Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 2. Różne rodzaje sił – MIM UW

Zagadnienia

2. Różne rodzaje sił

Siły, jakie obserwujemy, są kilku rodzajów. Po pierwsze są to siły pochodzące od istot żywych. Ich natura jest skomplikowana i nie będziemy się nimi tutaj zajmować. Drugim rodzajem sił są siły związane z urządzeniami mechanicznymi. Studiowanie ich oraz ich skutków w postaci ruchu mechanizmów jest w oczywisty sposób związane z projektowaniem tych ostatnich. Proste realizacje takich sytuacji występują w Przykładach 1.4 i 1.6 z poprzedniego wykładu. Trzecim rodzajem sił są ”siły przyrody”. Okazuje się, że są one czterech rodzajów, z których dwa: siły grawitacyjne i siły elektromagnetyczne występują w skali makro, natomiast dwa inne rodzaje - tzw. oddziaływania mocne i słabe są właściwie dla świata mikro. Teoria oddziaływań mocnych i słabych należy do zaawansowanych fragmentów fizyki teoretycznej i jest poza obszarem naszych obecnych zainteresowań. Pozostają nam więc oddziaływania grawitacyjne i elektomagnetyczne. Teoria tych ostatnich dotyczy w znacznej mierze obiektów poruszających się z wielkimi prędkościami, gdzie jedno z naszych wstępnych założeń o bezwzględności czasu musi zostać zakwestionowane. Sytuacja ta tłumaczy widoczną w przytoczonych przykładach jednorodność rodzaju występujących sił. Większość z nich to (ewentualnie) przetransformowane, jak w Przykładzie 1.5 siły grawitacyjne.

2.1. Siły zachowawcze

W dyskutowanych poprzednio przykładach wszystkie siły (poza Przykładem 1.2) zależały tylko od położenia i nie zależały od czasu. Niezależność od czasu prawych stron dyskutowanych równań ma liczne implikacje matematyczne. Oto jedna z nich:

Uwaga 2.1

Jeżeli siła {\bf F} w (1.4) nie zależy od czasu ani od prędkości \bf{\dot{x}} to wraz z {\bf x}(t) funkcja {\bf x}(-t) jest rozwiązaniem (1.4). Istotnie, dla {\bf y}(t)={\bf x}(-t) widzimy, że {\bf\dot{y}}(t)=(-1){\bf\dot{x}}(-t) oraz {\bf\ddot{y}}(t)={\bf\ddot{x}}(-t). Zatem

{\bf\ddot{y}}(t)={\bf\ddot{x}}(-t)={\bf F}({\bf x}(-t))=\bm{F}(\bm{y}(t)).

Wynika stąd, że (pomijając mało istotny wpływ pozostałych planet) wraz z ruchem planety po orbicie wokół Słońca, możliwy jest ruch po tej samej orbicie w odwrotnym kierunku, który możemy otrzymać niejako odwracając bieg czasu. Ten ”odwrócony” porządek możemy zrealizować w normalnym świecie, zmieniając np. warunki początkowe w chwili 0 z (\bf{x_{0},\dot{x_{0}}}) na (\bf{x_{0},-\dot{x_{0}}}).

2.2. Siły potencjalne.

W elementarnym kursie fizyki definiuje się pracę \triangle L stałej siły {\triangle F} na prostoliniowej drodze S przy założeniu, że siła jest równoległa do tej drogi i zgodnie z nią skierowana wzorem:

\triangle L=\triangle F\cdot\triangle S (2.1)

gdzie \triangle S oznacza długość drogi. Zatem pracę stałego pola F określonego na odcinku [a,b] prostej zanurzonej w \bf{R}^{n} możemy przyjąć jako

\triangle L=\langle\triangle F,\frac{b-a}{|b-a|}\rangle|b-a|=\langle\triangle F,b-a\rangle (2.2)

gdzie <\cdot,\cdot> jest iloczynem skalarnym w {\bf R}^{n}, |b-a| jest długością odcinka [a,b], natomiast <\triangle F,\displaystyle{\frac{b-a}{|b-a|}>} jest długością rzutu wektora \triangle F na oś wyznaczoną przez [a,b].

Wzór (2.2) jest krokiem wstępnym do określenia pracy \int _{{\gamma}}{Fd\gamma} gładkiego pola wektorowego F, wzdłuż gładkiej krzywej \gamma. Przypomnimy znany z kursu Analizy II sens tego symbolu.

