Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Inżynieria finansowa – 9. Model Blacka-Scholesa – MIM UW

Zagadnienia

9. Model Blacka-Scholesa

Model dwumianowy był prostym modelem za pomocą którego opisaliśmy proces stochastyczny ceny aktywa. Był to tak zwany model dyskretny, bowiem zmienna czasowa przyjmowała wartości dyskretne oraz wartości przyjmowane przez ceny aktywa w tych chwilach czasu tworzyły zbiory dyskretne. Mimo swojej prostoty, model ten przy dostatecznie dużej liczbie kroków czasowych na danym odcinku czasu (to jest, dla danego czasu trwania instrumentu) daje stosunkowo dokładną wycenę szerokiej klasy instrumentów pochodnych. Gdy liczba kroków czasowych na ustalonym odcinku czasu dąży do nieskończoności (długość okresu na drzewie dwumianowym dąży do zera), model dwumianowy przechodzi w model ciągły. W wyniku przejścia granicznego rozkład dwumianowy ,,przechodzi” w rozkład log-normalny, natomiast zasada wyceny instrumentów pochodnych w modelu ciągłym pozostaje taka sama jak w modelu dyskretnym.

9.1. Model dynamiki cen aktywa

Będziemy zakładać, że S spełnia następujące stochastyczne równanie

\text{d}S_{t}=\mu S_{t}\text{d}t+\sigma S_{t}\text{d}W_{t}, (9.1)

gdzie

  • \mu jest stopą zwrotu S (współczynnikiem dryfu),

  • \sigma jest zmiennością S (współczynnikiem dyfuzji),

  • W_{t} jest tak zwanym procesem Wienera.

W naszym prostym modelu o \mu i \sigma zakładamy, że są stałe, to jest nie zależą od czasu t i procesu S. Równanie (9.1) jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej klasy równań stochastycznych postaci

\text{d}X_{t}=a_{t}\text{d}t+b_{t}\text{d}W_{t}, (9.2)

gdzie a i b są procesami o odpowiednich własnościach, które często zależą od t i procesu X. Nasz prosty przypadek uzyskujemy kładąc w (9.2) a_{t}=\mu S_{t} oraz b_{t}=\sigma S_{t} i zamieniając X na S.

Proces Wienera W_{t} to proces stochastyczny o następujących własnościach:

  • W_{0}=0,

  • W_{t} ma niezależne przyrosty, to znaczy, dla każdych r<s\leq t<u zmienne losowe W_{u}-W_{t} i W_{s}-W_{r} są niezależne,

  • dla każdych 0\leq s<t W_{s}-W_{t}\sim N(0,t-s),

  • W ma ciągłe trajektorie (z prawdopodobieństwem 1).

W szczególności z tych warunków wynika, że

W_{t}\sim N(0,t)

oraz

\text{Cov}(W_{t},W_{s})=\min(t,s).
Uwaga 9.1

Wbrew pozorom równanie (9.2) (ani (9.1)) nie jest równaniem różniczkowym. A to dlatego że pochodna trajektorii procesu Wienera nie istnieje (z prawdopodobieństwem 1 są one nigdzie nieróżniczkowalne). Tak naprawdę równanie (9.2) należy rozumieć jako równanie całkowe

S_{t}=S_{0}+\int _{0}^{t}a_{\tau}\,\text{d}\tau+\int _{0}^{t}b_{\tau}\,\text{d}W_{\tau}, (9.3)

gdzie druga całka jest tak zwaną całką stochastyczną Itô, która jest już dobrze zdefiniowanym obiektem matematycznym.

Nie podamy definicji całki stochastycznej Itô (proszę poczekać cierpliwie na wykład z procesów stochastycznych – zainteresowanym przystępnym wprowadzeniem do rachunku stochastycznego polecam podręcznik Steven'a E. Shreve'a Stochastic Calculus for Finance II (Springer 2004)[2]). Zadowolimy się natomiast wybranymi szczególnymi technikami rachunku stochastycznego, które powinny nam wystarczyć dla naszych rozważań. Mamy następujący

Lemat 9.1

Dla deterministycznej funkcji b(t) całkowalnej z kwadratem,

X_{t}=\int _{0}^{t}b(\tau)\text{d}W_{\tau}\sim N\left(0,\int _{0}^{t}b^{2}(\tau)\,\text{d}\tau\right).

