Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne mechaniki klasycznej – 7. Rachunek wariacyjny, równania Eulera. – MIM UW

Zagadnienia

7. Rachunek wariacyjny, równania Eulera.

7.1. Wprowadzenie

Przedmiotem rachunku wariacyjnego są warunki ekstremalności funkcji (tradycyjnie nazywanych funkcjonałami), których dziedziną są rodziny obiektów geometrycznych (np. krzywe, powierzchnie) a wartości należą do {\bf R}^{k}. Styk prezentowanej w tym wykładzie tematyki z rachunkiem wariacyjnym jest ograniczony do specjalnej sytuacji, którą charakteryzują poniższe założenia:

(A) Dziedziną badanego funkcjonału F jest rodzina W krzywych o wartościach w {\bf R}^{n}, określonych na wspólnym przedziale [t_{1},t_{2}]\subset{\bf R} i mających wspólny początek i wspólny koniec. Wszystkie krzywe z W są ustalonej klasy gładkości.
(B) Rozważane funkcjonały mają postać

{F(\gamma)=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t),t\big)dt} (7.1)

gdzie \gamma\in W a L:{\bf R}^{n}\times{\bf R}^{n}\times{\bf R}\longrightarrow{\bf R}^{k} jest klasy {\bf C}^{2}.

(C) Rozważanym problemem jest charakteryzacja punktów stacjonarnych funkcjonału F, tj. takich \gamma _{0}\in W, że

d_{{\gamma _{0}}}F=0 (7.2)

(zob. Uwaga 7.1).

Użycie określenia funkcjonał dla funkcji F miało zapewne na celu ułatwienie wysłowień, bo argumentami F są także funkcje. Konwencję tę podjęła też powstała później analiza funkcjonalna.

Uwaga 7.1

Warunek (7.2) wymaga komentarza: dziedzina W funkcjonału (7.1) jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej X, składającej się z wszystkich krzywych tej samej co dla W klasy gładkości, określonych na [t_{1},t_{2}]. Istotnie, każdą krzywą \gamma\in W można jednoznacznie przedstawić w formie \gamma=\gamma _{0}+\delta, gdzie \gamma _{0} jest ustaloną krzywą z W a \delta\in Y, gdzie Y=\{\gamma\in X:\gamma(t_{1})=\gamma(t_{2})=0\} jest podprzestrzenią liniową X. Elementy Y będziemy nazywali wariacjami. Wracając do (7.2) ustalając \gamma _{0} możemy krzywe W zapisać w postaci \gamma=\gamma _{0}+\delta. Zatem F(\gamma)=F(\gamma _{0}+\delta). Wprowadzając \Phi(\delta)=F(\gamma _{0}+\delta)-F(\gamma _{0}) gdzie teraz \Phi jest funkcjonałem na Y, redukujemy pytanie o stacjonarność \gamma _{0} dla F do pytania, czy d_{0}\Phi=0.

Część rachunku wariacyjnego dotycząca założeń A,B,C przypomina więc fragment klasycznej analizy, dotyczący warunku koniecznego istnienia ekstremum. Sytuacja w rachunku wariacyjnym różni się tym, że dziedzina badanej funkcji jest nieskończenie wymiarowa. Za to same funkcje - ”funkcjonały” - są bardzo specjalnej postaci. Schemat uwarunkowany założeniami A,B,C jest krokiem wstępnym, poza który w zasadzie nie wyjdziemy. Jedynym wyjątkiem jest uogólnienie warunku A do takiego, w którym W jest zbiorem krzywych przyjmujących swoje wartości w podrozmaitościach M\subset{\bf R}^{3}. Ta sytuacja pojawia się przy badaniu układów z więzami.

