Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyki stosowanej – 2. Mechanika statystyczna – MIM UW

Zagadnienia

2. Mechanika statystyczna

2.1. Dlaczego żelazo jest magnesem?

Jeżeli magnes wykonany z żelaza podgrzejemy powyżej 770 stopni Celsjusza, tak-zwanej temperatury Curie, to straci on zdolności magnetyczne. Wykres namagnesowania jako funkcja temperatury T jest podany na Rys. 2.1.

Wyznaczona eksperymentalnie zależność namagnesowania od temperatury.
Rys. 2.1. Wyznaczona eksperymentalnie zależność namagnesowania od temperatury.

Zjawisko te stara się wyjaśnić teoria ciała stałego, dział fizyki zajmujący się własnościami ciał makroskopowych. W bardzo dużym uproszczeniu przyjmujemy, że namagnesowanie sztabki żelaza jest sumą wektorową małych magnesów związanych z poszczególnymi atomami żelaza. Z jednej strony, siły oddziaływań pomiędzy magnesikami prowadzą do ich ułożenia wzdłuż jednego kierunku. Z drugiej strony, ruchy cieplne atomów zaburzają ten idealny porządek. Wynikiem tej rywalizacji pomiędzy czynnikiem energetycznym a czynnikiem losowym rosnącym w miarę wzrostu temperatury ciała są jego własności makroskopowe. Działem fizyki zajmującym się wyprowadzaniem własności makroskopowych ciał z mikroskopowych oddziaływań pomiędzy ich elementarnymi składnikami, atomami lub cząsteczkami, jest fizyka statystyczna.

2.2. Magnes matematyczny - Model Isinga

W modelu Isinga, oddziałujące obiekty - magnesiki - umieszczone są w węzłach kraty \mathbb{Z}^{{d}}\;,d\geq 1, gdzie \mathbb{Z} jest zbiorem liczb całkowitych. Kratę taką możemy uważać za regularny graf, w którym krawędzie łączą najbliższych sąsiadów, to znaczy każdy wierzchołek (węzeł) jest połączony z wierzchołkiem z góry, z dołu, z prawa i z lewa. W każdym węźle i\in\mathbb{Z}^{{d}} umieszczamy matematyczną reprezentację magnesiku, \sigma _{{i}}, zmienną mogącą przyjmować dwie wartości: +1 (magnesik skierowany do góry) i -1 (magnesik skierowany do dołu). Zmienną \sigma _{{i}} nazywamy spinem w wierzchołku i. Formalnie, zbiorem konfiguracji nieskończonego układu jest \Omega=\{+1,-1\}^{{\mathbb{Z}^{{d}}}}, czyli zbiór wszystkich funkcji przypisujących każdemu wierzchołkowi +1 albo -1. Dla danej konfiguracji X\in\Omega, X_{{i}}=\sigma _{{i}}(X) nazywamy konfiguracją w węźle i\in\mathbb{Z}^{{d}}. Niech \Lambda\subset\mathbb{Z}^{{d}} będzie skończonym podzbiorem węzłów naszej kraty. \Omega _{{\Lambda}}=\{+1,-1\}^{\Lambda} jest zbiorem konfiguracji na \Lambda. Hamiltonian (funkcjonał energii) określa nam energię konfiguracji na \Lambda.

H_{{\Lambda}}:\Omega _{{\Lambda}}\rightarrow R (2.1)

Przyjmujemy, że oddziałują ze sobą spiny, które są najbliższymi sąsiadami.

H_{{\Lambda}}=-\sum _{{<i,j>,i,j\in\Lambda}}\sigma _{{i}}\sigma _{{j}}-h\sum _{{i\in\Lambda}}\sigma _{{i}}, (2.2)

gdzie <i,j> jest parą najbliższych sąsiadów a h jest zewnętrznym polem magnetycznym.

Hamiltonian w mechanice klasycznej oddziałujących cząstek jest sumą energii kinetycznej poszczególnych cząstek i energii potencjalnej oddziaływań między nimi (patrz wykład Wojtyńskiego). W powyższym wyrażeniu nie uwzględniamy energii potencjalnej.