Będą nas również interesować funkcje postaci G(t,X_{t}) gdzie X jest procesem spełniającym równanie (9.2). W szczególności chcielibyśmy wiedzieć jakie równanie stochastyczne spełnia proces G. Na to pytanie odpowiada następujący

Lemat 9.2 (Lemat Itô)

Załóżmy, że proces X spełnia równanie stochastyczne

\text{d}X_{t}=a_{t}\text{d}t+b_{t}\text{d}W_{t}, (9.4)

gdzie a i b są adaptowalnymi procesami (o odpowiednich własnościach by całki miały sens). Niech G\in C^{{1,2}}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}). Wówczas proces G(t,X) spełnia następujące równanie

\text{d}G_{t}=\left(\frac{\partial G}{\partial t}+a_{t}\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{1}{2}b_{t}^{2}\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}\right)\text{d}t+b_{t}\frac{\partial G}{\partial x}\text{d}W_{t}. (9.5)

W szczególnym przypadku, gdy a_{t}=\mu X_{t} oraz b_{t}=\sigma X_{t}, to jest gdy X spełnia równanie (9.1), teza Lematu Itô przyjmuje następującą postać:

\text{d}G_{t}=\left(\frac{\partial G}{\partial t}+\mu X_{t}\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}X_{t}^{2}\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}\right)\text{d}t+\sigma X_{t}\frac{\partial G}{\partial x}\text{d}W_{t}.

Przykłady zastosowania Lematu Itô:

  1. Niech F_{t}=S_{t}\text{e}^{{r(T-t)}} będzie ceną kontraktu Forward (ceną teoretyczną kontraktu Futures) na aktywo, które nie przynosi dochodu w trakcie trwania kontraktu [t,T]. Wówczas F_{t}=G(t,S_{t}), gdzie G(t,x)=x\text{e}^{{r(T-t)}}. Jeżeli cena aktywa S spełnia (9.1), to na mocy lematu Itô, proces F spełnia następujące równanie

    \text{d}F_{t}=\left(-rS_{t}\text{e}^{{r(T-t)}}+\mu S_{t}\text{e}^{{r(T-t)}}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S_{t}^{2}\cdot 0\right)\text{d}t+\sigma S_{t}\text{e}^{{r(T-t)}}\text{d}W_{t},

    które po uporządkowaniu przyjmuje następującą postać

    \text{d}F_{t}=(\mu-r)F_{t}\,\text{d}t+\sigma F_{t}\,\text{d}W_{t}. (9.6)
  2. Korzystając z Lematu Itô obliczymy całkę stochastyczną

    \int _{0}^{t}W_{\tau}\text{d}W_{\tau}.

    Niech G(t,x)=x^{2}. Rozpatrzmy proces X=W, czyli \text{d}X_{t}=\text{d}W_{t} (a więc w równaniu (9.2) a_{t}\equiv 0 oraz b_{t}\equiv 1). Badamy proces Z_{t}=W_{t}^{2}=G(t,W_{t}). Na mocy lematu Itô, proces Z spełnia równanie

    \text{d}Z_{t}=\text{d}t+2W_{t}\text{d}W_{t},

    co w postaci całkowej oznacza, że

    W_{t}^{2}=t+2\int _{0}^{t}W_{\tau}\text{d}W_{\tau},

    skąd otrzymujemy

    \int _{0}^{t}W_{\tau}\text{d}W_{\tau}=\frac{1}{2}W_{t}^{2}-\frac{1}{2}t.

Rozwiązanie równania (9.1) i jego własności

Niech G(t,x)=\ln(x). Wówczas, na mocy Lematu Itô, proces G_{t}=\ln S_{t}, gdzie S jest dane przez (9.1), spełnia następujące równanie

\text{d}G_{t}=\left(0+\mu S_{t}\frac{1}{S_{t}}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S_{t}^{2}\cdot\left(-\frac{1}{S_{t}^{2}}\right)\right)\text{d}t+\sigma S_{t}\frac{1}{S_{t}}\text{d}W_{t},

które po uporządkowaniu przyjmuje następującą postać:

\text{d}(\ln S_{t})=\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\text{d}t+\sigma\text{d}W_{t}. (9.7)

W postaci całkowej (9.7) oznacza, że

\begin{split}\ln S_{t}&=\ln S_{0}+\int _{0}^{t}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2})\text{d}\tau+\int _{0}^{t}\sigma\text{d}W_{t}\\
&=\ln S_{0}+\big(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\big)\, t+\sigma W_{t},\end{split} (9.8)

skąd otrzymujemy

S_{t}=S_{0}\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right). (9.9)

W ten sposób ,,otrzymaliśmy” rozwiązanie równania stochastycznego (9.1). Przedstawiona powyżej metoda rozwiązania nie jest w pełni poprawna, bo po pierwsze zakłada istnienie rozwiązania, a po drugie zakłada jego dodatniość. O ile istnienie rozwiązania możemy uzyskać stosunkowo łatwo, powołując się na stosowne twierdzenie o istnieniu rozwiązań równania typu (9.2), to dodatniość rozwiązania nie jest taka oczywista. Możemy jednak naprawić nasze ,,rozwiązanie” w następujący sposób. Po prostu wystarczy sprawdzić czy proces S_{t} zdefiniowany równaniem (9.9) spełnia równanie (9.1) (Zadanie na Ćwiczenia).

