Zagadnienia

8.1 Podsumowanie – algorytm wyceny na drzewie dwumianowym
8.2 Dalsze uogólnienia i rozszerzenia algorytmu dwumianowego
Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

8. Model dwumianowy – wielookresowy

W modelu wielookresowym czas trwania instrumentu pochodnego, który zapada w chwili $T$ , jest podzielony na $N$ okresów o długości $\tau=\Delta(0,T/N)$ każdy.

Na rynku mamy dwa aktywa

obligację zerokuponową (rachunek bankowy na którym lokaty/depozyty są oprocentowane według stopy zerokuponowej) $\longrightarrow$ proces (zmienna) deterministyczna,
aktywo obarczone ryzykiem, które nie przynosi dochodu $\longrightarrow$ proces stochastyczny.

$\blacktriangleright$ Proces wartości obligacji zerokuponowej (rachunku bankowego) – $B_{t}$ , gdzie $t=n\tau$ , a $n=0,1,\ldots,N$ . Upraszczając notację będziemy pisać $B_{n}=B_{{n\tau}}$ . Proces ten jest zdefiniowany w następujący sposób

$B_{0}=1$ ,
$B_{{n+1}}=(1+L\tau)B_{{n}}=\text{e}^{{R\tau}}B_{{n}}$ dla $n=0,1,\ldots,N-1$ .

Tak więc zakładamy, że stopa procentowa jest stała w rozpatrywanym okresie czasu.

$\blacktriangleright$ Proces ceny aktywa ryzykownego – $S_{t}$ , gdzie $t=n\tau$ , a $n=0,1,\ldots,N$ . Upraszczając notację będziemy pisać $S_{n}=S_{{n\tau}}$ . Proces ten jest zdefiniowany w następujący sposób

$S_{0}$ dane, znana wartość,
$S_{{n+1}}=S_{n}\cdot Z_{n}$ dla $n=0,1,\ldots,N-1$ , gdzie $Z_{0},Z_{1},\ldots,Z_{{N-1}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

$Z_{n}=\left\{\begin{array}[]{ll}U,&\hbox{z prawdopodobieństwem $p$;}\\ D,&\hbox{z prawdopodobieństwem $1-p$.}\end{array}\right.$

przy czym $U$ , $D$ są dane oraz zakładamy, że $D<U$ (te wielkości są powiązane z innymi parametrami aktywa, w szczególności ze zmiennością aktywa – patrz Wykład 7).

Drzewo dwumianowe

Proces ceny ryzykownego aktywa oraz wycena instrumentów pochodnych będzie się odbywać na $N-$ okresowym drzewie dwumianowym. $n-$ ty okres składa się z $n$ jednookresowych drzewek z których każde ma swój wierzchołek w końcowych węzłach poprzedniego okresu. Te $n$ jednookresowych drzewek ma swoje zakończenia w $n+1$ węzłach, które są wierzchołkami jednookresowych drzewek w kolejnym okresie. Będziemy zakładać, że drzewo rekombinuje się w tym sensie, że wzrost ceny w okresie i spadek ceny w następnym okresie prowadzi do tej samej wartości co spadek ceny w tym okresie i wzrost ceny w następnym okresie – tak będzie gdy iloraz $U/D$ będzie taki sam w każdym okresie drzewa. Węzły drzewa będziemy oznaczać parą $(n,k)$ , gdzie $n$ odpowiada chwili czasu $n\tau$ , a $k=0,1,\ldots,n$ identyfikuje węzeł odpowiadający stanowi rynku, przy czym $k$ oznacza liczbę wzrostów ceny na drodze od wierzchołka drzewa do tego węzła. Wierzchołek drzewa oznaczamy parą $(0,0)$ . Tak więc cena aktywa w chwili $n\tau$ w $k-\text{tym}$ węźle wynosi

$S_{n}^{{(k)}}=S_{0}U^{k}D^{{n-k}}.$

Strategia inwestycyjna to portfel

$h_{n}=(x_{n},y_{n}),\quad n=1,2,\ldots,N,$

gdzie

$x_{n}(k)$ – ilość pieniędzy zainwestowana w obligację zerokuponową (rachunek bankowy) w węźle $(n-1,k)$ trzymana do chwili $n\tau$ ,
$y_{n}(k)$ – ilość aktywa ryzykownego w portfelu stworzonym w węźle $(n-1,k)$ trzymana do chwili $n\tau$ .

