Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 11. Miarowe, algebraiczne i strukturalne aspekty mechaniki Hamiltona. – MIM UW

Zagadnienia

11. Miarowe, algebraiczne i strukturalne aspekty mechaniki Hamiltona.

11.1. Redukcja symplektyczna.

Symetryczna budowa równań Hamiltona umożliwia postępowanie redukujące liczbę równań i liczbę szukanych funkcji w sytuacji, kiedy jedna ze współrzędnych nie występuje explicite w funkcji Hamiltona (nazywamy ją wtedy współrzędną cykliczną). Niech q_{i} będzie taką współrzędną. Wtedy i-te ”pędowe” równanie jest postaci:

\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=0

Zatem pęd p_{i} pozostaje stały w czasie ruchu. Wstawiając jego stałą wartość p^{0}_{i} do hamiltonianu, otrzymujemy układ równań z funkcją Hamiltona nie zawierająca q_{i} ani p_{i} a zatem układ 2n-2 równań (przy początkowej liczbie 2n równań). Po ich ewentualnym rozwiązaniu pozostaje jeszcze scałkować równanie:

\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\big(q_{1}(t),...q_{n}(t),p_{1}(t),...\dot{p}_{i},...p_{n}(t)\big)=f(t)
Wniosek 11.1

Układ o dwóch stopniach swobody (tj. dla n=2 ) i mający jedną współrzędną cykliczną, jest rozwiązalny w kwadraturach.

Niech q_{1} będzie współrzędną cykliczną. Zgodnie z opisanym powyżej postępowaniem, redukujemy sytuację do układu

\displaystyle{\dot{q}_{2}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}},\dot{p}_{2}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}} (11.1)

Układ ten ma całkę pierwszą H\big(p_{1}^{0},p_{2}(t),q_{2}(t)\big)=c, która wyrażona za pomocą położeń i prędkości ma postać:

\displaystyle{\frac{m\dot{q}_{2}^{2}}{2}+U(q_{2})}=c,\textrm{ co daje}\dot{q}_{2}=\pm\displaystyle{\sqrt{\frac{2\big(c-U(q_{2})\big)}{m}}}

a zatem zagadnienie rozwiązania naszego układu sprowadza się do wyznaczenia dwu całek.

11.2. Pochodna Liego

Niech X=(X_{1},..X_{n}) będzie polem wektorowym klasy C_{1} określonym na otwartym podzbiorze \Omega\subset{\bf R}^{n}. Rozważmy układ równań z warunkiem początkowym

\Bigg\{\begin{array}[]{ccc}\dot{y}(t)=X\big(y(t)\big)\\
y(0)=x\end{array} (11.2)

Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla takiego układu wynika, że przy każdym warunku początkowym x istnieje \epsilon(x)>0 oraz krzywa \big(-\epsilon(x),\epsilon(x)\big)\ni t\rightarrow y_{x}(t)\in{\bf R}^{n}, spełniająca (11.2). Ustalmy wartość t i zmieniajmy warunek początkowy x. Wtedy dla x takich, że |t|<\epsilon(x) jest dobrze określone odwzorowaniem \varphi _{t}^{x}.

\varphi _{t}^{X}(x)=y_{x}(t) (11.3)

Z twierdzenia o gładkiej zależności rozwiązania (11.2) od warunków początkowych wynika, że odwzorowanie \varphi _{t} jest różniczkowalne a z jednoznaczności rozwiązania zagadnienia (11.2) wynika, że jeżeli wszystkie elementy następującej formuły (11.4) są dobrze określone, to zachodzi równość:

\displaystyle{\varphi _{{t_{1}+t_{2}}}^{X}(x)=\varphi _{{t_{1}}}^{X}\big(\varphi _{{t_{2}}}^{X}(x)}\big). (11.4)