Nasz układ spinowy podlega nieustannym ruchom cieplnym i w związku z tym jest układem stochastycznym. Powinniśmy więc określić prawdopodobieństwa przebywania układu w każdym z mikroskopowych stanów czyli elementów zbioru \Omega _{{\Lambda}}. Ponieważ zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony, zakładamy że wszystkie jego podzbiory są mierzalne i wobec tego do zadania miary prawdopodobieństwa wystarczy określić prawdopodobieństwo każdego elementu X\in\Omega _{{\Lambda}}. Miara prawdopodobieństwa na \Omega _{{\Lambda}} jest interpretowana jako stan równowagowy układu fizycznego oddziałujących spinów. Mówi ona nam z jakimi prawdopodobieństwami (w stanie równowagi) układ znajduje się w poszczególnych stanach mikroskopowych. Wszelkie makroskopowe wielkości fizyczne, takie jak energia (H_{{\Lambda}}) czy namagnesowanie układu, są więc zmiennymi losowymi na przestrzeni \Omega _{{\Lambda}}. Interesować nas będą wartości oczekiwane tych zmiennych losowych. W szczególności definiujemy namagnesowanie układu,

M_{{\Lambda}}=\sum _{{i\in\Lambda}}\sigma _{{i}} (2.3)

Wprowadzamy następujący rozkład prawdopodobieństwa,

\rho _{{\Lambda}}^{{T,h}}(X)=\frac{e^{{-\frac{1}{T}H_{{\Lambda}}(X)}}}{Q(T,h,\Lambda)} (2.4)

gdzie T jest temperaturą układu, miarą jego ruchów cieplnych a

Q(T,h,\Lambda)=\sum _{{X\in\Omega _{{\Lambda}}}}e^{{-\frac{1}{T}H_{{\Lambda}}(X)}} (2.5)

jest czynnikiem normalizującym prawdopodobieństwo. W fizyce Q nazywane jest sumą statystyczną natomiast \rho _{{\Lambda}}^{{T,h}} wielkim rozkładem kanonicznym. Odłożymy do następnego podrozdziału uzasadnienie wprowadzenia takiego a nie innego rozkładu prawdopodobieństwa.

Niezwykle ważną wielkością w fizyce jest energia swobodna, zwana także potencjałem termodynamicznym,

F(T,h,\Lambda)=-T\ln Q(T,h,\Lambda) (2.6)

Wartości oczekiwane zmiennych losowych możemy dostać różniczkując potencjał. W szczególności łatwo zobaczyć, że

M(T,h,\Lambda)=\frac{\partial F}{\partial h}(T,h,\Lambda) (2.7)
Ćwiczenie 2.1

Udowodnij powyższą równość.

Ćwiczenie 2.2

Udowodnij, że M(T,h=0,\Lambda)=0

2.2.1. Metoda konturów Peierlsa

Będziemy rozważać układy z plusowymi albo minusowymi warunkami brzegowymi w dwuwymiarowym modelu Isinga, d=2,

\Omega _{{\Lambda}}^{{+}}=\{ X\in\Omega;X_{{i}}=+1,i\in\mathbb{Z}^{{2}}\setminus\Lambda\}\,,
\Omega _{{\Lambda}}^{{-}}=\{ X\in\Omega;X_{{i}}=-1,i\in\mathbb{Z}^{{2}}\setminus\Lambda\}\,.

Zbiory konfiguracji \Omega _{{\Lambda}}^{{+}} i \Omega _{{\Lambda}}^{{-}} możemy utożsamiać z \Omega _{{\Lambda}}. Wprowadzamy Hamiltonian z plusowymi warunkami brzegowymi i z zewnętrznym polem magnetycznym h=0,

H_{{\Lambda}}^{{+}}=-\sum _{{<i,j>}}\sigma _{{i}}\sigma _{{j}}-\sum _{{i\in\partial\Lambda}}\sigma _{{i}} (2.8)

Wtedy odpowiedni wielki kanoniczny rozkład prawdopodobieństwa ma następującą postać,

\rho _{{\lambda,T}}^{{+}}(X)=\frac{e^{{-\frac{1}{T}H_{{\Lambda}}^{{+}}(X)}}}{Q^{{+}}(T,\Lambda)} (2.9)

Przyjmijmy dla uproszczenia, że \Lambda jest kwadratem o boku 2l+1 i środku w 0\in\mathbb{Z}^{{2}},   \Lambda=\{ i\in\mathbb{Z}^{{2}}:i=(n,m),n,m\in\mathbb{Z},-l\leq n,m\leq l\}. Jest intuicyjnie jasne, że prawdopodobieństwo tego, że X_{{0}}=+1 w powyższym rozkładzie jest większe od 1/2, plusowe warunki brzegowe łamią symetrię Hamiltonianu - faworyzują spiny skierowane do góry. Wiemy, że bez warunków brzegowych prawdopodobieństwo powyższe wynosi 1/2. Wydawałoby się, że jeżeli będziemy odsuwać warunki brzegowe do nieskończoności, czyli przejdziemy do granicy termodynamicznej \Lambda\rightarrow\mathbb{Z}^{{2}}, to znaczy l\rightarrow\infty, ich wpływ będzie zanikał. Rozważmy graniczną miarę, nazywaną stanem albo miara Gibbsa,