Ponadto, w celu zapewnienia spójności formuł definiujemy $h_{0}=h_{1}$ .

Wielkości $h_{n}$ są zmiennymi losowymi, tak więc możemy mówić, że strategia inwestycyjna jest procesem stochastycznym. Skład portfela $h_{n}$ zależy od całej informacji o stanie rynku dostępnej do chwili $(n-1)\tau$ (włącznie) $\longrightarrow$ $h_{n}$ jest tzw. procesem prognozowalnym.

Proces wartości strategii. W chwili $n\tau$ portfel $h$ ma wartość

$V^{h}_{n}=x_{n}(1+L\tau)+y_{n}S_{n},$

gdzie $h_{n}=(x_{n},y_{n})$ oraz $n=0,1,\ldots,N$ .

Strategia (portfel) $h$ jest samofinansująca(y) się wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $n=0,1,\ldots,N-1$ zachodzi

$x_{n}(1+L\tau)+y_{n}S_{n}=x_{{n+1}}+y_{{n+1}}S_{n}.$

Ten warunek oznacza, że zmiana składu portfela w chwili czasu $n\tau$ odbywa się bez dopływu gotówki do portfela lub odpływu gotówki z portfela.

Samofinansujący się portfel $h$ jest strategią arbitrażową, jeżeli

$V^{h}_{0}=0$ ,
$P(V^{h}_{N}\geq 0)=1$ ,
$P(V^{h}_{N}>0)>0$ .

Tak jak poprzednio w przypadku modelu jednookresowego, model nie dopuszcza arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy

$\tag{$*$}D<1+L\tau<U.$

(8.1)

Dowód tego faktu podamy w dalszej części wykładu (patrz Twierdzenie 8.3).

Na razie załóżmy, że warunek $(*)$ jest spełniony. Wówczas, możemy określić miarę martyngałową $Q$ , taką, że

$S=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(S_{{n+1}}\,|\, S_{n}=S),$

a prawdopodobieństwa martyngałowe dane są wzorami

$q_{d}=\frac{U-(1+L\tau)}{U-D}\quad\text{ oraz}\quad q_{u}=\frac{(1+L\tau)-D}{U-D}.$

(8.2)

Rozważamy europejskie instrumenty pochodne $X$ , których wartość wypłaty w chwili zapadalności dana jest przez pewną funkcję $\Phi$ zmiennej $S_{N}$

$X_{N}=\Phi(S_{N}).$

Podobnie jak w przypadku modelu jednookresowego, instrument pochodny $X$ jest osiągalny jeśli istnieje samofinansujący się portfel $h(X)$ replikujący $X$ , to znaczy taki, że

$V^{{h(X)}}_{N}=X_{N}=\Phi(S_{N})\quad\text{ z prawdopodobieństwem 1.}$

Model rynku jest zupełny jeżeli każdy instrument pochodny da się zreplikować samofinansującym się portfelem utworzonym z aktywów dostępnych na tym rynku.

Zasada wyceny instrumentów pochodnych jest analogiczna jak w przypadku modelu jednookresowego. Jeżeli $X$ jest osiągalny, to sprawiedliwa cena tego instrumentu, tj. cena, która uniemożliwia przeprowadzenie arbitrażu, w chwili $n\tau$ dana jest wzorem

$\Pi(n\tau,X)=V^{{h(X)}}_{n},$

gdzie $h(X)$ jest samofinansującą się strategią replikującą $X$ .

Poniższe twierdzenie opisuje algorytm wyznaczania portfela replikującego i wyznaczania ceny instrumentu pochodnego. Wnioskiem z tego twierdzenia jest również zupełność rynku.

