Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 6. Ruch w polu potencjału grawitacyjnego w – MIM UW

Zagadnienia

6. Ruch w polu potencjału grawitacyjnego w {\bf R^{3}}

6.1. Całkowanie równań ruchu

Jak zauważyliśmy w Przykładzie 1.2 siła z jaką Ziemia przyciąga małe obiekty jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości od środka Ziemi. Występujący we wzorze iloczyn masy Ziemi i masy przyciąganego przez nią obiektu zastąpimy dodatnim współczynnikiem k. Sytuacja ruchu takiego obiektu w polu grawitacyjnym Ziemi odpowada ruchowi w centralnym polu w {\bf R}^{3} z potencjałem

U(r)=-\frac{k}{r}.

Zgodnie z rozważaniami z poprzedniego wykładu, podczas ruchu ciała o (stałym) momencie pędu M w centralnym polu w {\bf R}^{3} odległość r ciała od centrum zmienia się tak, jak w jednowymiarowym ruchu z potencjałem zredukowanym

W(r)=-\frac{k}{r}+\frac{M^{2}}{2r^{2}}.

Wykres tego potencjału ma postać:

Brak opisu

Ze Stwierdzenia 5.5 wiemy, że stała energia całkowita wynosi E=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+W(r) a więc

\dot{r}^{2}=\frac{2}{m}\big(E-W(r)\big) (6.1)

Z (6.1) wynika, że dla jakiegokolwiek ruchu musi być \big(\dot{r}(t)\big)^{2}\geq 0, a zatem E\geq W(r). Kształt wykresu W(r) pokazuje, że ostatni warunek przy E\geq 0 zachodzi dla r stanowiących półoś \displaystyle{[r_{{min}},+\infty]}, natomiast E<0 zachodzi dla r z przedziałem [r_{{min}},r_{{max}}].

Wyprzedzając ilościowy opis, który nastąpi, powiemy, że dla E\geq 0 mamy do czynienia z sytuacją, kiedy nadlatujący z kosmosu obiekt ma zbyt dużą energię żeby zostać ”uwięziony” w roli satelity, jego tor ulega tylko zakrzywieniu i odlatuje z powrotem w kosmos.

Przypadkowi E<0 odpowiada okresowy ruch po orbicie wokół centrum. W każdej z dwóch powyższych sytuacji interesują nas jedynie wartości r, przy których zachodzi (6.1), zatem otrzymamy wtedy

\dot{r}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\big(E-W(r)\big)} (6.2)

przy czym znak ” + ” dotyczy części trajektorii, kiedy \dot{r}\geq 0 a znak ” - ” ma zastosowanie, kiedy r maleje, czyli obiekt zbliża się do centrum. Jak pokazaliśmy (6.2) daje po rozwiązaniu zależność pomiędzy kątem \varphi a promieniem r we współrzędnych biegunowych w postaci

\varphi-\varphi _{0}=\pm\sqrt{m}\int _{{r_{0}}}^{{r}}\frac{Mdr}{r^{2}\sqrt{2\big(E+\frac{k}{r}-\frac{M^{2}}{2r}\big)}} (6.3)

Zwróćmy uwagę, że powyższy wzór odpowiada przyjętym dla r i dla \varphi jednostkomi. Zmieniając je np. tylko dla \varphi możemy zlikwidować czynnik liczbowy, pojawiający się po prawej stronie równości (6.3).

Oznaczając funkcję pierwotną funkcji podcałkowej w (6.3) przez F możemy też przyjąć \varphi _{0}=F(r_{0}), co doprowadzi do wzoru \varphi=\pm F(r). Aby znależć tę funkcję pierwotną przekształcimy funkcję podcałkową do postaci:

C\frac{B(r)}{\sqrt{1-\big(A(r)\big)^{2}}} (6.4)

gdzie B(r)=\frac{d}{dr}A(r) a C jest stałą ujemną.

Ponieważ (\arccos s)^{{\prime}}=-\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}} otrzymamy w rezultacie

\varphi=\pm C\arccos A(r) (6.5)

Sprowadzimy funkcję podcałkową do postaci jak w (6.4).Zauważmy, że

2E+\frac{2k}{r}-\frac{M^{2}}{r^{2}}=\Bigg[-\Big(\frac{M}{r}-\frac{k}{M}\Big)^{2}+\Big(2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\Big)\Bigg]=
=\Big(2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\Big)\Bigg[1-\Big(\frac{\frac{M}{r}-\frac{k}{M}}{\sqrt{\big(2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\big)}}\Big)^{2}\Bigg]

zatem przyjmując

A(r)=\frac{\frac{M}{r}-\frac{k}{M}}{\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}}

otrzymamy

{A}^{{\prime}}(r)=-\frac{M}{\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}}\cdot\frac{1}{r^{2}}=B(r)

i dla uzyskania (6.4) a więc i (6.5) wystarczy przyjąć C=-\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}.

