Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 2. Rynek jednookresowy dwustanowy – MIM UW

Zagadnienia

2. Rynek jednookresowy dwustanowy

2.1. Model rynku jednookresowego dwustanowego

Zaczniemy od odpowiedzi na postawione w rozdziale I pytania o wycenę i zabezpieczenie na przykładzie najprostszego rynku finansowego. Jest to rynku jednookresowy dwustanowy. Na tym rynku transakcje odbywają się w dwu chwilach: 0T oraz są możliwe dwa scenariusze wypadków, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych to \Omega=\{\omega _{1},\omega _{2}\}. Zwykle umawiamy się, że \omega _{1} oznacza sytuację interpretowaną jako korzystna, zaś \omega _{2} jako niekorzystna. Ponadto {\cal F}=2^{{\Omega}}, a prawdopodobieństwo P (tzw. prawdopodobieństwo rzeczywiste) jest takie, że P(\{\omega _{1}\})=p>0, P(\{\omega _{2}\})=1-p>0.

Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (np. akcje) i drugi pozbawiony ryzyka — inwestycja polegająca na włożeniu pieniędzy na rachunek bankowy. Ryzyko rozumiemy tu jako niemożność przewidzenia ceny w przyszłości, zależy ona od zajścia konkretnego scenariusza. Niech:

S_{{t}} oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w chwili t,

B_{{t}} oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w chwili t,

gdzie t\in\{ 0,T\}. Zakładamy, że stopa procentowa jest stała i nieujemna, zatem wynosi r (r\geq 0) w okresie czasu od 0 do T, czyli w naszym przypadku mamy

B_{0}=1,\quad B_{{T}}=1+r. (2.1)

Natomiast

S_{{0}}=s>0,\qquad S_{{T}}(\omega)=\begin{cases}S^{{u}},&\text{ gdy }\omega=\omega _{1},\\
S^{{d}},&\text{ gdy }\omega=\omega _{2},\end{cases} (2.2)

bowiem S_{{T}} przyjmuje dwie wartości, gdyż mamy do czynienia z dwoma scenariuszami. Możemy bez straty ogólności przyjąć, że S^{{u}}>S^{{d}} (dlatego \omega _{1} nazwaliśmy scenariuszem korzystnym). Cenę S_{{T}} możemy zapisać w innej, przydatnej czasami postaci:

S_{{T}}=S_{0}Z~=s\, Z, (2.3)

gdzie Z-1 wskazuje, o ile procent zmieniła się cena początkowa,

Z~(\omega)=\begin{cases}u,&\text{ gdy }\omega=\omega _{1},\\
d,&\text{ gdy }\omega=\omega _{2}.\end{cases}

2.2. Problem wyceny. Portfel replikujący, arbitraż.

Pierwsza próba wyceny kontraktu związana jest z wykorzystaniem metod matematyki ubezpieczeniowej. Zaprezentujemy ją na przykładzie.

Przykład 2.1

Aktywo ryzykowne kosztuje S_{0}=3/2 w chwili t=0. Zakładamy, że możliwe (i jednakowo prawdopodobne) są dwa scenariusze wydarzeń do chwili T; cena aktywa ryzykownego w chwili T=1 może wynieść S_{{1}}(\omega _{1})=10 lub S_{{1}}(\omega _{2})=2. Wiemy także, że cena aktywa bez ryzyka jest równa B_{0}=1 na początku okresu i B_{{1}}=2 na końcu. Interesuje nas, jak wycenić opcję kupna dającą wypłatę końcową C_{{1}}=(S_{{1}}-K)^{{+}}, gdy K=5.

a) Skorzystamy z metod matematyki ubezpieczeniowej. Dla ustalonego scenariusza wartość dzisiejsza strumienia pieniędzy jest równa sumie zdyskontowanych przepływów. Zatem możemy przypuszczać, że cena opcji jest wartością obecną opcji, a tę liczymy jako wartość oczekiwaną zdyskontowanej wypłaty. Wobec tego cena opcji C_{0} jest równa

C_{0}=\frac{B_{0}}{B_{{1}}}E(C_{{1}})=\frac{1}{2}[0{,}5\cdot 5+0{,}5\cdot 0]=5/4,

ponieważ C_{{1}}(\omega _{1})=5 i C_{{1}}(\omega _{2})=0.

Tak wyliczona cena opcji jest równa 5/4, ale nikt rozsądny nie będzie kupował opcji za tę cenę, gdyż lepiej kupić za te pieniądze 5/6 akcji. Wynika to z faktu, że gdy cena akcji wzrośnie, to 5/6 akcji jest warte 50/6, a opcja daje wypłatę 5, a gdy cena akcji wynosi 2, to opcja jest bezwartościowa. Inwestycja w akcje daje zawsze większy zysk niż opcja. Przy tej wycenie na rynku pojawiła się możliwość uzyskania zysku bez ryzyka. Sprzedajemy opcje i za uzyskane pieniądze kupujemy akcje. Nie zainwestowaliśmy żadnych własnych pieniędzy, a w chwili 1 mamy pewny zysk.

b) Poprzednia sytuacja wynikła z przyjęcia założenia, że oba scenariusze wydarzeń są równoprawdopodobne. Załóżmy, że scenariusze mają różne szanse realizacji. Niech scenariusz niekorzystny ma 3 razy większe szanse zajścia. Wtedy P(\{\omega _{1}\})=1/4, P(\{\omega _{2}\})=3/4 i

C_{0}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}\cdot 5+0\right]=\frac{5}{8}.

Jeśli inny inwestor będzie miał inne wyobrażenie o rzeczywistości i przyjmie na przykład, że P(\{\omega _{1}\})=1/5, to wtedy C_{0}=1/2.

Tu oczywiście widać, że tak wyznaczona wielkość zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, zatem od oszacowania rynku przez inwestora. Gdy dla innego inwestora oszacowanie szans zmian na rynku P jest inne, to i wartość zdyskontowana wypłaty będzie inna. Która wielkość uznać za cenę? Czym jest cena?

Zajmiemy się teraz znalezieniem właściwego sposobu wyceny opcji. Chcemy wycenić je w zgodzie z cenami aktywa bazowego danymi przez rynek, a więc szukamy ceny opcji w terminach cen rynkowych aktywa bazowego. Jak już zauważyliśmy, opcję europejską można utożsamiać z wypłatą. Od tej pory każde aktywo pochodne będziemy utożsamiali z wypłatą X generowaną przez to aktywo. Wypłata zależy od scenariusza, więc X jest zmienną losową.

Definicja 2.1

Dowolną zmienną losową określoną na \Omega nazwiemy wypłatą X w chwili T.