Twierdzenie 8.1

Niech $X$ będzie europejskim instrumentem pochodnym, zapadalnym w chwili $T=N\tau$ , którego wartość wypłaty dana jest funkcją $X_{N}=\Phi(S_{N})$ . $X$ można zreplikować samofinansującym się portfelem $h(X)$ , którego wartości obliczamy następującym algorytmem rekurencyjnym

$V^{{h(X)}}_{N}(k)=\Phi(S_{0}U^{k}D^{{N-k}}),\quad\text{ gdzie }k=0,1,\ldots,N,$

(8.3)

oraz dla $n=N-1,\ldots,1,0$ ,

$V^{{h(X)}}_{n}(k)=\frac{1}{1+L\tau}\left(q_{u}V^{{h(X)}}_{{n+1}}(k+1)+q_{d}V^{{h(X)}}_{{n+1}}(k)\right)\quad\text{ gdzie }k=0,1,\ldots,n,$

(8.4)

a $q_{u}$ i $q_{d}$ są określone w (8.2). Skład portfela replikującego dany jest następującymi wzorami

$x_{n}(k)=\frac{1}{1+L\tau}\frac{U\, V^{{h(X)}}_{n}(k)-D\, V^{{h(X)}}_{n}(k+1)}{U-D},$

(8.5)

$y_{n}(k)=\frac{1}{S_{{n-1}}(k)}\frac{V^{{h(X)}}_{n}(k+1)-V^{{h(X)}}_{n}(k)}{U-D},$

(8.6)

gdzie $n=N,\ldots,1,$ a $k=0,1,\ldots,n-1$ .

W szczególności, cena instrumentu pochodnego $\Pi(0,X)$ w $t=0$ wynosi $V^{{h(X)}}_{0}(0)$ . Wzór na tę cenę zawarty jest następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 8.2

Sprawiedliwa cena europejskiego instrumentu pochodnego $X$ w chwili $t=0$ dana jest wzorem

$\Pi(0,X)=\frac{1}{(1+L\tau)^{N}}\sum _{{k=0}}^{N}{N\choose k}q_{u}^{k}\, q_{d}^{{N-k}}\,\Phi(S_{0}U^{k}D^{{N-k}}),$

(8.7)

który możemy zapisać w postaci

$\Pi(0,X)=\frac{1}{(1+L\tau)^{N}}E^{{Q_{N}}}(X_{N}),$

(8.8)

gdzie $Q_{N}$ jest wolną od ryzyka miarą na przestrzeni stanów rynku w chwili $T$ :

$Q_{N}(\text{ stanu }k)={N\choose k}q_{u}^{k}\, q_{d}^{{N-k}}\quad\text{ dla }k=0,1,\ldots,N.$

Twierdzenie 8.3

Wielookresowy model rynku nie dopuszcza arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy

$\tag{$**$}D<1+L\tau<U.$

(8.9)

Jeżeli arbitraż nie jest możliwy, to nierówność $(**)$ uzyskujemy z analogicznego twierdzenia dla modelu jednookresowego. Załóżmy teraz, że nierówności $(**)$ zachodzą. Niech $h$ będzie samofinansującym się portfelem, który spełnia warunki

$P(V^{h}_{N}\geq 0)=1$ ,
$P(V^{h}_{N}>0)>0$ .

Wówczas, z twierdzenia (8.3) wynika, że $V^{h}_{0}=\frac{1}{(1+L\tau)^{N}}E^{{Q_{N}}}(V^{h}_{N})>0.$ Tak więc $h$ nie może być portfelem arbitrażowym.

∎

8.1. Podsumowanie – algorytm wyceny na drzewie dwumianowym

Dla

europejskiego instrumentu pochodnego,
o wypłacie niezależnej od drogi,
którego instrument podstawowy nie daje dochodu w czasie trwania kontraktu.

