Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 10. Mechanika Hamiltonowska – MIM UW

Zagadnienia

10. Mechanika Hamiltonowska

10.1. Równania Hamiltona

Twierdzenie 10.1

Niech \mathcal{M} będzie układem mechanicznym z funkcją Lagrange'a L=T-U, gdzie energia kinetyczna ma postać formy kwadratowej zmiennych \dot{x}_{1},...\dot{x}_{n}, to jest

T(x_{1},...,x_{n},\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n})=\displaystyle{\sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}\big(x_{1},...,x_{n}\big)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}} (10.1)

Załóżmy, że dla dowolnych ustalonych x_{1},...,x_{n} forma (10.1) jest dodatnio określona. Wtedy (a) po dokonaniu zamiany zmiennych

\displaystyle{\alpha _{{(x_{1},...,x_{n})}}}:(\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n})\rightarrow\Big(\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{1}},...,\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{n}}\big)}=(p_{1},...,p_{n}) (10.2)

analogicznie, jak w (9.7), gdzie przekształcenie odwrotne dane jest wzorem

\displaystyle{\beta _{{(x_{1},...,x_{n})}}}:({p}_{1},...{p}_{n})\rightarrow\Big(\displaystyle{\frac{\partial\widehat{L}}{\partial\dot{p}_{1}},...,\frac{\partial\widehat{L}}{\partial\dot{p}_{n}}\Big)}=(\dot{x}_{1},...,\dot{x}_{n}). (10.3)

Układ równań Eulera - Lagrange'a

\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{i}}-\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{i}}}\Big)=0i=1,2,,n (10.4)

przechodzi na układ Hamiltona

\left\{\begin{array}[]{ll}\dot{p}_{i}=-\frac{\partial\widehat{L}}{\partial{x}_{i}}\\
&\textrm{i=1, 2,..,n}\\
\dot{x}_{i}=-\frac{\partial\widehat{L}}{\partial{p}_{i}}\end{array}\right. (10.5)

(b) Wartość transformaty Lagrange'a \widehat{L}(p) jest równa energii całkowitej układu E=T+U w punkcie (x_{1},...,x_{n},(\dot{x}_{p})_{1},...(\dot{x}_{p})_{n}), gdzie \dot{x}_{p}=\beta(p).

(a) Wyprowadzenie równań (10.5) przebiega analogicznie, jak w przypadku równań (9.14) w poprzednim wykładzie i nie będziemy tego rozumowania powtarzać.

(b) Dla zwięzłości wzorów napiszemy x zamiast (x_{1},...,x_{n}) \dot{x} zamiast (\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n}) i p zamiast (p_{1},...p_{n}). Twierdzimy, że zachodzi równość

2T(x,\dot{x})=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial T}{\partial\dot{x}_{i}}(x,\dot{x})\cdot\dot{x}_{i}}=\langle p,\dot{x}\rangle.

Istotnie, rozpatrując macierz formy (10.1) widzimy, że zmienna \dot{x}_{i} występuje tylko w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie. Wobec tego

\frac{\partial}{\partial\dot{x}_{i}}T(x,\dot{x})=\frac{\partial}{\partial\dot{x}_{i}}\Big(\displaystyle{\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}+\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ji}}(x)\dot{x}_{j}\dot{x}_{i}-a_{{ii}}(x)\dot{x}_{i}^{2}}\Big)

zatem

\Big(\frac{\partial}{\partial\dot{x}_{i}}T(x,\dot{x})\Big)\cdot\dot{x}_{i}=\displaystyle{\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}+\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ji}}(x)\dot{x}_{j}\dot{x}_{i}}.

