Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 4. Symetrie i całki pierwsze – MIM UW

Zagadnienia

4. Symetrie i całki pierwsze

4.1. Pęd i moment pędu

Omówimy teraz kilka typowych przykładów symetrii w układach mechanicznych. Przez symetrię rozumiemy tu dodatkowe warunki, jakie spełniają siły występujące w rozważanym układzie mechanicznym.

Pierwszym takim warunkiem zaobserwowanym w poprzednim wykładzie (dla układu jednopunktowego) jest potencjalność występującej siły. Konsekwencją tej symetrii jest pojawienie się całki pierwszej - energii całkowitej rozpatrywanego punktu.

W dalszym tekście wygodnie będzie traktować układ n-punktów w {\bf R}^{3} jako jeden punkt w {\bf R}^{{3n}} . Jak zauważyliśmy w Wykładzie 3 przestrzeń fazową \mathcal{F} takiego układu, którą jest wiązka styczna do {\bf R}^{{3n}} możemy utożsamiać z
{\bf R}^{{3n}}\times{\bf R}^{{3n}} t.j. \mathcal{F}={\bf R}^{{6n}}.

Punkt przestrzeni \mathcal{F} ma wtedy współrzędne

(x_{1},...x_{n},v_{1},...v_{n}) (4.1)

gdzie x_{i}\in{\bf R}^{3} jest położeniem i-tego punktu a v_{i}\in{\bf R}^{3} jest jego prędkością.

Definicja 4.1

(a) Niech ruch punktu materialnego o masie M opisany będzie krzywą gładką {\bf R}\ni t\rightarrow x(t)\in{\bf R}^{3}. Pędem tego punktu w chwili t nazwiemy m\dot{x}(t)\in{\bf R}^{3}.

(b) Niech ruch układu \mathcal{M} n-punktów o masach m_{1},...,m_{n} opisany będzie krzywą w przestrzeni fazowej \mathcal{F}(\mathcal{M})={\bf R}^{{3n}}\times{\bf R}^{{3n}}:

\dot{\gamma}:{\bf R}\ni t\rightarrow\big((x_{1}(t),...x_{n}(t),\dot{x}_{1}(t),...\dot{x}_{1}(t)\big)\ni\mathcal{F}(\mathcal{M})

Pędem tego układu w chwili t nazwiemy wektor

\sum _{{i=1}}^{n}m_{i}\dot{x}_{i}(t)\in{\bf R}^{3} (4.2)

(c) Dla punktu materialnego (a) jego momentem pędu w chwili t nazwiemy wektor

\big[x(t),m\dot{x}(t)\big]\in{\bf R}^{3}

gdzie [a,b] oznacza iloczyn wektorowy wektorów a,b\in{\bf R}^{3}.

(d) Dla układu \mathcal{M} z punktu (b) momentem pędu tego układu w chwili t nazwiemy wektor

\sum _{{i=1}}^{n}\big[x_{i}(t),m_{i}\dot{x}(t)\big]\in{\bf R}^{3} (4.3)
Uwaga 4.1

(a) Zarówno w przypadku pędu jak i momentu pędu mamy do czynienia z następującą sytuacją. Na przestrzeni fazowej \mathcal{F}(\mathcal{M}) są określone funkcje

P:\mathcal{F}(\mathcal{M})\rightarrow{\bf R}^{3} zwana pędem oraz

P:\mathcal{F}(\mathcal{M})\rightarrow{\bf R}^{3} zwana momentem pędu
takie, że formuły (4.2) i (4.3) otrzymamy jako superpozycje odpowiednio P\circ\dot{\gamma} i M\circ\dot{\gamma}.

(b) Można rozważać także moment pędu względem ustalonego punktu x_{0}\in{\bf R}^{n}, dany formułą {\bf R}\ni t\rightarrow\big[x(t)-x_{0},m\dot{x}(t)\big] z podobną zmianą formuły (4.3).