Na podstawie danych

$L$ – stopy procentowej (wolnej od ryzyka),
$\sigma$ – zmienności cen instrumentu podstawowego,

wyznaczamy

współczynniki $D$ i $U$ ,
odpowiednie wartości prawdopodobieństw martyngałowych $q_{d}$ oraz $q_{u}$ .

$\blacktriangleright$ Etap pierwszy: wyznaczenie procesu cen instrumentu podstawowego na drzewie

Dla $n=1,\ldots,N$ wyznaczamy wartości instrumentu podstawowego w $(n+1)$ węzłach każdej warstwy czasowej $n\tau$ korzystając z wzoru

$S_{n}^{{(k)}}=S_{0}U^{k}D^{{n-k}}\quad\text{ gdzie }k=0,1,\ldots,n.$

W przypadku instrumentu europejskiego niezależnego od drogi potrzebujemy wartości instrumentu podstawowego tylko w chwili $T=N\tau$ .

$\blacktriangleright$ Etap drugi: indukcja wstecz – wyznaczenie wartości instrumentu pochodnego na drzewie

Obliczamy wartość wypłaty z instrumentu pochodnego w chwili zapadalności kontraktu $T=N\tau$

$V_{N}(k)\equiv X_{N}(k)=\Phi(S_{0}U^{k}D^{{N-k}})\quad\text{ gdzie }k=0,1,\ldots,N.$

Następnie, obliczamy kolejno dla $n=N-1,\ldots,1,0$

$V_{n}(k)=\frac{1}{1+L\tau}\big(q_{u}V_{{n+1}}(k+1)+q_{d}V_{{n+1}}(k)\big)\quad\text{ gdzie }k=0,1,\ldots,n.$

Wartość instrumentu pochodnego $X$ w chwili $t=0$ wynosi $V_{0}(0)$ .

Uwaga 8.1

Algorytm dwumianowy opisany w twierdzeniu 8.1 (lub w powyższym podsumowaniu) można przenieść na przypadek instrumentów pochodnych typu amerykańskiego. Niech wartość wypłaty takiego instrumentu w chwili $t\leq T$ będzie dana wzorem $X_{t}=\Phi(S_{t})$ . Taki instrument jest wyceniamy również przez konstrukcję i wycenę strategii replikującej. Wyznaczając wartości strategii replikującej instrument amerykański musimy dodatkowo sprawdzać w poszczególnych węzłach czy optymalne jest wcześniejsze wykonanie. W tym celu wystarczy zmodyfikować wzór (8.3) w następujący sposób:

$V^{{h(X)}}_{n}(k)=\max\left(\Phi(S_{n}^{{(k)}}),\frac{1}{1+L\tau}\left(q_{u}V^{{h(X)}}_{{n+1}}(k+1)+q_{d}V^{{h(X)}}_{{n+1}}(k)\right)\right),$

(8.10)

gdzie $k=0,1,\ldots,n$ , oraz $n=N-1,\ldots,1,0.$

8.2. Dalsze uogólnienia i rozszerzenia algorytmu dwumianowego

$\blacktriangleright$ Uwzględnienie struktury stóp procentowych

Niech $f_{n}$ oznacza stopę forward kapitalizowaną w sposób ciągły na okres czasu $[(n-1)\tau,n\tau]$ . Wówczas, konstruując drzewo dwumianowe należy uwzględnić następujące modyfikacje.

W modelu CRR wartości współczynników $U$ i $D$ są takie same w każdym podokresie drzewa (bo zależą tylko od zmienności $\sigma$ – patrz wzór (7.3)), natomiast prawdopodobieństwa martyngałowe

$q_{u}^{{(n)}}=\frac{\text{e}^{{f_{n}\cdot\tau}}-D}{U-D},\quad q_{d}^{{(n)}}=1-q_{u}^{{(n)}}.$ (8.11)

będą się zmieniać w kolejnych podokresach drzewa.
W modelu ,,równych prawdopodobieństw” zmieniać się będą w kolejnych podokresach wartości współczynników $U$ i $D$ ; mianowicie wyniosą one

$U^{{(n)}}=\text{e}^{{(f_{n}-\sigma^{2}/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}}},$ (8.12)

$D^{{(n)}}=\text{e}^{{(f_{n}-\sigma^{2}/2)\tau-\sigma\sqrt{\tau}}}.$

Prawdopodobieństwa martyngałowe będą oczywiście takie same (równe $\frac{1}{2}$ ).