7.2. Przykłady zagadnień wariacyjnych.

Niech W będzie rodziną krzywych klasy C^{1} określonych na [0,1] i przyjmujących wartości w {\bf R}^{2}. Załóżmy, że wszystkie nasze krzywe zaczynają się w punkcie (0, 1) a kończą w (1,0). Rozpatrzmy na {\bf R}^{2} stałe pole wektorowe

F(x,y)=(0,-1). (7.3)
Problem 7.1

Wśród krzywych rodziny W wskazać taką, żeby ruch po niej bez tarcia i pod wpływem pola F, zaczynający się od prędkości zero trwał możliwie jak najkrócej. Problem ten jest nazywany zagadnieniem krzywej najszybszego spadku (brachistochrony) z greckiego brachistos- najkrótszy, chronos - czas.

Uwaga 7.2

Ponieważ chodzi nam raczej o wprowadzenie do metod rachunku wariacyjnego niż o rozstrzygnięcie ogólnego pytania, ograniczymy się do krzywych, których zbiorem wartości są punkty o postaci \big(x,f(x)\big) dla x\in[0,1] gdzie funkcja f jest klasy C^{1}, malejąca oraz f(0)=1 i f(1)=0. Zatem

\gamma(t)=f\big(x(t)\big). (7.4)

Założymy ponadto, że x(0)=0, \dot{x}(0)=0 i \dot{x}(t)>0 dla t>0. Dowód, że przy rozwiązywaniu Problemu 7.1 można się ograniczyć do krzywych o postaci (7.4) i rosnących funkcji x(t), pozostawimy czytelnikowi.

Dyskusja wstępna.

Zauważmy, że siła (7.3) spełnia warunek F(x,y)=-grad\  U(x,y) przy
U(x,y)=y. Zaczniemy od wyprowadzenia wzoru na czas potrzebny do przebycia ustalonej krzywej. Bez założenia, że f jest malejąca, formuła ta mogłaby dać nieskończony czas na przejście, co skomplikowałoby formalnie nasze wywody. Zgodnie z Ćwiczeniem 3.1, w ruchu bez tarcia po zadanej krzywej pod wpływem pola potencjalnego, jest zachowywana energia całkowita E=T+U, gdzie T jest energią kinetyczną o postaci

T\big(\gamma(t)\big)=\frac{1}{2}\ \dot{\gamma}^{2}(t)

(przyjmujemy, że masa poruszającego się punktu wynosi 1). Ponieważ dla krzywej (7.4) zachodzi

\dot{\gamma}(t)=\big(\dot{x}(t),\ \frac{df}{dx}\ \big(x(t)\big)\cdot\dot{x}(t)\big) (7.5)

otrzymamy:

E(t)=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}(t)\Big[1+\Big(\frac{df}{dx}\Big)^{2}\big(x(t)\big)\Big]+f\big(x(t)\big) (7.6)

Z uwagi na to, że \dot{x}(0)=0, musi być E(t)=E(0)=f(1)=1 zatem

\dot{x}^{2}(t)\Big[1+\big(\frac{dt}{dx}\big)^{2}\big(x(t)\big)\Big]=2\big(1-f(x(t))\big)

a ponieważ \dot{x}(t)\geq 0 otrzymamy

\displaystyle{\frac{dx}{dt}=\Big(\frac{2(1-f(x))}{1+\big(\frac{df}{dx}\big)^{2}\big(x(t)\big)}\Big)^{\frac{1}{2}}}.

Ponieważ chcemy znależć czas przebycia krzywej, napiszmy dla x\neq 0

\frac{dt}{dx}=\Bigg(\frac{1+\big(f^{{\prime}}(x)\big)^{2}}{2\big(1-f(x)\big)}\Bigg)^{\frac{1}{2}}

skąd F(\gamma)=t(1) otrzymamy w formie

F(\gamma)=\frac{1}{\sqrt{2}}\int _{{0}}^{{1}}\sqrt{\frac{1+\big(f^{{\prime}}(x)\big)^{2}}{(1-f(x)\big)}}dx (7.7)

Tak więc otrzymaliśmy funkcjonał (7.1) z funkcją L:{\bf R}\times{\bf R}\rightarrow{\bf R} o postaci