Z równania (9.8) wynika, że

\ln S_{t}\sim N\left(\ln S_{0}+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t,\sigma^{2}t\right), (9.10)

czyli że S_{t} ma tak zwany rozkład log-normalny.

9.2. Rozkład logarytmicznej stopy zwrotu

Z równania (9.10) wynika, że logarytmiczna stopa zwrotu

\nu=\frac{1}{t}\ln\left(\frac{S_{t}}{S_{0}}\right)\sim N\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2},\frac{\sigma^{2}}{t}\right).

Stąd wynika, że ,,łatwiej” jest przewidzieć logarytmiczną stopę zwrotu w długim okresie czasu niż w krótszym okresie.

Logarytmiczna stopa oczekiwanego zwrotu

Korzystając z (9.9) i własności procesu Wienera można pokazać (Zadanie na Ćwiczenia), że

E(S_{t})=S_{0}\text{e}^{{\mu t}} (9.11)

oraz

\text{Var}(S_{t})=S_{0}^{2}\text{e}^{{2\mu t}}(\text{e}^{{\sigma^{2}t}}-1). (9.12)

Z (9.11) wynika, że

\mu=\frac{1}{t}\ln\left(\frac{E(S_{t})}{S_{0}}\right)

jest logarytmiczną stopą oczekiwanego zwrotu z inwestycji w aktywo S.

9.3. Zasada wyceny instrumentów pochodnych w modelu ciągłym

Podobnie jak w modelu dyskretnym wycena instrumentów pochodnych polega na przejściu do świata wolnego od ryzyka, w którym aktywa ryzykowne mają taką samą stopę zwrotu jak inwestycje wolne od ryzyka – stopę wolną od ryzyka. To podejście jest oparte na następującym twierdzeniu:

Twierdzenie 9.1

Jeżeli proces S spełnia równanie

\tag{(9.1)}\text{d}S_{t}=\mu S_{t}\text{d}t+\sigma S_{t}\text{d}W_{t}, (9.13)

to spełnia również równanie

\text{d}S_{t}=rS_{t}\text{d}t+\sigma S_{t}\text{d}\widetilde{W}_{t}, (9.14)

gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a przy przejściu do równania (9.14) (to jest, przy przejściu do świata wolnego od ryzyka) dokonaliśmy odpowiedniej zmiany procesu W_{t} na proces Wienera \tilde{W}_{t}. Ponadto istnieje miara probabilistyczna Q (tzw. miara martyngałowa) taka, że

\text{e}^{{-rT}}E^{Q}(S_{T})=S_{0},

a sprawiedliwa (wolna od arbitrażu) cena instrumentu pochodnego o funkcji wypłaty X_{T}=X(S_{T}) dana jest wzorem

\Pi _{0}=\text{e}^{{-rT}}E^{Q}(X(S_{T})). (9.15)

9.4. Wycena instrumentów pochodnych w modelu Blacka-Scholesa

Lemat 9.3

Jeżeli zmienna losowa S ma rozkład log-normalny, to

E(\max(S-K,0))=E(S)\Phi(d_{1})-K\Phi(d_{2}), (9.16)

gdzie \Phi jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, oraz

d_{1}=\frac{\ln(E(S)/K)+\frac{1}{2}\eta^{2}}{\eta}, (9.17)
d_{2}=\frac{\ln(E(S)/K)-\frac{1}{2}\eta^{2}}{\eta}, (9.18)

a \eta jest odchyleniem standardowym zmiennej \ln S.

Zapiszmy S w postaci

S=\text{e}^{{\ln S}}=\text{e}^{{\eta Y+m}},

gdzie m jest wartością oczekiwaną zmiennej \ln S, \eta odchyleniem standardowym \ln S, a Y\sim N(0,1). Wówczas

S>K\quad\Leftrightarrow\quad Y>-d_{2}=\frac{\ln K-m}{\eta}

i wtedy

\begin{split} E(\max(S-K,0))&=\int _{{-d_{2}}}^{{+\infty}}(\text{e}^{{\eta y+m}}-K)\,\phi(y)\,\text{d}y\\
&=\int _{{-d_{2}}}^{{+\infty}}\text{e}^{{\eta y+m}}\,\phi(y)\,\text{d}y-K\int _{{-d_{2}}}^{{+\infty}}\phi(y)\,\text{d}y,\end{split} (9.19)

gdzie \phi(y)=\text{e}^{{-y^{2}/2}}/\sqrt{2\pi} jest gęstością standardowego rozkładu normalnego.