Wobec tego tworząc sumę \displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial T}{\partial\dot{x}_{i}}(x,\dot{x})\dot{x}_{i}} uzyskamy w niej każdy wyraz n_{{ij}}(x)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j} dwukrotnie - raz jako stojący w i-tym wierszu a raz jako stojący w j-tej kolumnie. Zatem

\widehat{L}(x,p)=\langle p,\dot{x}_{p}\rangle-L(x,\dot{x}_{p})= (10.6)
=2T(x,\dot{x}_{p})-\big(T(x,\dot{x}_{p})-U(x)\big)=T(x,\dot{x}_{p})+U(x)=E(x,\dot{x}_{p})
Definicja 10.1

Transformatę Legendre'a funkcji Lagrange'a układu mechanicznego nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem tego układu i oznaczamy literą H.

Ćwiczenie 10.1

Podać hamiltonian układu n-punktów z potencjałem U i bez więzów. Napisać równania Hamiltona.

Oznaczmy położenie i-tego punktu o masie m_{i} przez x_{i},i=1,2,,n. Zgodnie z Definicją(10.1) i formułą (10.6) mamy

H(x_{1},..,x_{n},p_{1},..p_{n})=T\big((x_{1},..,x_{n},(\dot{x}_{p})_{1},(\dot{x}_{p})_{n}\big)+U(x_{1},..,x_{n})

gdzie

T(x,\dot{x}_{p})=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{m_{i}}{2}(\dot{x}_{p})_{i}^{2}}.

Na podstawie ćwiczenia (9.1) otrzymamy \displaystyle{T=\sum _{{i=1}}^{n}\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}}.

Hamiltonian układu ma więc postać

H(x_{1},..x_{n},p_{1},..p_{n})=\displaystyle{\sum _{{j=1}}^{n}\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+U(x_{1},..x_{n})

a równania Hamiltona wyglądają następująco

\dot{p}_{i}=-\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\dot{x}_{i}=-\frac{p_{i}}{m}i=1.2,...n

10.2. Informacje o geometrii symplektycznej.

W ustępie tym, inaczej niż w całym wykładzie, założymy znajomość kilku podstawowych pojęć geometrii różniczkowej. I tak dla sformułowania potrzebnych definicji potrzebować będziemy pojęć wiązki stycznej i wiązki kostycznej do rozmaitości różniczkowej a także założymy, że czytelnik ma podstawowe doświadczenie w operowaniu formami różniczkowymi. Sytuacja ta nie jest kontynuowana w dalszym ciągu wykładu i bez szkody dla jego zrozumienia można pominąć szczegóły techniczne.

Zacznijmy od algebry liniowej. Niech e_{1},...e_{n} będzie bazą {\bf R}^{n} i niech

X=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}e_{i},\  Y=\sum _{{i=1}}^{n}y_{i}e_{i}}

oraz niech

\omega:{\bf R}^{n}\times{\bf R}^{n}\ni(X,Y)\rightarrow\sum _{{i=1}}^{n}a_{{i,j}},x_{i},y_{j}\in{\bf R} (10.7)

Formę (10.7) można zapisać w postaci macierzowej

\omega(X,Y)=\big[X\big]^{t}\Omega\big[Y\big] (10.8)

gdzie \big[Y] jest macierzą o jednej kolumnie, składającej się ze współrzędnych wektora Y względem bazy e_{1},..e_{n} , \big[X\big]^{t} jest macierzą o jednym wierszu, składającym się się ze współrzędnych X względem tejże bazy. Natomiast \Omega=\big(a_{{ij}}\big)_{{i,j=1}}^{n} jest macierzą współczynników (występujących w (10.7)) wymiaru n\times n. Wtedy wynik mnożenia w (10.8) jest macierzą 1\times 1, której jedyny współczynnik jest liczbą występującą na prawo od strzałki we wzorze (10.7). Powiemy, że forma jest nieosobliwa, jeżeli zachodzi implikacja:

\big(\omega(X,Y)=0\textrm{dla każdego}Y\big)\Rightarrow(X=0).