L(\gamma,\dot{\gamma})=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1+\dot{\gamma}}{1-\gamma}}}

gdzie rolę zmiennej t pełni zmienna x przebiegająca przedział [0,1]. Drugie zadanie ”zagadnienie krzywej łańcuchowej” ma charakter statyczny. Przyjmijmy, że w {\bf R}^{2} jest dane pole wektorowe we F(x,y)=(0,-1) i że w każdym interesującym nas punkcie siła działająca na masę m wynosi m\cdot F(x,y). Wtedy energia potencjalna punktu o masie m jest U(x,y)=my. W polu tym zawieszamy idealnie giętką linę (łańcuch) o stałej liniowej gęstości masy 1 i długości l\geq 2. Punktami zawieszenia liny będą (-1,0) i (1,0).

Założenie

Przyjmiemy jako założenie, że zwisająca lina przyjmuje kształt, przy którym suma (całka) energii potencjalnych wszystkich jej punktów zwana dalej ”potencjałem sumarycznym” jest możliwie najmniejsza.

Problem 7.2

Opisać krzywą zwisu liny.

Dyskusja wstępna.

Podobnie, jak poprzednio (por. Uwaga 7.2), przyjmiemy, że krzywa zwisu liny opisana jest jako wykres funkcji g należacej do zbioru W funkcji różniczkowalnych o ciągłej pochodnej na przedziale [-1,1] i przyjmujących wartość 0 na końcach przedziału.

Z przedstawionych powyżej założeń wynika, że odcinek ds liny znajdujący się na wysokości g(x) ma energię potencjalną równą g(x)\cdot ds, gdzie

ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+\big(y^{{\prime}}(x)\big)^{2}}.

Zatem, ”potencjał sumaryczny” ma postać:

V(g)=\int _{{-1}}^{{1}}g(x)\cdot\sqrt{1+\big(g^{{\prime}}(x)\big)^{2}}dx. (7.8)

Tego typu funkcja V nie byłaby oczywiście ograniczona z dołu na W gdyby nie dodatkowy warunek, że długość liny wynosi l. Warunek ten ma postać \Phi(g)=l, gdzie

\Phi(g)=\int _{{1}}^{{1}}\sqrt{1+\big(g^{{\prime}}(x)\big)^{2}}dx. (7.9)

Naszym zadaniem jest więc znalezienie punktów krytycznych funkcjonału V na poziomicy

N=\{ g\in W:\Phi(g)=l\}

Podobnie, jak przy badaniu ekstremów warunkowych w analizie, rozwiążemy ten problem metodą mnożników Lagrange'a.

Polega ona na rozpatrzeniu rodziny funkcjonałów F_{\lambda}, o postaci

F_{\lambda}(g)=V(g)+\lambda\Phi(g)

gdzie parametr \lambda\in{\bf R} Dla każdego z tych funkcjonałów szukamy punktów krytycznych leżących na N. Wyjaśnienie tego jest następujące:

Jeżeli d_{{g_{0}}}F_{\lambda}=0 dla g_{0}\in N, to z uwagi na fakt, że różniczka d_{{g_{0}}}\Phi, ograniczona do przestrzeni stycznej w g_{0} do N jest zerowa, warunek d_{{g_{0}}}F_{{\lambda}}=0 pociąga, że d_{{g_{0}}}V=0 na tejże przestrzeni stycznej. Jednocześnie właściwy dobór \lambda umożliwia uzyskanie warunku d_{{g_{0}}}F_{\lambda}=0 także na przestrzeni prostopadłej do N w punkcie g_{0}.

