W roku 1828 William Rowan Hamilton opublikował fundamentalną pracę nadającą optyce geometrycznej nowe nieoczekiwane sformułowanie związane z geometrią symplektyczną. Poprzednio bieg promieni świetlnych opisywany był za pomocą równań Eulera, wynikających z wariacyjnej zasady minimalizującej ”długość optyczną” przebywanej drogi. Dopiero 20 lat później zauważył Hamilton, że to samo postępowanie, wykorzystujące tym razem wariacyjną zasadę najmniejszego działania, umożliwia także w mechanice uzyskanie nowego, znacznie bardziej geometrycznego opisu, niż ten, za pomocą równań Eulera - Legendre'a. Postępując za Hamiltonem, omówimy kolejno transformację Legendre'a - kluczowe narzędzie w metodzie Hamiltona. Następnie pokażemy, jak uzyskuje się za jej pomocą nowy opis w optyce geometrycznej. Na koniec wrócimy do mechaniki.
W całym tym paragrafie dla przestrzeni liniowej przez będziemy oznaczać przestrzeń form liniowych na Zaczniemy od sytuacji jednowymiarowej. Niech będzie dwukrotnie różniczkowalna i niech na Rozważmy przekształcenie
Ponieważ jest ciągła i rosnąca, obrazem na mocy własności Darboux jest przedział oraz na jest określone przekształcenie odwrotne do
Istnieje taka, że dla [f'(a), f'(b)]. Funkcję nazwiemy transformatą Legendre`a funkcji i napiszemy .
Ponieważ funkcja i są obecne w naszych rozważaniach jedynie za pośrednictwem swoich pochodnych, obie są wyznaczone z dokładnością do stałej. Wygodnie będzie więc przyjąć umowę, że
Dla rozważmy funkcję
(9.1) |
Ustalając oznaczmy Wtedy
a ponieważ
oraz jest malejąca i ciągła, istnieje dokładnie jeden punkt taki, że tj. że
Przekształcenie
jest oczywiście odwrotne do
i jako odwrotne do różniczkowalnego o niezerowej pochodnej, samo jest różniczkowalne.Podamy jego opis analityczny.
Określmy
(9.2) |
wtedy
jest różniczkowalne oraz
bo
∎Transformacja Legendre'a jest inwolucją t.j.
Wyznaczyć transformatę Legendre'a następujących funkcji:
i wobec tego
wobec tego
gdzie
(Nierówność Younga ). Niech wtedy
(9.3) |
Sytuacja n-wymiarowa.
W następującym tekście przyjmiemy konwencję, że wartość różniczki funkcji w punkcie na wektorze jest zapisywana jako Niech bedzie określona i ma ciągłe pochodne do rzędu 2 na otwartym zbiorze Niech ponadto dla Przyjmujemy tutaj podejście wiążące kolejne różniczki ze wzorem Taylora i traktujące jako odwzorowanie n- liniowe tam występujące. W szczególności
(9.4) |
oznacza wtedy macierz formy kwadratowej a napis oznacza, że forma ta jest dodatnio określona. Rozważmy przekształcenie:
Jeżeli jest otwarty a jest klasy oraz dla to także zbiór jest otwarty.
Różniczka może być także interpretowana jako pierwsza różniczka w punkcie odwzorowania Ponieważ warunek implikuje, że macierz jest nieosobliwa, odwzorowanie jest otwarte i w szczególności jest zbiorem otwartym.
∎Przy założeniach i notacji Stwierdzenia 9.4. przekształcenie jest różnowartościowe. Przekształcenie do niego odwrotne jest podobnej postaci t.j. przy kanonicznym utożsamieniu z i traktowaniu jako podzbioru istnieje funkcja taka, że
Funkcję nazywamy transformatą Legendre'a funkcji
Pokażemy najpierw, że funkcja jest różnowartościowa. Niech i niech Wtedy jest równa wartości formy kwadratowej na argumencie a zatem jest dodatnia. Oznacza to, że funkcja jest rosnąca. Ale natomiast a ponieważ zatem
Pokażemy następnie, że istnieje klasy taka, że oraz, że
Rozumowanie przebiega podobnie, jak w dowodzie Stwierdzenia 9.4.
Dla x rozważamy funkcję
gdzie oznacza wartość formy liniowej na wektorze W części pierwszej tego dowodu pokazaliśmy, że dla każdego istnieje dokładnie jeden taki, że Określmy
wtedy odworowanie jako odwrotne do ma wszędzie różniczkę nieosobliwą na mocy twierdzenia o funkcji odwrotnej. Pisząc i uwzględniając, że mamy wtedy
co należało wykazać. Pokażemy wreszcie, że
Traktując jako różniczkę odwzorowania odwrotnego do którego różniczką jest widzimy, że teza wynika z obserwacji, że dla macierzy symetrycznej i dodatnio określonej, macierz odwrotna jest także symetryczna i dodatnio określona.