Powiemy, że forma jest antysymetryczna, jeżeli \omega(X,Y)=-\omega(Y,X). Następujące dwie własności opisu macierzowego (10.8) występują w podstawowym kursie algebry liniowej i ich dowody pominiemy.

Stwierdzenie 10.1

(a) ( \omega jest antysymetryczna ) \Leftrightarrow(\Omega^{t}=-\Omega)
(b) ( \omega jest nieosobliwa) \Leftrightarrow ( det \Omega\neq 0).

Stwierdzenie 10.2

Niech \omega:{\bf R}^{n}\times{\bf R}^{n}\rightarrow{\bf R} będzie antysymetryczną i nieosobliwą formą dwuliniową. Wtedy
(a) n=2m
(b) Istnieje baza d_{1},..,d_{{2m}}, względem której macierz formy \Omega ma postać blokową:

\Omega=\left(\begin{array}[]{c|c}0&I_{m}\\
\hline-I_{m}&0\end{array}\right) (10.9)

gdzie I_{m} jest jednostkową macierzą wymiaru m\times m.

(c) Niech d_{1}^{*},..,d_{{2m}}^{*} będzie bazą przestrzeni ({\bf R}^{{2m}})^{*} dualną do bazy d_{1},..d_{{2m}} z punktu (b) wtedy

\omega=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}d_{i}^{*}\wedge d_{{m+i}}^{*}} (10.10)

(a) Na mocy Stwierdzenia (10.1) \Omega^{t}=-\Omega zatem det\ \Omega=det\ \Omega^{t}=det\ (-\Omega)=(-1)^{n}det\ \Omega a ponieważ det\ \Omega\neq 0 otrzymujemy stąd n=2m.

(b) Indukcja względem m. Dla m=1 rozważmy formę antysymetryczną i nieosobliwą \omega w {\bf R}^{2}. Z nieosobliwości \omega wynika, że istnieją niezerowe wektory x,y,\ni{\bf R}^{2} takie, że \omega(x,y)\neq 0. Wtedy x i y są liniowo niezależne.
Niech d_{1}=\displaystyle{\frac{x}{\omega(x,y)}}d_{2}=y. Macierz \Omega formy \omega względem bazy d_{1},d_{2} ma postać

\Omega=\left(\begin{array}[]{cc}0&1\\
-1&0\end{array}\right)

Krok indukcyjny.

Podobnie jak przy m=1 znajdziemy dwa wektory liniowo niezależne d_{1},d_{{m+1}}\in{\bf R}^{{2m}} takie, że \omega(d_{1},d_{{m+1}})=1. Niech

Y=\{ x\in{\bf R}^{{2m}}:\omega(d_{1},x)=\omega(d_{{m+1}},x)=0\}

Z liniowej niezależności d_{1} i d_{{m+1}} i nieosobliwości \omega wynika, że dimY=2m-2. Ponieważ, jak widać ograniczenie \omega do Y jest formą nieosobliwą, z założenia indukcyjnego istnieje baza d_{2},...d_{m},d_{{m+1}},..,d_{{2m}} przestrzeni Y taka, że \Omega ograniczona do Y ma względem tej bazy postać (10.9) z indeksem m-1. Wtedy baza d_{1},..,d_{{2m}} spełnia tezę Stwierdzenia.
(c) Niech d_{1}^{*},...d_{{2m}}^{*} będzie bazą ({\bf R}^{{2m}})^{*} dualną do bazy d_{1},..,d_{{2m}} skonstruowanej w punkcie (b). Wtedy macierz 2-formy d_{i}^{*}\wedge d_{{m+i}}^{*} ma postać

\left(\begin{array}[]{c|c}0&-A_{i}\\
\hline A_{i}&0\end{array}\right)

gdzie A_{i} jest macierzą n\times n mającą same zera z wyjątkiem i-tego miejsca na przekątnej, gdzie występuje jedynka. Stąd i z formuły (10.9) wynika przedstawienie (10.9).