\rho _{{\Lambda,T}}^{{+}}\xrightarrow{l\rightarrow\infty}\rho _{{T}}^{{+}},

gdzie poprzez zbieżność rozumiemy słabą zbieżność z gwiazdką miar na (\Omega,F) z odpowiednio określonym \sigma-ciałem F, patrz dalej. Zanikający wpływ warunków brzegowych oznaczałby, że \rho _{{T}}^{{+}}(X_{{0}}=+1)=1/2 czyli wartość średnia namagnesowania jest równa 0, E_{{\rho _{{T}}^{{+}}}}(\sigma _{{i}})=0,i\in\Lambda. Poniżej pokażemy, że dla odpowiednio małych temperatur średnie namagnesowanie jest dowolnie bliskie 1. Udowodnimy następujące fundamentalne twierdzenie

Twierdzenie 2.1

\rho _{{T}}^{{+}}(X,X_{{0}}=-1)\leq\varepsilon(T) gdzie \varepsilon(T)\xrightarrow{T\rightarrow 0}0

Oznacza to, że choć brzegu już nie ma, pozostał jego ślad. Hamiltonian w granicy termodynamicznej dla h=0 jest niezmienniczy ze względu na odwrócenie spinów, natomiast stany Gibbsa nie są, O(\rho _{{T}}^{{+}})=\rho _{{T}}^{{-}}. Spontaniczne złamanie symetrii - Twierdzenie 2.1 - zachodzi w granicy termodynamicznej dla nieskończonego układu. Udowodnimy je korzystając z aparatu dyskretnego rachunku prawdopodobieństwa dla skończonych stanów Gibbsa, z nierówności jednostajnych ze względu na wielkość układu (\Lambda). Teza Twierdzenia 2.1 wynika bezpośrednio z następującego twierdzenia,

Twierdzenie 2.2

\rho _{{\Lambda,T}}^{{+}}(X,X_{{0}}=-1)\leq\varepsilon(T) gdzie \varepsilon(T)\xrightarrow{T\rightarrow 0}0 jednostajnie ze względu na \Lambda.

Wprowadzimy teraz pojęcie konturu konfiguracji.

Dla każdej pary sąsiadów i,j\in\mathbb{Z}^{{2}}, niech <i,j> będzie odcinkiem w \mathbb{R}^{{2}} o długości 1, prostopadłym do odcinka łączącego i z j i takim że oba odcinki przecinają się w połowie. Konturem konfiguracji X\in\Omega nazywamy każdy maksymalny spójny zbiór odcinków oddzielających plusy od minusów (dwa kontury stykające się w jednym punkcie uważamy za rozłączne), patrz Rys. 2.2.

Kontury dla przykładowej konfiguracji.
Rys. 2.2. Kontury dla przykładowej konfiguracji.

Formalnie,

K(X)=\{<i,j>:\sigma _{{i}}(X)\neq\sigma _{{j}}(X)\}\,.

Konturem X jest każdy maksymalny spójny podzbiór K(X). Zbiór wszystkich konturów konfiguracji X oznaczamy przez \Gamma(X). Niech \Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}}=\{ X\in\Omega _{{\Lambda}}^{{+}}:\gamma\in\Gamma(X)\}. Wprowadzamy operator wymazywania konturu,

T:\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}}\rightarrow\Omega _{{\Lambda}}^{{+}}\,.

Definiujemy T w następujący sposób. Kontur \gamma dzieli \mathbb{Z}^{{2}} na dwie części: wewnątrz konturu i na zewnątrz. Aby dostać T(X), zmieniamy w konfiguracji X znaki w wierzchołkach \Lambda wewnątrz konturu \gamma, następnie czynimy to samo dla wszystkich konturów bezpośrednio wewnątrz \gamma i kolejno dla konturów wewnątrz poprzednich konturów, patrz Rys. 2.3. Zauważmy, że operator T jest wzajemnie jednoznaczny.

Ilustracja działania operatora wymazywania konturu. Na niebiesko zaznaczony jest kontur $\gamma$.
Rys. 2.3. Ilustracja działania operatora wymazywania konturu. Na niebiesko zaznaczony jest kontur \gamma.

Dowód Twierdzenia 2

\begin{split}\rho _{{\Lambda,T}}^{{+}}(X,X_{{0}}=-1)&\leq\sum _{{\gamma}}\rho _{{\lambda,T}}^{{+}}(X,X\in\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}})\\
&\leq\sum _{{k=4}}^{{\infty}}(\textrm{liczba konturów o długości k otaczających 0})\rho _{{\Lambda,T}}(X,X\in\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}},|\gamma|=k.\end{split} (2.10)

gdzie sumowanie jest po konturach otaczających 0 a |\gamma| jest długością konturu czyli liczbą tworzących go odcinków jednostkowych. Łatwo zauważyć, że liczbę konturów (łamanych) o długości k można oszacować z góry przez 3^{{k-1}}k^{{2}}. Do oszacowania drugiego czynnika w 2.10 użyjemy operatora wymazywania konturów.

