Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 5. Symetria sferyczna w – MIM UW

Zagadnienia

5. Symetria sferyczna w {\bf R^{3}}

5.1. Pola centralne

Definicja 5.1

Polem centralnym w {\bf R}^{3} nazwiemy pole wektorowe F na {\bf R}^{n}\backslash\{{0}\} o postaci

F(x)=f(|x|)\frac{x}{|x|} (5.1)

gdzie f:{\bf R}^{{+}}\rightarrow\bf R jest funkcją ciągłą a \displaystyle{|x|={<x,x>}^{\frac{1}{2}}}. Pole (5.1) jest zawsze potencjalne z potencjałem V(x)=g(|x|) gdzie g jest funkcją pierwotną f. (Porównaj dowód Swierdzenia 4.3.).

Definicja 5.2

Grupą ortogonalną O(n,{\bf R}) nazwiemy grupę przekształceń liniowych, scharakteryzowanych warunkiem: A\in O(n,\bf{R}) wtedy i tylko wtedy, kiedy

\left\langle A(x),A(y)\right\rangle=\left\langle x,y\right\rangle\ \textrm{dla}\ \  x,y\in{\bf R}^{n} (5.2)

Warunek ten jest równoważny warunkowi podającemu opis macierzy przekształceń liniowych tworzących O(n,\bf{R}): A\in O(n,\bf{R}) wtedy i tylko wtedy, kiedy macierz \big[A\big] tego przekształcenia względem dowolnej bazy ortonormalnej spełnia warunek

\big[A\big]^{{-1}}=\big[A\big]^{t} (5.3)

gdzie \big[A\big]^{t} oznacza macież transponowaną do \big[A\big].

Stwierdzenie 5.1

Pole centralne (5.1) jest niezmiennicze dla naturalnego działania w {\bf R}^{n}\backslash\{{0}\} grupy przekształceń ortogonalnych O(n,{\bf R}). Oznacza to, że dla każdego
A\in O(n,\bf R) oraz dla każdego x\in{\bf R}^{n}\ \big\{{0}\big\} zachodzi

F\big(A(x)\big)=\big(d_{x}A\big)\big(F(x)\big) (5.4)

Dla przekształcenia liniowego B jego różniczka w dowolnym punkcie jest równa B. Zatem z (5.1) dla A\in O(n,\bf{R}) oraz x\in{\bf R}^{n} wynika

F\big(A(x))\big)=f\big(|A(x)|\big)\frac{A(x)}{|A(x)|}=\frac{f(|x|)}{|x|}A(x)=A\big(F(x)\big)=\big(d_{x}A\big)\big(F(x)\big)

Wykorzystaliśmy tu równość |A(x)|=|x| wynikającą z (5.2).

Stwierdzenie 5.2

Dla pola centralnego w {\bf R^{3}} moment pędu M jest całką pierwszą.

Niech \bf{R}\ni t\rightarrow x(t)\in{\bf R}^{3}\backslash\big\{ 0\big\} będzie ruchem punktu o masie m pod działaniem centralnej siły F. Niech \big[\cdot,\cdot\big] oznacza iloczyn wektorowy w \bf{R}^{3}. Wtedy

\frac{d}{dt}\  M(t)=\frac{d}{dt}\big[x(t),m\dot{x}(t)\big]=\big[\dot{x}(t),m\dot{x}(t)\big]+\big[x(t),m\ddot{x}(t)\big]=\big[x(t),F\big(x(t)\big)\big]=0

bo wektor F\big(x(t)\big) jest proporcjonalny do x(t).

Wniosek 5.1

Ruch w polu centralnym w {\bf R}^{3} jest płaski. Dokładniej:

(A) Jeżeli \big[x(0),m\dot{x}(0)\big]=M(0)\neq 0 to ruch odbywa się w płaszczyźnie.

N=\big\{ y\in{\bf R}^{3}:\langle y,M(0)\rangle=0\big\}, (5.5)

którą też można opisać jako płaszczyznę rozpinaną przez x(0) oraz \dot{x}(0).

(B) Jeżeli M(0)=0 to ruch odbywa się po prostej zawierającej 0 oraz x(0).

(A) Ze stałości M(t) wynika, że [x(t),m\dot{x}(t)]=M(0). Zatem x(t)\perp M(0) dla każdego t. Ponadto x(0) i \dot{x}(0) należą do N i nie są współliniowe.