Niech \gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow\bf{R}^{{n}} będzie krzywą klasy C^{1}, (tj. krzywą mającą ciągłą pochodną na [\alpha,\beta]). Dla skończonego podziału

p:\alpha=t_{1}<t_{2},...<t_{n}=\beta (2.3)

odcinka [\alpha,\beta] utwórzmy sumę całkową:

S(p,\gamma,F)=\sum _{{i=1}}^{{n-1}}<{F}\big(\gamma(t_{i})\big),\frac{\gamma(t_{{(i+1)}})-\gamma(t_{i})}{|\gamma(t_{{i+1}})-\gamma(t_{i})|}>\cdot|\gamma(t_{{i+1}})-\gamma(t_{i})| (2.4)

której każdy składnik jest postaci (2.2). Następnie dla normalnego ciągu podziałów \{ p_{k}\} rozpatrzmy granicę:

\lim _{{k\rightarrow\infty}}S(p_{k},\gamma,F) (2.5)

(Ciąg podziałów \displaystyle{\{ p_{k}\}^{{\infty)}}_{{k=1}}} nazywamy normalnym, jeżeli największa z różnic |t_{{i+1}}-t_{i}| między kolejnymi punktami tworzącymi k-ty podział, dąży do zera przy k\rightarrow\infty.)

Korzystając z różniczkowalności F oraz \gamma, pokazuje się, że dla dostatecznie drobnego podziału p różnica

\Big|S(p,\gamma,F)-\Big(\sum _{{i=1}}^{{n-1}}\Big\langle F(\gamma(t_{i})),\frac{\dot{\gamma}(t_{i})}{|\dot{\gamma}(t_{i})|}\Big\rangle\:|\dot{\gamma}(t_{i})|\:|t_{{(i+1)}}-t_{i}|\Big)\Big| (2.6)

może być tak mała, jak chcemy.

Część druga (odjemnik) powyższej różnicy jest sumą całkową dla funkcji h(t)=\big\langle F(\gamma(t)),\dot{\gamma}(t)\big\rangle. Wynika stąd, że sumy (2.4) mają dla każdego normalnego ciągu podziału granicę równą

\int _{{\alpha}}^{{\beta}}h(t)dt=:\int _{\gamma}Fd\gamma (2.7)

Tak wprowadzona całka mogłaby zależeć od parametryzacji krzywej \gamma. Dowodzi się, że tak jednak nie jest.W dalszym ciągu wykorzystamy dwie następujące jej własności, które przyjmiemy bez dowodu:

Stwierdzenie 2.1

Jeżeli \gamma jest kawałkami gładką krzywą, będącą sumą dwóch rozłącznych części \gamma _{1} i \gamma _{2}, wtedy dla dowolnego kawałkami gładkiego pola wektorowego F zachodzi:

\int _{{\gamma}}Fd\gamma=\int _{{\gamma^{1}}}Fd\gamma _{1}+\int _{{\gamma^{2}}}Fd\gamma _{2} (2.8)

Jeżeli -\gamma oznacza krzywą \gamma przebieganą w przeciwnym kierunku to

\int _{\gamma}Fd(-\gamma)=-\int _{\gamma}Fd\gamma. (2.9)

Odpowiedź na poniższe pytanie ma podstawowe znaczenie dla tego wykładu.

Problem 2.1

Dane jest gładkie pole wektorowe F określone na \Omega\subset{\bf R}^{{n}}. Kiedy dla każdej pary krzywych \gamma _{1} i \gamma _{2} leżących w \Omega i łączących te same punkty zachodzi równość

\int _{{\gamma _{1}}}Fd\gamma _{1}=\int _{{\gamma _{2}}}Fd\gamma _{2}. (2.10)

O sytuacji opisanej wzorem (2.10) powiemy krótko, że praca pola nie zależy od drogi całkowania. Zanim ustosunkujemy się do Problemu 2.1, rozpatrzmy proste zadanie:

Ćwiczenie 2.1

Na zboczu rozległej góry znajdują się dwa domy (zob. rysunek poniżej). Łączą je dwie drogi. Pokazać, że (nie uwzględniając sił tarcia) człowiek ciągnący wózek z ładunkiem z domu A do domu B po każdej z tych dróg wykonuje taką samą pracę, której wielkość zależy tylko od różnicy wysokości położenia domów.