W tym modelu jest oczywiste, że dowolna wypłata X=f(S_{T}) dla pewnego f. Okazuje się, że można dobrze wycenić wypłatę korzystając z idei portfela replikującego. Portfelem nazwiemy parę liczb \varphi=(\beta _{0},\alpha _{0}), gdzie \alpha _{0} jest liczbą posiadanych akcji w chwili zero, zaś \beta _{0} jest wysokością wkładu bankowego (ewentualnie wielkością kredytu, gdy \beta _{0}<0) w chwili zero. Dla przykładu, portfel (4,-2) oznacza, że w portfelu są cztery akcje, czyli inwestor kupił 4 akcje i pożyczył 2 z banku (2 jednostki pieniądza). Każda para (\beta,\alpha)\in\ \mathbb{R}^{{2}} tworzy portfel, co odzwierciedla fakt, że można handlować dowolną liczbą aktywów (są one doskonale podzielne), dopuszczenie wartości ujemnych \beta oznacza, że możemy dowolnie dużo pożyczać, a dopuszczenie wartości ujemnych \alpha oznacza, że rynek ten dopuszcza także krótką sprzedaż (short-selling) akcji. Krótka sprzedaż polega na pożyczeniu i sprzedaży akcji w chwili 0 oraz odkupieniu tej samej liczby akcji i ich zwrocie w chwili T. Posługując się żargonem finansowym, mówimy, że inwestor zajął pozycję krótką w akcjach. Zbiór wszystkich możliwych portfeli oznaczać będziemy przez \Phi. W modelu, który przyjęliśmy \Phi=\ \mathbb{R}^{2}. Przy innych założeniach o rynku zbiór wszystkich rozważanych portfeli może mieć inną postać, np. gdy nie dopuszczamy krótkiej sprzedaży, a dopuszczamy możliwość wzięcia kredytu to \Phi=\{(\beta,\alpha):\ \alpha\geq 0,\beta\in\mathbb{R}\}.

Niech \varphi=(\beta _{0},\alpha _{0}) będzie portfelem inwestora. Wartość (bogactwo) portfela \varphi=(\beta _{0},\alpha _{0}) w chwili t, oznaczane przez V_{{t}}(\varphi), wynosi dla t=0t=T odpowiednio:

\displaystyle V_{0}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle\alpha _{0}S_{0}+\beta _{0},
\displaystyle V_{{T}}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle\alpha _{0}S_{{T}}+\beta _{0}(1+r).

Tak jest, gdyż skład portfela ustaliliśmy w chwili początkowej (t=0) i nie ulega on zmianie do chwili końcowej równej T.

Inwestor sprzedający wypłatę X musi umieć ją zabezpieczyć, co oznacza, że wartość portfela, który sprzedający wypłatę zbudował za otrzymane ze sprzedaży pieniądze musi być w chwili T równa X.

Definicja 2.2

Mówimy, że portfel \varphi replikuje wypłatę X, gdy wartość końcowa portfela jest równa X, czyli

V_{{T}}(\varphi)(\omega _{i})=X(\omega _{i})

dla i=1,2.

Portfel replikujący jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty X, gdyż eliminuje całkowicie ryzyko związane z niepewnością, który scenariusz się zrealizuje. Na pytanie, dla jakich wypłat istnieje portfel replikujący odpowiada

Twierdzenie 2.1

Dla każdej wypłaty istnieje dokładnie jeden portfel replikujący. Dla wypłaty X ma on postać

\alpha _{0}=\frac{X^{{u}}-X^{{d}}}{S^{{u}}-S^{{d}}},\qquad\beta _{0}=\frac{X^{{d}}S^{{u}}-X^{{u}}S^{{d}}}{(1+r)(S^{{u}}-S^{{d}})}, (2.4)

gdzie X^{{u}}=X(\omega _{1}), X^{{d}}=X(\omega _{2}).

Portfel replikujący \varphi=(\beta _{0},\alpha _{0}) dla wypłaty X jest zadany przez układ równości:

\displaystyle\alpha _{0}S^{{u}}+(1+r)\beta _{0} \displaystyle= \displaystyle X^{{u}}, (2.5)
\displaystyle\alpha _{0}S^{{d}}+(1+r)\beta _{0} \displaystyle= \displaystyle X^{{d}} (2.6)

i ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem (2.4) dla dowolnych X^{{u}}, X^{{d}}, zatem dla dowolnej wypłaty portfel jest wyznaczony jednoznacznie.

Naturalnym jest zdefiniowanie ceny racjonalnej (godziwej) wypłaty X jako początkowej inwestycji potrzebnej do konstrukcji portfela replikującego, czyli:

Definicja 2.3

Racjonalną ceną w chwili 0 wypłaty X nazywamy liczbę

\Pi _{0}(X):=V_{0}(\varphi), (2.7)

gdzie \varphi jest portfelem replikującym wypłatę X.

Z tej definicji wynika, że racjonalna cena wypłaty nie zależy od subiektywnych ocen prawdopodobieństw zmian cen akcji, nie zależy więc od prawdopodobieństwa P. Ta cecha ceny racjonalnej pozwala uznać ją za obiektywny miernik wartości wypłaty w przyjętym modelu. Należy podkreślić, że w tym modelu wszyscy inwestorzy zgadzają się co do przyszłych wielkości cen akcji, czyli do tego że ceny mogą przyjmować dwie znane z góry wartości.

Ćwiczenie 2.1

Znaleźć cenę racjonalną wypłaty X.

Rozwiązanie: 

Korzystając z tw. 2.1 otrzymujemy, że cena racjonalna wypłaty X jest równa

\Pi _{0}(X)=\alpha _{0}S_{0}+\beta _{0}=\frac{X^{{u}}((1+r)S_{0}-S^{{d}})+X^{{d}}(S^{{u}}-(1+r)S_{0})}{(1+r)(S^{u}-S^{d})}. (2.8)
Ćwiczenie 2.2

Niech \Omega=\{\omega _{1},\omega _{2}\}. Inwestor uważa, że prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji wynosi P(\{\omega _{{1}}\})=0{,}2, a spadku P(\{\omega _{{2}}\})=0{,}8. Akcja kosztująca teraz S_{0}=260 za 3 miesiące będzie miała cenę

S_{{T}}(\omega)=\begin{cases}S^{{u}}=340,&\text{ gdy }\omega=\omega _{1},\\
S^{{d}}=220,&\text{
gdy }\omega=\omega _{2}.\end{cases}

Niech stopa procentowa na depozyt 3-miesięczny wynosi r=1\%. Wycenić opcję kupna z ceną wykonania K=280 i momentem wygaśnięcia za 3 miesiące.

Rozwiązanie: 

Wypłata z tej opcji ma postać

X=C_{{T}}=\begin{cases}60,&\text{ gdy }\omega=\omega _{1},\\
0,&\text{ gdy }\omega=\omega _{2}.\end{cases}

Portfel \varphi replikuje opcję, gdy V_{{T}}(\varphi)=C_{{T}}, czyli gdy

V_{{T}}(\omega)=\alpha S_{{T}}(\omega)+(1+r)\beta=(S_{{T}}(\omega)-K)^{{+}}

dla \omega=\omega _{{1}} i dla \omega=\omega _{{2}}. Zatem dla wartości podanych w przykładzie otrzymujemy, że portfel \varphi=(\beta,\alpha) jest portfelem replikującym, gdy

\displaystyle 340\alpha+1{,}01\beta \displaystyle= \displaystyle 60,
\displaystyle 220\alpha+1{,}01\beta \displaystyle= \displaystyle 0.

Ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

\alpha=\frac{1}{2},\qquad\beta=-\frac{110}{1{,}01}=-108{,}99.

Stąd cena racjonalna wypłaty X z opcji jest równa

C_{0}=\Pi _{0}(X)=V_{0}(\varphi)=1/2\cdot 260-108{,}99=21{,}01.
Ćwiczenie 2.3

Opisać postępowanie inwestora sprzedającego opcję kupna i chcącego zabezpieczyć wypłatę z opcji. Co się dzieje, gdy opcja jest sprzedawana po cenie innej niż racjonalna?

Rozwiązanie: 

W chwili t=0 inwestor postępuje następująco:
Działanie rozliczenie
Sprzedaje jedną opcję C_{0}
Kupuje \alpha sztuk akcji -\alpha S_{0}
Tworzy depozyt bankowy (ew. bierze kredyt) -\beta _{0}

Na mocy definicji racjonalnej ceny mamy

C_{0}-\alpha S_{0}-\beta _{0}=0.

Zatem koszt początkowy takiego postępowania inwestora sprzedającego opcję jest równy zeru.

W chwili t=T inwestor postępuje następująco:
Działanie rozliczenie
Realizuje opcję -C_{{T}}
Sprzedaje akcje \alpha S_{{T}}
Podejmuje pieniądze z banku (ew. zwraca dług) (1+r)\beta _{0}

Rozliczenie końcowe

-C_{T}+\alpha S_{{T}}+(1+r)\beta _{0}=0,

czyli do tej transakcji nikt nie dołożył. Cena racjonalna wypłaty jest do zaakceptowania dla obu stron.

Gdyby opcja nie była sprzedawana po cenie C_{0}, a po cenie C\neq C_{0}, to:

  1. W przypadku, gdy C_{0}<C, sprzedający ma pewny zysk C-C_{0}>0 w chwili 0, gdyż wystarczy wydać C_{0} by zabezpieczyć wypłatę X dla kupującego, resztę sprzedający zachowuje dla siebie.

  2. Gdy C_{0}>C (koszt zabezpieczenia jest większy niż cena C), to kupujący ma pewny zysk C_{0}-C>0 w chwili 0, gdyż aby otrzymać wypłatę X musiałby wydać C_{0}, a kupił ją za C.

W obu przypadkach, gdy C\neq C_{0} (tj. cena różni się od ceny racjonalnej), znajdujemy portfel dający zysk bez żadnego ryzyka i zajmując odpowiednią pozycję mamy dodatni dochód.

W ten sposób opisaliśmy rynek podając ceny S instrumentu ryzykownego, wartość B jednostki rachunku bankowego i zbiór możliwych portfeli \Phi. Rynek {\cal M} jest zatem trójką

{\cal M}=(B,S,\Phi).

Na tym rynku potrafimy wycenić każdą wypłatę (czyli każdy instrument pochodny). Jednak powyższy model rynku trzeba jeszcze poprawić, gdyż dopuszcza on sytuację, że dla dodatniej wypłaty X>0 może się okazać, że jej cena jest ujemna, czyli \Pi _{0}(X)<0.

Ćwiczenie 2.4

Znaleźć przykład rynku i wypłaty X>0, której cena racjonalna jest ujemna, tj. \Pi _{0}(X)<0.

Rozwiązanie: 

Korzystamy z postaci ceny, czyli z (2.8). Ponieważ X^{u}>0,X^{d}>0,r\geq 0,S^{u}>S^{d}, więc gdy \Pi _{0}(X)<0, to musi być (1+r)S_{0}<S^{d} lub S^{u}<S_{0}(1+r). Teraz łatwo dobrać liczby spełniające warunki zadania, np. S_{0}=10, r=0{,}1, S^{d}=12, S^{u}=13, X^{d}=5, X^{u}=15. Wtedy \Pi _{0}(X)=-\frac{50}{11}. Na tym rynku możemy osiągnąć zysk bez ryzyka pożyczając 10 jednostek z banku i kupując za tę kwotę akcję. Wtedy w chwili T sprzedając akcję otrzymujemy co najmniej 12, a do banku musimy zwrócić 11.

W tej sytuacji można by osiągnąć zysk bez ryzyka za pomocą odpowiedniej strategii. Stąd

Definicja 2.4

Mówimy, że w modelu {\cal M} nie ma możliwości arbitrażu (model nie dopuszcza możliwości arbitrażu ), gdy nie istnieje portfel \varphi\in\Phi, taki że

V_{0}(\varphi)=0,\quad V_{{T}}(\varphi)\geq 0,\quad\exists\ \omega\in\Omega\quad V_{{T}}(\varphi)(\omega)>0.

Portfel \varphi, dla którego powyższe warunki są spełnione nazywamy możliwością arbitrażu.

Zatem model {\cal M} rynku jest wolny od arbitrażu, gdy nie ma możliwości arbitrażu w klasie portfeli (strategii) \Phi. Interpretacja portfela arbitrażowego jest klarowna: nie mając nic na początku, stosując strategię \varphi, na końcu operacji nic nie stracimy i mamy dodatni zysk dla pewnych scenariuszy.

Istnienie możliwości arbitrażu świadczy o serii poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Takie błędy są bardzo szybko wychwytywane przez arbitrażystów, skutkiem czego rynek szybko wraca do równowagi. Zatem model rynku powinien być modelem bez możliwości arbitrażu. Zbadamy wobec tego, jakie warunki trzeba narzucić na model rynku, by nie dopuszczał on możliwości arbitrażu.

Twierdzenie 2.2

Rynek jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy

S^{{d}}<(1+r)S_{0}<S^{{u}}. (2.9)

Ze wzoru (2.3) widać, że warunek (2.9) jest równoważny warunkowi

d<(1+r)<u. (2.10)

\Leftarrow Chcemy pokazać, że nie istnieje arbitraż. Weźmy portfel \varphi=(\beta,\alpha), taki że V_{0}(\varphi)=0, czyli \alpha S_{0}+\beta=0. Gdy \alpha=0, to \beta=0, zatem \varphi=(0,0), V_{T}(\varphi)\equiv 0 i ten portfel nie jest portfelem arbitrażowym. Gdy \alpha\neq 0, to ten portfel w chwili T ma wartość:

V_{{T}}(\varphi)=\alpha S_{{T}}+\beta(1+r)=\alpha S_{{T}}-\alpha S_{0}(1+r)=\begin{cases}\alpha s[u-(1+r)]&\text{ dla }\  Z=u,\\
\alpha s[d-(1+r)]&\text{ dla }\  Z=d.\end{cases}

Korzystając z (2.10) otrzymujemy, że portfel \varphi z zerowym kapitałem początkowym i \alpha\neq 0 w chwili końcowej T przyjmuje wartości różnych znaków, a mianowicie gdy \alpha>0, to V_{T}(\varphi)(\omega _{1})>0V_{T}(\varphi)(\omega _{2})<0, a gdy \alpha<0 to zachodzą nierówności przeciwne. Zatem portfel \varphi o zerowej wartości początkowej nie może być arbitrażem.