Podsumowując: pierwszym krokiem do rozwiązania Problemu 7.2 jest znalezienie należących do N punktów krytycznych funkcjonałów

F_{\lambda}(g)=\int _{{-1}}^{1}\big(g(x)+\lambda\big)\sqrt{1+\big(g^{{\prime}}(x)\big)^{2}}dx (7.10)

Widzimy, więc że funkcjonały F_{\lambda} mają postać (7.1), gdzie L_{\lambda}:{\bf R}\times{\bf R} ma postać

L_{\lambda}(\gamma,\dot{\gamma})=(\gamma+\lambda)\sqrt{1+\dot{\gamma}^{2}}. (7.11)

7.3. Punkty krytyczne i równania Eulera

Będziemy poszukiwać warunków, przy których krzywa \gamma _{0} jest punktem krytycznym funkcjonału

\displaystyle{F(\gamma)=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(\gamma,\dot{\gamma})}dt (7.12)

Pisząc \gamma=\gamma _{0}+\delta, redukujemy nasz problem do pytania czy funkcjonał

\phi(\delta)=F(\gamma _{0}+\delta)-F(\gamma _{0})=\displaystyle{\int _{{t}}^{{t_{2}}}\big[L(\gamma _{0}+\delta,\gamma _{0}+\dot{\delta})-L(\gamma _{0},\dot{\delta}_{0})\big]dt} (7.13)

ma w punkcie \delta _{0}=0\in Y punkt krytyczny. ( Y jest tutaj przestrzenią liniową wariacji - zob. Uwagę 7.1.)

Wyposażmy Y w w strukturę przestrzeni Banacha, wprowadzając C^{1} normę:

\displaystyle{||\delta||_{{C^{1}}}={}^{{sup}}{}_{{t_{1}\leq t\leq t_{2}}}\ |\delta(t_{1})|_{2}\ +{}^{{sup}}{}_{{t_{1}\leq t\leq t_{2}}}\ \ |\dot{\delta}(t)|_{2}}, (7.14)

gdzie |\cdot|_{2} oznacza normę euklidesową w {\bf R}^{n}. Zamierzamy zapisać \Phi(\delta) w postaci

\Phi(\delta)=d_{0}\Phi(\delta)+R(\delta), (7.15)

gdzie d_{0}\Phi(\delta) jest ciągłą w normie (7.14) operacją liniową, natomiast R spełnia warunek:

^{{lim}}_{{||\delta||_{{C^{1}}}\rightarrow 0}}\ \ \frac{||R(\delta)||_{{C^{1}}}}{||\delta||_{{C^{1}}}}=0 (7.16)
Definicja 7.1

Powiemy, że funkcjonał (7.12) jest różniczkowalny w \gamma _{0}(lub, że (7.13) jest różniczkowalny w 0), jeżeli przestawienie (7.15) z warunkiem (7.16) jest możliwe. Operacja liniowa d_{0}\Phi jest wtedy wyznaczona jednoznacznie i nazywa się różniczką \Phi w 0 (lub różniczką F w \gamma _{0}). Powiemy, że \gamma _{0} jest punktem krytycznym \Phi jeżeli d_{0}\Phi=0 (tj. d_{0}\Phi(\delta)=0 dla każdego \delta).

Twierdzenie 7.1

Jeżeli F jest postaci (7.12), gdzie funkcja L jest klasy C^{2}, to dla każdego \gamma _{0} istnieje d_{{\gamma _{0}}}F. Na to, aby krzywa \gamma była punktem krytycznym F potrzeba i wystarcza, by spełniała ona układ równań :

\frac{\partial L}{\partial x_{j}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)-\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{\gamma}_{{j}}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)\Big)=0j=1,2,..n. (7.17)

Równania powyższe noszą nazwę równań Eulera.

Ustalimy najpierw możliwą postać operacji d_{0}\phi, występującej w formule (7.15).

Oznaczmy zmienne, od których zależy L jako x=(x_{1},...,x_{n},v_{1},...,v_{n}). Wtedy zgodnie ze wzorem Taylora dla przyrostu \triangle x=(\triangle x_{1},...,\triangle x_{n},\triangle v_{1},...,\triangle v_{n}) zachodzi

L(x+\triangle x)-L(x)=\sum _{{i=1}}^{n}\Big(\frac{\partial L}{\partial x_{i}}(x)\cdot\triangle x_{i}+\frac{\partial L}{\partial v_{i}}{v_{i}}\cdot\triangle v_{i}\Big)+R_{2}(\triangle x)

gdzie

\frac{|R_{2}(\triangle x)|}{|\triangle x|_{2}}\longrightarrow 0 (7.18)

gdy |\triangle x|_{2} dąży do zera, a |\cdot|_{2} jest normą euklidesową w {\bf R^{{2n}}}.