(B) Jeżeli M(0)=M(t)=0 to \dot{x}(t)||x(t) czyli

\dot{x}(t)=a(t)x(t), (5.6)

gdzie funkcja a:\bf R\rightarrow\bf R jest różniczkowalna ( bo t\rightarrow x(t)) jest dwukrotnie różniczkowalna). Niech b:\bf R\rightarrow\bf{R}^{+} będzie funkcją różniczkowalną. Wtedy funkcja wektorowa y(t)=b(t)x(0) spełnia warunek

\dot{y}(t)=\frac{\dot{b}(t)}{b(t)}y(t)=\frac{d}{dt}ln\big(b(t)\big)\cdot{y}(t),

który dla b_{0}(t)=e^{{\int _{{1}}^{{t}}a(s)ds}} przechodzi na (5.6). Z twierdzenia o jednoznaczności mamy więc

x(t)=b_{0}(t)x(0).
Wniosek 5.2

Niech F będzie polem centralnym w \bf{R}^{3}, a V podprzestrzenią w \bf{R}^{3}, rozpiętą przez dwie pierwsze osie współrzędnych. Każdą trajektorię ruchu w polu F można uzyskać jako obraz pewnej trajektorii tego pola, leżącej w V, za pomocą pewnego przekształcenia A\in O(3\bf R).

Niech

\bf{R}\ni t\rightarrow\gamma(t)\in\bf{R}^{3}

będzie krzywą ruchu dla pola F. Rozpatrzmy przypadek kiedy

M(0)=\big[\gamma(0),m\dot{\gamma}(0)\big]\neq 0.

Przypadek M(0)=0 zostawimy jako zadanie czytelnikowi.
Niech A\in O(3,\bf R) będzie takim przekształceniem ortogonalnym , że

A\big((0,0,|M(0)|)\big)=M(0).

Wtedy A(V)=N (N jak w (5.5)). Niech

x_{0}=A^{{-1}}\big(\gamma(0)\big)y_{0}=A^{{-1}}\big(\dot{\gamma}(0)\big)

i niech \delta(t) będzie krzywą ruchu w polu F wyznaczoną przez warunki początkowe \delta(0)=x_{0} ,\dot{\delta}=y_{0}. Wtedy \delta(t)\in V oraz \gamma(t)=A\big(\delta(t)\big).

Wniosek 5.3

Każdy ruch w polu centralnym {\bf R}^{3} jest izometrycznie równoważny pewnemu ruchowi w polu centralnym w {\bf R}^{2}.

Każde pole centralne w {\bf R}^{2} powstaje przez ograniczenie do przestrzeni V\simeq{\bf R}^{2} pewnego pola centralnego w {\bf R}^{3} - i odwrotnie - każde takie pole jest wyznaczone przez swoje ograniczenie do V.

5.2. Ruch w polu centralnym w {\bf R^{2}}

Zaczniemy od sformułowania analogii Stwierdzenia 5.2 dla ruchu w centralnym polu w {\bf R^{2}}. Dla uproszczenia, w dalszej części tego punktu przyjmiemy, że m=1. Zanurzając {\bf R}^{2} jako przestrzeń V w {\bf R}^{3} rozważmy ruch x(t)=\big(x_{1}(t),x_{2}(t),0\big) w {\bf R}^{3}. Wtedy

\big[x(t),\dot{x}(t)\big]=\big(0,0,x_{1}(t)\dot{x}_{2}(t)-x_{2}(t)\dot{x}_{1}(t)\big).

Zatem funkcja

M(t)=x_{1}(t)\dot{x}_{2}(t)-x_{2}(t)\dot{x}_{1}(t) (5.7)

jest (skalarną) całką pierwszą ruchu w polu centralnym w \bf{R}^{2}. Nadamy tej funkcji sens geometryczny, przechodząc do współrzędnych biegunowych r,\varphi. Wtedy

x_{1}(t)=r(t)\cos\varphi(t)
x_{2}(t)=r(t)\sin\varphi(t)

a zatem

\dot{x}_{1}(t)=\dot{r}(t)\cos\varphi(t)-r(t)\sin\varphi(t)\cdot\dot{\varphi}(t)
\dot{x}_{2}(t)=\dot{r}(t)\sin\varphi(t)+r(t)\cos\varphi(t)\cdot\dot{\varphi}(t)

i otrzymamy

M(t)=r(t)\cos\varphi(t)\big(\dot{r}(t)\sin\varphi(t)+r(t)\cos\varphi(t)\cdot\dot{\varphi}(t)\big)-
-r(t)\sin\varphi(t)\big(\dot{r}(t)\cos\varphi(t)-r(t)\sin\varphi(t)\cdot\dot{\varphi}(t)\big)=r^{2}(t)\dot{\varphi}(t)