Ćwiczenie 2.5

Udowodnij implikację \Rightarrow.

Rozwiązanie: 

Nie wprost, niech jedna z powyższych nierówności nie zachodzi.

Załóżmy, że (1+r)\geq u. Weźmy portfel \varphi=(-1,S_{0}), czyli sprzedajemy krótko akcję i inwestujemy uzyskane z tej sprzedaży pieniądze w rachunek bankowy. Wtedy proces bogactwa dla tej strategii \varphi spełnia (S_{0}=s) następujące warunki:

\displaystyle V_{0}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle(-1)s+s\cdot 1=0,
\displaystyle V_{{T}}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle-sZ+s(1+r)=s[(1+r)-Z]\geq s((1+r)-u)\geq 0,

oraz

V_{{T}}(\varphi)(\omega _{{2}})=s[(1+r)-d]>0.

Zatem \varphi jest arbitrażem. Sprzeczność.

Gdy d\geq(1+r), to przeprowadzamy analogiczne rozumowanie.

Ćwiczenie 2.6

Udowodnić, że na rynku bez możliwości arbitrażu cena racjonalna wypłaty nieujemnej jest nieujemna, czyli \Pi _{0}(X)\geq 0, gdy X\geq 0. Gdy ponadto X\neq 0, to \Pi _{0}(X)>0.

Wskazówka: 

Skorzystać z (2.8) i z (2.9).

Wykluczenie równości w (2.9) ma sens ekonomiczny, gdyż wtedy wykluczamy sytuację, w której na rynku są dwa aktywa, ale jednym z nich nikt nie handluje. Istotnie, gdy S^{{d}}=(1+r)S_{0}, to zawsze należy inwestować w akcje, bo w najgorszym przypadku dadzą tyle, co depozyt w banku, a gdy S^{{u}}=(1+r)S_{0}, to zawsze należy wkładać pieniądze do banku, bo depozyt da większy zysk niż akcje i to bez żadnego ryzyka. W obu tych przypadkach rynek nie jest płynny i znika z niego jeden z rodzajów aktywów.

Na rynku bez możliwości arbitrażu cena wypłaty (instrumentu pochodnego X) jest dobrze określona. Wynika to z twierdzenia, którego dowód przebiega w analogiczny sposób, jak rozumowanie w ćwiczeniu 2.3.

Twierdzenie 2.3

Cena w chwili t=0 wypłaty X inna niż V_{0}(\varphi), gdzie \varphi jest portfelem replikującym wypłatę X, prowadzi do arbitrażu.

Stąd ma sens

Definicja 2.5

Niech {\cal M} będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy cenę racjonalną instrumentu pochodnego X nazywamy ceną arbitrażową X w chwili t=0 na rynku {\cal M} i oznaczamy \Pi _{0}(X).

Okazuje się, że rynek bez możliwości arbitrażu rozszerzony o instrument pochodny (np. o opcję) pozostaje dalej rynkiem, na którym nie istnieje arbitraż (patrz zad. 2.7).

2.3. Wycena za pomocą miary martyngałowej.

Przedstawimy teraz sposób wyliczania ceny instrumentów pochodnych na rynku bez możliwości arbitrażu, oparty na obliczaniu wartości oczekiwanej względem pewnej wyróżnionej miary probabilistycznej.

Przykład 2.2

Podobnie jak w rozważanym ćwiczeniu 2.2 przyjmijmy, że S_{0}=260, S^{{d}}=220, S^{{u}}=340, K=280 i niech r=0. Wtedy

\displaystyle X(\omega)=(S_{{T}}-K)^{{+}}(\omega)=\begin{cases}X^{{u}}=60,&\text{
gdy }\omega=\omega _{{1}},\\
X^{{d}}=0,&\text{ gdy }\omega=\omega _{{2}}.\end{cases}

Łatwo obliczyć, że portfel replikujący ma postać: \alpha=1/2\beta=-110, a stąd C_{0}=20. Zatem C_{0}\in[0,60], a więc istnieje jedno q\in(0,1) takie, że

C_{0}=qX(\omega _{{1}})+(1-q)X(\omega _{{2}})

czyli C_{0}=E_{{Q}}X, gdzie Q(\{\omega _{{1}}\})=q=1/3, Q(\{\omega _{{2}}\})=1-q. Okazuje się, że dla tego rozkładu prawdopodobieństwa Q zachodzi także

E_{Q}S_{T}=1/3\cdot 340+2/3\cdot 220=260=S_{0}.

Czy to jest przypadek wynikający ze szczególnego doboru danych? Czy cena jest wartością oczekiwaną wypłaty względem pewnego rozkładu?

W tym przykładzie q nie zależy od prawdopodobieństwa subiektywnego P, potencjalnie zależy zaś od wypłaty X=f(S_{{T}}), a jednocześnie dla cen akcji zachodzi S_{0}=E_{Q}S_{T}. Chciałoby się, aby w sytuacji ogólnej q (a więc rozkład Q) zależało tylko od cen S_{{T}}, a nie zależało od postaci funkcji f. Okazuje się, że taki rozkład można zawsze znaleźć. Pokazanie tego będzie naszym celem.

Rynek bez możliwości arbitrażu spełnia warunek (2.10) z którego wynika, że 1+r\in(d,u), więc 1+r jest kombinacją wypukłą końców odcinka, czyli istnieje \gamma\in(0,1), takie że

(1+r)=\gamma u~+(1-\gamma)d. (2.11)

Liczby \gamma(1-\gamma) zadają nowe prawdopodobieństwo Q, takie że

Q(Z=u)=\gamma,\quad Q(Z=d)=1-\gamma.

Wtedy korzystając z (2.11) otrzymujemy

E_{{Q}}(S_{{T}})=su\gamma+sd(1-\gamma)=s(u\gamma+d(1-\gamma))=s(1+r).

Zatem zachodzi

S_{0}=\frac{1}{1+r}E_{{Q}}S_{{T}}, (2.12)

czyli otrzymaliśmy wzór przedstawiający cenę dzisiejszą jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną ceny jutrzejszej względem prawdopodobieństwa Q. Zwykle ważne są nie wielkości cen, a proporcje pomiędzy nimi. Interesuje nas stosunek cen różnych aktywów. W tym celu wyrażamy wszystko w terminach wartości jakiegoś ustalonego aktywa. Najczęściej cenę jednostki w banku B (inwestycja bez ryzyka) uznajemy za jednostkę ceny na rynku i wszystkie inne ceny wyrażamy w tych jednostkach (czyli dyskontem jest rachunek bankowy). Wtedy jednostka na rachunku bankowym ma stałą wartość: jeśli B^{*} jest zdyskontowanym procesem wartości jednostki w banku, tj. B^{*}_{t}=B_{t}/B_{t}, to

B^{*}_{0}=B^{*}_{{T}}=1.