W obu metodach, mimo tych modyfikacji, drzewo dwumianowe w dalszym ciągu się rekombinuje, bowiem iloraz $U/D$ ma stałą wartość w każdym z podokresów drzewa. Algorytm wyceny instrumentów pochodnych sformułowany w twierdzeniu 8.1 w zasadzie pozostaje bez zmian – należy jedynie pamiętać o uzmiennieniu odpowiednich parametrów w formułach (8.4)–(8.6). W szczególności, zamiast czynnika dyskontowego postaci $1/(1+L\tau)$ , który nie zależy od podokresu, należy użyć czynników które są wyznaczane na postawie stóp forward, na przykład mających postać $\exp(-f_{n}\tau)$ .

Następne modyfikacje polegają na uwzględnieniu dochodów przynoszonych przez aktywo. Rozpatrzmy trzy przypadki:

aktywo ryzykowne przynosi ,,ciągły” dochód,
aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód, który jest wyrażony jako procent bieżącej ceny aktywa,
aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód, który jest przedstawiony jako strumień płatności.

$\blacktriangleright$ Aktywo ryzykowne przynosi ,,ciągły” dochód (np. indeks giełdowy, kurs walutowy)

Niech $\delta$ oznacza stopę dochodu kapitalizowaną w sposób ciągły. Modyfikacje algorytmu dwumianowego polegają na zastąpieniu w odpowiednich wyrażeniach stopy wolnej od ryzyka $R$ (lub ogólniej stóp forward $f_{n}$ ) przez różnicę tej stopy i stopy dochodu, czyli przez $R-\delta$ (lub odpowiednio przez $f_{n}-\delta$ ). I tak,

W modelu CRR wartości współczynników $U$ i $D$ pozostają bez zmian (bo zależą tylko od zmienności $\sigma$ – patrz wzór (7.3)), natomiast prawdopodobieństwa martyngałowe wynoszą

$q_{u}^{{(n)}}=\frac{\text{e}^{{(f_{n}-\delta)\cdot\tau}}-D}{U-D},\quad q_{d}^{{(n)}}=1-q_{u}^{{(n)}}.$ (8.13)
W modelu ,,równych prawdopodobieństw” wartości współczynników $U$ i $D$ wynoszą

$U^{{(n)}}=\text{e}^{{((f_{n}-\delta)-\sigma^{2}/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}}},$ (8.14)

$D^{{(n)}}=\text{e}^{{((f_{n}-\delta)-\sigma^{2}/2)\tau-\sigma\sqrt{\tau}}}.$

Prawdopodobieństwa martyngałowe będą oczywiście takie same (równe $\frac{1}{2}$ ).

W przypadku, gdy $S$ jest kursem walutowym podanym jako ilość waluty $\text{CUR}_{2}$ za jednostkę waluty $\text{CUR}_{1}$ , $R$ jest stopą waluty $\text{CUR}_{2}$ , a $\delta$ jest stopą waluty $\text{CUR}_{1}$ .

$\blacktriangleright$ Aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód, który jest wyrażony jako procent bieżącej ceny aktywa