Zatem (na być może mniejszym zbiorze) odwzorowanie \varphi _{t}^{X} jest dyfeomorfizmem, na obraz tego zbioru - ”lokalnym dyfeomorfizmem”. W sytuacji, kiedy dla t\in{\bf R} dana jest rodzina przekształceń określonych dla każdego x\in\Omega i o wartościach w \Omega a przy tym spełnione są warunki (11.4) oraz \varphi _{0}=id_{\Omega}, powiemy, że rodzina {\bf R}\ni t\rightarrow\varphi _{t} jest jednoparametrową grupą odwzorowań \Omega. Dla odwzorowań \varphi _{t}^{X} definiowanych za pomocą (11.3) sytuacja jest bardziej złożona. Globalnie na \Omega określone jest jedynie przekształcenie \displaystyle{\varphi _{0}^{X}=id_{{{\bf R}^{n}}}} natomiast dla t\neq 0 każde przekształcenie \varphi _{t}^{X} ma swoją dziedzinę. Dziedziny te rosną, kiedy t\rightarrow 0 oraz dla każdego x\in{\bf R}^{n} istnieje \epsilon(x), że dla |t|<\epsilon(x) x znajduje się w dziedzinie \displaystyle{\varphi _{t}^{x}}. W tej sytuacji powiemy, że pole wektorowe X określa lokalną grupę 1- parametrowa lokalnych dyfeomorfizmów \Omega. Za pomoca tej grupy zdefiniujemy pochodną Liego pola tensorowego na \Omega.

Definicja 11.1

Niech X będzie polem wektorowym klasy C^{1} na otwartym podzbiorze \Omega\subset{\bf R}^{n}. Niech \{\varphi _{t}^{X}\} _{t}\in{\bf R} będzie lokalną 1-parametrowa grupą lokalnych dyfeomorfizmów \Omega określoną przez X. Niech W będzie polem tensorowym walencji (r,s). Pochodną Liego pola W wyznaczoną przez pole X (oznaczaną \mathcal{L}_{X}W) nazwiemy pole tensorowe też o walencji (r,s), którego wartość w punkcie p otrzymujemy według następującej recepty realizowanej w dwóch krokach:

Krok 1
Tworzymy tensor \widetilde{W}_{p}^{t}, będący formą (r+s)-liniową o argumentach \xi _{i}\in T_{p}(\Omega) i=1,..r oraz \alpha _{j}\in T^{*}_{p}(\Omega) j=1,..s przechodząc od W_{{\varphi _{t}^{X}(p)}} do \widetilde{W}_{t}^{p} zgodnie z formułą:

\widetilde{W}^{t}_{p}(\xi _{1},..,\xi _{r},\alpha _{1},..,\alpha _{s})=
\displaystyle{=W_{{\varphi _{t}^{x}(p)}}\big(d_{p}\varphi _{t}^{x}(\xi _{1}),..,d_{p}\varphi _{t}^{x}(\xi _{r}\big),\alpha _{1}\circ d_{{p_{t}^{x}(p)}}\varphi _{t}^{x},..,\alpha _{s}\circ d_{{p_{t}^{x}(p)}}\varphi _{t}^{x}}\big).

Krok 2
Wyznaczamy granicę

\lim _{{x\to\  0}}\displaystyle{\frac{\widetilde{W}_{p}^{t}-W_{p}}{t}}.

Czytelnika zainteresowanego poprawnością i zakresem stosowalności tej definicji odsyłamy do książek o geometrii różniczkowej. My poprzestaniemy na zacytowaniu kilku własności pochodnej Liego potrzebnych w dalszym tekście.

Stwierdzenie 11.1

Niech X będzie polem wektorowym klasy C^{1} na \Omega\subset{\bf R}^{n}. Dla k-formy różniczkowej \omega określmy zwężenie X\rfloor\omega wzorem

(X\rfloor\omega)(\xi _{1},..,\xi _{{k-1}})=\omega(X,\xi _{1},..,\xi _{{k-1}})

Wtedy

  1. \displaystyle{\mathcal{L}_{X}\omega=X\rfloor d\omega+d(X\rfloor\omega)}

  2. \displaystyle{d\circ\mathcal{L}_{X}=\mathcal{L}_{X}\circ d}

  3. \displaystyle{\mathcal{L}_{X}f=Xf}\ \textrm{dla funkcji różniczkowalnej }\  f

  4. \displaystyle{\mathcal{L}_{X}(Y)=[X,Y]}\ \textrm{dla pola wektorowego}\  Y

  5. \displaystyle{[X,Y]\rfloor\eta=\mathcal{L}_{X}(Y\rfloor\eta)}

  6. \displaystyle{\mathcal{L}_{X}\circ i_{Y}=i_{Y}\circ\mathcal{L}_{X}\ \textrm{gdzie}\  i_{Y}(\omega)=Y\rfloor\omega}