Ze Stwierdzenia (10.2) wynika, że w 2m wymiarowej przestrzeni rzeczywistej wszystkie nieosobliwe i antysymetryczne formy dwuliniowe są do siebie podobne w tym sensie, że opisywane są tą samą macierzą \Omega, tyle, że względem różnych baz.

Definicja 10.2

Tę jedyną (w powyższym sensie) formę na przestrzeni {\bf R}^{{2m}} nazwiemy m-tą formą symplektyczną.

Definicja 10.3

Rozmaitość różniczkową M wymiaru 2m nazwiemy rozmaitością symplektyczną jeżeli:

(a) w każdej przestrzeni stycznej T_{x}M dla x\in M jest określona forma symplektyczna \omega _{x}, której współczynniki gładko zależą od x,

(b) tak określona dwuforma różniczkowa \omega jest zamknięta, tj. d\omega=0.

Poniższe twierdzenie jest lokalnym analogiem ”punktowego” Stwierdzenia (10.2)

Stwierdzenie 10.3

(Darboux) Niech M będzie 2m-wymiarową rozmaitością symplektyczną z formą \omega. Dla każdego x\in M istnieje mapa (U,\varphi) w otoczeniu x taka, że dla y\in U forma \omega _{y} w każdej przestrzeni T_{y}M ma względem bazy \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}(y)},...\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{2m}}}(y)}, wyznaczonej przez mapę \varphi, macierz (10.9).

Niech będzie dana mapa (W,\Psi). Obrazy stałych pól bazowych
e_{i}=(\underbrace{0,...1,}_{i}...0) w {\bf R}^{{2m}} za pomocą d\Psi^{{-1}} zapiszemy jako

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}},...\frac{\partial}{\partial x_{{2m}}}}.

Pola te będziemy nazywać polami bazowymi dla mapy (W,\Psi). Pola te są przemienne (tj.\big[\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}},\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\big]=0 dla i,j, = 1, 2, ..,2n) oraz ich wartości \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y),..,\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{2m}}}}(y) stanowią dla każdego y\in M bazę przestrzeni stycznej T_{y}(M). Formę \omega ograniczoną do T_{y}(M) oznaczymy \omega _{y}.

Dowód będzie przebiegał za pomocą indukcji względem m gdzie dimM=2m.

(a) Niech dimM=2 niech x\in M oraz niech (W,\Psi) będzie mapą w otoczeniu x. Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że \Psi(x)=0 oraz , że macierz formy \omega _{x} względem bazy \Big(\frac{\partial}{\partial x_{1}}(x),\frac{\partial}{\partial x_{2}}(x)\Big) jest równa \Omega. (\Omega jak w (10.9)). Znaczy to, że

\omega _{x}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(x),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}}(x)\big)=1.

Zatem dla y bliskich x (aby nie komplikować notacji przyjmijmy, że dla y\in W) zachodzi

\omega _{y}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}}(y)\big)=\alpha(y)\neq 0.

Wprowadźmy pola Y_{1} i Y_{2} zadane formułą:

Y_{1}(y)=\displaystyle{\frac{1}{\alpha(y)}\cdot\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y);Y_{2}(y)=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}(y)}. (10.11)

Wtedy \omega _{y} ma z bazie Y_{1}(y),Y_{2}(y) macierz \Omega. Zauważmy też, że pola Y_{1},Y_{2} powstają jako pola bazowe dla mapy (U,\varphi) gdzie dla (q_{1},q_{2})=\varphi(y) określamy

\varphi^{{-1}}\big(q_{1},q_{2}\big)=\psi^{{-1}}\big(\frac{q_{1}}{\alpha(y)},q_{2}\big).

(b) Krok indukcyjny.
Niech dimM=2m i niech x\in M. Postępując, jak w punkcie (a) możemy znaleść mapę (W,\Psi) w otoczeniu x, taką, że

\omega _{y}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}}(y)\big)=1.