4.2. Układy izolowane

Niech dany będzie układ n-punktów. Siłę F_{j} działającą na j-ty punkt można zapisać w postaci

F_{j}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}F_{{ij}}}

gdzie F_{{ij}} dla i\neq j jest siłą z jaką i-ty punkt oddziaływuje na j-ty, natomiast F_{{jj}} jest siłą działającą na j-ty punkt z zewnątrz. Będziemy przy tym zakładać, że siła F_{{ij}} jest równoległa do wektora x_{i}-x_{j}, gdzie x_{i}\in{\bf R}^{3} jest położeniem i-tego punktu.

Otrzymujemy zatem opis działających sił w formie macierzy

F=\big(F_{{ij}}\big)_{{i,j=1}}^{n} (4.4)

gdzie siłę działającą na punkt j-ty otrzymujemy jako sumę sił występujących w j-tej kolumnie.

Definicja 4.2

Układ n-punktów nazwiemy izolowanym, jeżeli macierz F jest antysymetryczna, tj. jeżeli F_{{ij}}=-F_{{ji}}. Warunek ten zawiera dwa ważne warunki częściowe. Po pierwsze siła zewnętrzna F_{{jj}} działająca na j-ty punkt jest zerowa.

Po drugie suma wszystkich sił działających na punkty tworzące układ jest zerowa, tj

\sum _{{j=1}}^{n}F_{{j}}=0 (4.5)
Twierdzenie 4.1

Dla układów izolowanych pęd układu P oraz moment pędu układu M są całkami pierwszymi ruchu.

Niech

\dot{\gamma}(t)=\big(x_{1}(t),...,x_{n}(t),\dot{x}_{1}(t),...,\dot{x}_{n}(t)\big)

będzie krzywą ruchu w przestrzeni fazowej \mathcal{F} rozważanego układu.

Mamy pokazać, że

(P\circ\dot{\gamma})(t)=\sum _{{i=1}}^{n}m_{i}\dot{x}_{i}(t)\ \ \ \textrm{oraz}\ \ (M\circ\dot{\gamma})(t)=\sum _{{i=1}}^{n}\big[x_{i}(t),m_{i}\dot{x}_{i}(t)\big],

gdzie m_{i} jest masą i-tego punktu, są całkami pierwszymi.

Na mocy warunku (4.5) mamy

\frac{d}{dt}\big(P\circ\dot{\gamma}\big)(t)=\frac{d}{dt}\Big(\sum _{{j=1}}^{n}m_{j}\dot{x}_{j}(t)\Big)=\sum _{{j=1}}^{n}m_{j}\ddot{x}_{j}(t)=\sum _{{j=1}}^{n}F_{j}(x_{1},...x_{n})=0

Podobnie wykorzystując (4.5) oraz własność [w,w]=0 dla w\in{\bf R}^{3} otrzymamy

\frac{d}{dt}\big(M\circ\dot{\gamma}\big)(t)=\frac{d}{dt}\Big(\sum _{{j=1}}^{n}\big[x_{j}(t),m_{j}\dot{x}_{j}(t)\big]\Big)=
=\sum _{{j=1}}^{n}\Big(\big[\dot{x}_{j}(t),m_{j}\dot{x}_{j}(t)\big]+\big[x_{j}(t),m_{j}\ddot{x}_{j}(t)\big]\Big)=\sum _{{j=1}}^{n}\big[x_{j}(t),F_{j}(x_{1},...x_{n})\big]=
=\sum _{{j=1}}^{n}\big[x_{j}(t),\sum _{{i=1}}^{n}F_{{ij}}(x_{1},...x_{n})\big]=\sum _{{ij=1}}^{n}\big[x_{j}(t)F_{{ij}}(x_{1},...x_{n})\big]

Wykorzystując antysymetrię macierzy sił F możemy ostatnią sumę zapisać jako sumę po wszystkich parach (i,j)(j,i) podwójnych indeksów, gdzie drugi podwójny indeks otrzymujemy przez transpozycję pierwszego. Pokażemy, że wynik sumowania w każdej takiej parze daje zero, t.j., że

\big[x_{i}(t)F_{{ji}}(x_{1},...x_{n})\big]+\big[x_{j}(t)F_{{ij}}(x_{1},...x_{n})\big]=0 (4.6)