Zamiast procesu cen rozważamy zdyskontowany proces cen S^{*}_{t}=S_{t}/B_{t}:

S^{*}_{0}=S_{0},\quad S^{{*}}_{{T}}=\frac{S_{{T}}}{1+r}.

Jest to konwencja techniczna, bardzo ułatwiająca obliczenia. Jak było widać we wzorze (2.12), dla prawdopodobieństwa Q zachodzi równość:

S_{0}^{*}=E_{Q}S^{*}_{{T}}.

Dla rynku jednookresowego dwustanowego jest to równoważne faktowi, że S^{*} jest Q-martyngałem z czasem \{ 0,T\} względem filtracji {\cal F}_{0}=\{\emptyset,\Omega\}, {\cal F}_{T}={\cal F}, gdyż E_{Q}(S_{T}^{*}|{\cal F}_{0})=E_{Q}(S_{T}^{*}). Stąd definicja:

Definicja 2.6

Miarę probabilistyczną P^{*} nazywamy miarą martyngałową dla zdyskontowanego procesu cen S^{*}, gdy miara P^{*} jest równoważna z P oraz S^{*} jest P^{*}-martyngałem.

Przypomnijmy, że miara P^{*} jest równoważna z P, gdy obie mają te same zbiory miary zero. Z założenia P(\{\omega _{i}\})\in(0,1), dla i=1,2, więc miara P^{*} równoważna z P spełnia ten sam warunek: P^{*}(\{\omega _{i}\})\in(0,1), dla i=1,2.

Lemat 2.1

Na rynku {\cal M} istnieje miara martyngałowa P^{*} dla zdyskontowanego procesu cen S^{*} wtedy i tylko wtedy, gdy jedyne rozwiązanie równania

S_{0}(1+r)=\gamma S^{u}+(1-\gamma)S^{d}, (2.13)

względem \gamma należy do przedziału (0,1).

\Rightarrow Gdy P^{*} jest miarą martyngałową, to zachodzi S_{0}=E_{{P^{*}}}S^{*}_{{T}}, a stąd wynika (2.13) i \gamma=P^{*}(\{\omega _{{1}}\})\in(0,1).

\Leftarrow Gdy (2.13) ma rozwiązanie \gamma\in(0,1), to definiując miarę probabilistyczną P^{*} wzorem P^{*}(\{\omega _{{1}}\})=\gamma=1-P^{*}(\{\omega _{{2}}\}) otrzymujemy miarę P^{*} równoważną z P i spełniającą S_{0}=E_{{P^{*}}}S^{*}_{{T}}. Stąd P^{*} jest miarą martyngałową.

Uwaga 2.1

Jedyne rozwiązanie równania (2.13) jest postaci

\gamma=\frac{(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}, (2.14)

więc miara martyngałowa P^{*} jest zadana przez wielkości wyznaczające cenę i przez wielkość stopy procentowej.

Obecnie możemy sformułować podstawowe twierdzenie tego paragrafu:

Twierdzenie 2.4

Rynek {\cal M}=(B,S,\Phi) jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara martyngałowa dla zdyskontowanego procesu cen S^{*}. Wtedy cena arbitrażowa w chwili 0 dowolnej wypłaty X w chwili T jest dana wzorem

\Pi _{0}(X)=E_{{P^{*}}}\Big(\frac{X}{1+r}\Big), (2.15)

gdzie P^{*} jest miarą martyngałową.

Pierwsza część twierdzenia wynika z lematu 2.1, tw. 2.2, uwagi 2.1 oraz z tego, że

\gamma=\frac{(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}\in(0,1)\Longleftrightarrow S^{{d}}<(1+r)S_{0}<S^{{u}}.

Został do udowodnienia wzór (2.15) podający cenę arbitrażową. Niech \varphi=(\beta _{0},\alpha _{0}) będzie jedynym portfelem replikującym X. Wówczas:

\displaystyle E_{{P^{*}}}\Big(\frac{X}{1+r}\Big) \displaystyle= \displaystyle E_{{P^{*}}}\Big(\frac{V_{{T}}(\varphi)}{1+r}\Big)=E_{{P^{*}}}\Big(\frac{\alpha _{0}S_{{T}}}{1+r}+\frac{(1+r)\beta _{0}}{1+r}\Big)=
\displaystyle= \displaystyle\alpha _{0}E_{{P^{*}}}(S^{*}_{{T}})+\beta _{0}=\alpha _{0}S^{*}_{0}+\beta _{0}=V_{0}(\varphi)=\Pi _{0}(X),

przy czym trzecia od końca równość wynika z faktu, iż P^{*} jest miarą martyngałową, zaś ostatnia z definicji \Pi _{0}.

Uwaga (ważna) 2.2

a) Cenę arbitrażową pochodnych obliczamy w świecie neutralnym wobec ryzyka, ale nie oznacza to, że żyjemy (lub uważamy, że żyjemy) w takim świecie.

b) Cena arbitrażowa wyliczona według wzoru (2.15) nie zależy od preferencji, czyli wyboru prawdopodobieństwa P dla modelu ewolucji cen instrumentu bazowego (stąd niektórzy nazywają ją miarą niezależną od preferencji. Zależy tylko od nośnika miary P — jest taka sama dla wszystkich miar równoważnych. Oznacza to, że inwestorzy zgadzają się co do wielkości przyszłych cen instrumentu bazowego, choć różnią się oceną prawdopodobieństwa wystąpienia konkretnych cen. Zatem rolą P jest określenie, jakie zdarzenia są możliwe, a jakie nie są możliwe. P wyznacza nam klasę miar równoważnych.

c) Jako czynnik dyskontujący wybraliśmy proces B, ale to nie jest istotne, można jako czynnik dyskontujący wybrać proces cen S (patrz ćw. 2.12).

d) Wzór (2.15) uzasadnia nazywanie miary martyngałowej P^{*} miarą wyceniającą. Z (2.15) wynika, że dzisiejsza cena arbitrażowa (tzn. dla t=0) wypłaty X jest równa wartości średniej, przy mierze wyceniającej, zdyskontowanej wypłaty (a więc wypłaty liczonej przy dzisiejszej wartości pieniądza).

Parytet (formuła zgodności) dla cen opcji. Okazuje się, że ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży z tą samą ceną wykonania K na rynku bez możliwości arbitrażu są związane wzorem, tzw. parytetem kupna-sprzedaży:

C_{0}-P_{0}=S_{0}-\frac{K}{1+r}. (2.16)

Wzór (2.16) wynika z podzielenia obu stron równości (1.4) przez (1+r) i zastosowania wzoru (2.15) na cenę. Parytet (wzór (2.16)) pozwala natychmiast podać cenę opcji sprzedaży, gdy znamy cenę opcji kupna i vice versa.