Ponieważ

\text{e}^{{\eta y+m}}\,\phi(y)=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}\phi(y-\eta),

wyrażenie na wartość oczekiwaną (9.19) zapiszemy w postaci

\begin{split} E(\max(S-K,0))&=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}\int _{{-d_{2}}}^{{+\infty}}\phi(y-\eta)\,\text{d}y-K\int _{{-d_{2}}}^{{+\infty}}\phi(y)\,\text{d}y\\
&=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}\int _{{-d_{2}-\eta}}^{{+\infty}}\phi(y)\,\text{d}y-K\int _{{-d_{2}}}^{{+\infty}}\phi(y)\,\text{d}y.\end{split} (9.20)

Korzystając z symetrii gęstości standardowego rozkładu normalnego, wyrażenie (9.20) przekształcamy do następującej postaci:

\begin{split} E(\max(S-K,0))&=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}\int _{{-\infty}}^{{d_{1}}}\phi(y)\,\text{d}y-K\int _{{-\infty}}^{{d_{2}}}\phi(y)\,\text{d}y\\
&=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}\Phi(d_{1})-K\Phi(d_{2}),\end{split} (9.21)

gdzie d_{1}=d_{2}+\eta, a \Phi jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Z własności zmiennych losowych o rozkładzie log-normalnym wynika, że

m=\ln(E(S))-\frac{1}{2}\,\eta^{2}. (9.22)

Wykorzystując ten związek pokazujemy, że d_{1} i d_{2} są określone wyrażeniami (9.17) i (9.18) odpowiednio. Ponadto E(S)=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}, co, po uwzględnieniu w (9.21) daje nam ostatecznie (9.16).

9.5. Formuły Blacka-Scholesa dla europejskich opcji waniliowych

\blacktriangleright Opcje kupna

Wycenimy europejską opcję kupna aktywa, które nie przynosi dochodu w trakcie trwania opcji. Zakładamy, że cena aktywa S spełnia równanie (9.1). Zgodnie z zasadą wyceny instrumentów pochodnych wartość opcji kupna dana jest wzorem

C_{0}=\text{e}^{{-rT}}E^{Q}(\max(S_{T}-K,0)),

gdzie Q jest miarą martyngałową w świecie wolnym od ryzyka. W tym świecie cena aktywa jest procesem opisanym równaniem

\text{d}S_{t}=rS_{t}\text{d}t+\sigma S_{t}\text{d}\widetilde{W}_{t}, (9.23)

gdzie r jest stopą zwrotu z inwestycji wolnych od ryzyka (która pojawia się w miejsce stopy \mu w (9.1)), a \tilde{W}_{t} jest odpowiednio zmodyfikowanym procesem Wienera, który pojawia się w miejsce procesu Wienera W_{t} w (9.1) przy przejściu do świata wolnego od ryzyka. Wówczas, S_{T} ma rozkład log-normalny (patrz (9.10)) oraz jak wynika z (9.11)

E^{Q}(S_{T})=S_{0}\text{e}^{{rT}}. (9.24)

Po wstawieniu równości (9.24) do wzoru (9.16) z Lematu 9.3 otrzymujemy

C_{0}=\text{e}^{{-rT}}\left(E^{Q}(S_{T})\Phi(d_{1})-K\Phi(d_{2})\right)=S_{0}\Phi(d_{1})-\text{e}^{{-rT}}K\Phi(d_{2}), (9.25)

gdzie wyrażenia na d_{1} i d_{2} przyjmują postać

d_{1}=\frac{\ln(S_{0}/K)+rT+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}, (9.26)
d_{2}=\frac{\ln(S_{0}/K)+rT-\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}, (9.27)

przy przekształceniu których uwzględniliśmy fakt, że odchylenie standardowe \ln S_{T} wynosi \sigma\sqrt{T} (patrz (9.10)).

\blacktriangleright Opcje sprzedaży

Europejską opcję sprzedaży możemy wycenić stosując podobne podejście jak w przypadku opcji kupna – przez obliczenie wyrażenia

P_{0}=\text{e}^{{-rT}}E^{Q}(\max(K-S_{T},0)),

korzystając z odpowiednio zmodyfikowanego Lematu 9.3. Możemy też posłużyć się parytetem opcji kupna-sprzedaży dla wyliczenia wartości opcji sprzedaży z wartości opcji kupna. Postępując w ten drugi sposób otrzymujemy

P_{0}=C_{0}-(S_{0}-\text{e}^{{-rT}}K)=S_{0}(\Phi(d_{1})-1)-\text{e}^{{-rT}}K(\Phi(d_{2})-1),

co, po skorzystaniu z tożsamości \Phi(x)+\Phi(-x)=1, zapiszemy w następującej postaci

P_{0}=-S_{0}\Phi(-d_{1})+\text{e}^{{-rT}}K\Phi(-d_{2}). (9.28)