\rho _{{\Lambda,T}}(X,X\in\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}},|\gamma|=k=\frac{\sum _{{X\in\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}}}}e^{{-\beta H^{{+}}_{{\Lambda}}(X)}}}{\sum _{{X\in\Omega _{{\Lambda}}^{{+}}}}e^{{-\beta H^{{+}}_{{\Lambda}}(X)}}}< (2.11)
\leq\frac{\sum _{{X\in T\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}})}}e^{{-\beta H^{{+}}_{{\Lambda}}(X)e^{{-2\beta|k|}}}}}{\sum _{{X\in T(\Omega _{{\Lambda}}^{{\gamma}})}}e^{{-\beta H^{{+}}_{{\Lambda}}(X)}}}=e^{{-2\beta|k|}}

Ostatecznie mamy

\rho _{{\Lambda,T}}^{{+}}(X,X_{{0}}=-1)\leq\sum _{{k=4}}^{{\infty}}3^{{k-1}}k^{{2}}e^{{-2\beta|k|}}<\epsilon(T), (2.12)

gdzie \epsilon(T)\rightarrow 0 jeśli T\rightarrow 0 i otrzymujemy tezę Twierdzenia 2.

W analogiczny sposób dla minusowych warunków brzegowych otrzymujemy

\rho _{{\lambda,T}}^{{-}}\rightarrow _{{l\rightarrow\infty}}\rho _{{T}}^{{-}}

i \rho _{{T}}^{{-}}(X,X_{{0}}=+1)\leq\epsilon(T). Otrzymaliśmy więc dwa stany Gibbsa dla tego samego oddziaływania i takiej samej temperatury. Układ może więc znajdować się w dwóch różnych fazach, które mogą współistnieć tak jak lód i woda w temperaturze 0 stopni Celsjusza. Mówimy, że mamy do czynienia z przejściem fazowym pierwszego rodzaju. Jest to przejście typu nieciągłego - gęstość wody zmienia się w sposób nieciągły przy przejściu z fazy stałej do ciekłej. W modelu ferromagnetycznym Isinga namagnesowanie zmienia się w sposób nieciągły przy przejściu zewnętrznego pola magnetycznego przez zero, patrz Rys. 2.4.

Zmiana namagnesowania $m$ ze względu na zmieniającą się wartość zewnętrznego pola magnetycznego $h$..
Rys. 2.4. Zmiana namagnesowania m ze względu na zmieniającą się wartość zewnętrznego pola magnetycznego h.

Natomiast przy obniżaniu temperatury, w temperaturze Curie mamy do czynienia z przejściem fazowym drugiego rodzaju. Jest to przejście fazowe typu ciągłego - namagnesowanie w sposób ciągły wzrasta od zera przy podwyższaniu temperatury powyżej punktu Curie, patrz Rys. 2.1.

2.2.2. Jednowymiarowy model Isinga

2.3. Klasyczne gazy sieciowe

W rozdziale tym uogólnimy klasyczny model Isinga na przypadek więcej niż dwóch możliwych stanów, w których może znajdować się każdy wierzchołek sieci, na oddziaływania o większym zasięgu i niekoniecznie dwucząstkowe. Nasze modele będziemy interpretować w języku gazów sieciowych. W modelu gazu sieciowego w każdym wierzchołku sieci \mathbb{Z}^{{d}} znajduje się jedna cząstka o określonym typie. Zakładamy skończona liczbę typów. Zbiorem konfiguracji nieskończonego układu oddziałujących cząstek jest więc

\Omega=\{ 1,...,n\}^{{\mathbb{Z}^{{d}}}}

Przez potencjał \Phi oddziaływania cząstek rozumiemy nieskończoną rodzinę funkcji indeksowaną skończonymi podzbiorami \Lambda\subset\mathbb{Z}^{{d}}.

\Phi=\{\Phi _{{\Lambda}}\} _{{\Lambda\subset\mathbb{Z}^{{d}}}};\;\;\Phi _{{\Lambda}}:\Omega _{{\Lambda}}\rightarrow\mathbb{R}\,.
Definicja 2.1

\Phi jest oddziaływaniem o skończonym zasięgu r, jeśli \Phi _{{\Lambda}}\equiv 0 dla \mathrm{diam}(\Lambda)>r.

Definicja 2.2

\Phi jest oddziaływaniem translacyjnie niezmienniczym, jeśli \Phi _{{\Lambda+\bar{a}}}(\tau _{{\bar{a}}}X)=\Phi _{{\Lambda}}(X) dla każdego \bar{a}\in\mathbb{Z}^{{d}}, gdzie \tau _{{\bar{a}}} jest operatorem przesunięcia o wektor \bar{a} czyli (\tau _{{\bar{a}}}X)_{{i}}=X_{{i+\bar{a}}}.