Określmy na W dwie dystrybucje: {\bf D}_{1} i {\bf D}_{2}, kładąc

{\bf D}_{1}(y)=\big\{ v\in T_{y}(M):v=\alpha\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y)+\displaystyle{\beta\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}}(y)\alpha,\beta\in{\bf R}\big\}
{\bf D}_{2}(y)=\{ v\in T_{y}(M):\omega _{y}\big(\frac{\partial}{\partial x_{1}}(y),v\big)=\omega _{y}\big(\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}(y),v\big)=0\}
Lemat 10.1

Dystrybucje {\bf D}_{1} i {\bf D}_{2} są różniczkowalne i inwolutywne.

Pola \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}} i \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}} są różniczkowalne i przemienne, skąd wynika teza dla {\bf D}_{1}. Dla dowodu, że {\bf D}_{2} jest różniczkowalna, rozważmy pola

\displaystyle{\frac{\widetilde{\partial}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}-\omega\Big(\frac{\partial}{\partial x_{i}},\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}\Big)\frac{\partial}{\partial x_{1}}+\omega\Big(\frac{\partial}{\partial x_{i}},\frac{\partial}{\partial x_{1}}\Big)\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}} (10.12)

Są one różniczkowalne, liniowo niezależne w każdym punkcie i dla i\neq 1,\:\: i\neq m+1 należą do {\bf D}_{2}. Zatem dystrybucja {\bf D}_{2} jest różniczkowalna. Dla inwolutywności {\bf D}_{2} zauważmy, że warunek X\in{\bf D}_{2} można zapisać w formie dwóch warunków:

\frac{\partial}{\partial x_{i}}\rfloor X\rfloor\omega=0i=1,m+1 (10.13)

gdzie X\rfloor\omega jest formą liniową X\rfloor\omega=\omega(X,\cdot). Tak więc, aby pokazać, że dla X\in{\bf D}_{2} jak i Y\in{\bf D}_{2} także \big[X,Y\big]\in{\bf D}_{2} wystarczy udowodnić, że

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\rfloor\big[X,Y\big]\rfloor\omega=0i=1,m+1

Dla dowodu tych warunków posłużymy się następującymi własnościami pochodnej Liego (por. Stwierdzenie (11.1)).

[X,Y]\rfloor\eta=\mathcal{L}_{X}\big(Y\rfloor\eta\big) (10.14)

gdzie \eta jest dowolną dwuformą, oraz

\mathcal{L}_{X}\cdot i_{Y}=i_{Y}\cdot\mathcal{L}_{X}. (10.15)

Zwężając obie strony równości (10.14) przy \eta=\omega kolejno z polem \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}} oraz \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}} otrzymamy dla i=1,m+1

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\rfloor[X,Y]\rfloor\omega=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\rfloor\mathcal{L}_{X}\big(Y\rfloor\omega\big)

i stosując do wyrażeń po prawej stronie ostatniej równości własność (10.15) dostaniemy

\mathcal{L}_{X}\big(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\rfloor Y\rfloor\omega\big)=0,

bo wnętrza nawiasów są równe 0 na mocy założenia (10.13).

Na mocy Lematu i Twierdzenia Frobeniusa obie dystrybucje {\bf D}_{1} i {\bf D}_{2} są całkowalne, tj przez każdy punkt y rozmaitości M\cap W przechodzą dwie podrozmaitości D_{1} i D_{2}, takie, że {\bf D}_{1}(y) i {\bf D}_{2}(y) można utożsamić z przestrzenią T_{y}D_{1} i T_{y}D_{2} odpowiednio. Forma \omega ograniczona do D_{1} i do D_{2} pozostaje domknięta i nieosobliwa. Zatem, z założenia indukcyjnego, istnieje mapa w otoczeniu y w D_{2}, dla której zachodzi teza Stwierdzenia (10.3). Produkt tej mapy i mapy w D_{1}(y) daje żądaną mapę na M.

