Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Numeryczne równania różniczkowe – 13. Metoda elementu skończonego - teoria – MIM UW

Zagadnienia

13. Metoda elementu skończonego - teoria

W tym wykładzie przedstawimy ogólną teorię konstrukcji i analizy zbieżności elementu skończonego (MESu) dla równań liniowych.

13.1. Istnienie rozwiązania

Załóżmy, że V jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta, tzn. rzeczywistą przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym (\cdot,\cdot) i normą \|\cdot\| _{V}=(\cdot,\cdot)^{{1/2}}, która jest zupełna. Przez V^{*} oznaczamy przestrzeń dualną (sprzężoną) do V, por. np. [7].

Rozpatrzmy wariacyjny problem znalezienia u^{*}\in V takiego, że

a(u^{*},v)=f(v)\qquad\forall v\in V, (13.1)

gdzie f\in V^{*}, a(u,v) jest formą dwuliniową, która jest ograniczona, tzn. istnieje stała M\geq 0 taka, że

a(u,v)\leq M\| u\| _{V}\| v\| _{V}\qquad\forall u,v\in V,

oraz jest V-eliptyczna co oznacza, że dla pewnego \alpha>0 zachodzi:

a(u,u)\geq\alpha\| u\| _{V}^{2}\qquad\forall u\in V.

Przy powyższych założeniach zachodzi znane twierdzenie analizy funkcjonalnej:

Twierdzenie 13.1 (Lax-Milgram)

Rozpatrzmy formę dwuliniową a(u,v):V\times V\rightarrow\mathbb{R}, która jest ograniczona i V-eliptyczna, a f\in V^{*}. Wtedy zadanie (13.1) ma jednoznaczne rozwiązanie i

\| u^{*}\| _{V}\leq\frac{\| f\| _{{V^{*}}}}{\alpha}. (13.2)

Istnienie rozwiązania wynika z lematu Riesza. Szczegóły dowodu można znaleźć np. w [7] lub [6]. Oszacowanie (13.2) dla u^{*} otrzymujemy wstawiając u^{*} za v w (13.1) i korzystając z V-eliptyczności formy i definicji normy dualnej funkcjonału liniowego:

\displaystyle\alpha\| u^{*}\| _{V}^{2}\leq a(u^{*},u^{*})=f(u^{*})\leq\| f\| _{{V^{*}}}\| u^{*}\| _{V}.

Jeśli u_{1} i u_{2} są rozwiązaniami zadania wariacyjnego, to w=u_{1}-u_{2} spełnia (13.1) dla prawej strony równej zero. Z tego i z (13.2) wynika, że \| u_{1}-u_{2}\| _{V}=0, co oznacza, że rozwiązanie jest wyznaczone jednoznacznie.

13.2. Metoda Galerkina

Załóżmy, że \{ V^{n}\} _{n} to rodzina podprzestrzeni skończenie wymiarowych V o wymiarze n.

Definiujemy zadanie dyskretne aproksymujące (13.1): chcemy znaleźć u_{n}\in V^{n} takie, że

a(u_{n}^{*},v_{n})=f(v_{n})\qquad\forall v_{n}\in V^{n}. (13.3)

Forma a(u,v) jest ograniczona na V^{n} z normą przestrzeni V i jest również V^{n}-eliptyczna. Zatem z twierdzenia 13.1 wynika istnienie jednoznacznego rozwiązania zadania dyskretnego, które spełnia:

\| u_{n}^{*}\| _{V}\leq\frac{\| f\| _{{V^{*}}}}{\alpha}, (13.4)

Rozwiązania dyskretne są wspólnie ograniczone niezależnie od wymiaru n, co określamy jako stabilność rozwiązań rodziny zadań dyskretnych.