Widzimy więc, że model Isinga zadany jest przez potencjał dwucząstkowy o zasięgu 1.

Definicja 2.3

Hamiltonianem w skończonej objętości \Lambda jest funkcjonał H_{{\Lambda}}^{{\Phi}}=\sum\limits _{{V\subset\Lambda}}\Phi _{{V}}.

Definicja 2.4

Konfiguracja Y jest lokalnym zaburzeniem konfiguracji X, ozn. X\sim Y, jeśli |\{ i\in\mathbb{Z}^{{d}}:Y_{{i}}\neq X_{{i}}\}|<\infty.

Podstawowym pojęciem w mechanice statystycznej oddziałujących cząstek jest stan podstawowy. Intuicyjnie są to konfiguracje o najmniejszej energii. Energia nieskończonej konfiguracji zazwyczaj bywa nieskończona. Tak więc intuicyjna definicja nie ma sensu. Zamiast energii rozważmy w takim razie gęstość energii

Definicja 2.5

e(X)=\liminf\limits _{{\Lambda\rightarrow\mathbb{Z}^{{d}}}}\frac{H_{{\Lambda}}^{{\Phi}}(X)}{|\Lambda|} jest gęstością energii konfiguracji X\in\Omega.

Chcielibyśmy zdefiniować konfiguracje stanu podstawowego jako te, które minimalizują gęstość energii. Uwolniliśmy się od nieskończonych energii ale mamy inny kłopot. Jeśli X byłoby konfiguracja stanu podstawowego w myśl powyższej definicji, to każde jej lokalne zaburzenie też miałoby minimalną gęstość energii, więc też byłoby konfiguracją stanu podstawowego, co jest oczywistym absurdem. Musimy być bardziej subtelni. Wprowadzimy pojęcie Hamiltonianu względnego.

Definicja 2.6

Dla lokalnego wzbudzenia Y\sim X, Hamiltonianem względnym jest H^{{\Phi}}(Y,X)=\sum\limits _{{\Lambda\subset\mathbb{Z}^{{d}}}}\left(\Phi _{{\Lambda}}(Y)-\Phi _{{\Lambda}}(X)\right).

Definicja 2.7

X\in\Omega jest konfiguracją stanu podstawowego potencjału \Phi, jeśli dla dowolnego lokalnego wzbudzenia, Y\sim X, H^{{\Phi}}(Y,X)\geq 0.

Powyższa definicja ma charakter lokalny. Konfiguracja stanu podstawowego jest taką konfiguracją, której nie można lokalnie zaburzyć tak aby zmniejszyć wartość Hamiltonianu względnego. Zastanowimy się teraz w jakim sensie konfiguracje stanu podstawowego posiadają własność globalnego minimum energii.

Twierdzenie 2.3

Jeśli X jest konfiguracją stanu podstawowego, to X minimalizuje gęstość energii, to znaczy e(X)\leq e(Y) dla każdego Y\subset\Omega

Ćwiczenie 2.3

Udowodnij powyższe twierdzenie.

Odwrotna implikacja nie jest oczywiście prawdziwa. Twierdzenie odwrotne zachodzi natomiast jeżeli będziemy rozważać tylko konfiguracje okresowe.

Definicja 2.8

X\in\Omega jest konfiguracją okresową jeśli istnieją trzy liczby naturalne m_{{1}},m_{{2}},m_{{3}}, takie że \tau _{{e_{{i}}}}X=X\; i=1,2,3, gdzie e_{{1}}=(m_{{1}},0,0),e_{{2}}=(0,m_{{2}},0),e_{{3}}=(0,0,m_{{3}})

Mamy następującą postać twierdzenia odwrotnego.

Twierdzenie 2.4

X\in\Omega jest okresową konfiguracja stanu podstawowego, jeśli e(X)\leq e(Y) dla każdej okresowej konfiguracji Y\in\Omega.

Ćwiczenie 2.4

Znajdź wszystkie konfiguracje stanu podstawowego dwuwymiarowego ferromagnetycznego modelu Isinga.

Twierdzenie 2.5

Dla każdego translacyjnie niezmienniczego potencjału skończenie zasięgowego, zbiór konfiguracji stanu podstawowego jest niepusty.

Ćwiczenie 2.5

Udowodnij powyższe twierdzenie.

Wskazówka: 

Skorzystaj z tego, że \Omega jest zbiorem zwartym w odpowiedniej topologii, patrz Dodatek X

2.4. Kwazikryształy

Rozpoczniemy od fundamentalnego pytania: czy każdy skończenie zasięgowy translacyjnie niezmienniczy potencjał posiada co najmniej jedną okresową konfigurację stanu podstawowego?