Podstawiając x_{i}=\gamma _{i}(t),v_{1}=\dot{\gamma}_{i}(t) oraz \triangle x_{i}=\delta _{i}(t),\triangle v_{i}=\dot{\delta}_{i}(t) przy ustalonym t i dla i=1,2..,n oraz wycałkowując po t otrzymamy, zgodnie z (7.13):

\Phi(\delta)=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\Big(\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)\cdot{\delta}_{i}(t)+\frac{\partial L}{\partial v_{i}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)\dot{\delta}_{i}(t)\Big)dt+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}R_{2}\big(\delta(t),\dot{\delta}(t)\big)dt (7.19)

Część pierwsza, po prawej stronie równości (7.19) zależy liniowo od \delta(t) i przyjmujemy ją jako d_{0}\Phi. Także odpowiednio przyjmujemy

R(\delta)=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}R_{2}\big(\delta(t),\dot{\delta}(t)\big)dt. (7.20)

Mamy wtedy

|d_{0}\Phi(\delta)|\leq\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}}\Big({}^{{sup}}{}_{{t_{1}\leq t\leq t_{2}}}\frac{\partial L}{\partial{x_{i}}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)+{}^{{sup}}{}_{{t_{1}\leq t\leq t_{2}}}\frac{\partial L}{\partial{x_{i}}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)\cdot\Big)||\delta||_{{C_{1}}}\leq M||\delta||_{{C_{1}}}

gdzie M jest stałą zależną \Phi. Zatem d_{0}\Phi jest ciągłym funkcjonałem liniowym. Pokażemy, że reszta R spełnia warunek (7.16). Zauważmy najpierw, że dla każdego ustalonego t

|\delta _{1}(t),...,\delta _{n}(t),\dot{\delta}_{1}(t),...\dot{\delta}_{n}(t)|_{2}\leq\sqrt{2n}\ \ \ ||\delta||_{{C^{1}}}.

Więc na mocy (7.14), (7.18) i (7.20) otrzymamy:

\frac{|R(\delta)|}{||\delta||_{C}^{{\prime}}}\leq\sqrt{2n}\ \displaystyle{\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\frac{|R_{2}\big(\delta(t),\dot{\delta}(t)\big)|}{|\delta _{1}(t),...,\delta _{n}(t),\dot{\delta}_{1}(t),...\dot{\delta}_{n}(t)|_{2}}dt\rightarrow 0},

przy ||\delta||_{{C_{1}}}\longrightarrow 0.
Przejdźmy do wyprowadzenia równań (7.17). Warunek d_{0}\Phi=0 oznacza, że dla każdego \delta\in Y zachodzi:

0=d_{0}\Phi(\delta)=\displaystyle{\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}}\Big(\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}}\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)\delta _{i}(t)+\frac{\partial L}{\partial v_{i}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)\dot{\delta}_{i}(t)\Big)dt

Całkując przez części drugie człony składników sumy oraz uwzględniając, że \delta _{i}(t_{1})=\delta _{i}(t_{2})=0 otrzymamy:

\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\Big(\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}}\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_{1}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\Big)\delta _{i}(t)dt=0. (7.21)

Przyjmując jako \delta(t) kolejno krzywe o postaci (\underbrace{0,...}_{{j-1}},\delta _{j}(t),0..0), gdzie \delta _{j} może być dowolną funkcją różniczkowalną taką, że z \delta _{j}(t_{1})=\delta _{j}(t_{2})=0, otrzymamy n niezależnych warunków

\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\Big(\frac{\partial L}{\partial x_{j}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\big)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_{j}}\big(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)\Big)\delta _{j}(t)dt=0. (7.22)

j=1,2,...,n.