Wzory (9.25) i (9.28) przedstawiają wycenę opcji w chwili t=0, których czas trwania wynosił T. Przyjęcie t=0 było tylko kwestią wygody. Wycenę opcji w chwili t\in[0,T) uzyskujemy traktując t jako chwilę początkową, w której znamy wartości argumentów funkcji C i P, a T-t jako pozostały do wygaśnięcia opcji czas trwania. W szczególności, jako wartość początkową aktywa bierzemy S_{t} – jego wartość ustaloną w chwili t<T. Wówczas wzory na wycenę opcji waniliowych przyjmują postać

C_{t}=S_{t}\Phi(d_{1})-\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(d_{2}), (9.29)
P_{t}=-S_{t}\Phi(-d_{1})+\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(-d_{2}), (9.30)

gdzie

d_{1}=\frac{\ln(S_{t}/K)+r(T-t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t}. (9.31)

We wzorach (9.29)–(9.31) stopa procentowa r oraz zmienność \sigma oznaczają ich wartości ustalone w chwili wyceny t na pozostały do wygaśnięcia opcji czas trwania, przy czym dla czytelności zapisu zaznaczenie zależności tych zmiennych od t zostało pominięte.

Uwaga 9.2

Wzory: (9.29) na wartość opcji kupna i (9.30) na wartość opcji sprzedaży możemy zapisać jedną formułą z dodatkowym parametrem \omega, który będzie określał która opcja, kupna czy sprzedaży, jest wyceniana. Mianowicie formuła

V_{t}=\omega\left(S_{t}\Phi(\omega d_{1})-\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(\omega d_{2})\right) (9.32)

dla \omega=1 daje wycenę opcji kupna, a dla \omega=-1 wycenę opcji sprzedaży.

I n t e r p r e t a c j e:

  1. Wartość dystrybuanty \Phi(d_{2}) określa prawdopodobieństwo (w świecie wolnym od ryzyka) wykonania opcji kupna.

  2. Na wzór (9.25) na wycenę opcji kupna możemy spojrzeć jak na wartość portfela, który składa się z

    • \Delta=\Phi(d_{1}) ,,sztuk” aktywa ryzykownego, oraz

    • inwestycji w instrument wolny od ryzyka (rachunek bankowy) na kwotę równą e^{{-r(T-t)}}K\Phi(d_{2}).

Zbadamy teraz zachowanie się formuł na wycenę w kilku skrajnych przypadkach. Zrobimy to w przypadku opcji kupna.

\blacktriangleright\quadS_{t}\gg K (opcja kupna mocno w cenie)

Wówczas d_{1}, d_{2} są duże i wtedy \Phi(d_{1}) oraz \Phi(d_{2}) są bliskie jedności. Zatem, w tym przypadku

C_{t}\simeq S_{t}-\text{e}^{{-r(T-t)}}K,

czyli wartość opcji kupna jest w przybliżeniu równa wartości kupionego kontraktu Forward. Możemy powiedzieć, że opcja kupna mocno w cenie jest równoważna kupionemu kontraktowi Forward.

\blacktriangleright\quadS_{t}\ll K (opcja kupna mocno poza ceną)

Wówczas d_{1}\ll 0 oraz d_{2}\ll 0 i wtedy \Phi(d_{1}) oraz \Phi(d_{2}) są bliskie zera. Zatem, w tym przypadku

C_{t}\simeq 0,

czyli opcja jest prawie bezwartościowa.

\blacktriangleright\quad\sigma\rightarrow 0

Niech F_{t}=\text{e}^{{-r(T-t)}}S_{t} oznacza cenę forward w chwili t aktywa dla kontraktu, który zapada w T.

(a) Dla S_{t}>\text{e}^{{-r(T-t)}}K, czyli gdy F_{t}>K

d_{1}=\frac{\ln(S_{t}/\text{e}^{{-r(T-t)}}K)}{\sigma\sqrt{T-t}}+\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\rightarrow+\infty,

oraz

d_{2}=\frac{\ln(S_{t}/\text{e}^{{-r(T-t)}}K)}{\sigma\sqrt{T-t}}-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\rightarrow+\infty,

przy \sigma\rightarrow 0. Wówczas

C_{t}\rightarrow S_{t}-\text{e}^{{-r(T-t)}}K.

(b) Dla S_{t}<\text{e}^{{-r(T-t)}}K, czyli gdy F_{t}<K

d_{1}\rightarrow-\infty\quad\text{ oraz}\quad d_{2}\rightarrow-\infty.

Zatem

C_{t}\rightarrow 0.

(c) Dla S_{t}=\text{e}^{{-r(T-t)}}K, czyli gdy F_{t}=K

d_{1}=+\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\rightarrow 0\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\rightarrow 0.

Wówczas

C_{t}\rightarrow S_{t}\Phi(0)-\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(0)=0.