Poniżej zamieszczamy krótki szkic rozumowania zamieszczonego w książce P.W. Andersona ….. i mającego odpowiadać twierdząco na powyższe pytanie.

Ćwiczenie 2.6

Znajdź błąd w powyższym rozumowaniu.

W tym samym 1984 roku odkryto kwazikryształy, których atomy rozmieszczone są w przestrzeni w sposób nieokresowy []. Był to pierwszy eksperymentalny kontrprzykład do ogólnie przyjętej hipotezy, że ciało stałe przy odpowiednio niskich temperaturach zawsze powinno występować w formie krystalicznej czyli przestrzennie okresowej. Typowym przykładem są kryształki soli kamiennej NaCL, w których atomy sodu i chloru tworzą okresową strukturę przedstawioną na Rys. 2.5.

Struktura kryształków soli kuchennej ({\em Źródło: $http://www.geocities.jp/ohba_{l}ab_{o}b_{p}age/structure6.html$}.
Rys. 2.5. Struktura kryształków soli kuchennej (Źródło: http://www.geocities.jp/ohba\_ lab\_ ob\_ page/structure6.html).
Ćwiczenie 2.7

Udowodnij, że każdy jednowymiarowy translacyjnie-niezmienniczy skończenie-zasięgowy potencjał gazu sieciowego posiada co najmniej jedną okresową konfigurację stanu podstawowego.

Wskazówka: 

Każda jednowymiarowa konfiguracja może być przedstawiona jako nieskończona droga na pewnym grafie

2.5. Nieokresowe mozaiki - krótka historia rekordu świata

W rozdziale tym będziemy rozważać pokrycia płaszczyzny wielobokami nazywanymi przez nas kafelkami lub dachówkami. Wybieramy skończoną liczbę kafelków, nazywamy je prototypami. Mamy do dyspozycji nieskończoną liczbę kopii każdego prototypu. Staramy się pokryć nimi nieskończoną płaszczyznę tak aby każdy punkt płaszczyzny został pokryty i żeby kafelki nie miały części wspólnych (z wyjątkiem brzegów).

W 1900 roku David Hilbert zaprezentował 23 fundamentalne problemy matematyczne. Druga cześć 18-tego problemu zawiera w istocie następujące (nadal pozostawione bez odpowiedzi) pytanie: Czy istnieje wielobok pokrywający nieskończoną płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy?

W 1974 roku, na długo przed odkryciem kwazikryształów, Roger Penrose, fizyk matematyczny z Oxfordu, skonstruował (albo odkrył jak kto woli) dwie dachówki, zwane latawcem i grotem, którymi można pokryć płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy, Rys. 2.6 (patrz artykuł w delcie i Scientific American).

Dachówki skonstruowane przez Rogera Penrose'a, którymi można pokryć płaszczyzną tylko w sposób nieokresowy.
Rys. 2.6. Dachówki skonstruowane przez Rogera Penrose'a, którymi można pokryć płaszczyzną tylko w sposób nieokresowy.

W dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się dachówkami kwadratowymi z wcięciami i wypustkami na bokach. Wcięcia i wypustki możemy reprezentować odpowiednimi kolorami boków. Dwa sąsiednie kwadraty pasują do siebie gdy wypustki jednego pasują do wcięć drugiego albo alternatywnie kolory odpowiednich boków są takie same. Dachówki takie nazywane są dominami albo dachówkami Wanga. Jeżeli można nimi pokryć płaszczyznę, to ich środki tworzą regularny graf Z^{{2}}. Nieskończone pokrycie płaszczyzny dachówkami jest nazywane mozaiką albo po prostu pokryciem. Jest oczywiste, że kwadratowe kafelki bez żadnych kolorowań mogą pokryć płaszczyznę i to na wiele okresowych i nieokresowych sposobów; jedno z takich pokryć jest bardzo dobrze znane każdemu kafelkarzowi. Na Rys. 2.7 zaprezentowano dwa kafelki i jedyne pokrycie płaszczyzny.

Dwa typy kafelków, wzorcowy kwadrat z wypustkami i wcięciami, i jedyne okresowe pokrycie płaszczyzny.
Rys. 2.7. Dwa typy kafelków, wzorcowy kwadrat z wypustkami i wcięciami, i jedyne okresowe pokrycie płaszczyzny.