W postępowaniu powyższym jest luka polegająca na braku informacji,
że \displaystyle{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\geq 0}, co uniemożliwia napisanie potrzebnych formuł. Jeżeli E\geq 0 sprawa jest oczywista. Jeżeli E<0, to z (6.1) wynika, że

2\big(E-W(r)\big)=2E+\frac{2k}{r}-\frac{M^{2}}{r^{2}}\geq 0

a więc 2Er^{2}+2kr-M^{2}\geq 0. W przypadku E<0 ostatnia nierówność może zajść jedynie, kiedy wyróżnik \triangle=4k^{2}+8EM^{2} jest nieujemny, co jest równoważne z warunkiem, że 2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\geq 0.

6.2. Geometryczny opis trajektorii.

Przeskalowując \varphi możemy uzyskać opis trajektorii ruchu w postaci związku

\pm\varphi=\arccos\frac{\frac{M}{r}-\frac{k}{M}}{\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}} (6.6)

Przekształcając równocześnie licznik i mianownik argumentu funkcji \arccos

\frac{M}{r}-\frac{k}{M}=\frac{k}{M}\ \big(\frac{M^{2}}{kr}-1\big)\textrm{ oraz}\sqrt{2E-\frac{k^{2}}{M^{2}}}=\big|\frac{k}{M}\big|\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}

i upraszczając, otrzymamy

\displaystyle{\pm\varphi=\arccos\frac{\big(\frac{M^{2}}{kr}-1\big)}{\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}}} (6.7)

Uproszczenie |\displaystyle{\frac{k}{M}}| z \displaystyle{\frac{k}{M}} w przypadku ujemnej wartości \displaystyle{\frac{k}{M}} zmienia znak argumentu \arccos. Ponieważ \arccos(-a)=\pi-\arccos a, uzyskujemy (6.7) po następnym przeskalowaniu i zmianie zwrotu na osi \varphi.

Wprowadźmy oznaczenia

\frac{M^{2}}{k}=p\textrm{oraz}{\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}}=e

otrzymamy

\pm\varphi=\arccos\frac{\frac{p}{r}-1}{e} (6.8)

skąd, z uwagi na parzystość funkcji \cos

\cos\varphi=\frac{\frac{p}{r}-1}{e} (6.9)

lub inaczej

r=\frac{p}{1+e\cos\varphi} (6.10)

Zauważmy ( porównaj wyjaśnienie kończące punkt 6.1), że \displaystyle{\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}\geq 0} i dla E>0 otrzymamy e>1 natomiast dla E<0 jest e<1.

Stwierdzenie 6.1

Zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne r,\varphi spełniają związek (6.10) może być również zdefiniowany następującym warunkiem geometrycznym.

Warunek.
Stosunek odległości punktu od zera do odległości punktu od prostej x=\frac{p}{e} (prostą tę nazywamy kierownicą) jest stały i wynosi e.

Dla punktu a na płaszczyźnie jego odległość od zera wynosi r natomiast odległość od kierownicy wynonosi \displaystyle{\frac{p}{r}-r\cos\varphi}, zatem nasz warunek brzmi:

\frac{r}{\frac{p}{e}-r\cos\varphi}=e,

co po łatwych przekształceniach prowadzi do (6.10).

Specjalne położenie krzywej opisanej równaniem (6.10) w stosunku do kartezjańskiego układu współrzędnych, jest związane z dokonanym (implicite) obrotem układu współrzędnych, który nastąpił przy afinicznym przekształcaniu kąta \varphi wykonanym przy całkowaniu funkcji (6.6).

Dalsza część naszych rozważań dotyczy geometrycznej definicji stożkowych i jest z konieczności nieco szkicowa. Jej celem jest pokazanie w przypadku elips równoważności następującej dalej definicji geometrycznej (6.7), opisu (6.10) i opisu za pomocą równania osiowego dla elips.

Rozważmy stożek \mathcal{\bf}{S} w przestrzeni {\bf R}^{3} z wierzchołkiem {\bf W} i osią s (zob. rys 6.2 (A).

Brak opisu

Przekrójmy stożek \mathcal{\bf}{S} płaszczyzną \mathcal{L}. Niech \theta będzie połową kąta rozwarcia stożka a \varphi kątem, jaki tworzy płaszczyzna \mathcal{L} z osią stożka {s}.

Definicja 6.1

Krzywą przecięcia stożka z płaszczyzną nazwiemy

(a) elipsą, jeżeli \theta<\varphi

(b) parabolą, jeżeli \theta=\varphi

(c) hiperbolą, jeżeli \theta>\varphi.

Stwierdzenie 6.2

Niech A=\mathcal{L}\cap\mathcal{\bf}{S} będzie elipsą w sensie Definicji 6.1, wyznaczoną przez płaszczyznę \mathcal{L}. Istnieją na płaszczyźnie \mathcal{L} punkt F_{1} i prosta k takie, że dla dowolnego P\in A zachodzi

\frac{|P-F_{1}|}{\rho(P,k)}=\frac{\cos\theta}{\cos\varphi}<1

gdzie \theta i \varphi są kątami, jak w Definicji 6.1 a \rho (P, k) jest odległością punktu P od prostej k.