∎Wyznaczyć transformatę Legendre'a funkcji:
wtedy
i otrzymujemy
Optyka geometryczna nie wnika w fizyczną naturę światła lecz przyjmuje jako aksjomat, że droga promienia światlnego jest taką krzywą, która minimalizuje tzw. długość optyczną. Ta zasada wariacyjna, której precyzyjne sformułowanie podamy w dalszej części wykładu, ma związek z zasadą Fermata, mówiącą, że światło biegnąc od punktu do punktu wybiera drogę o najkrótszym czasie przejścia. Schemat przyjęty w optyce geometrycznej przedstawia się następująco:
Rozważmy ”oś optyczną” którą wyobrazimy sobie jako prostą poziomą, leżącą w płaszczyźnie rysunku. Prostopadle do niej umieścimy dwie płaszczyzny A i B. Są one równoległe do dwóch pozostałych osi kartezjańskiego układu prostokątnego: poziomej osi i pionowej osi
Przestrzeń między tymi płaszczyznami nazwiemy systemem optycznym. Jest ona scharakteryzowana za pomocą funkcji - ”gęstości optycznej środowiska”, przez które przebiega promień świetlny. Będziemy dalej zakładać, że tory promieni świetlnych są krzywymi rzutującymi się dyfeomorficznie na oś optyczną t.j, że dopuszczają opis Gęstość optyczna kształtuje tor następującą zasadą Fermata: promień świetlny opuszczający płaszczyznę A w punkcie i w kierunku wyznaczonym przez a następnie docierający do płaszczyzny z analogicznymi współrzędnymi robi to tak, że minimalizuje ”długość optyczną”
(9.5) |
gdzie oznacza a oznacza Mamy zatem zagadnienie wariacyjne z funkcją Lagrange'a
(9.6) |
Wynik Hamiltona mówi, że po właściwej zmianie współrzędnych krzywe całkowe równań Eulera dla (9.5) są krzywymi całkowym ”gradientu symplektycznego”' funkcji Omówimy kolejno dokonywaną zamianę współrzędnych, której istotą jest transformata Legendre'a oraz wyprowadzimy równania Hamiltona, odkładając geometryczną interpretację tej sytuacji do następnego wykładu.
Istotnie, otrzymujemy ( dla zwięzłości będziemy pisać zamiast
zatem druga różniczka jest formą kwadratową o postaci:
ale dla
mamy
Na mocy Lematu 9.1, ustalając zmienne możemy stosować Stwierdzenie 9.1 do funkcji:
określając odwzorowanie
(9.7) |
i odwzorowanie odwrotne
(9.8) |
W dalszym ciągu, dla oszczędności miejsca, będziemy zapisywać
Napiszmy układ równań Eulera dla funkcjonału (9.5)
(9.9) |
i zastąpmy w nim przez nową zmienną (zgodnie z 9.7). Oznaczając przez możemy zapisać wtedy (9.9) w postaci:
(9.10) |
Otrzymujemy w ten sposób pierwsze dwa równania. Ponieważ zależą od chcąc zastąpić przez możemy skorzystać z odwrotnej transformacji Legendre'a (9.8) dodając do (9.10) warunki
(9.11) |
To, że układ warunków (9.10) i (9.11) daje układ czterech równań określających funkcje i wynika z następującego lematu.
Niech dla ustalonych funkcja oznacza transformatę Legendre'a funkcji
Wtedy
(9.12) |
Funkcje oraz związane są warunkiem
(9.13) |
gdzie przy ustalonych
Obliczając dla lewej strony (9.13) otrzymamy
Dla prawej strony 9.13 otrzymamy wyrażenie
Ale
skąd wynika (9.12).
∎Na mocy lematu (9.4.) możemy więc przekształcić równanie (9.10), otrzymując ostateczny układ równań Hamiltona
(9.14) |
Wobec tego trudność przejścia od opisu wariacyjnego z funkcją Lagrange'a do opisu (9.14) polega na znalezieniu transformaty Legendre'a funkcji Oczywiście cała procedura opiera się na założeniu, że przy ustalonych funkcja jest funkcją wypukłą ze względu na zmienne i
Pokażemy teraz, jak wygląda dla funkcji Lagrange'a
W dalszym ciągu, dla zwięzłości, będziemy pisać zamiast Wtedy (por. dowód lematu 9.1)
skąd
Zauważmy, że zachodzi tożsamość
a więc
i ostatecznie
Podsumowując:
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.