tym samym terminie wykonania. Strategię tego typu można wykorzystać w dowodzie wypukłości ceny opcji względem ceny wykonania.

Ćwiczenie 6.11 (Risk reversal strategy)

Strategia risk reversal to portfel europejskich opcji waniliowych o następującym składzie:

  • sprzedanej (kupionej) opcji sprzedaży z ceną wykonania K_{1},

  • kupionej (sprzedanej) opcji kupna z ceną wykonania K_{2},

gdzie K_{1}<K_{2}. Na rynku OTC opcji walutowych, to jest opcji, których instrumentem podstawowym jest kurs wymiany walut, kwotuje się strategie risk reversal, w których obie opcje mają taką samą deltę (co do wartości bezwzględnej), standardowo 0.25. Taką strategię nazywa się wtedy 25 delta risk reversal strategy.

Wykreśl profil wypłaty tej strategii.

Ćwiczenie 6.12 (Europejskie opcje ,,zapłać później” (Paylater options))

Wartość europejskiej opcji kupna ,,zapłać później” z ceną wykonania K w chwili wygaśnięcia T wynosi

  • S_{T}-K-X, jeśli S_{T}>K,

  • 0, jeśli S_{T}\leq K,

gdzie X jest premią opcji płaconą w chwili T, ustalaną zwykle tak, by w chwili zawarcia opcji jej wartość wynosiła zero.

Analogicznie, wartość europejskiej opcji sprzedaży zapłać później z ceną wykonania K w chwili wygaśnięcia T wynosi

  • K-S_{T}-X, jeśli S_{T}<K,

  • 0, jeśli S_{T}\geq K.

Wykreśl profil wypłat tych opcji. Przedstaw te opcje jako portfele złożone z opcji waniliowej i opcji binarnej.

Ćwiczenie 6.13 (Opcja wyboru (Chooser option))

Europejska opcja wyboru (chooser option) zapadalna w chwili T to opcja waniliowa, w której dodatkowo posiadacz opcji w chwili T_{0}<T określa, czy posiadana przez niego opcja jest opcją kupna czy opcją sprzedaży. Tak więc w chwili T_{0} ta opcja ma wartość

V_{{T_{0}}}=\max(C_{{T_{0}}},P_{{T_{0}}}),

gdzie C_{{T_{0}}} , P_{{T_{0}}} są wartościami opcji kupna i sprzedaży, odpowiednio. Załóżmy, że cena wykonania obu opcji w jest taka sama i wynosi K. Załóżmy, dla uproszczenia, że instrument podstawowy opcji daje dochód płacony w sposób ciągły ze stałą stopą \delta (np. indeks giełdowy).

  • (a) Pokaż, że V_{{T_{0}}} można przedstawić jako sumę wartości opcji kupna zapadalnej w chwili T o cenie wykonania K oraz wypłaty z opcji sprzedaży zapadalnej w T_{0} z odpowiednio dobraną ceną wykonania K_{0}. Ile wynosi K_{0}?

  • (b) Przedstaw opcję wyboru w postaci portfela odpowiednio dobranych waniliowej opcji kupna oraz waniliowej opcji sprzedaży. Korzystając z tego przedstawienia wyprowadź formuły na wycenę opcji wyboru w zależności od wartości odpowiednio dobranych opcji waniliowych.

Ćwiczenie 6.14

Dane są następujące kwotowania:

  • cena 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 miliona USD za PLN (to jest opcji call na kurs wymiany USD/PLN o nominale 1 milion USD) wynosi: 106\, 0 61.57 PLN,

  • bieżący kurs USD/PLN wynosi: 4.0000 (PLN za 1 USD),

  • 3M punkty swapowe USD/PLN wynoszą: 0.0503,

  • 3M stopa (kapitalizowana w sposób ciągły) dla PLN wynosi: 7.00%.

Przy założeniu, że na rynku nie ma możliwości do arbitrażu,

  • (a) oblicz cenę 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1\, 0 0 0\, 0 0 0 PLN za USD,

  • (b) 3M depozytową stopę (wolną od ryzyka) dla USD.

Przypomnienie: Mówimy, że opcja jest ATM (at-the-money) jeśli bieżąca cena instrumentu podstawowego opcji jest równa cenie wykonania opcji.