11.3. Miary niezmiennicze dla potoków hamiltonowskich.

Niech X=(X_{1},..,X_{n}) będzie polem wektorowym klasy C_{1} określonym na otwartym podzbiorze \Omega\subset{\bf R}^{n}. Niech \{\varphi _{t}^{X}\} _{{t\in{\bf R}}} będzie lokalną grupą lokalnych dyfeomorfizmów \Omega określoną przez pole X. Powiemy, że lokalny dyfeomorfizm \varphi _{t}^{X} zachowuje miarę \mu jeżeli

\mu\big(\varphi _{t}^{X}(A)\big)=\mu(A)

dla każdego otwartego A\subset\Omega, dla którego \varphi _{t}^{X} jest określony.

Diwergencją pola nazwiemy funkcję

divX(x)=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}(x)}
Stwierdzenie 11.2

(Liouville) Jeżeli divX=0 to lokalne difeomorfizmy \varphi _{t}^{X} związane z polem X zachowują miarę Lebesque'a na \Omega.

Ponieważ \dot{y}(t)=X\big(y(t)\big), korzystając z wzoru Taylora, dostaniemy

\varphi _{t}^{X}(y)=y+X(y)\cdot t+0(t^{2}).

Niech D będzie otwartym zbiorem ograniczonym, takim że \varphi _{t}^{X} jest określone dla x\subset D. Oznaczając przez volA miarę Lebesque'a zbioru A, rozważmy funkcję v(t)=vol\big(\varphi _{t}^{X}(D)\big). Wtedy

\displaystyle{\frac{v(t+\triangle t)-v(t)}{\triangle t}=\frac{1}{\triangle t}\Big(vol\big(\varphi _{{\triangle t}}^{X}\big(\varphi _{{t}}^{X}(D)\big)\Big)-vol\varphi _{t}^{X}(D)\Big)}=
=\frac{1}{\triangle t}\int _{{\varphi _{t}^{X}(D)}}\Big(J\varphi _{{\triangle t}}^{X}(y)-1\Big)dy,

gdzie J\varphi _{{\triangle t}}^{X}(y) jest jakobianem przekształcenia \varphi _{{\triangle t}}^{X} w punkcie y\in\varphi _{t}^{X}(D). Ponieważ chcemy obliczyć granicę przy \triangle t\rightarrow 0, zobaczymy jak zależy od \triangle t wyrażenie J\varphi _{{\triangle t}}^{X}(y). Ponieważ

\varphi _{{\triangle t}}^{X}(y)=y+X(y)\cdot\triangle t+0\big((\triangle t)^{2}\big)

macierz różniczki d_{y}\varphi _{{\triangle t}}^{X} ma wyrazy

a_{{ij}}=\delta _{j}^{i}+\frac{\partial X_{i}}{\partial y_{j}}(y)\cdot\triangle t+0\big((\triangle t)^{2}\big)

a więc

J\displaystyle{\varphi _{{\triangle t}}^{X}(y)}=\big|det\  d_{y}\varphi _{{\triangle t}}^{X}\big|=\big|1+\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial X_{i}}{\partial y_{j}}(y)}\triangle t+0\big((\triangle t)^{2}\big)\big|

Z założenia, że divX=0 wynika więc, że \frac{dv^{{\prime}}}{dt}=0, zatem vol\varphi _{t}^{X}(D)=vol(D), dla każdego t.

Wniosek 11.2

Niech M będzie rozmaitością symplektyczną wymiaru 2n i niech (U,\varphi) będzie mapą symplektyczna na M. Wtedy lokalne dyfeomorfizmy związane z polami hamiltonowskimi grad_{\omega}F zachowują miarę Lebesque'a na \varphi(U).

Ponieważ zgodnie z (10.16)

grad_{\omega}F=\displaystyle{\Big(\frac{\partial F}{\partial X_{{n+1}}},...,\frac{\partial F}{\partial X_{{2m}}},-\frac{\partial F}{\partial x_{1}},...,\frac{\partial F}{\partial x_{n}}}\Big)

mamy div(grad_{\omega}F)=0.

