Zagadnienia

5. Symetria sferyczna w R3

5.1. Pola centralne

Definicja 5.1

Polem centralnym w R3 nazwiemy pole wektorowe F na Rn\0 o postaci

Fx=fxxx (5.1)

gdzie f:R+R jest funkcją ciągłą a |x|=<x,x>12. Pole (5.1) jest zawsze potencjalne z potencjałem Vx=gx gdzie g jest funkcją pierwotną f. (Porównaj dowód Swierdzenia 4.3.).

Definicja 5.2

Grupą ortogonalną On,R nazwiemy grupę przekształceń liniowych, scharakteryzowanych warunkiem: AOn,R wtedy i tylko wtedy, kiedy

Ax,Ay=x,ydlax,yRn (5.2)

Warunek ten jest równoważny warunkowi podającemu opis macierzy przekształceń liniowych tworzących O(n,R): AOn,R wtedy i tylko wtedy, kiedy macierz A tego przekształcenia względem dowolnej bazy ortonormalnej spełnia warunek

A-1=At (5.3)

gdzie At oznacza macież transponowaną do A.

Stwierdzenie 5.1

Pole centralne (5.1) jest niezmiennicze dla naturalnego działania w Rn\0 grupy przekształceń ortogonalnych On,R. Oznacza to, że dla każdego
AOn,R oraz dla każdego xRn0 zachodzi

FAx=dxAFx (5.4)

Dla przekształcenia liniowego B jego różniczka w dowolnym punkcie jest równa B. Zatem z (5.1) dla AOn,R oraz xRn wynika

F(A(x)))=f(|A(x)|)AxAx=fxxA(x)=A(F(x))=(dxA)(F(x))

Wykorzystaliśmy tu równość Ax=x wynikającą z (5.2).

Stwierdzenie 5.2

Dla pola centralnego w R3 moment pędu M jest całką pierwszą.

Niech RtxtR3\0 będzie ruchem punktu o masie m pod działaniem centralnej siły F. Niech [,] oznacza iloczyn wektorowy w R3. Wtedy

ddtMt=ddtxt,mx˙t=x˙t,mx˙t+xt,mx¨t=xt,Fxt=0

bo wektor Fxt jest proporcjonalny do xt.

Wniosek 5.1

Ruch w polu centralnym w R3 jest płaski. Dokładniej:

(A) Jeżeli x0,mx˙0=M00 to ruch odbywa się w płaszczyźnie.

N=yR3:y,M0=0, (5.5)

którą też można opisać jako płaszczyznę rozpinaną przez x0 oraz x˙0.

(B) Jeżeli M0=0 to ruch odbywa się po prostej zawierającej 0 oraz x0.

(A) Ze stałości Mt wynika, że xt,mx˙t=M0. Zatem xtM0 dla każdego t. Ponadto x0 i x˙0 należą do N i nie są współliniowe.

(B) Jeżeli M0=Mt=0 to x˙(t)||x(t) czyli

x˙t=atxt, (5.6)

gdzie funkcja a:RR jest różniczkowalna ( bo txt) jest dwukrotnie różniczkowalna). Niech b:RR+ będzie funkcją różniczkowalną. Wtedy funkcja wektorowa yt=btx0 spełnia warunek

y˙t=b˙tbtyt=ddtlnbtyt,

który dla b0t=e1tasds przechodzi na (5.6). Z twierdzenia o jednoznaczności mamy więc

xt=b0tx0.
Wniosek 5.2

Niech F będzie polem centralnym w R3, a V podprzestrzenią w R3, rozpiętą przez dwie pierwsze osie współrzędnych. Każdą trajektorię ruchu w polu F można uzyskać jako obraz pewnej trajektorii tego pola, leżącej w V, za pomocą pewnego przekształcenia AO3R.

Niech

RtγtR3

będzie krzywą ruchu dla pola F. Rozpatrzmy przypadek kiedy

M0=γ0,mγ˙00.