Zakładamy, że aktywo daje dochód w terminach zgodnych z podziałem czasu trwania instrumentu pochodnego na okresy drzewa. Wielkość tego dochodu jest wyrażona jako procent ceny bieżącej aktywa. Dokładniej, załóżmy że w chwili $n\tau$ aktywo wypłaca dochód w wysokości $qS_{n}$ , gdzie $S_{n}$ jest ceną aktywa w chwili $n\tau$ , a $0\leq q<1$ określa procentową wysokość tego dochodu. Zakładamy, że wypłata tego dochodu powoduje spadek wartości ceny bieżącej o wartość wypłaty. Czyli tuż po wypłacie dochodu aktywo ma wartość $(1-q)S_{n}$ . Uwzględnienie takiego mechanizmu wypłat dochodu przy tworzeniu drzewa dwumianowego jest proste. Mianowicie, generując proces cen aktywa na drzewie, tak długo jak aktywo nie daje dochodu postępujemy według algorytmu dla aktywa nieprzynoszącego dochodu, po czym w momencie wypłaty dochodu w każdym węźle drzewa warstwy czasowej $n\tau$ obniżamy ceny aktywa o wartość $qS_{n}$ (wartość $S_{n}(k)$ zastępujemy przez $(1-q)S_{n}(k)$ dla $k=0,1,\ldots,n$ ). Dalej, do następnego momentu wypłaty, postępujemy znów według algorytmu dla aktywa nieprzynoszącego dochodu startując w chwili $n\tau$ z wartości $(1-q)S_{n}$ . Wartości współczynników $U$ i $D$ oraz prawdopodobieństw martyngałowych są takie same jak dla aktywa nieprzynoszącego dochodu. Należy zauważyć, że ,,multiplikatywność” dochodu powoduje iż drzewo w dalszym ciągu się rekombinuje.

Aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód będący strumieniem płatności (np. akcja z dywidendą)

Zakładamy że aktywo daje dochód w terminach zgodnych z podziałem czasu trwania instrumentu pochodnego na okresy drzewa. Wówczas, konstruując proces ceny aktywa na drzewie należy pamiętać o tym że po wypłacie dochodu cena aktywa skokowo spada o wielkość wypłaty. Obniżenie ceny aktywa w momencie wypłat dochodu o stałe wartości powoduje iż drzewo przestaje się rekombinować. Sposób obejścia tego problemu jest następujący.

Obliczamy $D_{0}$ – wartość bieżącą (na chwilę 0) strumienia wszystkich przyszłych (do chwili $T$ ) dochodów.
Tworzymy rekombinujące się drzewo procesu cen aktywa (,,obdartego” z części deterministycznej – tj. z wartości znanych z góry dochodów) startując z wartości $S_{0}-D_{0}$ i używając współczynników $U$ i $D$ jak dla aktywa niepłacącego dochodu.
Tak otrzymane drzewo modyfikujemy dodając z powrotem składowe odpowiadające dochodom generowanym przez aktywo. Mianowicie do cen aktywa w chwili $n\tau$ utworzonych w kroku (2) dodajemy wartość bieżącą na chwilę $n\tau$ wszystkich przyszłych (względem chwili $n\tau$ ) dochodów generowanych przez aktywo. W szczególności, po tej modyfikacji proces cen ponownie startuje z ceny bieżącej aktywa $S_{0}$ oraz uwzględnia skokowe zmiany wartości aktywa będące konsekwencjami wypłat dochodu.

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1

Wycenić opcję sprzedaży (put) akcji na dwuokresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
$U=1.1765$ , $D=1/U=0.85$ ,
czas trwania opcji wynosi 2 miesiące (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla jednomiesięcznych lokat/depozytów w każdym okresie wynosi $12\%$ (pa),
cena wykonania wynosi $K=110$ .

Wycenę przeprowadź w dwóch przypadkach: (a) opcji europejskiej, (b) opcji amerykańskiej.

Ćwiczenie 8.2

Wycenić europejską opcję kupna (call) akcji na trzyokresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
$U=1.25$ , $D=1/U=0.80$ ,
czas trwania opcji wynosi 9 miesięcy (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat/depozytów wynosi 8% (pa), dla sześciomiesięcznych 9%, a dla dziewięciomiesięcznych 10%.
cena wykonania wynosi $K=120$ .

