Zagadnienia

6. Teoria wyboru konsumenta – minimalizacja wydatków, dualność

6.1. Minimalizacja wydatków

Na optymalizację konsumenta możemy też spojrzeć z drugiej strony: zamiast maksymalizować użyteczność przy zadanym dochodzie, jaki możemy przeznaczyć na konsumpcję, dążyć do osiągnięcia przynajmniej takiej użyteczności jak najmniejszym kosztem.

Maksymalizacja użyteczności a minimalizacja wydatków
Rys. 6.1. Maksymalizacja użyteczności a minimalizacja wydatków.
Definicja 6.1

Funkcję e:IntR+n×RR+ zdefiniowaną wzorem ep,u¯=infuxu¯pTx (gdzie przez infxfx rozumiemy +) nazywamy funkcją wydatków (expenditure function), a odwzorowanie h:IntR+n×RX zdefiniowane wzorem hp,u¯=Argminuxu¯pTx odwzorowaniem popytu Hicksa (czasem także odwzorowaniem popytu skompensowanego dochodu).

Funkcja wydatków określa, ile minimalnie muszę wydać, aby przy cenach p móc zapewnić sobie konsumpcję o użyteczności u¯.

Stwierdzenie 6.1

Jeżeli u jest ciągła, to odwzorowanie popytu Hicksa ma niepuste wartości, a funkcja wydatków jest skończona dla dowolnego u¯<supxXux.

Zbiór A=xR+n:uxu¯ jest w tej sytuacji niepusty, domknięty. Niech pewien x¯ nalezy do tego zbioru. Wówczas zbiór AxR+n:xx¯ jest niepusty, zwarty, a ponieważ wszystkie pi>0, ArgminxApTx=ArgminxAxR+n:xx¯pTx. Mamy więc problem minimalizacji funkcji ciągłej na zbiorze zwartym.

Stwierdzenie 6.2

Własności popytu Hicksa.

a) Jeśli funkcja użyteczności jest quasi-wklęsła to odwzorowanie popytu Hicksa h ma wartości wypukłe, a jeżeli jest ściśle quasi-wklęsła, to h jest co najwyżej jednowartościowe;

b) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone a u jest ciągła, to nie ma nadmiarowej użyteczności, tzn. dla u¯infuX jeśli xhp,u¯, to ux=u¯;

c) Dla ustalonego u¯ odwzorowanie h(,u¯) jest jednorodne stopnia 0 jako odwzorowanie p;

d) Odwzorowanie popytu Hicksa przy ustalonym u¯ h(,u¯) jest ciągłe jako odwzorowanie p, a jeśli funkcja u jest ciągła, lokalnie nienasycona, to h obcięte do zbioru p,u¯:u¯<supxXux jest górnie półciągłe łącznie ze względu na wszystkie zmienne.

Stwierdzenie 6.3

Własności funkcji wydatków.

a) Funkcja e jest niemalejącą funkcją p i u¯, a jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone i u jest ciągła, to ściśle rosnącą u¯ dla u¯<supxXux;

b) Funkcja e jest jednorodna stopnia 1 ze względu na p;

c) Funkcja e jest wklęsła ze względu na p;

d) Funkcja e przy ustalonym u¯ e(,u¯) jest ciągła ze względu na p, a jeśli funkcja u jest ciągła, lokalnie nienasycona, to e obcięta do zbioru p,u¯:u¯<supxXux jest ciągła łącznie ze względu na wszystkie zmienne.

e) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, a u jest, ciągła, to limu¯supxXuxep,u¯=+.

(obu stwierdzeń:) Punkty 6.2 a) i c) oraz 6.3 a) i b) są natychmiastowe. Pozostaje więc udowodnić pozostałe pięć.

6.3 c) Weźmy dowolne wektory cen p i p i t0,1. Niech p′′=tp+1-tp. ep′′,u¯=minx:uxu¯p′′Tx=minx:uxu¯tp+1-tpTx tminx:uxu¯pTx+(1-t)minx:uxu¯(p)Tx=te(p,u¯)+(1-t)e(p,u¯).

6.2 b) Minimum funkcji liniowej na zbiorze może być przyjmowane jedynie na jego brzegu. Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, więc poza u¯minuX nie będzie to 0. Niech więc punkt x¯, w którym jest przymowane minimum będzie punktem z brzegu zbioru x:uxu¯ i niech ux¯>u¯. Wówczas dla pewnego małego ε, z ciągłości u w pewnym otoczeniu x¯ istnieje taki xx¯ z przynajmniej jedną nierównością ostrą, dla którego ux>ux¯-ε>u¯. Z nierówności na współrzędnych pTx<pTx¯ – sprzeczność.

6.3 e) Weźmy ciągi xkT=kp1,,kpn i uk=uxk. Niech ykhp,uk. Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, przynajmniej jedna współrzędna yk musi być co namniej równa analogicznej współrzędnej xk, co daje pTykk, czyli ep,ukk. Stąd i z tego, że e jest ściśle rosnąca po u¯ dostajemy limu¯supxXuxep,u¯limkep,uk=+.