Monotoniczność ceny. Na rynku rzeczywistym większa wypłata kosztuje więcej i sensowny model rynku musi to uwzględniać.

Twierdzenie 2.5

Monotoniczność ceny Gdy rynek jest wolny od arbitrażu oraz wypłaty XY spełniają X\geq Y, to

\Pi _{0}(X)\geq\Pi _{0}(Y).

Twierdzenie wynika natychmiast ze wzoru (2.15) i własności wartości oczekiwanej

\Pi _{0}(X)=E_{{P^{{*}}}}\Big(\frac{X}{1+r}\Big)\geq E_{{P^{{*}}}}\Big(\frac{Y}{1+r}\Big)=\Pi _{0}(Y).

Stąd mamy intuicyjnie oczywisty

Wniosek 2.1

. Niech na rynku bez możliwości arbitrażu C_{0}(K) (odpowiednio P_{0}(K)) oznacza cenę opcji kupna (odpowiednio sprzedaży) z ceną wykonania K. Wtedy

  • (i) K_{{1}}\leq K_{{2}}\Rightarrow C_{0}(K_{{1}})\geq C_{0}(K_{{2}}),

  • (ii) K_{{1}}\leq K_{{2}}\Rightarrow P_{0}(K_{{1}})\leq P_{0}(K_{{2}}).

Teza wynika z Twierdzenia 2.5 i nierówności:

\displaystyle(x-K_{1})^{+}\geq(x-K_{2})^{+},
\displaystyle(K_{1}-x)^{+}\leq(K_{2}-x)^{+}.

dla 0<K_{1}\leq K_{2}, x\in\mathbb{R}.

Warto zauważyć, że zarówno tw. 2.5, jak i wniosek 2.1 wynikają z postaci wzoru na cenę arbitrażową wypłaty, czyli ze wzoru (2.15), a więc są prawdziwe w każdym modelu w którym cenę potrafimy wrazić w ten sposób.

2.4. Kontrakt terminowy forward

Kontrakt terminowy forward jest umową zawartą w chwili początkowej t, w której jedna ze stron zobowiązuje się kupić, druga zaś sprzedać pewne dobro (zwykle papier wartościowy) w ustalonej chwili T w przyszłości (tj. t<T) za określoną z góry cenę. Kontrakty forward są zawierane wyłącznie na rynku pozagiełdowym kontraktów negocjowanych (over-the-counter market). Kontrakt taki może opiewać na dowolny instrument z indywidualnie negocjowaną ceną, datą i miejscem dostawy. Rzeczywiste dostarczenie towaru jest obiektem transakcji — wieńczy ono ponad 90% kontraktów. Są jednak kontrakty, które kończą się rozliczeniem pieniężnym, np. kontrakty forward na stopy procentowe (wynika to z faktu, że bazą kontraktu jest instrument nie będący przedmiotem bezpośredniego obrotu). W chwili zawarcia kontraktu w chwili t nie następuje żaden przepływ gotówki ani towaru — ma on miejsce dopiero w chwili T, w dniu realizacji kontraktu. Kontrakty forward są używane zarówno do spekulacji jak i do zabezpieczenia się.

Strona, która zobowiązuje się do zapłaty określonej w kontrakcie kwoty za dobro, zajmuje pozycję długą w kontrakcie forward, a strona, która zobowiązuje się dostarczyć to dobro, zajmuje pozycję krótką. Z punktu widzenia pozycji długiej wypłata jest równa różnicy pomiędzy wartością instrumentu bazowego (dobra) w chwili T, a ceną dostawy K uzgodnioną w kontrakcie, np. gdy kontrakt opiewa na akcje o cenie S, to

X=S_{{T}}-K.
Definicja 2.7

Cenę dostawy K taką, że wartość kontraktu w chwili t jest równa zeru, nazywamy ceną forward i oznaczamy F_{{S}}(t,T).

Cenę tę opisuje:

Twierdzenie 2.6

Załóżmy, że {\cal M}=(B,S,\Phi) jest rynkiem jednookresowym dwustanowym bez możliwości arbitrażu. Wtedy cena forward F_{{S}}(0,T) instrumentu bazowego o cenie S z terminem dostawy T jest równa:

F_{{S}}(0,T)=(1+r)S_{0}.

Gdy X=S_{{T}}-K, to wartość kontraktu jest równa

\Pi _{0}(X)=E_{{P^{{*}}}}\Big(\frac{X}{1+r}\Big)=S_{0}-\frac{K}{1+r}.

Cena forward to taka cena dostawy K, że \Pi _{0}(X)=0, zatem

F_{{S}}(0,T)=(1+r)S_{0}.

2.5. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 2.7

Niech na rynku {\cal M}=(B,S,\Phi) bez możliwości arbitrażu, H będzie procesem ceny arbitrażowej wypłaty X, czyli H_{0}=\Pi _{0}(X), H_{{T}}=X. Niech \Phi _{{H}} oznacza klasę portfeli składających się z akcji, jednostek rachunku bankowego i jednostek instrumentu pochodnego o cenie H. Udowodnić, że rynek (B,S,H,\Phi _{{H}}) (czyli rynek {\cal M} rozszerzony o instrument pochodny) jest rynkiem bez możliwości arbitrażu.

Rozwiązanie: 

(nie wprost). Załóżmy, że na rozszerzonym rynku występuje możliwość arbitrażu, czyli istnieją takie \alpha, \beta, \gamma, że:

\alpha S_{0}+\beta+\gamma H_{0}=0 (2.17)

i dla każdego \omega\in\Omega

\alpha S_{{T}}(\omega)+\beta(1+r)+\gamma X(\omega)\geq 0 (2.18)

oraz istnieje \omega\in\Omega taka, że

\alpha S_{{T}}(\omega)+\beta(1+r)+\gamma X(\omega)>0. (2.19)

Ponieważ wypłata X jest osiągalna i H_{0}=\Pi _{0}(X), więc

\exists\ \alpha _{0},\beta _{0}\colon\  H_{0}=\alpha _{0}S_{0}+\beta _{0}\quad{\rm oraz}\  X=\alpha _{0}S_{{T}}+\beta _{0}(1+r).

Stąd i z (2.17) mamy

0=\alpha S_{0}+\beta+\gamma H_{0}=(\alpha+\gamma\alpha _{0})S_{0}+\beta+\gamma\beta _{0}. (2.20)

Ponadto z (2.18)

\displaystyle(\alpha+\gamma\alpha _{0})S_{{T}}(\omega) \displaystyle+ \displaystyle(\beta+\gamma\beta _{0})(1+r)= (2.21)
\displaystyle= \displaystyle\alpha S_{{T}}(\omega)+\beta(1+r)+\gamma(\alpha _{0}S_{{T}}(\omega)+\beta _{0}(1+r))=
\displaystyle= \displaystyle\alpha S_{{T}}(\omega)+\beta(1+r)+\gamma X(\omega)\geq 0.