Ćwiczenie 8.3

Rozpatrzmy europejski instrument pochodny o następującej funkcji wypłaty

$X_{T}=100\max(R_{T}-K,0),$

gdzie $R_{T}=(S_{T}-S_{0})/S_{0}$ jest stopą zwrotu z akcji w okresie $[0,T]$ . Wyceń ten instrument na trzyokresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
$U=1.15$ , $D=1/U=0.87$ ,
czas trwania opcji wynosi 9 miesięcy (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat/depozytów w każdym okresie wynosi 8% (pa),
cena wykonania wynosi $K=7\%$ .

Ćwiczenie 8.4

Wycenić europejską opcję sprzedaży (put) akcji na dwuokresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
$U=1.25$ , $D=1/U=0.80$ ,
czas trwania opcji wynosi 6 miesięcy (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat/depozytów w każdym okresie wynosi 8% (pa),
cena wykonania wynosi $K=100$ , przy czym jeśli na końcu trzeciego miesiąca cena akcji spadnie poniżej 85, to cena wykonania zostanie obniżona do $K=85$ .

Ćwiczenie 8.5

Rozpatrzmy europejską opcję kupna akcji. Cena wykonania opcji $K$ zależy od ceny akcji w chwili zapadalności opcji w następujący sposób:

$K=\left\{\begin{array}[]{ll}30,&\hbox{gdy $S_{T}<30$,}\\ S_{T},&\hbox{gdy $30\leq S_{T}\leq 60$,}\\ 60+\frac{1}{10}(S_{T}-60),&\hbox{gdy $60<S_{T}$.}\end{array}\right.$

Wyceń ten instrument na trzyokresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=50$ ,
$U=1.25$ , $D=1/U=0.80$ ,
czas trwania opcji wynosi 9 miesięcy (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat/depozytów w każdym okresie wynosi 8% (pa).

Ćwiczenie 8.6

Rozpatrzmy europejski instrument pochodny o następującej funkcji wypłaty:

$X_{T}=\left\{\begin{array}[]{ll}0,&\hbox{gdy $S_{T}\leq K$,}\\ S_{T}-K-A,&\hbox{gdy $K<S_{T}$.}\end{array}\right.$

Wyznacz wartość $A$ , tak by cena tego instrumentu pochodnego przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
$U=1.25$ , $D=1/U=0.80$ ,
czas trwania opcji wynosi 9 miesięcy (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat/depozytów w każdym okresie wynosi 8% (pa),
cena wykonania wynosi $K=100$ ,

wynosiła zero. Posłuż się trzyokresowym drzewem dwumianowym.

Ćwiczenie 8.7

Rozpatrzmy europejski instrument pochodny o następującej funkcji wypłaty:

$X_{T}=\left\{\begin{array}[]{ll}0,&\hbox{gdy $S_{T}\leq K$,}\\ \alpha S_{T}-K,&\hbox{gdy $K<S_{T}$.}\end{array}\right.$

Wyznacz cenę tego instrumentu pochodnego w zależności od parametru $\alpha$ przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
$U=1.25$ , $D=1/U=0.80$ ,
czas trwania opcji wynosi 9 miesięcy (można przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku),
stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat/depozytów w każdym okresie wynosi 8% (pa),
cena wykonania wynosi $K=100$ .

Posłuż się trzyokresowym drzewem dwumianowym.

Ćwiczenie 8.8

Rozpatrzmy europejski instrument pochodny o następującej funkcji wypłaty

$X_{T}=\left\{\begin{array}[]{ll}0,&\hbox{gdy $S_{T}\leq K$,}\\ (S_{T}-K)^{2},&\hbox{gdy $K<S_{T}$.}\end{array}\right.$

Wyznacz cenę tego instrumentu pochodnego przy następujących danych:

bieżąca cena akcji wynosi $S_{0}=100$ ,
zmienność akcji wynosi $\sigma=30\%$ ,
czas trwania opcji wynosi 9 miesięcy (można przyjąć, że 1 miesiąc = 1/12 roku),
struktura stóp procentowych jest płaska i stopa procentowa kapitalizowana w sposób ciągły wynosi 6% (pa),
cena wykonania wynosi $K=100$ .

