Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 9. Model Blacka-Scholesa – MIM UW

Zagadnienia

9. Model Blacka-Scholesa

Od tego rozdziału zajmiemy się badaniem rynku z czasem ciągłym. Zaczniemy od opisu procesu cen, a następnie zdefiniujemy model Blacka-Scholesa.

9.1. Aksjomaty procesu cen

W 1900 roku L. Bachelier zaproponował, żeby dynamikę ceny akcji na giełdzie paryskiej modelować za pomocą procesów otrzymanych z przejść granicznych błądzeń losowych, a więc zaproponował modelowanie ceny ciągłymi procesami St o przyrostach niezależnych, takimi że przy zmianie czasu o Δt zmiana ceny St+Δt-St zachowuje się jak Δt dla małych przyrostów Δt. We współczesnym języku matematyki jego postulaty oznaczają, że proces cen powinien mieć postać:

St=S0+μt+σWt,

gdzie Wt jest procesem Wienera, μR, σ>0. Zatem St ma rozkład normalny ze średnią S0+μt i wariancją σ2t, co będziemy oznaczać StNS0+μt,σ2t. Stąd wynika, że cena akcji może przyjmować ujemne wartości z dodatnim prawdopodobieństwem. W związku z tym wiele osób odrzuca ten sposób modelowania ceny (zauważmy jednak, że z reguły trzech sigm wynika, że dla małych t szanse na ujemną cenę są znikome, bo PS0-3σtStS0+3σt0,997, a ponadto często w statystyce używa się rozkładu normalnego do modelowania wielkości z istoty rzeczy nieujemnych np. długości, co nie wzbudza wątpliwości). Inną konsekwencją przyjęcia modelu Bacheliera jest fakt, że rozkład przyrostu ceny na ustalonym przedziale czasowym jest taki sam, niezależnie od ceny początkowej. Dlatego szansa, że cena akcji sprzedawanej po 50 jednostek spadnie w tym okresie do 45 (strata w wysokości 10% wartości) jest taka sama, jak szansa, że akcja w ustalonym okresie czasu warta 10 spadnie do 5 (strata w wysokości 50% wartości). Praca Bacheliera była zbyt nowatorska jak na ówczesne czasy i bardzo szybko została zapomniana. Odkryto ją ponownie dopiero w latach siedemdziesiątych dwudziestego wieku.

W 1965 r. Samuelson zaproponował postulaty, które powinien spełniać proces cen St:

  1. Ceny są dodatnie, czyli t0 St>0, S0 jest stałą.

  2. Procentowa zmiana cen akcji nie zależy od ceny obecnej ani od cen w przeszłości, czyli

    t,h0St+hStjest niezależne odσ(Su:ut).
  3. Zmiana ta (a dokładniej rozkład zmiany) zależy tylko od długości odcinka czasu, na którym jest rozpatrywana, natomiast nie jest istotne, od którego momentu ją liczymy, tj.

    t,h0St+hStShS0.
  4. Proces St ma ciągłe trajektorie.

Przy założeniach 1–4 można udowodnić, że proces cen wyraża się przez tzw. geometryczny proces Wienera (gdyż z postulatów wynika, że lnSt jest procesem stacjonarnym o przyrostach niezależnych i o ciągłych trajektoriach)

St=S0expat+σWt,aR,σ>0. (9.1)

Pozostaje problem doboru stałych a,σ by wzór (9.1) miał sens ekonomiczny. Okazuje się, że należy wziąć σ>0a=μ-σ22 dla pewnego μR. Wtedy

St=S0expμ-σ22t+σWt. (9.2)

Zatem St ma rozkład lognormalny, tj.

lnStNlnS0+μ-σ22t,σ2t. (9.3)

Znajdziemy teraz ekonomiczny sens stałych μ, σ. Gdy Vt jest wartością jakiegoś portfela w chwili t, to dla s<t

1t-sEVt-VsVs

jest oczekiwaną stopą zwrotu na jednostkę czasu z tego portfela w czasie od s do t. Wariancja stopy zwrotu na jednostkę czasu wyraża się wzorem

1t-sD2Vt-VsVs.

Gdy portfel składa się z jednej akcji, to oczywiście Vt=St. Jeśli proces S jest geometrycznym procesem Wienera, tj. St spełnia (9.2), to łatwo udowodnić, że

limut-1t-uESt-SuSu=μ,
limut-1t-uD2St-SuSu=σ2.