Proszę zauważyć, że ponieważ przestrzeń V^{n} jest skończenie wymiarowa, więc - z definicji - ma bazę o skończonej ilości elementów n<\infty, tzn. V^{n}=\{\phi _{j}\} _{{j=1}}^{n} i, aby znaleźć współczynniki rozwiązania (13.3) w tej bazie, należy rozwiązać układ równań liniowych

A_{n}\vec{u}=\vec{f},

gdzie (A_{n})_{{kl}}=a(\phi _{k},\phi _{l}) i \vec{f}=(f(\phi _{k}))_{k} dla k,l=1,\ldots,n. Jeśli forma a(u,v) jest symetryczna, to A_{n} jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną. Oczywiście najlepiej byłoby dobrać taką bazę, żeby macierz A_{n} była np. pasmowa, albo ogólniej - o małej ilości elementów różnych od zera. Pojawia się pytanie: jak taką bazę wyznaczyć?

13.3. Abstrakcyjne oszacowanie błędu

Tutaj pokażemy związek między błędem u^{*}-u_{n}^{*}, a błędem aproksymacji przestrzeni V przez rodzinę przestrzeni V^{n}.

Zachodzi ważne twierdzenie - zwyczajowo zwane lematem Céa:

Twierdzenie 13.2 (lemat Céa)

Niech forma a(u,v) określona na przestrzeni Hilberta V będzie ograniczona i V-eliptyczna, V^{n}\subset V podprzestrzeń V. Wtedy

\| u^{*}-u_{n}^{*}\| _{V}\leq\frac{M}{\alpha}\inf _{{v_{n}\in V^{n}}}\| u^{*}-v_{n}\| _{V},

gdzie u^{*} - to rozwiązanie (13.1), a u_{n}^{*} - to rozwiązanie (13.3).

Z (13.1) wynika, że:

a(u^{*},v_{n})=f(v_{n})\qquad\forall v_{n}\in V^{n}.

Odejmując to równanie od (13.3) otrzymujemy:

a(u^{*}-u_{n}^{*},v_{n})=0\qquad\forall v_{n}\in V^{n}.

A dalej

\displaystyle\alpha\| u^{*}-u_{n}^{*}\| _{V}^{2} \displaystyle\leq \displaystyle a(u^{*}-u_{n}^{*},u^{*}-u_{n}^{*})=a(u^{*}-u_{n}^{*},u^{*})-a(u^{*}-u_{n}^{*},u_{n}^{*})
\displaystyle= \displaystyle a(u^{*}-u_{n}^{*},u^{*})-a(u^{*}-u_{n}^{*},v_{n})=a(u^{*}-u_{n}^{*},u^{*}-v_{n})
\displaystyle\leq \displaystyle M\| u^{*}-u_{n}^{*}\| _{V}\| u^{*}-v_{n}\| _{V}.

Dzieląc przez \| u^{*}-u_{n}^{*}\| _{V} otrzymujemy tezę twierdzenia.

Z lematu wynika, że aby oszacować błąd u^{*}-u^{*}_{n} wystarczy oszacować błąd aproksymacji u^{*} przez podprzestrzeń dyskretną V^{n}.

Wniosek 13.1

Przy założeniach lematu Céa, jeśli rodzina podprzestrzeni \{ V^{n}\} przestrzeni Hilberta V jest taka, że:

\forall u\in V\quad\mathrm{dist}(u,V^{n})=\inf _{{v\in V^{n}}}\| u-v\| _{V}\rightarrow 0\qquad n\rightarrow\infty,

to

\| u_{n}^{*}-u^{*}\| _{V}\rightarrow 0\qquad n\rightarrow\infty.

13.4. Przestrzenie Sobolewa

Niech \Omega\subset\mathbb{R}^{d} będzie otwartym obszarem. Wtedy definiujemy półnormę i normę H^{1}(\Omega) jako:

|u|_{{H^{1}(\Omega)}}=\sqrt{\int _{\Omega}|\nabla u|^{2}\; dx},\qquad\| u\| _{{H^{1}(\Omega)}}=\sqrt{\| u\| _{{L^{2}(\Omega)}}^{2}+|u|_{{H^{1}(\Omega)}}^{2}}.