Biorąc \omega spełniające (2.19) mamy dla tej \omega nierówność ostrą w (2.21), więc portfel \varphi=(\alpha+\gamma\alpha _{0},\beta+\gamma\beta _{0}) jest możliwością arbitrażu dla rynku (B,S,\Phi) (bo z (2.20) V_{0}(\varphi)=0), co przeczy założeniom.

Ćwiczenie 2.8

Załóżmy, że akcja kosztująca 200 będzie za trzy miesiące miała cenę 150 lub 300, a stopa procentowa na depozyt trzymiesięczny jest równa 10%. Znależć cenę europejskiej opcji sprzedaży z ceną wykonania 270 i terminem wykonania za trzy miesiące korzystając z obu poznanych metod.

Rozwiązanie: 

Wypłata z tej opcji jest równa P_{{T}}=(K-S_{{T}})^{{+}} tzn.

\displaystyle P_{{T}}(\omega)=\begin{cases}0,&\text{ gdy }\omega=\omega _{{1}},\cr 120,&\text{ gdy }\omega=\omega _{{2}}.\end{cases}

Zatem portfel replikujący spełnia równania:

\displaystyle 300\alpha+1{,}1\beta \displaystyle= \displaystyle 0,
\displaystyle 150\alpha+1{,}1\beta \displaystyle= \displaystyle 120

(gdyż S(\omega _{{1}})=S^{u}=300), a stąd \alpha=-4/5, \beta=218{,}18. Liczba akcji \alpha jest liczbą ujemną, co oznacza, że wystawca opcji sprzedaży zabezpieczając wypłatę dokonuje krótkiej sprzedaży. Korzystając ze wzoru (2.8) otrzymujemy cenę arbitrażową opcji:

\Pi _{0}(P_{{T}})=P_{0}=-4/5\cdot 200+218{,}18=58{,}18.

Gdy zastosujemy metodę martyngałową, to obliczamy cenę P_{0} korzystając ze wzorów (2.15) i (2.14):

\displaystyle P_{0} \displaystyle= \displaystyle E_{{P^{*}}}\Big(\frac{P_{{T}}}{1+r}\Big)=(1-\gamma)(K-S^{d})\cdot\frac{1}{1+r}=
\displaystyle= \displaystyle(1-\frac{1}{5})\cdot 120\cdot\frac{1}{1{,}1}=\frac{64}{1{,}1}=58{,}18.
Ćwiczenie 2.9

Udowodnić, że jeżeli istnieje portfel \varphi, taki że V_{0}(\varphi)<0 oraz V_{T}(\varphi)\geq 0, to na rynku istnieje arbitraż.

Rozwiązanie: 

Gdy \varphi=(\beta,\alpha) spełnia warunki zadania, to portfel \psi=(\alpha,\beta-V_{0}(\varphi)) jest arbitrażem, bo V_{0}(\psi)=0 oraz V_{T}(\psi)=V_{T}(\varphi)-V_{0}(\varphi)(1+r)>0.

Ćwiczenie 2.10

[ Prawo jednej ceny] Udowodnić, że na rynku jednookresowym dwustanowym bez możliwości arbitrażu portfele mające tę samą wartość w chwili T muszą mieć tę samą wartość w chwili 0.

Rozwiązanie: 

Niech \varphi,\psi będą takie, że V_{{T}}(\varphi)=V_{{T}}(\psi)=X. Wtedy, na mocy jedyności portfela replikującego na tym rynku, \varphi=\psi, zatem V_{0}(\varphi)=V_{0}(\psi).

Ćwiczenie 2.11

Udowodnić parytet kupna-sprzedaży, czyli wzór (2.16), korzystając

a) z argumentów arbitrażowych,

b) z prawa jednej ceny (patrz zad. 1.2.10).

Rozwiązanie: 

a) Nie wprost. Gdy

C_{0}-P_{0}>S_{0}-\frac{K}{1+r}, (2.22)

to strategia polegająca na kupnie akcji i opcji sprzedaży z ceną wykonania K i sprzedaniu opcji kupna z ceną wykonania K jest strategią arbitrażową. Istotnie, wartość tej operacji, która jest równa C_{0}-S_{0}-P_{0} rozliczamy w banku (gdy jest ona dodatnia, to wkładamy tę sumę do banku, gdy ujemna, to pożyczamy ją z banku). W chwili T zawsze mamy zysk równy

K+(1+r)(C_{0}-P_{0}-S_{0})>0,

którego dodatniość wynika z warunku (2.22). Gdy

C_{0}-P_{0}<S_{0}-\frac{K}{1+r},

to zajęcie pozycji przeciwnej do opisanej wyżej jest strategią arbitrażową.

b) Portfel \varphi składający się z jednej akcji i pożyczki w wysokości \frac{K}{1+r} i portfel \psi powstały w wyniku zakupu opcji kupna i sprzedaży opcji sprzedaży o tej samej cenie wykonania K mają w chwili T tę samą wartość S_{T}-K, więc muszą mieć tę samą wartość w chwili zero, co daje (2.16), czyli parytet.

Ćwiczenie 2.12

[ Różne dyskonta] Załóżmy, że proces cen S jest czynnikiem dyskontującym, czyli

B_{t}^{*}=\frac{B_{t}}{S_{t}},\quad t\in\{ 0,T\}.

Jest oczywiste, że miarę probabilistyczną \bar{P}\sim P taką, że B_{t}^{*} jest \bar{P}–martyngałem nazywamy miarą martyngałową dla procesu B^{*}.

Udowodnić, że

a) na rynku nie ma możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara martyngałowa dla procesu B^{*}.

b) na rynku bez możliwości arbitrażu cena wypłaty X jest równa

\Pi _{0}(X)=S_{0}E_{{\bar{P}}}(XS_{T}^{{-1}}),

gdzie \bar{P} jest miarą martyngałową dla procesu B^{*}.

Zatem jest to inny sposób wyceny wypłat.

Rozwiązanie: 

a) \bar{P} jest miarą martyngałową dla B^{*} wtedy i tylko wtedy, gdy

E_{{\bar{P}}}\Big(\frac{B_{T}}{S_{T}}\Big)=\frac{B_{0}}{S_{0}},

co z kolei jest równoważne z

E_{{\bar{P}}}\Big(\frac{1}{S_{T}}\Big)=\frac{1}{S_{0}(1+r)}.

Stąd otrzymujemy, że miara martyngałowa \bar{P} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie \gamma równania

\gamma\frac{1}{S^{u}}+(1-\gamma)\frac{1}{S^{d}}=\frac{1}{S_{0}(1+r)},

czyli

\gamma=\Big(\frac{1}{S_{0}(1+r)}-\frac{1}{S^{d}}\Big)\Big(\frac{S^{u}S^{d}}{S^{d}-S^{u}}\Big)

należy do (0,1), co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy S^{d}<(1+r)S_{0}<S^{u} (z postaci \gamma) i stosujemy tw. 2.2.