11.4. Algebraiczne tło mechaniki hamiltonowskiej.

Związek równań (10.19) z fizyką polega na dwóch założeniach.

- Po pierwsze - w przypadku ewolucji układu fizycznego, rozmaitość M powinna być wiązką kostyczną do przestrzeni konfiguracyjnej naszego układu
- Po drugie - prawe strony rozważanych równań powinny być współrzędnymi gradientu symplektycznego funkcji H równej całkowitej energii naszego układu, wyrażonej za pomocą pędów i położeń.
Abstrahując od takich fizycznych ograniczeń możemy rozważać układ o postaci:

\dot{x}(t)=grad_{\omega}F(x) (11.5)

dla dowolnej rozmaitości symplektycznej (M,\omega). (Zgodnie z Definicją 10.4 i wzorem (10.17) prawa strona w (11.5) jest zdefiniowana niezależnie od współrzędnych lokalnych na M). Następujące dalej obserwacje pokazują algebraiczne tło ewolucji opisywanej układem (11.5). Obecność tej struktury w tle mechaniki klasycznej była jedną ze wskazówek przy budowaniu formalizmu mechaniki kwantowej.

Definicja 11.2

Niech M będzie 2m wymiarową rozmaitością symplektyczną z formą \omega. Niech C^{\infty}(M) będzie algebrą funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych o wartościach w {\bf R} (lub w {\bf C}) na M. Określmy operację

C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M)\ni(f,g)\rightarrow\{ f,g\}\in C^{\infty}(M)

(zwaną nawiasem Poissona ) za pomocą formuły

\{ f,g\}=(grad_{\omega}f)\cdot g (11.6)
Stwierdzenie 11.3

(a) Nawias Poissona jest operacją dwuliniową i antysymetryczną.
(b) Dla f,g,h,\in C^{\infty}(M) spełniona jest tożsamość Jacobiego.

\{ f,\{ g,h\}\}+\{ g\{ h,f\}\}+\{ h,\{ f,g\}\}=0 (11.7)

(Szkic) (a) Z formuły (10.18) widać, że (11.6) zależy liniowo od f. Wynika z niej również opis lokalny nawiasu \{ f,g\} w mapie symplektycznej:

\{ f,g\}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{{m+1}}}\frac{\partial g}{\partial x_{i}}-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\cdot\frac{\partial g}{\partial x_{{m+i}}}} (11.8)

Zatem (grad_{\omega}f)g=(-grad_{\omega}g)f a więc nawias Poissona jest formą antysymetryczną.
(b) Wykorzystując antysymetrię nawiasu Poissona, przekształćmy (11.7) otrzymując:

\{ f,\{ g,h\}\}-\{ g\{ f,h\}\}=\{\{ f,g\},h\}.

Równość tę można odczytać jako równość

grad_{\omega}f\Big((grad_{\omega}g)h\Big)-grad_{\omega}g\Big((grad_{\omega}f)h\Big)=\Big(grad_{\omega}\{ f,g\}\Big)h

Ponieważ zachodzi ona przy dowolnym h, traktując pola wektorowe jako operacje liniowe, możemy napisać

\Big(grad_{\omega}f\Big)\circ\Big(grad_{\omega}g\Big)-\big(grad_{\omega}g\Big)\circ\Big(grad_{\omega}f\Big)=grad_{\omega}\{ f,g\} (11.9)

i oznaczając komutator tych operacji jako nawias Liego odpowiednich pól możemy (11.9) zapisać w postaci

\Big[grad_{\omega}f,grad_{\omega}g\Big]=grad_{\omega}\{ f,g\} (11.10)

Przedstawione przejścia można też przeprowadzić w przeciwnym kierunku, co dowodzi, że równości (LABEL:10.4.3) i (11.10) są równoważne. Wykażemy, że zachodzi równość (11.10). W tym celu zastąpimy ją równoważną (ze względu na nieosobliwość \omega) równością

\Big[grad_{\omega}f,grad_{\omega}g\Big]\rfloor\omega=(grad_{\omega}\{ f,g\})\rfloor\omega. (11.11)

Na mocy Stwierdzenia 11.1 punkty 5, 2, i 3 oraz równości (10.17) zapisanej w formie \big(grad_{\omega}f\big)\rfloor\omega=df możemy lewą stronę (11.11) przedstawić w postaci

\mathcal{L}_{{grad_{\omega}f}}(dg)-{\mathcal{L}_{{grad_{\omega}g}}(df)}=d\big((grad_{\omega}f)\big)\cdot g\big)=d\{ f,g\}

Natomiast strona prawa przyjmuje postać grad_{\omega}\{ f,g\}\rfloor\omega=d\{ f,g\}.