Posłuż się trzyokresowym drzewem dwumianowym.

Ćwiczenie 8.9

Rozpatrzmy europejską trzymiesięczną opcję kupna $N=100$ mln USD po cenie $K=4.20$ PLN za 1 USD. Wyznacz cenę tej opcji przy następujących danych:

bieżący kurs wymiany wynosi $S_{0}=4.00$ PLN za 1 USD,
zmienność kursu wynosi $\sigma=20\%$ ,
struktura stóp procentowych dla obu walut jest płaska i stopy procentowe kapitalizowane w sposób ciągły wynoszą: dla USD – $3\%$ (pa), a dla PLN – $6\%$ (pa).

Posłuż się trzyokresowym drzewem dwumianowym. Dla uproszczenia obliczeń możesz przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku.

Ćwiczenie 8.10

(a) Rozpatrzmy europejską trzymiesięczną azjatycką opcję kupna $N=100$ mln USD po cenie $K=4.20$ PLN za 1 USD, w której średnia arytmetyczna występująca w funkcji wypłaty

$X_{T}=N\max(\bar{S}_{T}-K,0)$

jest postaci

$\bar{S}_{T}=\frac{1}{4}\,\left(S_{0}+S_{{1M}}+S_{{2M}}+S_{{3M}}\right).$

Wyznacz cenę tej opcji przy następujących danych:

bieżący kurs wymiany wynosi $S_{0}=4.00$ PLN za 1 USD,
zmienność kursu wynosi $\sigma=20\%$ ,
struktura stóp procentowych dla obu walut jest płaska i stopy procentowe kapitalizowane w sposób ciągły wynoszą: dla USD – 3% (pa), a dla PLN – 6% (pa).

Posłuż się trzyokresowym drzewem dwumianowym. Dla uproszczenia obliczeń możesz przyjąć że 1 miesiąc = 1/12 roku. Porównaj cenę tej opcji z ceną opcji waniliowej obliczoną w Zadaniu 8.9.

(b) Przy tych samych danych wyceń europejską trzymiesięczną azjatycką opcję kupna, w której cena wykonania jest średnią arytmetyczną cen instrumentu podstawowego, to jest opcję o następującej funkcji wypłaty:

$X_{T}=N\max(S_{T}-\bar{S}_{T},0).$

Porównaj cenę tej opcji z ceną opcji waniliowej obliczoną w Zadaniu 8.9.

Ćwiczenie 8.11

Uzasadnij wzory na prawdopodobieństwo martyngałowe oraz wycenę instrumentów pochodnych w przypadku modelu dwumianowego dla instrumentów pochodnych na kurs walutowy $S$ wyrażony jako ilość waluty $\text{CUR}_{2}$ za jednostkę waluty $\text{CUR}_{1}$ (ogólniej na aktywo płacące ciągłą dywidendę). W tym modelu mamy trzy aktywa: dwa aktywa wolne od ryzyka odpowiadające rachunkom pieniężnym w walucie $\text{CUR}_{2}$ oraz w walucie $\text{CUR}_{1}$ odpowiednio, oraz aktywo ryzykowne – kurs walutowy $S$ . Wyznacz na drzewie jednookresowym portfel replikujący instrument pochodny i przedstaw jego cenę jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną wypłaty w odpowiedniej mierze martyngałowej.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

	$U^{{(n)}}=\text{e}^{{(f_{n}-\sigma^{2}/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}}},$		(8.12)
	$D^{{(n)}}=\text{e}^{{(f_{n}-\sigma^{2}/2)\tau-\sigma\sqrt{\tau}}}.$		(8.12)

	$U^{{(n)}}=\text{e}^{{((f_{n}-\delta)-\sigma^{2}/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}}},$		(8.14)
	$D^{{(n)}}=\text{e}^{{((f_{n}-\delta)-\sigma^{2}/2)\tau-\sigma\sqrt{\tau}}}.$		(8.14)

Inżynieria Finansowa