Ćwiczenie 6.15

Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji azjatyckich na dyskretną średnią arytmetyczną

\bar{S}=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}S_{{t_{i}}},

gdzie t_{1}<t_{2},\ldots,<t_{n}=T są ustalonymi chwilami czasu, w których obserwowana jest wartość instrumentu podstawowego, a T jest terminem zapadalności opcji. Załóż, że struktura stóp procentowych jest płaska i stała w czasie trwania opcji. Parytet wyznacz dla chwili czasu t\in[t_{m},t_{{m+1}}), to znaczy w trakcie trwania opcji, po ustaleniu m pierwszych wartości instrumentu podstawowego.

Wskazówka: 

Oblicz wartość kontraktu forward na średnią arytmetyczną \bar{S} z ceną wykonania K, który zapada w T. W tym celu, pokaż, że wyceniając ten kontrakt, wartość każdego nieustalonego składnika S_{{t_{i}}}, gdzie i>m, sumy określającej średnią \bar{S}, można zastąpić ceną forward F(t,t_{i}) wyznaczoną w chwili t kontraktu zapadalnego w t_{i}.

Ćwiczenie 6.16

Bank Miejski oferuje klientom lokatę w PLN, która po upływie terminu lokaty T wypłaci kwotę

N\Big(1+\max\big(0,\min(r_{{\text{max}}}T,\alpha R_{T})\big)\Big),

gdzie

  • N jest nominałem lokaty w PLN,

  • r_{{\text{max}}} – maksymalną stopą oprocentowania lokaty,

  • R_{T}=\frac{S_{T}-S_{0}}{S_{0}} jest stopą zwrotu z indeksu WIG20 w okresie lokaty,

  • \alpha jest tak zwanym współczynnikiem partycypacji.

Jakie opcje waniliowe na WIG20 są wbudowane w tą lokatę?

Ćwiczenie 6.17 (Europejska opcja z barierą europejską)

Niech \omega=1 dla opcji kupna oraz \omega=-1 dla opcji sprzedaży, oraz niech \omega K<\omega B. Wypłata europejskiej opcji kupna/sprzedaży z barierą europejską B i ceną wykonania K wynosi

\max(\omega(S_{T}-K),0)\cdot\textbf{1}_{{\{\omega S_{T}<\omega B\}}}

Wykreśl profil wypłat tych opcji. Przedstaw te opcje jako portfele złożone z opcji waniliowych i opcji binarnej Cash-or-Nothing o odpowiednich nominałach.

Ćwiczenie 6.18 (Lokata dwuwalutowa)

Inwestor lokuje w banku kwotę N_{1} w walucie \text{CUR}_{1} na okres czasu T. Niech S oznacza kurs wymiany \text{CUR}_{1}/\text{CUR}_{2}. W chwili T zakończenia lokaty inwestor otrzymuje

  • (1+R\cdot\tau(0,T))N_{1} w walucie \text{CUR}_{1}, jeśli S_{T}\leq K,

  • (1+R\cdot\tau(0,T))N_{1}\cdot K w walucie \text{CUR}_{2}, jeśli S_{T}>K,

gdzie K jest ustalonym kursem wymiany (tzw. kurs konwersji), zaś \tau(0,T) jest ułamkiem roku odpowiadającym bazie stopy R.

Jaka opcja jest wbudowana w ten instrument? Załóżmy, że r(T) jest stopą procentową dla standardowej lokaty złożonej na okres czasu T. Jaka jest największa wartość stopy R w zależności od cen instrumentów wbudowanych w tą lokatę dwuwalutową, którą bank może zaoferować inwestorowi nie tracąc na takim instrumencie?

Ćwiczenie 6.19 (Jednorodność ceny opcji jako funkcji ceny bieżącej i ceny wykonania)

Uzasadnij dlaczego cena V opcji waniliowej jest jednorodną funkcją ceny bieżącej instrumentu podstawowego i ceny wykonania, to znaczy

\tag{$*$}V(\alpha S,\alpha K)=\alpha V(S,K)\quad\forall\,\,\alpha>0. (6.14)
Wskazówka: 

Zauważ, że dla \alpha>0 zachodzi tożsamość

\max(\omega(\alpha S-\alpha K),0)=\alpha\max(\omega(S-K),0),

gdzie \omega=1 dla opcji kupna i \omega=-1 dla opcji sprzedaży.

Korzystając z (6.14) pokaż, że jeśli V jest funkcją różniczkowalną względem S i K, to

S\,\frac{\partial V}{\partial S}+K\,\frac{\partial V}{\partial K}=V(S,K).

Uwaga: Pochodna ceny opcji V względem ceny wykonania K jest określana jako tak zwana delta dualna.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.