Uwaga 11.1

Punkty (a) i (b) Stwierdzenia 11.3 można podsumować mówiąc, że przestrzeń liniowa C^{\infty}(M) wyposażona w dwuliniową operację

C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M)\ni(f,g)\rightarrow\{ f,g\}\in C^{\infty}(M)

jest algebrą Liego.Również przestrzeń liniowa \Gamma^{\infty}(M) wszystkich pól wektorowych klasy C^{\infty} na M, wyposażona w nawias Liego jest algebrą Liego. Zauważmy, że z (11.10) wynika, że odwzorowanie

grad_{\omega}:\big(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}\big)\ni f\longrightarrow grad_{\omega}f\in\big(\Gamma^{\infty}(M),\big[\cdot,\cdot\big]\big)

jest homomorfizmem tych algebr. Jako obraz tego homomorfizmu otrzymujemy zbiór wszystkich pól hamiltonowskich, który stanowi zatem algebrę Liego. Jądrem homomorfizmu grad_{\omega} są funkcje stałe. Powyższa struktura algebry Liego jest związana z konkretnym układem mechanicznym uwzględniając jedynie jego przestrzeń konfiguracyjną.

Stwierdzenie 11.4

(Poisson)

Niech M będzie rozmaitością symplektyczną z formą \omega. Niech H\in C^{\infty}(M). Rozpatrzmy ewolucję {\bf R}\ni t\rightarrow x(t)\in M opisaną układem równań Hamiltona

\dot{x}(t)=grad_{\omega}H\big(x(t)\big) (11.12)

Wtedy
(a) jeżeli \{ f,H\}=0 to f jest całką pierwszą układu (11.12)
(b) jeżeli f_{1} i f_{2} są całkami pierwszymi tej ewolucji, to także \{ f_{1},f_{2}\} jest całką pierwszą.

(a) Mamy

\frac{d}{dt}f\big(x(t)\big)=\Big(grad_{\omega}H\big(x(t)\big)\Big)\cdot f=\{ H,f\}\big(x(t)\big)

Zatem f jest całką pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy \{ f,H\}=0.
(b) Z tożsamości Jacobiego (LABEL:0.3.3) wynika, że

\{ H,\{ f_{1},f_{2}\}\}=\{ f_{1}\{ f_{2},H\}-\{ f_{2}\{ H,f_{1}\}\},

ale \{ f_{2},H\}=\{ H,f_{1}\}=0. Zatem \{ H\{ f_{1},f_{2}\}\}=0, co należało pokazać.

Uzupełnieniem poprzedniego stwierdzenia jest pochodzące od Emmy Noether.

Stwierdzenie 11.5

Niech będą dane dwa układy o postaci (11.5) i o prawych stronach równych grad_{\omega}F_{i},i=1,2. Jeżeli 1-parametrowa grupa lokalna t\rightarrow x_{t}^{1} związana z polem grad_{\omega}F_{1} zachowuje F_{2}, to F_{1} jest całką pierwszą układu \dot{x}=grad_{\omega}F_{2}.

Niech x\in M i rozważmy krzywą całkową x_{t}^{1}(x), gdzie x_{0}^{1}=x wtedy

F_{2}\big(x_{t}^{1}(x)\big)=F_{2}(x)=const

a zatem

\displaystyle{\big((grad_{\omega}F_{1})\cdot F_{2}\big)(x)=\frac{d}{dt}\arrowvert _{{t=0}}F_{2}\big(x_{t}^{1}\big)}=0

czyli

\{ F_{2},F_{1}\}(x)=0

i ze Stwierdzenia 11.4 (a) wynika teza.