6.2 d) i 6.3 d) dowodzimy łącznie z twierdzenia o maksimum 4.1.

Najpierw dla ustalonego u¯. Odwzorowanie Γ, które przyporządkowuje p zbiór x:uxu¯ jest niezależne od p, a więc jest ciągłe (przeciwobrazem dowolnego rodzaju dowolnego zbioru otwartego jest albo albo całe IntR+n – otwarte). W twierdzeniu o maksimum potrzebujemy jednak dodatkowo zwartych wartości. Aby to uzyskać, musimy ograniczyć się – przynajmniej lokalnie do szukania minimum na zbiorze zwartym. Weźmy zatem dowolne x¯ dla którego ux¯u¯. Jeśli ograniczymy się do zbioru A=x:uxu¯x:pTxM dla M>i=1npi+δx¯i, to dla p bliskich p: takich, że dla każdego i pi-pi<δ zachodzi Argminuxu¯pTx=ArgminxApTx, a więc sprowadziliśmy nasze zagadnienie do zagadnienia maksymalizacji po zbiorach zwartych, niezależnych od p, tak więc mamy tezę z twierdzenia o maksimum.

Teraz zajmiemy się globalną ciągłością. Aby to uzyskać, musimy pokazać ciągłość odwzorowania, oznaczmy je przez Γ, które przyporządkowuje p,u¯ zbiór x:uxu¯. Dodatkowo podobnie będziemy musieli uzwarcić wartości – podobnie jak poprzednio. Dalszy schemat dowodu podobny do dowodu stwierdzeń 5.1 d) i 5.2 d).

Stwierdzenie 6.4

(Lemat Shepharda)

Jeżeli funkcja użyteczności jest różniczkowalna, monotoniczna, lokalnie nienasycona, a odwzorowanie popytu Hicksa h jest funkcją różniczkowalną po p; u<supxXux , pi>0 dla każdego i oraz mnożnik Lagrange'a λp,u¯ jest jednoznacznie wyznaczony, to jeśli dla każdego i hip,u>0, to

a) hip,u¯=ep,upi,

b) jeżeli ponadto funkcja h jest różniczkowalna jako funkcja p, macierz hipj jest symetryczna, niedodatnio określona, w szczególności hipi0 (tzw. ujemny efekt cenowy Hicksa).

a) Wynika natychmiast z zastosowania twierdzenia o obwiedni.

b) Uzyskujemy, różniczkując e po p dwukrotnie – z a) i wklęsłości e po p.

Ćwiczenie 6.1

Obliczyć funkcję wydatków i odwzorowanie popytu Hicksa dla ux1,x2 równej

a) a1x1+a2x2 przy ai>0 (doskonałe substytuty);

b) mina1x1,a2x2 przy ai>0 (dobra doskonale komplementarne);

c) x1a1x2a2 przy ai>0 (użyteczność Cobba-Douglasa).

Odwzorowania popytu Hicksa, nawet jeśli nie są funkcjami różniczkowalnymi mają ponadto tę interesującą własność, że popyt zmienia się ”w kierunku przeciwnym do zmiany ceny”. Formalnie zachodzi następujący fakt:

Stwierdzenie 6.5

Jeśli hp,u¯hp,u¯=, to dla każdego xhp,u¯, xhp,u¯ zachodzi nierówność (p-p)T(x-x)<0.

Rozłóżmy p-pTx-x=pTx-pTx+pTx-pTx.

Pierwszy nawias jest ujemny, ponieważ minimum pTx na zbiorze x:uxu¯ jest przyjmowane na hp,u¯, a x nie należy do hp,u¯, drugi analogicznie.

6.2. Związki pomiędzy zagadnieniami maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków

Zagadnienia maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków są względem siebie dualne.

Dualność
Rys. 6.2. Dualność.

Aby zachodził poniższy fakt, nie potrzeba pełnych założeń modelu konsumenta

Stwierdzenie 6.6

Jeżeli preferencje są lokalnie nienasycone, ciągłe i u¯uX, to:

a) vp,ep,u¯=u¯;

b) xip,ep,u¯=hip,u¯ dla i=1,,n;

c) ep,vp,m=m;

d) hip,vp,m=xip,m dla i=1,,n.

Oczywiste.

Ćwiczenie 6.2

O ileż prościej byłoby rozwiązać zadanie 6.1 korzystając z dualności!

Ćwiczenie 6.3

Mamy daną funkcję vp1,p2,m=m2p1+p22.

Czy może być ona niejawną funkcją użyteczności przy standartowych założeniach modelu konsumenta?

Obliczyć (zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne), oba odzworowania popytu i funkcję wydatków.

Jaka jest wyjściowa funkcja u?

Ćwiczenie 6.4

Mamy daną funkcję ep1,p2,u¯=p1p2u¯.

Czy może być ona funkcją wydatków przy standartowych założeniach modelu konsumenta?

Obliczyć niejawną funkcję użyteczności oraz, zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne, oba odzworowania popytu.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.