W 1961 roku Hao Wang postawił hipotezę, że każdy skończony zestaw płytek domina pokrywający płaszczyznę może pokryć ją także w sposób okresowy. Hipoteza ta miała związek z problem rozstrzygalności - czy istnieje uniwersalny program komputerowy (maszyna Turinga), który w skończonej liczbie kroków dostarczyłby odpowiedzi na pytanie czy dany zestaw domin może pokryć płaszczyznę. Jeżeli powyższa hipoteza byłaby prawdziwa, to próbując stopniowo pokrywać coraz większe obszary płaszczyzny odkrylibyśmy w skończonej liczbie kroków układ domin, który moglibyśmy powtarzać i skonstruować w ten sposób pokrycie okresowe. Pierwszy kontrprzykład pojawił się w 1996 roku i jest autorstwa Roberta Bergera []. Zaprojektował on 20426 kafelków pokrywających płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy. W 1971 roku Raphael Robinson obniżył liczbę dachówek o tej własności do 56 []. Na Rys. 2.8 zaprezentowanych jest 6 dachówek Robinsona, pozostałe można z nich otrzymać przy pomocy obrotów i odbić.

Dachówki skonstruowane przez Raphaela Robinsona.
Rys. 2.8. Dachówki skonstruowane przez Raphaela Robinsona.

Na Rys. 2.9 pokazana jest struktura nieokresowej mozaiki Robinsona.

Struktura nieokresowej mozaiki Robinsona.
Rys. 2.9. Struktura nieokresowej mozaiki Robinsona.

W 1977 Robert Ammann ustanowił nowy rekord świata minimalnej liczby kafelków pokrywających płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy. Następnym rekordzistą został w 1996 roku Jarrko Kari z 14 kafelkami) []. Obecny rekord 13 kafelków, też z 1996 roku, należy do Karela Culika II [], Rys. 2.10.

Kafelki skonstruowane przez Karela Culika II.
Rys. 2.10. Kafelki skonstruowane przez Karela Culika II.

Zapraszam do pobicia rekordu świata.

2.6. Mikroskopowy model kwazikryształu

Zaprezentujemy teraz translacyjnie niezmienniczy skończenie zasięgowy potencjał gazu sieciowego nieposiadający żadnej okresowej konfiguracji stanu podstawowego. Nasza konstrukcja opiera się na nieokresowych mozaikach. Przykładowo użyjemy dachówek Ammanna. Każdą dachówkę na Rys. X traktujemy jako rodzaj cząstki. Zbiorem konfiguracji gazu sieciowego jest więc \{ 1,...16\}^{{Z^{{2}}}}. Energia oddziaływania dwóch sąsiednich cząstek jest równa 0 jeśli odpowiadające im dachówki pasują do siebie, w przeciwnym przypadku energia jest dodatnia, powiedzmy równa 1. Nieskończone mozaiki odpowiadają więc konfiguracjom stanu podstawowego o gęstości energii 0 - wszystkie dachówki pasują do siebie. Brak okresowych mozaik pociąga za sobą nieistnienie okresowych stanów podstawowych w naszym modelu.

Fundamentalnym pytaniem jest czy nieokresowa struktura obecna w konfiguracjach stanu podstawowego, czyli w zerowej temperaturze, przetrwa w dodatniej temperaturze. Innymi słowy czy struktura nieokresowa jest odporna na dowolnie małe cieplne fluktuacje.

\problem

Czy istnieje klasyczny model gazu sieciowego z translacyjnie niezmienniczym skończenie zasięgowym potencjałem bez okresowych konfiguracji stanów podstawowych i z nieokresowym stanem Gibbsa?

Rozważmy model gazu sieciowego odpowiadający dachówkom Ammanna. Niech Y będzie jedną z nieokresowych konfiguracji stanu podstawowego, \rho^{{Y}}_{{\Lambda,T}} stanem Gibbsa w skończonym obszarze \Lambda z warunkami brzegowymi Y poza \Lambda a \rho^{{Y}}_{{T}}=\lim _{{\Lambda\rightarrow Z^{{2}}}}\rho^{{Y}}_{{\Lambda,T}} stanem Gibbsa w granicy termodynamicznej.

\problem

Czy dla każdego \epsilon, istnieje temperatura T^{{\prime}}, taka że jeśli T<T^{{\prime}}, to \rho^{{Y}}_{{T}}(X_{{0}}=Y_{{0}}>1-\epsilon ?

Odpowiedź twierdząca na powyższe pytanie pociąga za sobą nieokresowość \rho^{{Y}}_{{T}}. Symulacje komputerowe przemawiające za taką sytuacją można zmaleźć w []. Jednocześnie należy wspomnieć o hipotezie mówiącej o nieistnieniu nieokresowych stanów Gibbsa w modelach dwuwymiarowych. Z każdego dwuwymiarowego modelu można stworzyć w łatwy sposób model trójwymiarowy. Do oddziaływań w Z^{{2}} dodajemy oddziaływania najbliższych sąsiadów wzdłuż kierunku prostopadłego do Z^{{2}} - energia oddziaływania dwóch takich samych cząstek będących najbliższymi sąsiadami jest równa zero, energia każdej pary składającej się z różnych cząstek jest dodatnia, powiedzmy 1. Widzimy, że dwuwymiarowe konfiguracje stanu podstawowego propagują się wzdłuż kierunku prostopadłego do Z^{{2}}.