Pokazaliśmy więc, że gdy \sigma\rightarrow 0, to

C_{t}\rightarrow\max\left(S_{t}-\text{e}^{{-r(T-t)}}K,0\right)=\text{e}^{{-r(T-t)}}\max\left(F_{t}-K,0\right).

\blacktriangleright\quadt\rightarrow T (warunek brzegowy dla opcji)

(a) Dla \lim _{{t\rightarrow T}}S_{t}=S_{T}>K

d_{1}=\frac{\ln(S_{t}/K)}{\sigma\sqrt{T-t}}+\frac{r+\frac{1}{2}\sigma^{2}}{\sigma}\sqrt{T-t}\rightarrow+\infty,

oraz

d_{2}=\frac{\ln(S_{t}/K)}{\sigma\sqrt{T-t}}+\frac{r-\frac{1}{2}\sigma^{2}}{\sigma}\sqrt{T-t}\rightarrow+\infty

przy t\rightarrow T. Wówczas

C_{t}\rightarrow S_{T}-K.

(b) Dla \lim _{{t\rightarrow T}}S_{t}=S_{T}<K

d_{1}\rightarrow-\infty\quad\text{oraz}\quad d_{2}\rightarrow-\infty.

Zatem

C_{t}\rightarrow 0.

(c) Dla \lim _{{t\rightarrow T}}S_{t}=S_{T}=K

\lim _{{t\rightarrow T}}d_{1}=\lim _{{t\rightarrow T}}d_{2},

o ile istnieje granica \lim _{{t\rightarrow T}}\ln(S_{t}/K)/\sigma\sqrt{T-t}, i wtedy

C_{t}\rightarrow 0.

Pokazaliśmy więc, że spełniony jest warunek brzegowy, w tym sensie, że

\lim _{{t\rightarrow T}}C_{t}=\max(S_{T}-K,0).

9.6. Proste uogólnienia formuł Blacka-Scholesa

\blacktriangleright Aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód (np. akcja z dywidendą)

Niech D_{0} oznacza wartość bieżącą dochodu, który da aktywo w trakcie pozostałego do wygaśnięcia opcji okresu. Wówczas wartość opcji dana jest wzorami (9.25) – (9.28), w których w miejsce S_{0} podstawiamy S_{0}-D_{0}. Jeżeli zmienność \sigma jest estymowana na podstawie zaobserwowanych historycznych wartości aktywa, to zmienność którą należy użyć przy obliczaniu d_{1} i d_{2} jest w przybliżeniu tą wyestymowaną zmiennością historyczną przemnożoną przez współczynnik S_{0}/(S_{0}-D_{0}). Natomiast zmienność implikowana (patrz Wykład 11), jeśli jest stosowana do wyceny opcji, nie wymaga żadnej korekcji.

\blacktriangleright Aktywo ryzykowne przynosi ,,ciągły” dochód (np. indeks giełdowy, kurs walutowy)

Zakładamy, że S spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) następujące równanie

\text{d}S_{t}=(r-\delta)S_{t}\text{d}t+\sigma S_{t}\text{d}\widetilde{W}_{t}, (9.33)

gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a \delta jest stopą dochodu (stopą dywidendy), kapitalizowanymi w sposób ciągły. Korzystając z Lematu Itô, można łatwo pokazać, że wówczas proces S_{t}^{*}=S_{t}\text{e}^{{-\delta(T-t)}} spełnia równanie

\text{d}S_{t}^{*}=rS_{t}^{*}\text{d}t+\sigma S_{t}^{*}\text{d}\widetilde{W}_{t}. (9.34)

Ponadto, w chwili wygaśnięcia opcji S_{T}^{*}=S_{T}. Zatem, opcje, których instrumentem podstawowym jest S płacące ciągłą dywidendę, możemy traktować jak opcje których instrumentem podstawowym jest aktywo S^{*} niepłacące dywidendy i wycenić je wzorami (9.25)–(9.28) dla wartości początkowej aktywa S_{0}^{*}=S_{0}\text{e}^{{-\delta T}}. Wzory te przyjmują wówczas następującą postać

C_{0}=\text{e}^{{-\delta T}}S_{0}\Phi(d_{1})-\text{e}^{{-rT}}K\Phi(d_{2}), (9.35)
P_{0}=-\text{e}^{{-\delta T}}S_{0}\Phi(-d_{1})+\text{e}^{{-rT}}K\Phi(-d_{2}), (9.36)

gdzie

d_{1}=\frac{\ln(S_{0}/K)+(r-\delta)T+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T}. (9.37)

Analogicznie, jak poprzednio wzory na wycenę w dowolnej chwili czasu t<T mają postać