Stąd μ, odzwierciedlające stałe tendencje zmian cen akcji, nazywa się współczynnikiem wzrostu (stopą aprecjacji) cen akcji, a σ mierzące zmienność nazywa się współczynnikiem zmienności cen akcji (dowód tych faktów pozostawiamy jako zadanie — zad. 9.3). W praktyce wielkość σ podaje się w procentach.

9.2. Klasyczny model Blacka-Scholesa

Teraz opiszemy klasyczny model Blacka-Scholesa (Blacka-Mertona-Scholesa) z horyzontem T<. Niech Ω,F,P będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją F=Ftt0,T, na której mamy zadany proces Wienera W. Zakładamy, że mamy do czynienia z rynkiem idealnym, na którym mamy jeden papier ryzykowny, akcje nie płacące dywidend, o cenie zadanej wzorem

dSt=μStdt+σStdWt,σ>0,μR. (9.4)

W  §9.1 uzasadniliśmy taki wybór procesu cen. Na tym rynku mamy także rachunek bankowy o stałej stopie procentowej r0 w całym okresie handlu 0,T i ciągłej kapitalizacji, tj. proces wartości jednostki pieniężnej jest zadany równaniem

dBt=rBtdt,B0=1,

zatem Bt=ert. Rynek jest idealny, wszyscy mają taką samą wiedzę, a że informacje w naszym modelu są otrzymywane wyłącznie z obserwacji procesu cen S to o σ-ciele Ft interpretowanym jako wiedza uzyskana do chwili t zakładamy, że Ft=FtS. Ponieważ jedynym rozwiązaniem (9.4) jest

St=S0expσWt+μ-12σ2t, (9.5)

więc FtW=FtS. Podsumowując zakładamy, że filtracja Ft jest uzupełnioną filtracją procesu Wienera, tj. Ft=FtW i F=FT.

Ten model jest znacznym uproszczeniem rzeczywistości. Jego zaletą są proste założenia zrozumiałe dla wszystkich. Stąd służy on jako pierwsze przybliżenie. Wzory (np. na ceny opcji) i reguły otrzymane dla tego modelu są używane w praktyce w bardziej wyrafinowany sposób.

Konstrukcję modelu rynku zaczynamy od definicji strategii.

Definicja 9.1

Strategią nazywamy proces mierzalny adaptowany φ=φ0,φ1 spełniający warunki

0Tφs0ds<,0Tφs12ds<+p.n.. (9.6)

Jak zawsze φ0 interpretujemy jako liczbę jednostek bankowych, a φ1 jako liczbę akcji. Strategia φ jest F adaptowana tzn. dla każdego t wektor losowy φt jest Ft mierzalny, zatem strategię tworzymy na podstawie wiedzy dostępnej do chwili t. Proces wartości portfela (strategii) też definiujemy jak zwykle, tj.

Vtφ=φt0Bt+φt1St.

Proces zysków kapitałowych zadany jest przez odpowiednik (3.2):

Gtφ=0tφu0dBu+0tφu1dSu,t0,T.

Warto zauważyć, że z postaci równania zadającego proces cen wynika, że

0tφu1dSu=0tφu1μSudu+0tφu1σSudWu.

Warunek (9.6) oraz fakt, że cena S jest procesem ciągłym zapewniają istnienie całek występujących w definicji procesu zysku.

Definicja 9.2

Mówimy, że strategia φ jest samofinansująca się, gdy zachodzi

t0,TVtφ=V0φ+Gtφ. (9.7)

Warunek (9.7) jest równoważny warunkowi:

Vtφ=V0φ+0tφu0rBudu+0tφu1μSudu+0tφu1σSudWu,

czyli

dVtφ=φt0dBt+φt1dSt=φt0rBtdt+φt1μStdt+φt1σStdWt.

Intuicyjnie, portfel φ jest samofinansujący się, gdy nie ma dopływu kapitału z zewnątrz — zmiany wartości portfela wynikają tylko z naszej polityki, czyli z postaci portfela φ i ze zmian cen S. Warunek (9.7) jest ciągłym odpowiednikiem warunku (3.5). Klasa wszystkich strategii samofinansujących się jest przestrzenią liniową. Będziemy ją oznaczać przez Φ.