Istotnie, z własności iloczynu wektorowego wynika, że w obydwu składnikach sumy w (4.6) możemy zastąpić odpowiednio x_{i} przez x_{i}+\lambda((x_{1}-x_{2}) oraz x_{j} przez x_{j}+\mu((x_{1}-x_{2}) (jest tak, bo F_{{ij}}||(x_{1}-x_{2})). Zatem dobierając \lambda=\frac{1}{2} oraz \mu=-\frac{1}{2} dostaniemy ten sam wektor w, i z warunku F_{{ij}}=-F_{{ji}} wynika własność (4.6).

Dla układu \mathcal{M} składającego się z N punktów o położeniach x_{i}\in{\bf R} oraz masach m_{i} określmy środek masy x_{0} tego układu za pomocą wzoru

x_{0}=\frac{1}{M}\sum _{{i=1}}^{n}m_{i}x_{i} (4.7)

gdzie \displaystyle{M=\sum _{{i=1}}^{n}m_{i}}.

Stwierdzenie 4.1

Dla układu n-punktów położenie jego środka masy zmienia się tak, jak położenie punktu w {\bf R}^{3} o masie M na który działa siła F=\sum _{{i=1}}^{n}F_{i}.

M\ddot{x}_{0}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}m_{i}\ddot{x}_{i}=\sum _{{i=1}}^{n}F_{i}}

Wniosek 4.1

Dla układu izolowanego jego środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Na mocy (4.5) mamy wtedy M\ddot{x}_{0}=0.

4.3. Układy potencjalne

Niech \mathcal{M} będzie układem n-punktów o maasach m_{1},...,m_{n}, którego przestrzeń fazowa \mathcal{F}(\mathcal{M}) ma współrzędne (4.1). Niech na punkty układu działają siły zewnętrzne oraz siły oddziaływania wzajemnego opisane przez macierz (4.4).

Definicja 4.3

Powiemy, że układ \mathcal{M} jest potencjalny, jeżeli istnieje funkcja U:\mathcal{F}(\mathcal{M})\rightarrow R zależna tylko od zmiennych x_{1},...x_{n} taka, że (traktując \mathcal{M} jako punkt przestrzeni {\bf R}^{{3n}}) siła działająca na ten punkt ma postać

F(x_{1},...x_{n})=-grad\  U\ (x_{1},...x_{n}). (4.8)

Wtedy siła F_{j} działająca na j-ty punkt jest opisana jako j-ta (wektorowa) współrzędna siły F, tj

F(x_{1},...x_{n})=\big(F_{1}(x_{1},...x_{n}),F_{2}(x_{1},...x_{n}),...,F_{n}(x_{1},...x_{n})\big) (4.9)
Definicja 4.4

Energią kinetyczną układu \mathcal{M} nazwiemy funkcję T:\mathcal{F}(\mathcal{M})\rightarrow R opisaną we współrzędnych (4.1) formułą

T(x_{1},...x_{n},v_{1},...v_{n})=\sum _{{i=1}}^{n}\frac{m_{i}v_{i}^{2}}{2} (4.10)

Niech na przestrzeni fazowej układu \mathcal{M} dana będzie siła (4.9)(niekoniecznie potencjalna). Niech

\dot{\gamma}:{\bf R}\ni t\rightarrow\big(x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t),\dot{x}_{1}(t),...,\dot{x}_{n}(t)\big)\in\mathcal{F}(\mathcal{M}) (4.11)

gdzie

m_{i}\ddot{x}_{i}(t)=F_{i}\big((x_{1}(t),...x_{n}(t)\big)i=1,2,..n.
Stwierdzenie 4.2

Przyrost energii kinetycznej wzdłuż krzywej ruchu (LABEL:4.3.4) jest równy pracy siły (4.9) wzdłuż tej krzywej t.j. dla t_{2}>t_{1}