C_{t}=\text{e}^{{-\delta(T-t)}}S_{t}\Phi(d_{1})-\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(d_{2}), (9.38)
P_{t}=-\text{e}^{{-\delta(T-t)}}S_{t}\Phi(-d_{1})+\text{e}^{{-r(T-t)}}K\Phi(-d_{2}), (9.39)

gdzie

d_{1}=\frac{\ln(S_{t}/K)+(r-\delta)(T-t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t}. (9.40)

Jeżeli w formułach Blacka-Scholesa (9.38)–(9.40) cenę bieżącą S_{t} instrumentu podstawowego wyrazimy przez cenę forward

F_{t}=\text{e}^{{(r-\delta)(T-t)}}S_{t},

otrzymamy tak zwane formuły Blacka

C_{t}=\text{e}^{{-r(T-t)}}\left(F_{t}\Phi(d_{1})-K\Phi(d_{2})\right), (9.41)
P_{t}=\text{e}^{{-r(T-t)}}\left(-F_{t}\Phi(-d_{1})+K\Phi(-d_{2})\right), (9.42)

gdzie

d_{1}=\frac{\ln(F_{t}/K)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t}. (9.43)

9.7. Wycena instrumentów pochodnych metodą Monte Carlo

Uzyskanie jawnych wzorów analitycznych na wycenę waniliowych opcji europejskich było możliwe dzięki szczególnej postaci funkcji wypłaty tych opcji i rozkładu zmiennej S_{T}, które umożliwiały obliczenie wartości oczekiwanej we wzorze na wycenę instrumentu pochodnego

\Pi _{0}=\text{e}^{{-rT}}E^{Q}(X(S_{T})). (9.44)

W przypadku, gdy obliczenie całki występującej w (9.44) jest niemożliwe lub trudne do przeprowadzenia, jedynym ze sposobów na uzyskanie przybliżonej wartości \Pi _{0} jest zastosowanie symulacji Monte Carlo.

Naiwny algorytm symulacji Monte Carlo dla opcji o europejskim typie wykonania:

  1. Dla i=1,\ldots,N

    • Generuj trajektorię S^{{(i)}} procesu S w świecie wolnym od ryzyka startując z wartości początkowej S_{0} aż do chwili zapadalności instrumentu pochodnego T zgodnie z przyjętym modelem stochastycznym.

    • Dla wygenerowanej trajektorii S^{{(i)}} wyznacz wartość wypłaty instrumentu pochodnego X^{{(i)}}=X(S^{{(i)}}).

  2. Oblicz przybliżoną wartość instrumentu pochodnego

    \Pi _{0}\simeq\text{e}^{{-rT}}\cdot\frac{1}{N}\sum _{{i=1}}^{N}X^{{(i)}} (9.45)

W przypadku gdy S spełnia równanie (9.14), generowanie trajektorii jest proste, bowiem znamy dokładne rozwiązanie tego równania – patrz (9.9) z \mu=r. Korzystając z tego rozwiązania, wartości S w chwilach czasu t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{m}=T generujemy w następujący sposób

S_{{t_{{k}}}}=S_{{t_{{k-1}}}}\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)(t_{{k}}-t_{{k-1}})+\sigma\sqrt{t_{{k}}-t_{{k-1}}}\,\xi _{k}\right),\quad\text{ dla }k=1,\ldots m, (9.46)

gdzie t_{0}=0 a \xi _{k} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0,1).

Uwagi

  1. Jeżeli wypłata instrumentu pochodnego zależy tylko od wartości instrumentu podstawowego w chwili T i dysponujemy dokładnym rozwiązaniem równania opisującego proces S, nie musimy symulować wartości S_{{t_{k}}} dla t_{k}<T. Możemy od razu generować wartości S_{T}. Na przykład, gdy S spełnia równanie (9.14), S_{T} generujemy korzystając ze wzoru

    S_{{T}}=S_{{0}}\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T+\sigma\sqrt{T}\,\xi\right),\quad\text{ gdzie }\xi\sim N(0,1). (9.47)
  2. Jeżeli wypłata instrumentu pochodnego zależy od trajektorii procesu S (zależy od drogi) – jak np. przypadku opcji azjatyckich – musimy symulować wartości S_{{t_{k}}} (w chwilach czasu t_{k}\leq T) od których zależy wartość wypłaty.

  3. W przypadku, gdy nie mamy dokładnego rozwiązania równania stochastycznego, które opisuje proces S, symulując ten proces musimy się posłużyć zdyskretyzowaną postacią równania stochastycznego. Na przykład, dla równania (9.2) napisanego dla procesu S, wartości S symulujemy korzystając z

    S_{{t_{{k}}}}=S_{{t_{{k-1}}}}+a_{{t_{{k-1}}}}(t_{{k}}-t_{{k-1}})+b_{{t_{{k-1}}}}\sqrt{t_{{k}}-t_{{k-1}}}\,\xi _{k},\quad\text{
dla }k=1,\ldots m, (9.48)

    gdzie \xi _{k} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0,1) i poruszając się dostatecznie małymi krokami czasowymi \tau _{k}=t_{{k}}-t_{{k-1}}.