Dodatkowo będziemy też oznaczać H^{0}(\Omega):=L^{2}(\Omega) i |u|_{{H^{0}(\Omega)}}=\| u\| _{{H^{0}(\Omega)}}=\| u\| _{{L^{2}(\Omega)}}.

Definicja 13.1

Niech H^{1}_{0}(\Omega)\subset L^{2}(\Omega) będzie domknięciem w normie H^{1} przestrzeni C^{\infty}_{0}(\Omega), gdzie C^{\infty}_{0}(\Omega) jest podprzestrzenią C^{\infty}(\Omega) złożoną z funkcji o zwartym nośniku w \Omega.

Jest to przestrzeń zupełna (ang. complete space) z iloczynem skalarnym H^{1}: (u,v)_{{H^{1}(\Omega)}}=\int _{\Omega}u\, v+\nabla u\,\nabla v\; dx. Można pokazać, że jest to ośrodkowa przestrzeń Hilberta (ang. separable Hilbert space), tzn. posiada przeliczalną bazę ortonormalną (ang. countable orthonormal basis).

Pojawia się pytanie; czy jeśli funkcja u\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}), to u_{{|\partial\Omega}}=0. Okazuje się, że tak jest, co wynika z twierdzenia o śladzie, por. twierdzenie 16.2.

Z nierówności Friedrichsa (por. stwierdzenie 16.1) wynika, że półnorma H^{1} w przestrzeni H^{1}_{0}(\Omega) jest normą równoważną z normą H^{1}.

Dodatkowo zdefiniujemy półnormę H^{2}:

|u|_{{H^{2}(\Omega)}}=\sqrt{\int _{\Omega}\sum _{{k,l=1}}^{d}\left|\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{k}\partial x_{l}}\right|^{2}\, dx}.

poprawnie zdefiniowaną dla funkcji gładkich i przestrzeń H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega) złożoną z tych funkcji w H^{1}_{0}(\Omega), dla których jej drugie pochodne dystrybucyjne są w L^{2}(\Omega). Przestrzeń ta zawiera wszystkie funkcje klasy C^{2}(\overline{\Omega}) zerujące się na brzegu \Omega.

13.5. Zadanie eliptyczne drugiego rzędu z zerowymi warunkami na brzegu

Rozpatrzmy ogólne zadanie eliptyczne w słabym sformułowaniu: chcemy znaleźć u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega) takie, że

a(u^{*},v)=f(v)\qquad\forall v\in H^{1}_{0}(\Omega), (13.5)

gdzie f(v)=\int _{\Omega}\hat{f}v\; dx dla danej funkcji \hat{f}\in L^{2}(\Omega) oraz

a(u,v)=\int _{\Omega}\sum _{{i,j=1}}^{d}a_{{ij}}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}+c(x)u\, v\; dx,

Tutaj funkcje a_{{ij}},c\in L^{\infty}(\Omega), tzn. są ograniczone, oraz istnieje stała \hat{\alpha}>0 taka, że:

\displaystyle\sum _{{i,j=1}}^{d}a_{{ij}}(x)\xi _{i}\xi _{j} \displaystyle\geq \displaystyle\hat{\alpha}\sum _{{i=1}}^{d}\xi _{i}^{2},\qquad\forall\xi\in\mathbb{R}^{d},\quad\forall x\in\Omega
\displaystyle c(x) \displaystyle\geq \displaystyle 0\qquad\forall x\in\Omega.

Jeśli dodatkowo a_{{ij}}=a_{{ji}} na \Omega to mówimy, że zadanie jest samosprzężone. Można wykazać, że istnieją stałe dodatnie M,\alpha takie, że:

\displaystyle|a(u,v)|\leq M\| u\| _{{H^{1}(\Omega)}}\| v\| _{{H^{1}(\Omega)}}\qquad\forall u,v\in H^{1}_{0}(\Omega), (13.6)
\displaystyle a(u,u)\geq\alpha\| u\| _{{H^{1}(\Omega)}}\qquad\forall u\in H^{1}_{0}(\Omega),

czyli forma dwuliniowa a(\cdot,\cdot) jest ograniczona w H^{1}_{0}(\Omega) i H^{1}_{0}(\Omega)-eliptyczna.