Nietrudne rozumowanie pokazuje, że j-ty warunek (7.22) jest równoważny j-temu równaniu Eulera. Odwrotnie: spełnienie równań Eulera daje równania (7.22) a te przez wysumowanie warunek (7.21), z którego wynika z kolei, że d_{0}\Phi=0.

Uwaga 7.3

Chcąc uniknąć wprowadzania zmiennych x_{1},...x_{n} oraz v_{1},...v_{n} zapisuje się równania, utożsamiając x_{i} z \gamma _{i} oraz v_{i} z \dot{\gamma}_{i} w postaci (7.17).

7.4. Przykłady równań Eulera.

Na zakończenie napiszemy równania Eulera dla zagadnienia brachistochrony i zagadnienia krzywej łańcuchowej.

Przykład 7.1

Równanie Eulera dla zagadnienia brachistochomy.

Mamy znaleźć funkcję f argumentu x , który pełni rolę zmiennej t w równianiach Eulera (zobacz sformułowanie Twierdzenia 7.1). Będziemy pisać f zamiast \gamma oraz \dot{f} zamiast \dot{\gamma}. Nasza funkcja Lagrange'a ma zatem postać:

L(f,\dot{f})=\displaystyle{\Big(\frac{1+\dot{f}^{2}}{1-f}\Big)^{\frac{1}{2}}}.

Wtedy

\frac{\partial L}{\partial f}\big(f,\dot{f}\big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{1+\dot{f}^{2}}{1-f}\Big)^{{-\frac{1}{2}}}\Big(\frac{1+\dot{f}^{2}}{(1-f)^{2}}\Big)

oraz

\frac{\partial L}{\partial\dot{f}}\big(f,\dot{f}\big)=\Big(\frac{1+\dot{f}^{2}}{1-f}\Big)^{{-\frac{1}{2}}}\cdot\frac{\dot{f}}{1-f}.

Równanie Eulera

\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial\dot{f}}=0

przyjmie więc postać

\frac{1}{2}\Big(\frac{1+(\frac{df}{dx})^{2}}{1-f}\Big)^{{-\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1+\big(\frac{df}{dx}\big)^{2}}{(1-f)}^{2}+\frac{d}{dx}\Bigg[\Big(\frac{1+\big(\frac{df}{dx}\big)^{2}}{1-f}\Big)^{{-\frac{1}{2}}}\cdot\frac{\frac{df}{dx}}{1-f}\Bigg]=0 (7.23)
Przykład 7.2

Równanie Eulera dla krzywej łańcuchowej.

Podobnie, jak poprzednio, rolę t w równaniach Eulera pełni zmienna x, natomiast zamiast x_{1} napiszemy \gamma a zamiast v_{1} napiszemy \displaystyle\frac{dg}{dx}=\dot{g}. Funkcja Lagrange'a z mnożnikiem \lambda ma postać:

L_{\lambda}(g,\dot{g})=(g+\lambda)\sqrt{1+\dot{g}^{2}}.

Wtedy

\frac{\partial L_{\lambda}}{\partial g}=\sqrt{1+\dot{g}^{2}};\frac{\partial L_{\lambda}}{\partial\dot{g}}=\frac{\dot{g}(g+\lambda)}{\sqrt{1+\dot{g}^{2}}}.

Zatem równania Eulera mają postać :

\sqrt{1+\big(\frac{dg}{dx}\big)^{2}}-\frac{d}{dx}\frac{\frac{dg}{dx}\big(g+\lambda\big)}{\sqrt{1+\big(\frac{dy}{dx}\big)^{2}}}=0. (7.24)
Uwaga 7.4

Zarówno równanie (7.23) jak (7.24) mają bardzo skomplikowaną postać i raczej nie ma szans rozwiązać Problemów 1 i 2 na tej drodze. Znacznie prostszą metodę podamy w następnym wykładzie.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.