Przykład 9.1

Strategia ,,kup i trzymaj aktywo” (buy-and-hold), czyli φt1a>0, φt00 jest strategią samofinansującą się, bo

Vtφ=φt1St=aSt,
Gtφ=0tadSu=aSt-S0,

a stąd

Vtφ=aS0+Gtφ=V0φ+Gtφ.
Ćwiczenie 9.1

Udowodnić, że strategia φt0=StBt, φt10 ma portfel bogactwa równy Vtφ=St (a więc taki sam jak strategia ,,kup i trzymaj”), ale nie jest strategią samofinansującą się.

Rozwiązanie: 

Z postaci strategii φ mamy Vtφ=St, a z postaci Bt mamy

Gtφ=0tφu0dBu=0tSuBudBu=r0tSudu,

i korzystając z definicji strategii samofinansującej się (tj. z (9.7)) otrzymujemy, że φΦ wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek

St=S0+r0tSudu. (9.8)

Warunek (9.8) nie jest spełniony w modelu Blacka-Scholesa.

Definicja arbitrażu i jego sens jest analogiczny jak dla rynku skończonego.

Definicja 9.3

Możliwością arbitrażu (arbitrażem) nazywamy strategię φΦ taką, że

V0φ=0,PVTφ0=1,PVTφ>0>0 (9.9)

dla pewnego PP.

Ponieważ zbiory miary zero pozostają te same dla każdego PP, więc jeśli (9.9) zachodzi dla pewnego PP, to zachodzi dla każdego PP. Arbitraż jest sposobem postępowania, który nigdy nie przyniesie straty i daje możliwość osiągnięcia zysku w sprzyjających okolicznościach. Gdy na rynku istnieje możliwość arbitrażu, to odpowiednio postępując można osiągać na nim zysk bez ryzyka. Istnienie arbitrażu świadczy o braku równowagi na rynku. Na istniejących rynkach finansowych działają arbitrażyści i nie ma możliwości arbitrażu. Zatem modele opisujące rzeczywistość powinny być wolne od arbitrażu.

Zajmiemy się teraz pojęciem wypłaty.

Definicja 9.4

Wypłatą europejską (aktywem pochodnym lub kontraktem europejskim) z momentem wykonania T nazywamy zmienną losową X.

Wypłatę X otrzymuje kupujący w chwili T, jest to zmienna losowa, więc jest ona FT-mierzalna, czyli jest skonstruowana w oparciu o dostępną wiedzę do chwili T, a zatem jej wartość zależy od procesu cen. Jak zawsze, pojawia się pytanie: jeśli w momencie T kupujący otrzymuje X, to ile powinien zapłacić za to teraz? By na nie odpowiedzieć, wprowadzamy, jak dla rynków skończonych, pojęcie strategii replikującej. Mówimy, że φΦ jest strategią replikującą wypłatę X w chwili T gdy VTφ=X (strategia φ jest zabezpieczeniem wypłaty X). Jeśli wypłata X ma choć jedną strategię replikującą, to mówimy, że X jest osiągalna. Analogicznie jak dla rynku skończonego wprowadzamy pojęcie bogactwa wypłaty osiągalnej (tzn. pojęcie jednoznacznej replikowalności), a mianowicie mówimy, że istnieje proces bogactwa osiągalnej wypłaty X, gdy dla każdych strategii φ,ψΦ, takich, że VTφ=VTψ=X procesy Vφ i Vψ są nieodróżnialne (tzn. P(tT:Vt(φ)=Vt(ψ))=1).

Definicja 9.5

Niech ΨΦ. Na rynku M=B,S,Ψ bez możliwości arbitrażu ceną arbitrażową ΠtX w chwili t osiągalnej wypłaty europejskiej X dla której istnieje proces bogactwa nazywamy wartość w chwili t strategii samofinansującej się replikującej wypłatę tzn. ΠtX=Vtφ.

Uwaga 9.1

Wybór klasy strategii ΨΦ jest istotny. Nie można wziąć, jak dla rynku skończonego, Ψ=Φ, gdyż prowadzi to do arbitrażu. Zatem musimy dokonać sensownego wyboru jakiejś podklasy Ψ strategii samofinansujących się Φ. Wyborem podklasy Ψ zajmiemy się pózniej.

Taka definicja ceny jest uzasadniona faktem, że dla inwestora jest obojętne, czy ma w swym portfelu instrument finansowy, czy wartość początkową strategii generującej go, gdyż w obu przypadkach otrzymuje na końcu okresu inwestycji tę samą wypłatę (w drugim przypadku musi postępować tak, jak wskazuje strategia replikująca). Można udowodnić wprost, że definicja ceny jest poprawna tzn. że dla każdej wypłaty osiągalnej istnieje proces bogactwa. My to udowodnimy korzystając z idei miary martyngałowej. Wszystkie ceny będziemy dyskontować przez wartość jednostki bankowej, tj.