Jako wniosek z twierdzenia 13.1 otrzymujemy:

Stwierdzenie 13.1

Zadanie (13.5) ma jednoznaczne rozwiązanie.

Jeśli zadanie jest samosprzężone to:

a(u,v)=a(v,u)

i forma a(\cdot,\cdot) jest iloczynem skalarnym w H^{1}_{0}(\Omega).

Można pokazać, że jeśli istnieje rozwiązanie u^{*} zadania (13.5), które dodatkowo jest klasy C^{2}(\Omega), i jeśli funkcje a_{{ij}}\in C^{1}(\Omega), to

-\sum _{{k,l=1}}^{n}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(a_{{kl}}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{l}}(x)\right)+c(x)u(x)=f(x).

13.6. Ciągła metoda elementu skończonego dla zadań eliptycznych drugiego rzędu

W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji ciągłej metody elementu skończonego. Ciągłość oznacza, że przestrzenie elementu skończonego będą zawierały wyłącznie funkcje ciągłe z przestrzeni wyjściowej V.

Będziemy zajmowali się konstrukcją przestrzeni wyłącznie dla zagadnień różniczkowych zadanych na ograniczonym obszarze \Omega\subset\mathbb{R}^{d} dla d=1,2,3.

13.6.1. Triangulacje

Będziemy zakładali, że \Omega jest odcinkiem dla d=1, wielokątem dla d=2, czy wielościanem dla d=3.

Wprowadzamy w \Omega rodzinę podziałów T_{h}(\Omega)=\{\tau\} dla \tau\subset\Omega na odpowiednio: odcinki dla d=1, trójkąty lub prostokąty dla d=2, czworościany lub prostopadłościany dla d=3 - przy czym typ elementu zawsze jest ustalony. Formalnie wprowadzamy następującą definicję triangulacji, por. rozdział 12.1.1:

Rozpatrzmy obszar \Omega\subset\mathbb{R}^{d}, d=1,2,3 będący odcinkiem, wielokątem (ang. polygon), lub wielościanem (ang. polyhedron), i niech T(\Omega)=\{\tau _{1},\ldots,\tau _{n}\} będzie podziałem \Omega, tzn. rodziną wielościanów (ang. polyhedrons or elements) zazwyczaj ustalonego typu, tzn. odcinków (ang. segments) dla d=1, trójkątów (ang. triangles), czworokątów (ang. quadrilaterals) lub prostokątów (ang. rectangles) dla d=2, czworościanów (ang. tetrahedrons) lub prostopadłościanów (ang. cuboids) czy sześcianów (ang. cubes) dla d=3.

Definicja 13.2

(Triangulacja obszaru)

  1. Powiemy, że T_{h}=T_{h}(\Omega) jest dopuszczalną triangulacją (ang. admissible triangulation), jeśli spełnione są następujące warunki:

    • \bigcup _{{\tau\in T(\Omega)}}\overline{\tau}=\overline{\Omega},

    • \partial\tau _{k}\cap\partial\tau _{l} jest zbiorem pustym, wspólnym wierzchołkiem, wspólną krawędzią (d=2,3), wspólną ścianą (tylko d=3), jeśli k\not=l.

  2. Dla danej triangulacji T_{h}(\Omega) niech h=\max _{{\tau\in T(\Omega)}}\mathrm{diam}(\tau) oznacza parametr tej triangulacji.

  3. Rodzina triangulacji \{ T_{h}(\Omega)\} jest regularna ze względu na kształt (ang. shape regular), jeśli istnieje stała c>0 taka, że każdy \tau w T_{h} zawiera okrąg wpisany w \tau o promieniu \rho _{\tau} taki, że

    \rho _{\tau}\geq c\,\mathrm{diam}(\tau).
  4. Rodzina triangulacji \{ T_{h}(\Omega)\} jest regularna równomiernie (ang. quasiuniform), jeśli jest regularna ze względu na kształt i istnieje stała C taka, że każdy \tau w T_{h} zawiera okrąg wpisany w \tau o promieniu \rho _{\tau} taki, że

    \rho _{\tau}\geq C\, h.