Brak opisu
Rozwiązanie: 

Zacznijmy od uściślenia sformułowań. Posuwając się pod górę pokonujemy opór siły z jaką Ziemia przyciąga wózek a dokładniej opór rzutu tej siły na oś styczną do drogi w jej aktualnym miejscu. Chcemy robić to możliwie ekonomicznie, nie rozpędzając niepotrzebnie wózka (porównaj początek następnego wykładu). W rezultacie, (co jest teoretyczną idealizacją), będziemy zakładać, że siła, którą działamy jest przeciwna do wyżej wymienionego rzutu siły ciężkości. Analogiczne założenie należy przyjąć w tej części drogi, kiedy posuwamy się w dół. Wprowadźmy układ współrzędnych prostokątnych, którego trzecia oś jest skierowana pionowo do góry. Siła, która popycha wózek, kiedy jedzie z góry lub którą trzeba przezwyciężyć, ciągnąc go pod górę, jest składową styczną do drogi siły (0,0 -m_{g}g). Porównaj Przykład (1.2), gdzie m_{g} jest masą grawitacyjną wózka a g przyspieszeniem ziemskim. Rozpatrzmy i-ty wyraz sumy całkowej (2.4), który (po uproszczeniu) jest równy:

\Big\langle{\bf F}(\gamma(t_{i})),\gamma(t_{{(i+1)}})-\gamma(t_{i})\Big\rangle=-m_{g}gh_{i},

gdzie h_{i} jest różnicą poziomów punktów \gamma(t_{{(i+1)}}) i \gamma(t_{i}). Zatem całka od A do B po każdej z tych dróg jest równa -m_{g}h gdzie h jest różnicą poziomów domów B i A.

Możemy teraz podać odpowiedź na postawione pytanie:

Twierdzenie 2.1

Dane jest gładkie pole wektorowe F, określone na otwartym podzbiorze \bf{\Omega}\subset\bf{R}^{{n}}. Następujące warunki są równoważne:

  1. Praca pola F jest niezależna od drogi całkowania w \bf\Omega.

  2. Praca pola F wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej w \bf{\Omega} wynosi 0.

  3. Istnieje funkcja gładka U:\bf{\Omega}\rightarrow\bf R taka, że:

    F=(F_{1},F_{2},...F_{n})=\Big(-\frac{\partial U}{\partial x_{1}},-\frac{\partial U}{\partial x_{2}},...-\frac{\partial U}{\partial x_{n}}\Big)=-gradU. (2.11)

.

Uwaga 2.2

Z matematycznego punktu widzenia można oczywiście zamiast poprzedniej formuły, zmieniając U na -U, napisać warunek:

F=gradU (2.12)

Ponieważ (jak w naszym przykładzie), chcemy aby ruch wywołany siłą pochodzącą od potencjału odbywał się w kierunku jego mniejszych wartości, przyjmiemy znak '-' przed gradientem.

(Szkic)

Równoważność (1)\Leftrightarrow(2) jest oczywista. Naszkicujemy dowody implikacji (1)\Rightarrow(3) oraz (3)\Rightarrow(1).

Dowód implikacji (1)\Rightarrow(3). Ponieważ wszystkie prace danej siły F po możliwych gładkich krzywych łączących dwa ustalone punkty x_{1},x_{2} są z założenia równe, będziemy oznaczać je \int _{{x_{1}}}^{{x_{2}}}F. Wybierzmy punkt {x_{0}} i niech

U(x)=-\int _{{x_{0}}}^{x}F.

Chcemy pokazać, że dla każdego 1\leq i \leq n zachodzi:

{F_{i}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{1}}.

Niech e_{i} będzie wersorem i-tej osi i napiszmy iloraz różnicowy:

\frac{U(x+\triangle te_{i})-U(x)}{\triangle t}=\frac{1}{\triangle t}\cdot|big(\int _{{x_{0}}}^{{(x+\triangle te_{i})}}F-\int _{{x_{0}}}^{{x}}F\big)=\frac{1}{\triangle t}\int _{{x}}^{{(x+\triangle te_{i})}}F

Obierając drogę łączącą x z x+\triangle\cdot te_{i} w postaci \gamma:[0,1]\ni t\rightarrow x+t\triangle\cdot te_{i}\in\bf\Omega otrzymamy \dot{\gamma}(t)=\triangle t\cdot e_{i}, a zatem zgodnie z (2.7)

\int _{{x_{0}}}^{{(x+\triangle te_{i})}}F=\int _{{0}}^{{1}}<F(\gamma(t)),\triangle te_{i}>dt=\triangle t\int _{{0}}^{{1}}F_{i}(x+t\cdot\triangle te_{i})dt.

W rezultacie, korzystając z twierdzenia o wartości średniej dla całek, otrzymamy (gdzie (0\le\Theta(\triangle x)\le 1))

\frac{\partial U}{\partial x_{1}}(x)=lim_{{\triangle t\rightarrow 0}}F_{i}(x+\Theta(\triangle t)\cdot\triangle te_{i})=F_{i}(x)

Dowód implikacji (3)\Rightarrow(1).