Przypadek M0=0 zostawimy jako zadanie czytelnikowi.
Niech AO3,R będzie takim przekształceniem ortogonalnym , że

A0,0,M0=M0.

Wtedy AV=N (N jak w (5.5)). Niech

x0=A-1γ0y0=A-1γ˙0

i niech δt będzie krzywą ruchu w polu F wyznaczoną przez warunki początkowe δ0=x0 ,δ˙=y0. Wtedy δtV oraz γt=Aδt.

Wniosek 5.3

Każdy ruch w polu centralnym R3 jest izometrycznie równoważny pewnemu ruchowi w polu centralnym w R2.

Każde pole centralne w R2 powstaje przez ograniczenie do przestrzeni VR2 pewnego pola centralnego w R3 - i odwrotnie - każde takie pole jest wyznaczone przez swoje ograniczenie do V.

5.2. Ruch w polu centralnym w R2

Zaczniemy od sformułowania analogii Stwierdzenia 5.2 dla ruchu w centralnym polu w R2. Dla uproszczenia, w dalszej części tego punktu przyjmiemy, że m=1. Zanurzając R2 jako przestrzeń V w R3 rozważmy ruch xt=x1t,x2t,0 w R3. Wtedy

xt,x˙t=0,0,x1tx˙2t-x2tx˙1t.

Zatem funkcja

Mt=x1tx˙2t-x2tx˙1t (5.7)

jest (skalarną) całką pierwszą ruchu w polu centralnym w R2. Nadamy tej funkcji sens geometryczny, przechodząc do współrzędnych biegunowych r,φ. Wtedy

x1t=rtcosφt
x2t=rtsinφt

a zatem

x˙1t=r˙tcosφt-rtsinφtφ˙t
x˙2t=r˙tsinφt+rtcosφtφ˙t

i otrzymamy

Mt=rtcosφtr˙tsinφt+rtcosφtφ˙t-
-rtsinφtr˙tcosφt-rtsinφtφ˙t=r2tφ˙t

Widzimy, że wyrażenie (5.7) przyjmie we współrzędnych biegunowych postać

Mt=Mrt,φt=r2tφ˙t. (5.8)
Stwierdzenie 5.3

Dla ruchu w polu centralnym w R2 opisanym za pomocą współrzędnych biegunowych zachodzi

Mt=2dPdtt (5.9)

gdzie

Pt=12t1tr2tφ˙tdt (5.10)

oznacza pole sektora ograniczonego promieniami φt1,φt oraz krzywą ruchu rt=rφt. Wielkość dPdtt nazywamy prędkością polową.

Ponieważ w przypadku koła o promieniu r pole wycinka kołowego opartego na łuku o kącie środkowym φ wynosi

P=πr2φ2π=12r2φ

to pole sektora krzywoliniowego ograniczonego promieniami φ1 i φ oraz krzywą rφ otrzymamy jako

Pφ=12φ1φr2φdφ (5.11)

Zakładamy, że funkcja φrφ jest ciągła na przedziale φ1,φ. Jeżeli zarówno r jak φ są funkcjami t i przy tym φ jest monotoniczna, Pφ przechodzi na (5.10) i wtedy

r2tφ˙t=2dPtdt.
Wniosek 5.4

Ruch w polu centralnym w R3 odbywa się w płaszczyźnie w taki sposób, że jego prędkość polowa względem centrum jest stała.

Reguła ta została doświadczalnie wykryta przez Keplera dla ruchu Marsa wokół Słońca.

5.3. Całkowanie równań ruchu w polu centralnym w R2

Ponieważ siła w polu centralnym w każdym punkcie jest skierowana radialnie, wygodnie będzie opisywać ruch, rozkładając w każdej chwili występujące wektory względem zmiennego układu ortogonalnego er,eφ w taki sposób ,że dla punktu o współrzędnych biegunowych rt,φt stosowany w chwli t układ będzie miał postać:

ert=cosφt,sinφt
eφt=-sinφt,cosφt

Ostrzeżenie Obserwowana poprzez liczenie pochodnych zmiana w czasie dotyczy układu nieruchomego i te pochodne dopiero po ich policzeniu rozkładamy względem zmieniającej się w czasie bazy.