Widzimy, że wyrażenie (5.7) przyjmie we współrzędnych biegunowych postać

M(t)=M\big(r(t),\varphi(t)\big)=r^{2}(t)\cdot\dot{\varphi}(t). (5.8)
Stwierdzenie 5.3

Dla ruchu w polu centralnym w {\bf R}^{2} opisanym za pomocą współrzędnych biegunowych zachodzi

M(t)=2\frac{dP}{dt}(t) (5.9)

gdzie

P(t)=\frac{1}{2}\int _{{t_{1}}}^{t}r^{2}(t)\dot{\varphi}(t)dt (5.10)

oznacza pole sektora ograniczonego promieniami \varphi(t_{1}),\varphi(t) oraz krzywą ruchu r(t)=r\big({\varphi}(t)\big). Wielkość \displaystyle{\frac{dP}{dt}(t)} nazywamy prędkością polową.

Ponieważ w przypadku koła o promieniu r pole wycinka kołowego opartego na łuku o kącie środkowym \triangle\varphi wynosi

\triangle P=\pi r^{2}\cdot\frac{\triangle\varphi}{2\pi}=\frac{1}{2}r^{2}\triangle\varphi

to pole sektora krzywoliniowego ograniczonego promieniami \varphi _{1} i \varphi oraz krzywą r(\varphi) otrzymamy jako

P(\varphi)=\frac{1}{2}\int _{{\varphi _{1}}}^{{\varphi}}r^{2}(\varphi)d\varphi (5.11)

Zakładamy, że funkcja \varphi\rightarrow r(\varphi) jest ciągła na przedziale \big[\varphi _{1},\varphi\big]. Jeżeli zarówno r jak \varphi są funkcjami t i przy tym \varphi jest monotoniczna, P(\varphi) przechodzi na (5.10) i wtedy

r^{2}(t)\dot{\varphi}(t)=2\frac{dP(t)}{dt}.
Wniosek 5.4

Ruch w polu centralnym w \bf{R}^{3} odbywa się w płaszczyźnie w taki sposób, że jego prędkość polowa względem centrum jest stała.

Reguła ta została doświadczalnie wykryta przez Keplera dla ruchu Marsa wokół Słońca.

5.3. Całkowanie równań ruchu w polu centralnym w {\bf R^{2}}

Ponieważ siła w polu centralnym w każdym punkcie jest skierowana radialnie, wygodnie będzie opisywać ruch, rozkładając w każdej chwili występujące wektory względem zmiennego układu ortogonalnego e_{r},e_{{\varphi}} w taki sposób ,że dla punktu o współrzędnych biegunowych r(t),\varphi(t) stosowany w chwli t układ będzie miał postać:

e_{r}(t)=\big(\cos\varphi(t),\sin\varphi(t)\big)
e_{{\varphi}}(t)=\big(-\sin\varphi(t),\cos\varphi(t)\big)

Ostrzeżenie Obserwowana poprzez liczenie pochodnych zmiana w czasie dotyczy układu nieruchomego i te pochodne dopiero po ich policzeniu rozkładamy względem zmieniającej się w czasie bazy.

Zaczniemy od obliczenia pochodnych funkcji t\rightarrow e_{r}(t) i t\rightarrow e_{\varphi}(t) i przedstawieniu ich w układzie ruchomym. I tak

\left\{\begin{array}[]{ll}\dot{e}_{{r}}(t)=\big(-\sin\varphi(t)\dot{\varphi}(t)\cos\varphi(t)\dot{\varphi}(t)\big)=\dot{\varphi}(t)e_{{\varphi}}(t)&\\
\par
\dot{e}_{{\varphi}}(t)=\big(-\cos\varphi _{{(t)}}\dot{\varphi}(t),-\sin\varphi(t)\dot{\varphi}(t)\big)=-\dot{\varphi}(t)e_{r}(t)&\end{array}\right. (5.12)

(W dalszym ciągu dla większej przejrzystości długich wzorów zrezygnujemy z pisania explicite argumentu t. Zatem napiszemy \varphi zamiast \varphi(t), podobnie \dot{\varphi} zamiast \dot{\varphi}(t) i tak dalej.)