Warto zauważyć, że \gamma\in(0,1) zadaje miarę martyngałową \bar{P} dla B^{*} i ta miara jest różna od miary martyngałowej P^{*} dla S^{*}.

b) Niech \varphi=(\beta,\alpha) replikuje X (taki portfel istnieje, na podstawie tw. 2.1). Wtedy V_{0}(\varphi)=\alpha S_{0}+\beta, X=\alpha S_{T}+\beta(1+r). Stąd

E_{{\bar{P}}}\Big(\frac{X}{S_{T}}\Big)=E_{{\bar{P}}}\Big(\alpha+\beta\frac{1+r}{S_{T}}\Big)=\alpha+\beta\frac{1}{S_{0}}=\frac{1}{S_{0}}V_{0}(\varphi)=\frac{1}{S_{0}}\Pi _{0}(X).
Ćwiczenie 2.13

Znaleźć na rynku jednookresowym dwustanowym wzory ogólne na ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży przy założeniu S^{d}\leq K\leq S^{u}.

Rozwiązanie: 
C_{0}=\frac{(1+r)S_{0}-S^{{d}}}{S^{{u}}-S^{{d}}}\cdot\frac{S^{{u}}-K}{1+r}.
P_{0}=\frac{S^{{u}}-(1+r)S_{0}}{S^{{u}}-S^{{d}}}\cdot\frac{K-S^{{d}}}{1+r}. (2.23)
Ćwiczenie 2.14

Uzasadnić następujące ograniczenia na ceny opcji na rynku bez możliwości arbitrażu:

\displaystyle\Big(S_{0}-\frac{K}{1+r}\Big)^{+} \displaystyle\leq \displaystyle C_{0}\leq S_{0}, (2.24)
\displaystyle\Big(\frac{K}{1+r}-S_{0}\Big)^{+} \displaystyle\leq \displaystyle P_{0}\leq\frac{K}{1+r}. (2.25)
Rozwiązanie: 

Z parytetu

C_{0}=P_{0}+S_{0}-\frac{K}{1+r}\geq\Big(S_{0}-\frac{K}{1+r}\Big),

bo P_{0}\geq 0. Zatem lewa strona nierówności (2.24) jest prawdziwa, gdyż C_{0}\geq 0. Ponieważ S_{T}\geq(S_{T}-K)^{+}, więc z tw. 2.5 otrzymujemy

S_{0}=\Pi _{0}(S_{T})\geq\Pi _{0}\big((S_{T}-K)^{+}\big)=C_{0},

czyli zachodzi prawa strona (2.24). Podobnie dowodzimy (2.25). Lewa strona wynika z parytetu, a prawa z nierówności (K-S_{T})^{+}\leq K.

Ćwiczenie 2.15

[ Zabezpieczenie doskonałe] Rozpatrzmy rynek bez możliwości arbitrażu. Powiemy, że portfel \varphi jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty X, gdy V_{T}(\varphi)\geq X. Ceną sprzedającego \Pi _{0}^{S}(X) nazywamy minimalny koszt zabezpieczenia doskonałego.

a) Udowodnić, że na rynku jednookresowym dwustanowym \Pi _{0}^{S}(X)=\Pi _{0}(X).

b) Jak zdefiniować cenę kupującego \Pi _{0}^{B}(X)? Czy na rynku jednookresowym dwustanowym zachodzi \Pi _{0}^{B}(X)=\Pi _{0}(X)?

Rozwiązanie: 

a) Cena sprzedającego jest zadana wzorem

\Pi _{0}^{S}(X)=\min\{ V_{0}(\varphi):\varphi\in\Phi,V_{T}(\varphi)\geq X\}.

Niech portfel \varphi replikuje wypłatę X. Wtedy V_{T}(\varphi)=X, więc portfel \varphi jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty X, zatem

\Pi _{0}(X)\geq\Pi _{0}^{S}(X).

Udowodnimy, że zachodzi nierówność przeciwna.

Gdy portfel \psi\in\Phi jest taki, że Y=V_{T}(\psi)\geq X to z monotoniczności ceny zachodzi \Pi _{0}(Y)\geq\Pi _{0}(X), zatem V_{0}(\psi)\geq\Pi _{0}(X), a stąd

\Pi^{S}_{0}(X)\geq\Pi _{0}(X).

Inny sposób rozwiązania — to rozwiązanie zagadnienia minimalizacji z ograniczeniami, szukamy

\min _{{\varphi=(\beta,\alpha)}}V_{0}(\varphi)

przy ograniczeniach:

\displaystyle\alpha S^{u}+\beta(1+r) \displaystyle\geq \displaystyle X^{u},
\displaystyle\alpha S^{d}+\beta(1+r) \displaystyle\geq \displaystyle X^{d}.

W wyniku tego postępowania też otrzymujemy \Pi _{0}^{S}(X)=\Pi _{0}(X).

b) Zdefiniujemy cenę kupującego.

Z punktu widzenia kupującego warto zapłacić za wypłatę X taką wielkość x_{0}, żeby w chwili T kupujący miał jeszcze co najmniej taki sam zysk, jak w przypadku, gdy użyje strategii o cenie początkowej x_{0}. Stąd maksymalna cena akceptowana przez kupującego to

\Pi _{0}^{b}(X)=\sup\{ V_{0}(\varphi):\varphi\in\Phi,X-V_{T}(\varphi)\geq 0\}.

Z własności supremum wynika, że \Pi _{0}^{b}(X)=-\ \Pi _{0}^{s}(-X). Zatem korzystając z punktu a) otrzymujemy

\Pi _{0}^{b}(X)=-\ \Pi _{0}(-X)=\Pi _{0}(X).

Można też, analogicznie jak w przypadku ceny sprzedającego, szukać ceny kupującego jako rozwiązania zagadnienia maksymalizacji z odpowiednimi ograniczeniami.

Ćwiczenie 2.16

Gdy rozważamy rynek z kosztami za transakcje, to w naszym opisie rynku musimy wiele zmienić. Opisać różnicę pomiędzy kontraktami (gdy nie ma kosztów, to oba dają tę samą wypłatę):

a) sprzedający zobowiązuje się dostarczyć kupującemu akcję za cenę K, gdy S_{T}>K,

b) sprzedający wypłaca kupującemu różnicę S_{T}-K, gdy S_{T}>K.

Wskazówka: 

Ponieważ występują koszty, więc posiadanie w chwili T kwoty S_{T} pieniędzy nie wystarcza do zakupu akcji (trzeba jeszcze pokryć koszty tego zakupu). Wartość portfela nie może być utożsamiana z liczbą, jest bowiem obiektem wielowymiarowym. Portfel jest opisany przez dwie zmienne losowe, z których pierwsza mówi, ile pieniędzy jest na rachunku bankowym, a druga — ile akcji jest w portfelu.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.