T\big(\dot{\gamma}(t_{2})\big)-T\big(\dot{\gamma}(t_{1})\big)=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\langle F_{i}\big(x_{1}(t),...x_{n}(t)\big),\dot{x}_{i}(t)\rangle dt.}
T\big(\dot{\gamma}(t_{2})-T\big(\dot{\gamma}(t_{1})\big)=\displaystyle{\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\frac{d}{dt}T\big(\dot{\gamma}(t)\big)dt=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\frac{d}{dt}\Big(\sum _{{i=1}}^{n}\frac{m_{1}\langle\dot{x}_{i}(t),\dot{x}_{i}(t)\rangle}{2}\Big)dt}=
=\sum _{{i=1}}^{n}\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\langle m_{1}\ddot{x}_{i}(t),\dot{x}_{i}(t)\rangle dt=\sum _{{i=1}}^{n}\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\langle F_{i}\big((x_{1}(t),...x_{n}(t)\big),\dot{x}_{i}(t)\rangle dt.
Wniosek 4.2

Jeżeli siła F jest potencjalna, to energia całkowita układu

E(x_{1},...x_{n},v_{1},...v_{n})=T(v_{1},...v_{n})+U(x_{1},...x_{n})

jest całką pierwszą ruchu.

Zauważmy, że w przypadku siły potencjalnej mamy

\sum _{{i=1}}^{n}\langle F_{i}\big(x_{1}(t),...x_{n}(t)\big),\dot{x}_{i}(t)\rangle=\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial U}{\partial x_{i}}(x_{1}(t),...x_{n}(t)\big)\cdot\dot{x}_{i}(t)=\frac{d}{dt}U(x_{1}(t),...x_{n})(t)\big)

zatem (porównaj dowód Stwierdzenia (4.3)).

T\big(\dot{\gamma}(t_{1})\big)-T\big(\dot{\gamma}(t_{2})\big)=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\frac{d}{dt}U\big(\dot{\gamma}(t)\big)(t)dt=U\big(\dot{\gamma}(t_{2})\big)-U\big(\dot{\gamma}(t_{1})\big)

skąd wynika, że

T\big(\dot{\gamma}(t_{1})\big)+U\big(\dot{\gamma}(t_{1})\big)=T\big(\dot{\gamma}(t_{2})\big)+U\big(\dot{\gamma}(t_{2})\big)
Stwierdzenie 4.3

Niech \mathcal{M} będzie układem izolowanym z macierzą działających sił o postaci (4.4). Jeżeli siła F_{{ij}} zależy tylko od odległości oddziaływujących punktów, t.j.

F_{{ij}}(x_{1},...x_{n})=f_{{ij}}\big(|x_{i}-x_{j}|\big)\frac{x_{i}-x_{j}}{|x_{i}-x_{j}|} (4.12)

gdzie f_{{ij}}:{\bf R}\rightarrow{\bf R} jest ciągła oraz f_{{ij}}=f_{{ji}}, to układ \mathcal{M} jest potencjalny.

Niech g_{{ij}}(t)=\int _{1}^{t}f_{{ij}}(s)ds będzie funkcją pierwotną funkcji f_{{ij}} i niech G_{{ij}}(x_{1},...x_{n})=g_{{ij}}(|x_{i}-x_{j}|) gdzie dla
w=(w_{1},w_{2},w_{3})\ni{\bf R}^{3}. przyjmiemy

|w|=\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}

Ponieważ dla w=(w_{1},w_{2},w_{3}),\ \  v=((v_{1},v_{2},v_{3}) zachodzi

\frac{\partial}{\partial w_{i}}|w-v|=\frac{w_{i}-v_{i}}{|w-v|};\frac{\partial}{\partial v_{i}}=\frac{v_{i}-w_{i}}{|w-v|} (4.13)

to

\frac{\partial}{\partial x_{k}}G_{{ij}}(x_{1},...x_{n})=\left\{\begin{array}[]{ll}0\ \ \ \textrm{jeżeli}\  k\neq i\ \textrm{oraz}\  k\neq j\\
\displaystyle{f_{{ij}}(|x_{i}-x_{j}|)\cdot\frac{x_{i}-x_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}&\textrm{jeżeli}\  k=i\\
\displaystyle{f_{{ij}}(|x_{i}-x_{j}|)\cdot\frac{x_{j}-x_{i}}{|x_{i}-x_{j}|}}&\textrm{jeżeli}\  k=j\end{array}\right.

a zatem

U(x_{1},...x_{n})=\sum _{{j.i}}G_{{ij}}(x_{1},...x_{n})

jest potencjałem naszego układu.

