Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Numeryczne równania różniczkowe – 1. Wprowadzenie – MIM UW

1. Wprowadzenie

W skrypcie przedstawimy niektóre metody przybliżone, inaczej zwane numerycznymi, rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Skrypt zawiera rozszerzony materiał z semestralnego wykładu Numeryczne Równania Różniczkowe na wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Na końcu skryptu zamieszczono dodatkowy rozdział 16 z materiałem wykraczającym w większości poza zakres wykładu. Materiał w skrypcie starano się przedstawić w sposób możliwie elementarny, tak więc do zrozumienia wykładu jak i skryptu wystarcza wiedza z podstawowych kursowych wykładów z pierwszych dwóch lat studiów, w szczególności nie trzeba znać materiału z wykładu z równań różniczkowych cząstkowych. Wszystkie potrzebne wiadomości o równaniach różniczkowych zostaną podane w czasie wykładu.

Semestralny wykład powinien koniecznie objąć rozdziały  3-5, 7, 11-12 i 14-15. Ewentualnie można omówić któreś z następujących zagadnień: równania sztywne z rozdziału 6, elementy teorii metody elementu skończonego, tzn. rozdział  13, teorię metody różnic skończonych dla równań eliptycznych, tj. rozdział 8 lub w wersji rozszerzonej także któryś z rozdziałów 9 lub 10. Rozdział 16 zawiera materiał tylko dla osób zainteresowanych teorią metody elementu skończonego.

Z uwagi na to, że rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych to obszerny dział nauki, przedstawiliśmy wybór podstawowych zagadnień różniczkowych, jak i metod ich numerycznego rozwiązywania. Jeśli chodzi o równania cząstkowe rozważamy tylko modelowe zagadnienia liniowe.

Skrypt zawiera również ćwiczenia teoretyczne i laboratoryjne, jak również wyniki prostych eksperymentów komputerowych potwierdzających niektóre wyniki teoretyczne.

Rozdział 2 krótko omawia różne typy równań różniczkowych, których metody rozwiązywania omawiamy w kolejnych rozdziałach.

W rozdziałach 3, 4, 5 i 6 przedstawiono niektóre metody rozwiązywania zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych, czyli dwie podstawowe klasy schematów - schematy jednokrokowe i wielokrokowe liniowe wraz z teorią zbieżności tychże schematów. Opisano również schematy dla ważnej klasy zagadnień sztywnych, idee konstrukcji schematów ze zmiennym krokiem dyskretyzacji, oraz idee metody strzałów służącej rozwiązywaniu zagadnień brzegowych. Obszerniejsze informacje dotyczące numerycznego rozwiązywania równań zwyczajnych można znaleźć w pozycjach w języku polskim w [22], [23], [14], [19], a w języku angielskim w monografiach [5], [12] i [13]. Dobrym podręcznikiem w języku angielskim, poświęconym w dużej części numerycznemu rozwiązywaniu równań zwyczajnych jest np. część druga [20], czy rozdział 11 w [25].

W rozdziałach 7, 8, 9 i 10 przedstawiono metodę różnic skończonych (MRS) dla modelowego zagadnienia eliptycznego drugiego rzędu w jednym i dwóch wymiarach, wraz z teorią zbieżności i metodami badania stabilności, zarówno w dyskretnych normach typu maksimum jak i typu L^{2}. Metoda różnic skończonych rozwiązywania zagadnień różniczkowych cząstkowych jest najprostsza zarówno koncepcyjnie, jak i w praktycznej implementacji. Dotyczy to szczególnie sytuacji, gdy obszar w którym postawione jest zagadnienie różniczkowe posiada prostą geometrię, np. jest kostką, czy kwadratem. Więcej informacji dotyczących MRS można znaleźć w pozycjach w języku polskim w [10], a w języku angielskim np. w podręcznikach: [20] lub [27].

W kolejnych rozdziałach 11, 12 i 13 zaprezentowano metodę elementu skończonego (MES), ponownie dla modelowego zagadnienia różniczkowego eliptycznego drugiego rzędu w jednym i dwóch wymiarach wraz z elementami teorii zbieżności. Metoda elementu skończonego jest dzisiaj podstawową metodą rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, z uwagi na uniwersalność, jak i rozwiniętą teorię zbieżności. W dodatkowym rozdziale 16 przedstawiono kilka definicji i własności przestrzeni Sobolewa, jak również niezbędnych do zrozumienia niektórych szczegółów dowodów zawartych w rozdziale 13. W języku polskim sporo informacji o metodzie elementu skończonego można znaleźć w [10], a w języku angielskim np. w obszernych podręcznikach: [2], [26], [16] (reprint oryginału z 1987 roku [15]), czy monografiach np. [4], [6].

W rozdziale 14 omówiono metody konstrukcji schematów rozwiązywania równań parabolicznych i hiperbolicznych drugiego rzędu. Ogólnie rzecz ujmując najpierw wprowadzamy dyskretyzację po zmiennej przestrzennej (np. metodą różnic skończonych lub elementu skończonego) i otrzymujemy układ równań zwyczajnych, którego rozwiązanie przybliża wyjściowe zadanie ewolucyjne, następnie powyższy układ równań zwyczajnych możemy rozwiązać korzystając z jakiejś metody zaprezentowanej w rozdziałach 3,4, 5 tego skryptu. Więcej informacji na ten temat w języku polskim można znaleźć w [10], a w języku angielskim np. w [20], [26] lub [16].

W rozdziale 15 krótko omówiono kilka prostych metod różnicowych rozwiązywania modelowego równania różniczkowego hiperbolicznego pierwszego rzędu. Więcej informacji o numerycznych metodach rozwiązywania równań hiperbolicznych można znaleźć np. w [26], [27], lub w [16].

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.