Niech \gamma=(\gamma _{1},\gamma _{2},...\gamma _{n}) będzie ustaloną krzywą łączącą x_{1} z x_{2}. Korzystając z (2.7) otrzymamy:

\int _{{\gamma}}F=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\langle\big(F_{1}(\gamma(t),...F_{n}(\gamma(t))\big),\big(\dot{\gamma _{1}}_{1}(t),...\dot{\gamma _{n}}(t)\big)\rangle dt=
-\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\frac{\partial U}{\partial x_{i}}(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}_{i}(t)\Big)dt=-\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\frac{d}{dt}U\big(\gamma(t)\big)dt=U(x_{1})-U(x_{2})

(Podobnie, jak w zadaniu 2.3)

Przykład 2.1

Wskażemy (bez sprawdzania) potencjały odpowiadające siłom dyskutowanym w przykładach 1.1 - 1.6 z poprzedniego wykładu. Wyniki ujmiemy w następującym zestawieniu

Przykładsiłapotencjał
1.1f(x)=-gm_{g}U(x)=gm_{g}x
1.2\textrm{Siła zależy także od prędkości i nie jest potencjalna}
1.3f(x)=-\frac{m_{g}M_{g}}{(r+x)^{2}}U(x)=-\frac{m_{g}M_{g}}{r+x}
1.4f(x)=-\alpha^{2}xU(x)=\frac{\alpha^{2}x^{2}}{2}
1.5f(\phi)=m_{g}g\sin\phi U(\phi)=m_{g}g\cos\phi
1.6f(\bf x)=-\alpha^{2}{\bf x}U(x)=\frac{\alpha^{2}\bf{x}^{2}}{2}
Przykład 2.2

Skończone układy punktów materialnych oddziaływujących wzajemnie siłą grawitacji są potencjalne. Dla większej przejrzystości przeprowadzimy rozumowanie dla układu trzech punktów o masach m_{1},m_{2},m_{3}. Sytuacja ogólna różni się tylko większą komplikacją zapisu.

Zgodnie z punktem (4) ze Wstępu w Wykładzie 1 potraktujemy nasz układ jako punkt \bf x w {\bf R}^{9}={\bf R}^{3}\times{\bf R}^{3}\times{\bf R}^{3}. Wtedy {\bf x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) gdzie x_{i}\in{\bf R}^{3} jest położeniem i-tego punktu. Podobnie {\bf F}=F_{1},F_{2},F_{3}

jest siłą działającą na {\bf x}, której potencjał chcemy wyznaczyć, natomiast F_{i} jest wtedy siłą działającą na i-ty punkt. Zgodnie z (1.9)otrzymamy

F_{1}=m_{2}m_{1}\frac{{\bf x_{2}-x_{1}}}{|{\bf x_{2}-x_{1}}|^{3}}+m_{3}m_{1}\frac{\bf{x_{3}-x_{1}}}{(|{\bf x_{3}-x_{1}}|)^{3}}
F_{2}=m_{1}m_{2}\frac{{\bf x_{1}-x_{2}}}{|{\bf x_{1}-x_{2}}|^{3}}+m_{3}m_{2}\frac{{\bf x_{3}-x_{2}}}{|{\bf x_{3}-x_{2}}|^{3}}
F_{3}=m_{1}m_{3}\frac{{\bf x_{1}-x_{3}}}{|{\bf x_{1}-x_{3}}|^{3}}+m_{2}m_{3}\frac{{\bf x_{2}-x_{3}}}{|{\bf x_{2}-x_{3}}|^{3}}\big)

Twierdzimy, że ta siła jest potencjalna w {\bf R}^{{9}}. Istotnie zauważmy, że w {\bf R}^{{3}} funkcja

U(x)=\frac{1}{{\bf|x|}}=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{{-\frac{1}{2}}}

ma -gradient równy

-grad\  U(x)=\frac{1}{2}\big(\frac{2x_{1}}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{{3/2}}},\frac{2x_{2}}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{{3/2}}},\frac{2x_{3}}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{{3/2}}}\big).

Zatem -grad\  U=\displaystyle{\frac{x}{|x|^{3}}} Zauważmy też, że dla ustalonego wektora \bf r

-grad\  U(r-x)=-\frac{r-x}{|x-r|^{3}}

Wynika stąd, że siła {\bf F} jest w {\bf R}^{{9}} -gradientem funkcji

U{(\bf x_{1},x_{2},x_{3})}=-\Big(\frac{m_{1}m_{2}}{|{\bf x_{2}-x_{1}}|}+\frac{m_{1}m_{3}}{|{\bf x_{3}-x_{1}}|}+\frac{m_{1}m_{3}}{|{\bf x_{3}-x_{2}}|}\Big)

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.