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 9.1

Pokaż, że proces S_{t} zdefiniowany równaniem (9.9) spełnia równanie (9.1).

Ćwiczenie 9.2

Pokaż, że jeżeli S=\text{e}^{{m+\eta Y}}, gdzie Y\sim N(0,1), (inaczej \ln S\sim N(m,\eta^{2})), to

E(S)=\text{e}^{{m+\eta^{2}/2}}

oraz

\text{Var}(S)=\text{e}^{{2m+\eta^{2}}}\left(\text{e}^{{\eta^{2}}}-1\right).

Korzystając z tych wzorów, wykaż równości (9.11) i (9.12).

Wskazówka: 

Jeżeli X\sim N(0,1) to funkcja tworząca momenty M_{X}(t)=E(\text{e}^{{tX}})=\text{e}^{{t^{2}/2}} dla t\in\mathbb{R}.

Ćwiczenie 9.3

Niech Z_{t}=\text{e}^{{\alpha X_{t}}}, gdzie X spełnia równanie

\text{d}X_{t}=\mu\text{d}t+\sigma\text{d}W_{t},

a \alpha, \mu i \sigma są stałymi. Wyprowadź równanie na proces Z.

Ćwiczenie 9.4

Niech Z_{t}=X_{t}^{\alpha}, gdzie X spełnia równanie

\text{d}X_{t}=\mu X_{t}\text{d}t+\sigma X_{t}\text{d}W_{t},

a \alpha, \mu i \sigma są stałymi. Wyprowadź równanie na proces Z.

Ćwiczenie 9.5
  • (a) Cash-or-Nothing Options

    Wyceń europejskie opcje binarne, których wypłaty dane są funkcjami:

    • \mathcal{H}(S_{T}-K) dla opcji kupna,

    oraz

    • \mathcal{H}(K-S_{T}) dla opcji sprzedaży,

    gdzie \mathcal{H} jest funkcją Heaviside'a.

  • (b) Asset-or-Nothing Options

    Wyceń europejskie opcje binarne, których wypłaty dane są funkcjami:

    • S_{T}\mathcal{H}(S_{T}-K) dla opcji kupna,

    oraz

    • S_{T}\mathcal{H}(K-S_{T}) dla opcji sprzedaży,

    gdzie \mathcal{H} jest funkcją Heaviside'a.

Wskazówka: 

Jeśli dobrze zrozumiałeś wyprowadzenie wzorów Blacka-Scholesa, to będziesz umiał z nich ,,odczytać” rozwiązanie.

Ćwiczenie 9.6

Wyceń europejską opcję ,,zapłać później”, to jest opcję europejską za którą nabywca płaci premię w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy opcja wygasa w cenie.

Ćwiczenie 9.7

Wyceń europejską opcję, której ceną wykonania będzie ustalona wielokrotność zaobserwowanej ceny aktywa w ustalonej chwili czasu T_{0} w trakcie trwania opcji. Na przykład, dla opcji kupna wartość wypłaty tej opcji dana jest wzorem \max(S_{T}-\alpha S_{{T_{0}}},0), gdzie 0\leq T_{0}<T, a \alpha>0 jest dane.

Ćwiczenie 9.8

Dla opcji sprzedaży sformułuj i udowodnij lemat analogiczny do Lematu 9.3.

Ćwiczenie 9.9

Rozpatrzmy europejskie opcje azjatyckie o ustalonej cenie wykonania K, których wartość wypłaty zależy od średniej geometrycznej

\bar{S}_{T}=\exp\left(\frac{1}{T}\int _{0}^{T}\ln S_{\tau}\text{d}\tau\right).

Przy założeniu że proces S spełnia równanie (9.1), oblicz

  • (a) wariancję \ln\bar{S}_{T},

  • (b) wartość oczekiwaną \bar{S}_{T},

  • (c) cenę azjatyckiej opcji kupna.

Ćwiczenie 9.10

Rozpatrzmy opcje europejskie o czasie trwania T, które są w chwili bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie, których cena wykonania K i bieżąca cena akcji S spełniają warunek

S=K\exp(-(r-\delta)T),

gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a \delta stopą (ciągłej) dywidendy.

Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą

V=\text{e}^{{-\delta T}}S\left(\Phi\big(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\big)-\Phi\big(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T})\right).

Ponadto, pokaż, że dla małych wartości \sigma\sqrt{T}, zachodzi przybliżony wzór

V\approx 0.4\,\text{e}^{{-\delta T}}S\,\sigma\sqrt{T}.

W powyższych wzorach \sigma oznacza zmienność akcji, a \Phi – dystrybuantę rozkładu N(0,1).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.