Pisząc x(t)=r(t)e_{{r}}(t) i stosując (5.12) otrzymamy

\dot{x}=\displaystyle{\dot{r}e_{r}+r\dot{e}_{{r}}=\dot{r}e_{{r}}+r\dot{\varphi}e_{{\varphi}}}
\ddot{x}=\ddot{r}e_{r}+\dot{r}\dot{\varphi}e_{\varphi}+\dot{r}\dot{\varphi}e_{\varphi}+r\ddot{\varphi}{e}_{\varphi}-r\dot{\varphi}^{2}e_{r}=(\ddot{r}-\dot{r}\dot{\varphi}^{2})e_{r}+(2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})e_{{\varphi}}

Ponieważ F(x)=f(r)e_{{r}}, otrzymamy stąd dwa równania

\left\{\begin{array}[]{ll}\ddot{r}-r\dot{\varphi}^{2}=f(r)&\\
2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}=0&\end{array}\right. (5.13)

Zauważmy, że zasada stałości prędkości polowej oznacza, że

\frac{d}{dt}\big(r^{2}\dot{\varphi}\big)=0 (5.14)

czyli

r\big(2\dot{r}\dot{\varphi}+r\dot{\varphi}\big)=0

a zatem drugie z równań (5.13) jest równoważne warunkowi (5.14), który jest równoważny równości mr^{2}\dot{\varphi}=M. M jest stałą zależną od warunków początkowych, którą dla zwięzłości nazwiemy momentem pędu. Zatem

\dot{\varphi}=\frac{M}{mr^{2}} (5.15)

Wstawiając (5.15) do pierwszego z równań (5.13) sprowadzamy je do postaci zawierającej tylko funkcję r(t) i jej pochodne:

m\ddot{r}=f(r)+\frac{M^{2}}{mr^{3}} (5.16)

Podsumujemy nasze rozważania tak:

Stwierdzenie 5.4

Odległość od środka układu w ruchu centralnym w {\bf R}^{2} z momentem pędu M i potencjałem V(x,y)=g(r) zmienia się jak odległość od zera w jednowymiarowym ruchu z potencjałem

U(r)=g(r)+\frac{M^{2}}{2mr^{2}} (5.17)

Istotnie, możemy przepisać (5.16) w postaci

m\ddot{r}=-\frac{d}{dr}g(r)+\frac{M^{2}}{mr^{3}}=-\frac{d}{dr}\big(g(r)+\frac{M^{2}}{2mr^{2}}\big) (5.18)
Stwierdzenie 5.5

Energia całkowita w ruchu dwuwymiarowym z ustalonym momentem pędu M jest taka sama, jak dla ruchu jednowymiarowego z potencjałem (5.17).

W ruchu z potencjałem (5.17) otrzymamy

E_{{1}}=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+g(r)+\frac{M^{2}}{2mr^{2}} (5.19)

natomiast w ruchu dwuwymiarowym, kiedy x=re_{r}, mamy \dot{x}=\dot{r}e_{r}+r\dot{\varphi}e_{{\varphi}} a więc dla \displaystyle{\dot{\varphi}=\frac{M}{mr^{2}}} otrzymamy energię kinetyczną w postaci

T(\dot{x})=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}=m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\big)=\frac{m}{2}\big(\dot{r}^{2}+\frac{r^{2}M^{2}}{m^{2}r^{4}}\big)=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+\frac{M^{2}}{2mr^{2}}.

Aby podać explicite rozwiązanie równań (5.13) posłużymy się jeszcze jedną całką prostą, jaką jest energia całkowita (5.19). Z (5.19) wynika, że przy ustalonych energii całkowitej E oraz momencie pędu M mamy

\Big(\frac{dr}{dt}\Big)^{2}=\frac{2}{m}\Big(E-g(r)-\frac{{M}^{2}}{2mr^{2}}\Big)

skąd

t_{2}-t_{1}=\pm\int _{{r_{1}}}^{{r_{2}}}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\big(E-g(r)-\frac{M^{2}}{2mr^{2}}\big)}} (5.20)

Chcąc znależć postać \varphi(t) zauważmy, że ze związku \dot{\varphi}r^{2}=M wynika, że \dot{\varphi} jest ustalonego znaku a więc \varphi jest monotoniczną funkcją t_{1} i ma funkcję odwrotną t(\varphi). Wobec tego r(\varphi)=r\big(t(\varphi)\big) z zatem

\frac{dr}{d\varphi}=\frac{\dot{r}}{\dot{\varphi}}\textrm{albo}\frac{d\varphi}{dr}=\frac{\dot{\varphi}}{\dot{r}}.

Podstawiając tu \dot{\varphi}=\frac{M}{r^{2}} oraz \dot{r}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\big(E-U(r)\big)} otrzymamy

\displaystyle{\frac{d\varphi}{dr}=\pm\frac{M}{{r}^{2}\sqrt{\frac{2}{m}\big(E-U(r)\big)}}}

skąd

\displaystyle{\varphi _{2}-\varphi _{1}=\pm\int _{{r_{1}}}^{{r_{2}}}\frac{M}{r^{2}\sqrt{\frac{2}{m}\big(E-g(r)-\frac{M^{2}}{2mr^{2}}\big)}}}

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.