Określimy najpierw punkt F_{1} i prostą k. Niech \mathcal{K}_{1} i \mathcal{K}_{2} będą kulami stycznymi do stożka i do płaszczyzny \mathcal{L} (zob. rys. 6.2 (B)). Jako punkt F_{1} przyjmiemy punkt \mathcal{K}_{1}\cap\mathcal{L} a jako prostą k przecięcie \mathcal{L} z płaszczyzną \mathcal{W} zawierającą \mathcal{K}_{1}\cap\mathcal{S} i prostopadłą do osi stożka {s}. Poprowadźmy płaszczyznę \mathcal{R} (płaszczyzna rysunku 6.2(C))przez oś stożka {S} i dowolny ustalony punkt P, leżący na elipsie \mathcal{L}\cap S. Niech q będzie tworzącą stożka, przechodzącą przez P i niech M=q\cap\mathcal{W}. Niech wreszcie D będzie punktem na kierownicy k najbliższym P. Wtedy rzuty prostopadłe odcinków PD i PM na oś stożka są takie same. Istotnie, D i M leżą na płaszczyźnie Ł prostopadłej do osi. Poza tym PD tworzy z osią s kąt \varphi a odcinek PM kąt \theta a długości odcinków PF_{1} i PM są równe. Zatem

\frac{|PF_{1}|}{|PD|}=\frac{|PM|}{|PD|}=\frac{\frac{a}{\cos\varphi}}{\frac{a}{\cos\theta}}=\frac{\cos\theta}{\cos\varphi}.
Stwierdzenie 6.3

Dla danej prostej k i danego punktu F na płaszczyźnie zbiór punktów zdefiniowany warunkiem \{ P:\frac{|P-F|}{\rho(P,k)}=e<1\} jest izometryczny z elipsą w sensie Definicji 6.1.

(Szkic ).

Prowadząc przez F prostą prostopadłą do k możemy znaleźć na niej punkt Q tak, że \frac{|Q-F|}{|Q-D|}=e<1 (D jest przecięciem k z prostą prostopadłą). Następnie rozpatrując przecięcie stożka płaszczyzną zawierającą oś stożka oraz punkty styczności kul \mathcal{K}_{1} i \mathcal{K}_{2} z \mathcal{L} oraz rozpatrując rodzinę płaszczyzn równoległych, dla których \displaystyle{\frac{\cos\theta}{\cos\varphi}=e} , znajdujemy elipsę, o której należy pokazać, że jest izometryczna z naszą elipsą.

6.3. Prawa Keplera

Około 1609 roku J. Kepler sformułował trzy prawa dotyczące ruchu planet wokół Słońca. Podamy ich współczesne sformułowanie.

I. Planety krążą wokół Słońca po elipsach, w których ognisku znajduje się Słońce.

II. W ruchu każdej planety prędkość polowa w płaszczyźnie ruchu pozostaje stała.

III. Dla dowolnych dwóch planet stosunek drugiej potęgi ich okresów obiegu jest równy stosunkowi trzecich potęg długości ich długich półosi.

Prawo pierwsze pokazaliśmy w poprzednim punkcie.

Prawo drugie jest prawdziwe dla dowolnego ruchu w polu centralnym.

Pokażemy, że zachodzi trzecie prawo Keplera.

Dowód trzeciego prawa Keplera.

Nietrudne, lecz kłopotliwe rachunki pozwalają przekonać się, że krzywa opisana w układzie biegunowym równaniem r=\frac{p}{1+e\cos\varphi} w układzie kartezjańskim ze środkiem w punkcie \big(\frac{-pe}{1-e^{2}},0\big) jest przedstawiona równaniem

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, gdzie a=\frac{p}{1-e^{2}},b=\frac{p}{\sqrt{1-e^{2}}} są długościami wielkiej i małej półosi.

Niech T będzie okresem obiegu po takiej eliptycznej orbicie. Ze stałości prędkości polowej S(t) mamy T\displaystyle{\cdot\ \frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}\  T\cdot|M|=\pi ab} i podstawiając tu wartości na a i b otrzymamy:

T\cdot|M|=2\pi\frac{p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac{3}{2}}}

Podstawiając tu p=\frac{|M|^{2}}{k} i \displaystyle{e=\sqrt{1+\frac{2EM^{2}}{k^{2}}}} otrzymamy

T|M|=2\pi\frac{|M|^{4}}{k^{2}}\cdot\Big(\frac{k^{2}}{2|E||M|^{2}}\Big)^{{\frac{3}{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}|M|\frac{k}{(2|E|)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot\frac{|M|}{\sqrt{k}}\Big(\frac{k}{2E}\Big)^{{\frac{3}{2}}}. (6.11)

Zauważmy teraz, że

a=\frac{p}{1-e^{2}}=\frac{|M|^{2}}{k}\cdot\frac{k^{2}}{2|E||M|^{2}}=\frac{k}{2|E|}

wobec tego otrzymujemy

T^{2}=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sqrt{k}}\cdot a^{3}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.