Modele gazów sieciowych odpowiadające dachówkom Robinsona badane były w [].

2.6.1. Dodatek 2

Zbiór wszystkich konfiguracji gazu sieciowego z n różnymi typami cząstek,

\Omega=\{ 1,...,n\}^{{Z^{{d}}}}

jest zbiorem nieprzeliczalnym. Aby rozważać miary na tym zbiorze musimy wprowadzić \sigma-ciało zbiorów mierzalnych. Na początek zdefiniujemy zbiory otwarte czyli wprowadzimy na \Omega topologię. Rozpoczniemy od tego, że na skończonym zbiorze \{ 1,...,n\} wprowadzimy topologię dyskretną czyli każdy podzbiór \{ 1,...,n\} jest jednocześnie otwarty i domknięty. Na

\Omega=\{ 1,...,n\}^{{Z^{{d}}}}

wprowadzamy topologię produktową czyli najmniejsza topologię, w której projekcje p\sigma _{{i}}:\Omega\rightarrow\{ 1,...,n\}, \sigma _{{i}}(X)=X_{{i}}, i\in Z^{{d}} są funkcjami ciągłymi. Zbiór skończony z topologią dyskretną jest oczywiście zwarty. Z Twierdzenia Tichonowa wynika, że \Omega jest zbiorem zwartym w topologii produktowej.

Ćwiczenie 2.8

Scharakteryzuj zbiory otwarte w powyższej topologii produktowej.

Rozwiązanie: 
Ćwiczenie 2.9

Scharakteryzuj zbieżność ciągów w \Omega

Rozwiązanie: 

Okazuje się, że wszystkie nieokresowe mozaiki przedstawione w poprzednim rozdziale, a co za tym idzie nieokresowe konfiguracje stanu podstawowego w odpowiednim modelu gazu sieciowego, mają następującą własność. Niech X\in\Omega będzie nieokresowym pokryciem płaszczyzny. Dla każdego i\in\mathbb{Z}^{{2}}, \tau _{{i}}X jest translacją X o wektor i, to znaczy (\tau _{{i}}X)_{{j}}=X_{{j-i}}. Domknięcie w topologii produktowej zbioru wszystkich translacji \{\tau _{{i}}X,i\in Z^{{2}}\} jest zbiorem wszystkich pokryć płaszczyzny danymi typami dachówek. Zbiór ten, oznaczmy go przez G, jest nośnikiem jedynej translacyjnie niezmienniczej miary \mu. Miarę ta jest słabą granicą ciągu miar skupionych na kolejnych translacjach X, \mu=\lim _{{\Lambda\rightarrow Z^{{2}}}}\frac{1}{|\Lambda|}\sum _{{i\in\Lambda}}\delta _{{\tau _{{i}}X}}, gdzie \delta _{{\tau _{{i}}X}} jest miarą skupioną na \tau _{{i}}X. Jedyność miary oznacza, że częstość występowania dowolnego skończonego układu dachówek jest taka sama dla wszystkich pokryć i co więcej częstość ta jest zdefiniowana w sposób jednostajny. Niech X\in G i W\in\Omega _{{\Lambda}}. Częstość występowania wzoru W w X możemy obliczyć w następujący sposób. Niech V_{{a,k}} będzie ciągiem kwadratów w Z^{{2}} o środku w a i boku o długości k. L(a,k,X)=|i\in Z^{{2}},\tau _{{i}}W(j)=X(j),j\in\tau _{{i}}\Lambda,\tau _{{i}}\Lambda\subset V_{{a,k}}| jest liczbą translacji W, które pokrywają się z lokalną konfiguracją X. Mamy wtedy \lim _{{k\rightarrow\infty}}\frac{L(a,k,X)}{4k^{{2}}}=f(W). Zbieżność jest jednostajna ze względu na a\in Z^{{2}}, granica f(W) jest taka sama dla każdej nieokresowej mozaiki X i jest częstością występowania lokalnej konfiguracji W. Jest to jednocześnie prawdopodobieństwo występowania W w mierze \mu, \mu(X\in G,X_{{i}}=W_{{i}},i\in\Lambda).

Chcielibyśmy aby istniała stała C taka aby

|L(a,k,X)-f(W)4k^{{2}}|<C8k. (2.13)

.

Okazuje się jednak, że we wszystkich przykładach mamy |L(a,k,X)-f(W)4k^{{2}}|<Cklnk.

\problem

Czy istnieje skończony zbiór typów dachówek, pokrywający płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy z jedyną translacyjnie niezmiennicza miarą \mu o nośniku w zbiorze mozaik tak że jest spełniona własność 2.13.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.