11.5. Relacje komutacyjne.

Przy powstawaniu formalzmu mechaniki kwantowej ważną wskazówką były wartości nawiasu Poissona dla kilku podstawowych funkcji, jakimi są położenia q_{1},...,q_{n} i pędy p_{1},...,p_{2}, będące współrzędnymi w wiązce kostycznej do przestrzeni konfiguracyjnej naszego układu. Dla mapy symplektycznej, w której nawias Poissona zadany jest formułą (11.12) otrzymamy

\{ p_{i},p_{j}\}=0i,j,=1,...n (11.13)

Aby uzyskać (11.13) wystarczy w formule (11.12) przyjąć

f=p_{i},g=p_{j},\ \textrm{oraz}\ (x_{1},...x_{n})=(q_{1},...q_{n})\ \ \textrm{i}(x_{{n+1}},...x_{{2n}})=(p_{1},...p_{n})\big).

W analogiczny sposób otrzymamy

\{ q_{i},q_{j}\}=0i,j=1,...n (11.14)
\{ p_{i},q_{j}\}=-\delta _{j}^{i}{\bf 1}i,j=1,.... (11.15)

gdzie {\bf 1} oznacza funkcję stałą, przyjmującą wartość 1.

11.6. Strukturalne spojrzenie na formalizm Hamiltona.

Teoria zajmująca się opisem zmian w czasie układu fizycznego składa się na ogół z trzech części. Po pierwsze podaje matematyczny model rzeczywistości podlegającej ewolucji. Opis tej rzeczywistości w ustalonej chwili nazwiemy stanem układu w tej chwili.

Drugą częścią teorii - najważniejszą fizycznie - jest matematyczne sformułowanie prawa ewolucji. Najczęściej prawo takie jest opisane równaniem różniczkowym. Trzecim składnikiem teorii jest wyróżnienie elementów dających informację o stanach układu, które z jednej strony powinny taki stan wyznaczać, a z drugiej strony mogłyby być wyznaczane za pomocą obserwacji i doświadczeń.
Elementy takie nazwiemy obserwablami.

W hamiltonowskim ujęciu mechaniki, opisem rzeczywistości jest przestrzeń fazowa \mathcal{F} układu. W najprostszym przypadku, układu n-punktów poruszających się swobodnie w {\bf R}^{3},\mathcal{F} jest wiązką kostyczną do {\bf R}^{{3n}}. Stanami naszego układu będą punkty \mathcal{F}. Prawem opisującym ewolucję układu są równania Hamiltona, określone przez naturalną strukturę symplektyczną na \mathcal{F} oraz przez funkcję Hamiltona H=T+V, gdzie T jest energia kinetyczną a V potencjałem. We współrzędnych kartezjańskich równania te mają postać

\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{p_{i}}{m_{i}}\\
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=F_{i}(q) (11.16)

a ewolucja to przejście od stanu początkowego wyznaczającego warunki początkowe q(t_{0})=q_{0}p(t_{0})=p_{0} do stanu w chwili T wyznaczonego w wyniku rozwiązania układu (11.16). Obserwablami dla naszego układu będą funkcje na \mathcal{F}, takie, jak współrzędne, pędy, momenty pędu energia etc. Na równi z ewolucją obserwabli q_{1},..q_{n},p_{1},..p_{n} daną równaniami (11.16) moglibyśmy badać bezpośrednio ewolucję innych obserwabli. I tak ewolucję obserwabli B(q,p,t) możemy bezpośrednio opisać równaniem

\displaystyle{\frac{\partial B(q,p,t)}{\partial t}=D_{H}\cdot B(q,p,t)} (11.17)

gdzie D_{H} jest polem wektorowym na \mathcal{F} o postaci

D_{H}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{p_{i}}{m_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}+F_{i}(q)\cdot\frac{\partial}{\partial p_{i}}}

Równanie to możemy interpretować jako równanie zwyczajne w przestrzeni funkcji na \mathcal{F}. Istotnie pisząc B_{t}(q,p) uzyskamy równanie opisujące krzywą
{\bf R}\ni t\rightarrow B_{t} w postaci

\frac{dB_{t}}{dt}=D_{H}B_{t}

gdzie D_{H} jest operatorem liniowym D_{H}(B_{t})=D_{H}\cdot B_{t}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.