Bt*=BtBt1,St*=StBt=Ste-rt.
Definicja 9.6

Miarę probabilistyczną P* na Ω,FT nazywamy miarą martyngałową, gdy P*P i S* jest P*-martyngałem lokalnym.

Zaczniemy od twierdzenia podającego postać miary martyngałowej dla zdyskontowanego procesu cen S*.

Twierdzenie 9.1

Miara probabilistyczna P* o gęstości

dP*dP=expr-μσWT-12r-μσ2T (9.10)

jest jedyną miarą martyngałową. Ponadto proces S* jest P*-martyngałem o dynamice

dSt*=σSt*dW^t,S0*=s, (9.11)

gdzie W^t=Wt-r-μσt jest procesem Wienera względem P* i filtracji F.

Ponieważ St*=Ste-rt, więc ze wzoru na całkowanie przez części

dSt*=St-re-rtdt+e-rtdSt. (9.12)

Zatem, korzystając z dynamiki S tzn. (9.4), otrzymujemy

dSt*=e-rt-rStdt+μStdt+σStdWt=St*μ-rdt+σdWt.

Chcemy, by dSt*=σSt*dW^t dla procesu Wienera W^ przy pewnej mierze P*. Zatem powinno zachodzić

σdW^t=σdWt-r-μdt. (9.13)

Na mocy tw. Girsanowa miara P* zadana wzorem (9.10) jest dobrze zdefiniowaną miarą probabilistyczną i W^t=Wt-r-μσt jest procesem Wienera względem P*. Wtedy zachodzi (9.13), czyli zachodzi (9.11). Proces S*, przy mierze P* jest równy całce stochastycznej względem procesu Wienera plus stała, więc jest P*-martyngałem lokalnym, czyli P* jest miarą martyngałową dla S*. Jedyność P* pozostawiamy jako zadanie dla Czytelnika (zad. 9.10). Ponieważ

E0Tσ2St*2dt<, (9.14)

to S* jest P*-martyngałem.

Uwaga 9.2

a) Warunek (9.11) można zapisać równoważnie

dSt=rStdt+σStdW^t, (9.15)

gdyż z (9.13) mamy

dSt=μStdt+σStdWt=rStdt+σStdW^t.

Zatem przy zamianie miary na równoważną miarę martyngałową współczynnik zmienności ceny akcji nie ulega zmianie.

b) Z (9.15) wynika, że przy mierze martyngałowej P* proces cen ma postać

St=S0expσW^t+r-12σ2t. (9.16)

Analogicznie jak w przypadku rynku skończonego istnieje ważna charakteryzacja portfeli samofinansujących się w terminach procesu zdyskontowanych cen:

Twierdzenie 9.2

Strategia φ=φ0,φ1 jest strategią samofinansującą się wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi

t0,TVt*φ=V0φ+0tφu1dSu*. (9.17)

Konieczność. Ponieważ

Vt*φ=Vtφe-rt, (9.18)

więc kolejno ze wzoru na całkowanie przez części, definicji strategii samofinansującej się i (9.12) mamy

dVt*φ=-re-rtVtφdt+e-rtdVtφ=
=-re-rtφt0Bt+φt1Stdt+e-rtφt0dBt+φt1dSt=
=φt1-re-rtStdt+e-rtdSt=φt1dSt*.

Zatem równość (9.17) jest spełniona.
Dostateczność. Z (9.18) mamy

dVt*φ=-re-rtφt0Bt+φt1Stdt+e-rtdVtφ. (9.19)

Ze wzoru (9.12) otrzymujemy

φt1dSt*=-re-rtStφt1dt+e-rtφt1dSt. (9.20)

Z założenia (9.17) wynika, że lewe strony wzorów (9.19) i (9.20) są równe, więc i prawe są równe, zatem

dVtφ=φt0dBt+φt1dSt,

czyli φΦ.

Lemat ten wykorzystuje się do znajdowania strategii samofinansujących się replikujących daną wypłatę. Z niego wynika także:

Twierdzenie 9.3

Miara P* jest miarą martyngałową dla S* wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej strategii samofinansującej się φ zdyskontowany proces bogactwa V*φ jest P*-martyngałem lokalnym.