Zaczniemy od obliczenia pochodnych funkcji tert i teφt i przedstawieniu ich w układzie ruchomym. I tak

e˙rt=-sinφtφ˙tcosφtφ˙t=φ˙teφte˙φt=-cosφtφ˙t,-sinφtφ˙t=-φ˙tert (5.12)

(W dalszym ciągu dla większej przejrzystości długich wzorów zrezygnujemy z pisania explicite argumentu t. Zatem napiszemy φ zamiast φt, podobnie φ˙ zamiast φ˙t i tak dalej.)

Pisząc xt=rtert i stosując (5.12) otrzymamy

x˙=r˙er+re˙r=r˙er+rφ˙eφ
x¨=r¨er+r˙φ˙eφ+r˙φ˙eφ+rφ¨eφ-rφ˙2er=r¨-r˙φ˙2er+2r˙φ˙+rφ¨eφ

Ponieważ Fx=frer, otrzymamy stąd dwa równania

r¨-rφ˙2=fr2r˙φ˙+rφ¨=0 (5.13)

Zauważmy, że zasada stałości prędkości polowej oznacza, że

ddtr2φ˙=0 (5.14)

czyli

r2r˙φ˙+rφ˙=0

a zatem drugie z równań (5.13) jest równoważne warunkowi (5.14), który jest równoważny równości mr2φ˙=M. M jest stałą zależną od warunków początkowych, którą dla zwięzłości nazwiemy momentem pędu. Zatem

φ˙=Mmr2 (5.15)

Wstawiając (5.15) do pierwszego z równań (5.13) sprowadzamy je do postaci zawierającej tylko funkcję rt i jej pochodne:

mr¨=fr+M2mr3 (5.16)

Podsumujemy nasze rozważania tak:

Stwierdzenie 5.4

Odległość od środka układu w ruchu centralnym w R2 z momentem pędu M i potencjałem Vx,y=gr zmienia się jak odległość od zera w jednowymiarowym ruchu z potencjałem

Ur=gr+M22mr2 (5.17)

Istotnie, możemy przepisać (5.16) w postaci

mr¨=-ddrgr+M2mr3=-ddrgr+M22mr2 (5.18)
Stwierdzenie 5.5

Energia całkowita w ruchu dwuwymiarowym z ustalonym momentem pędu M jest taka sama, jak dla ruchu jednowymiarowego z potencjałem (5.17).

W ruchu z potencjałem (5.17) otrzymamy

E1=mr˙22+gr+M22mr2 (5.19)

natomiast w ruchu dwuwymiarowym, kiedy x=rer, mamy x˙=r˙er+rφ˙eφ a więc dla φ˙=Mmr2 otrzymamy energię kinetyczną w postaci

Tx˙=12mx˙2=mr˙2+r2φ˙2=m2r˙2+r2M2m2r4=mr˙22+M22mr2.

Aby podać explicite rozwiązanie równań (5.13) posłużymy się jeszcze jedną całką prostą, jaką jest energia całkowita (5.19). Z (5.19) wynika, że przy ustalonych energii całkowitej E oraz momencie pędu M mamy

drdt2=2mE-gr-M22mr2

skąd

t2-t1=±r1r2dr2mE-gr-M22mr2 (5.20)

Chcąc znależć postać φt zauważmy, że ze związku φ˙r2=M wynika, że φ˙ jest ustalonego znaku a więc φ jest monotoniczną funkcją t1 i ma funkcję odwrotną tφ. Wobec tego rφ=rtφ z zatem

drdφ=r˙φ˙albodφdr=φ˙r˙.

Podstawiając tu φ˙=Mr2 oraz r˙=±2mE-Ur otrzymamy

dφdr=±Mr22mE-Ur

skąd

φ2-φ1=±r1r2Mr22mE-gr-M22mr2

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.