4.4. Zagadnienie dwóch ciał.

Przez zagadnienie n-ciał będziemy rozumieli problem rozwiązania równań opisujących ewolucję izolowanego i potencjalnego układu n-punktów materialnych. Zagadnienie to odegrało dużą rolę w rozwoju mechaniki. Pokazano, że dla n\geq 3 nie istnieje możliwość ”rozplątania” układu równań opisujących ruch i podania rozwiązania 'explicite'(rozwiązanie w kwadraturach). Dla dwóch punktów rozwiązanie takie istnieje. Istotnie, dla układu dwóch ciał o masach m_{i} m_{2} układ równań opisujący jego ewolucję ma zgodnie z Stwierdzeniem (4.3) postać

\left\{\begin{array}[]{ll}m_{1}\ddot{x}_{1}(t)=-\frac{\partial}{\partial x_{1}}g_{{1.2}}(|x_{1}(t)-x_{2}(t)|)\\
m_{2}\ddot{x}_{2}(t)=-\frac{\partial}{\partial x_{2}}g_{{1.2}}(|x_{1}(t)-x_{2}(t)|)\\
\end{array}\right. (4.14)

gdzie g:{\bf R}\rightarrow{\bf R} jest różniczkowalna.

Twierdzenie 4.2

Zmiana x_{1}-x_{2} przy zagadnieniu dwóch ciał z potencjałem U_{{1,2}} odbywa się tak, jak zmiana położenia ruchu pojedynczego punktu o masie \displaystyle{\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}} w \bf R^{3} pod wpływem potencjału V(x)=g_{{1,2}}(|x|).

Mnożąc pierwsze z równań (4.4.1) przez m_{2} a drugie przez m_{1} i odejmując stronami otrzymamy (porównaj (4.13))

m_{1}m_{2}(x_{1}\ddot{-}x_{2})=m_{2}\frac{\partial}{\partial x_{1}}g_{{1,2}}(|x_{1}-x_{2}|)-m_{1}\frac{\partial}{\partial x_{2}}g_{{1,2}}(|x_{1}-x_{2}|)=
=m_{2}\frac{dg_{{1,2}}}{dt}(|x_{1}-x_{2}|)\cdot\frac{x_{1}-x_{2}}{|x_{1}-x_{2}|}+m_{1}\frac{dg_{1}}{dt}(|x_{1}-x_{2}|)\cdot\frac{x_{1}-x_{2}}{|x_{1}-x_{2}|}=
=-(m_{1}+m_{2})\frac{dg_{{1,2}}}{dt}(|x_{1}-x_{2}|)\cdot\frac{x_{1}-x_{2}}{|x_{1}-x_{2}|}

A zatem dla x=x_{1}-x_{2} otrzymamy

\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{(m_{1}+m_{2})}\ddot{x}=-\frac{dg_{{1,2}}}{dt}(|x|)\frac{x}{|x|}=-\frac{\partial}{\partial x}g_{{1,2}}(|x|).

Niech x_{0}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}} będzie środkiem masy naszego układu oraz niech x=x_{1}-x_{2}. Wtedy

x_{1}=x_{0}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}x
x_{2}=x_{0}-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}x

a zatem, zgodnie z wnioskiem 4.2.4 otrzymamy x_{0}(t)+x_{0}+v_{0}t i dla wyznaczenia x_{1} oraz x_{2} wystarczy znależć x(t) , tj podać opis ruchu punktu w \bf R^{3} pod wpływem danego potencjału o postaci U(x)=f(|x|). Zagadnienie to posiada rozwiązanie, które podamy w następnym wykładzie.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.