Konieczność. Korzystając z (9.11) i (9.17) mamy

Vt*φ=V0φ+0tφu1dSu*=V0φ+0tφu1σSu*dW^t,

a ponieważ W^ jest P* procesem Wienera, to V*φ jest P*-martyngałem lokalnym.
Dostateczność. Biorąc strategię stałą φ00,φ11 otrzymujemy, że φΦ i St*=Vt*φ. V*φ jest P*-martyngałem lokalnym z założenia, czyli S* jest P*-martyngałem lokalnym.

Rozpatrywanie rynku ze wszystkimi możliwymi strategiami samofinansującymi się prowadzi do arbitrażu. Zatem, by wykluczyć arbitraż, ograniczamy klasę strategii do strategii dopuszczalnych

Definicja 9.7

Niech P* będzie miarą martyngałową dla S*. Strategię φΦ nazywamy dopuszczalną (P*–dopuszczalną), gdy proces

0tφu1dSu*

jest P*-martyngałem.

Ponieważ dla S* istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa, to mówimy, że φ jest dopuszczalna (zamiast P*–dopuszczalna), gdyż nie ma wątpliwości o jaką miarę martyngałową chodzi. Zbiór takich strategii będziemy oznaczać przez ΦP*.

Uwaga 9.3

Gdy φΦ, to z warunku (9.17) wynika, że

Vt*φ=V0*φ+0tφu1dSu*,

a stąd jeśli φΦP*, to proces Vt*φ jest P*-martyngałem.

Udowodnimy teraz, że wzięcie Ψ=ΦP* jest dobrym wyborem klasy portfeli.

Twierdzenie 9.4

Rynek B,S,ΦP* jest wolny od arbitrażu.

Weźmy φΦP* takie, że V0φ=0PVTφ0=1. Udowodnimy, że PVTφ=0=1, więc φ nie jest arbitrażem, a zatem na rynku S,ΦP* nie istnieje arbitraż.

Z założenia V*φ jest P*-martyngałem, wobec tego

EP*VT*φ=EP*V0φ=0. (9.21)

Ponieważ P*VTφ0=1 (bo PP*), BT>0, więc (9.21) implikuje P*VTφ=0=1, a stąd z równoważności miar PP* otrzymujemy PVTφ=0=1.

Definicja 9.8

Trójkę M=B,S,ΦP* nazywamy klasycznym modelem Blacka-Scholesa rynku finansowego (w skrócie modelem Blacka-Scholesa; niektórzy autorzy używaja nazwy model Blacka-Mertona-Scholesa).

9.3. Rynkowa cena ryzyka.

Załóżmy, że na rynku Blacka-Scholesa bez możliwości arbitrażu mamy dodatkowy instrument pierwotny, zatem mamy dwa instrumenty pierwotne, którymi możemy handlować i których ceny zadane są względem jednowymiarowego procesu Wienera W (tego samego) równaniami

dSti=Stiμidt+σidWt,i=1,2,

czyli na tym rynku mamy jedno źródło losowości — proces Wienera W i rynek rozszerzony jest rynkiem bez możliwości arbitrażu. Gdy P* jest miarą martyngałową dla rynku Blacka-Scholesa B,S1,ΦP*, to

Wt^=Wt-r-μ1σ1t

jest P*-procesem Wienera. Ponadto

dSt2A*=St2A*μ2-rdt+σ2dWt=St2A*μ2-r+r-μ1σ1σ2dt+σ2dW^t,

a ponieważ proces S2A* jest P*-martyngałem, więc

μ2-r+r-μ1σ1σ2=0.

Stąd

μ1-rσ1=μ2-rσ2.

Gdy proces ceny S jest zadany wzorem (9.2), to wielkość

γ=μ-rσ

ekonomiści nazywają rynkową ceną ryzyka (przez analogię do modelu CAPM) — jest to nadwyżka średniego zwrotu z akcji ponad zwrot z instrumentu bez ryzyka mierzona w jednostkach ryzyka. Wykazaliśmy, że instrumenty bazowe, którymi można handlować na rozszerzonym rynku Blacka-Scholesa bez możliwości arbitrażu z instrumentami bazowymi o cenach zadanych wzorem (9.2) (z różnymi parametrami) mają tę samą rynkową cenę ryzyka. Warto zauważyć, że ta terminologia została tu użyta w innym sensie niż dotąd: nie jest to cena arbitrażowa jakiegoś jednego instrumentu, którym możemy handlować na rynku.