Wniosek 10.1

Stwierdzenie (10.3) mówi, że każde dwie rozmaitości symplektyczne ustalonego wymiaru 2m są lokalnie identyczne z otoczeniem zera w {\bf R}^{{2m}} wyposażonym w formę:

\omega=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}dx_{i}\wedge d_{{m+i}}} (10.16)

Każdą mapę na M, której forma \omega ma postać (10.16) nazywamy mapą kanoniczną.

Definicja 10.4

Niech F będzie funkcją różniczkowalną na rozmaitości symplektycznej M. Gradientem symplektycznym funkcji F (lub polem hamiltonowskim wyznaczonym przez F) nazwiemy (jedyne) pole wektorowe X na M spełaniające warunek:

dla każdego różniczkowalnego pola Y na M

dF(Y)=\omega(X,Y) (10.17)

Gradient symplektyczny F związany z formą \omega oznaczymy grad_{\omega}F.

Uwaga 10.1

Podobnie, jak w (10.9) ale używając macierzy jednostkowej zamiast macierzy (10.9) definiujemy ”zwykły ” gradient w {\bf R}^{n}.

Ćwiczenie 10.2

Wyznaczyć postać gradientu symplektycznego funkcji F w mapie kanonicznej.

Rozwiązanie: 

Niech X=grad_{\omega}F=(X_{1},...X_{{2m}}) i niech Y=(Y_{1},...Y_{{2m}}) będzie jakimś polem wektorowym. Zgodnie z (10.17), (10.8) i (10.9) zachodzi równość

\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{2m}}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\cdot Y_{i}=\sum _{{i=1}}^{{m}}X_{i}Y_{{m+i}}-X_{{m+i}}Y_{i}}

skąd wobec dowolności Y wynika, że:

\displaystyle{grad_{\omega}F=\Big(\frac{\partial F}{\partial x_{{m+1}}},...,\frac{\partial F}{\partial x_{{2m}}},-\frac{\partial F}{\partial x_{1}},...,\frac{\partial F}{\partial x_{m}}\Big)} (10.18)
Wniosek 10.2

Układ równań Hamiltona (10.5) można zapisać w postaci:

\displaystyle{\frac{d}{dt}\gamma(t)=grad_{\omega}H\big(\gamma(t)\big)} (10.19)

gdzie \gamma(t)=\big(x(t),p(t)\big)

10.3. Kanoniczna struktura symplektyczna na wiązce kostycznej do rozmaitości.

Niech M będzie rozmaitością różniczkową wymiaru n. Oznaczmy przez T(M) wiązkę styczną a przez T^{*}(M) wiązkę kostyczną do M. Niech \Pi:T^{*}(M)\rightarrow M będzie kanoniczną projekcją (tj. odwzorowaniem przeprowadzającym wszystkie elementy przestrzeni kostycznej do M w dowolnym ustalonym q\in M na q. Niech \Pi^{*}:T(T^{*}M)\rightarrow TM będzie przekształceniem indukowanym przez \Pi (podniesieniem \Pi do wiązki stycznej, różniczką \Pi ). Dla ustalonej mapy (U,\varphi) na M oraz q\in U niech \frac{\partial}{\partial x_{1}}(q),...,\frac{\partial}{\partial x_{n}}(q) będzie bazą w T_{q}(M). (Zobacz dowód Stwierdzenia (10.3)). I niech dx_{1}(q),...dx_{n}(q) będzie dualną bazą przestrzeni T_{q}^{*}(M). Jednoformy dx_{1},...dx_{n} pozwalają utożsamiać \Pi^{{-1}}(U)\subset T^{*}M z produktem \varphi(U)\times{\bf R}^{n} za pomocą odwzorowania \widetilde{\varphi} danego wzorem:

\widetilde{\varphi}:\Pi^{{-1}}(U)\ni\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}}p_{i}dx_{i}(q)\rightarrow(q_{1},...q_{n})\times(p_{1},...p_{n})\in\varphi(U)\times{\bf R}^{n} (10.20)

gdzie \varphi(q)=(q_{1},...q_{n}) dla q\in U. Parę \big(\Pi^{{-1}}(U),\widetilde{\varphi}\big) nazwiemy mapą na T^{*}(M) indukowaną przez mapę (U,\varphi) na M. Punkty \Pi^{{-1}}(U) będziemy oznaczać za pomocą ich współrzędnych (q,p) w mapie indukowanej. Niech X będzie polem wektorowym na \Pi^{{-1}}(U). Wtedy X w punkcie (q,p) ma postać

X_{{(q,p)}}=\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}(q,p)\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{i}}+b_{i}(q,p)\frac{\partial}{\partial p_{i}} (10.21)

gdzie

\big(\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}},...,\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{n}},\frac{\partial}{\partial p_{i}},...\frac{\partial}{\partial p_{n}}\big)

sa polami bazowymi na \Pi^{{-1}}(U) związanymi z mapą \big(\Pi^{{-1}}(U),\widetilde{\varphi}\big). Przy czym \displaystyle{\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}}} oznacza teraz pole na T^{*}(M), które przy lokalnym ”ilorazowym” przedstawieniu \Pi^{{-1}}(U) w formie (10.20) odpowiada polu \displaystyle{\frac{\partial}{\partial q_{1}}} na M. Widzimy, że wtedy

\Pi^{*}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial p_{1}}}\big)=0\textrm{oraz}\Pi^{*}\big(\displaystyle{\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}}}\big)=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial q_{1}}}.

A więc

\Pi^{*}\big(X_{{(q,p)}}\big)=W_{q}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}(q,p)\frac{\partial}{\partial q_{1}}\in T_{q}(M)}.

Na to pole wektorowe podziałajmy formą \alpha\big(X\Big) na M, której wartość w T^{*}(M) ma postać

\alpha\big(X\Big)_{{(q)}}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}dq_{i}}

i zależy tylko od współrzędnych (p_{1},...p_{n}). Otrzymamy więc przyporządkowanie

\displaystyle{X_{{(q,p)}}=\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}(q,p)\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}}+b_{i}(g,p)\frac{\partial}{\partial p_{i}}\longrightarrow\sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}a_{i}(q,p)\in{\bf R}}.

To przyporządkowanie jest dla każdego ustalonego (q,p) liniową operacją na X a więc wyznacza formę liniową na T_{{(q,p)}}(T^{*}M). Ta forma mnoży współrzędne przy \displaystyle{\frac{\partial}{\partial q_{i}}} przez liczbę p_{i}. Zatem postać jednoformy, którą w ten sposób uzyskujemy jest

\alpha _{{(q,p)}}=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}\:\widetilde{d}q_{i} (10.22)

gdzie \widetilde{d}q_{i} oznacza formę na T^{*}(M), która przy ”ilorazowym” przedstawieniu \Pi^{{-1}}(U) w formie (10.20)odpowiada formie dq_{i} na M. Formę (10.22) nazywa się formą Liouville'a n T^{*}(M).

Niech \omega=d\alpha. Wtedy \omega jest zamkniętą dwuformą o postaci:

\omega=\sum _{{i=1}}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i} (10.23)

Zatem jest nieosobliwą w każdym punkcie (por. Stwierdzenie(10.2) (c)).

Zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją, piszemy tu d{q}_{i} zamiast bardziej poprawnego formalnie d\widetilde{q}_{i}.

Stwierdzenie 10.4

Na wiązce kostycznej T^{*}(M) do dowolnej rozmaitości różniczkowej M istnieje forma symplektyczna \omega, która w mapach indukowanych przez mapy na M ma postać kanoniczną (10.22). Własność ta wyznacza formę \omega.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.