Ponieważ Wt^=Wt+γt, więc γ wyznacza gęstość miary martyngałowej P* względem P

dP*dP=exp-γWT-12γ2T

i stąd miara P* jest nazywana miarą neutralną względem ryzyka.

9.4. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 9.2

Udowodnić, że proces spełniający postulaty 1–4 z §9.1 jest zadany wzorem (9.1).

Ćwiczenie 9.3

Wykazać, że gdy St spełnia (9.2), to

limut-1t-uESt-SuSu=μ,
limut-1t-uD2St-SuSu=σ2.
Wskazówka: 

Skorzystać z faktu, że gdy XNμ,σ2, Y=eX, to EY=eμ+σ22, D2Y=e2μ+σ2eσ2-1.

Rozwiązanie: 
St-SuSu=expt-sμ-σ22+σWt-Ws-1,

więc korzystając z faktu podanego we wskazówce znajdujemy wartość oczekiwaną i wariancję tego ułamka. Reszta jest prostym przejściem do granicy.

Ćwiczenie 9.4

Pokazać, że średnia wartość ceny rośnie ze stopą równą μ, czyli ESt=S0etμ. Stąd wynika, że gdy średnia stopa zwrotu z akcji ma być taka sama jak dla papierów bez ryzyka, to μ=r.

Wskazówka: 

Skorzystać ze wskazówki do poprzedniego zadania.

Ćwiczenie 9.5

Rozważmy na rynku Blacka-Scholesa akcję z ceną początkową 40, oczekiwanym zwrotem 16% p.a., współczynnikiem zmienności 20% p.a. (na rynku te wielkości podaje się w procentach). Znaleźć:

a) 95% przedział ufności dla ceny akcji za trzy miesiące.

b) średnią cenę akcji za trzy miesiące.

Rozwiązanie: 

Z warunków zadania mamy μ=0,16, σ=0,2, S0=40, t=1/4. Z (9.3) wynika, że lnSt ma rozkład normalny, a jak wiemy, 95% przedział ufności dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym Nm,σ2 ma postać m-2σ,m+2σ. Stąd, po rachunkach, otrzymujemy przedział ufności: 34,05;50,39. Z ćw. 9.3 otrzymujemy ESt=41,63.

Ćwiczenie 9.6

Udowodnić, że proces cen St spełniający (9.2) jest opisany za pomocą równania

dSt=μStdt+σStdWt.
Rozwiązanie: 

Stosujemy wzór Itô do funkcji fx=ex i procesu X zadanego stochastycznym równaniem różniczkowym

dXt=μ-σ22dt+σdWt

(wtedy St=f(Xt)).

Ćwiczenie 9.7

Udowodnić, że portfel stały jest strategią samofinansującą się.

Rozwiązanie: 

Portfel stały jest kombinacją liniową strategii ,,kup i trzymaj” oraz włóż pieniądze do banku, które są strategiami samofinansującymi się (przykład 9.1), a więc portfel stały jest strategią samofinansującą się.

Ćwiczenie 9.8

Analogicznie jak w czasie dyskretnym, znając strategię inwestowania w papiery ryzykowne i kapitał początkowy, znamy całą strategię samofinansującą się. Formalnie: udowodnić, że dla każdego xR i procesu prognozowalnego φ1 takiego, że całka φ1dS* istnieje, przyjęcie

φt0=x+0tφu1dSu*-φt1St*

definiuje jednoznacznie portfel samofinansujący się φ=φ0,φ1Φ, taki, że V0φ=x.

Ćwiczenie 9.9

Udowodnić, że jeśli rynek S,Ψ dla t0,T jest wolny od arbitrażu, to rynek S,Ψ dla t0,T1, gdzie T1<T, jest wolny od arbitrażu.

Rozwiązanie: 

Jeśli istnieje arbitraż φ dla t0,T1, to inwestując w chwili T1 całe bogactwo VT1*φ w aktywa bez ryzyka otrzymujemy strategię arbitrażową dla rynku z czasem 0,T.

Ćwiczenie 9.10

Udowodnić, że dla klasycznego rynku Blacka-Scholesa istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.

Ćwiczenie 9.11

Udowodnić, że na rynku Blacka-Scholesa strategia ,,kup i trzymaj aktywo” (patrz przykł. 9.1) jest strategią dopuszczalną.

Rozwiązanie: 

Gt*φ=0tφt1dSu*=aSt*-S0*,aR, więc Gt*φ jest P*martyngałem.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.