Własność regularności ze względu na kształt i własność równomiernej regularności są niezbędne w teorii zbieżności metod elementu skończonego.

Będziemy zakładali, że dla rodziny triangulacji \{ T_{h}(\Omega)\} - czyli podziałów na wielościany (ang. polyhedrons) ustalonego typu - istnieje tzw. wielościan wzorcowy \hat{\tau} i ustalona przestrzeń wielomianów \hat{P} określonych na \hat{\tau} wraz z ustalonymi różnymi punktami \hat{x}_{j}\in\overline{\hat{\tau}} takimi, że każdy wielomian p\in\hat{P} jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje wartości w tych punktach.

Definicja 13.3

Rozpatrzmy rodzinę przestrzeni funkcji ciągłych \{ V^{h}\} _{h} takich, że dla triangulacji T_{h} i dowolnego \tau _{j}\in T_{h} istnieje izomorficzne przekształcenie afiniczne F_{j}:\hat{\tau}\rightarrow\tau _{j} takie, że dla dowolnej funkcji u\in V^{h} istnieje w\in\hat{P} takie, że

u(x)=w(F_{j}^{{-1}}x),\qquad x\in\tau _{j}.

Wtedy V^{h} nazywamy przestrzenią ciągłego elementu skończonego (ang. continuous finite element space), a rodzinę tych przestrzeni - afiniczną rodziną ciągłych przestrzeni elementu skończonego (ang. affine family of FE spaces). Punkty x_{k}=F_{j}(\hat{x}_{k})\in\tau nazywamy punktami nodalnymi na elemencie \tau _{j}, a ich zbiór oznaczamy N_{h}(\tau _{j}), a przestrzeń wielomianów P(\tau _{j})=\{ u_{{|\tau _{j}}}:u\in V^{h}\}=\{ u:\exists\, w\in\hat{P},\; u(x)=w(F_{j}^{{-1}}x),\; x\in\tau _{j}\} jest lokalną przestrzenią wielomianów na \tau _{j}.

Zbiór punktów nodalnych (ang. nodal points)
Dodatkowo będziemy zakładali, że dla danej przestrzeni ciągłej elementu skończonego V^{h} zbudowanej na triangulacji T_{h} obszaru \Omega istnieje N_{h}\subset\bigcup _{{\tau\in T_{h}}}N_{h}(\tau) - podzbiór zbioru wszystkich punktów nodalnych wielościanów z triangulacji T_{h} taki, że wartości funkcji z V^{h}, zwane wartościami nodalnymi tej funkcji w tym zbiorze, jednoznacznie tę funkcję definiują.

Wprowadzamy definicję bazy nodalnej związanej z punktami nodalnymi:

Definicja 13.4

Bazą nodalną (ang. nodal basis) związaną ze zbiorem punktów nodalnych N_{h} (ang. nodal points) nazywamy układ funkcji \{\phi _{x}\} _{{x\in N_{h}}} w V^{h} taki, że

\phi _{x}(y)=\left\{\begin{array}[]{lcl}1&&y=x\\
0&&y\not=x\end{array}\right.\qquad\forall y\in N_{h}.

.

Ten układ jest bazą w V^{h} i widzimy, że:

u=\sum _{{x\in N_{h}}}u(x)\phi _{x}\qquad\forall u\in V^{h}. (13.7)

Wprowadzamy też pojęcie operatora interpolacji nodalnej:

Definicja 13.5

Rozpatrzmy V^{h} ciągłą przestrzeń elementu skończonego, zbudowaną na triangulacji T_{h}, oraz niech N_{h} będzie zbiorem punktów nodalnych dla tej przestrzeni. Wtedy operatorem interpolacji nodalnej (ang. nodal interpolant) dla V^{h} nazwiemy operator: \pi _{h}:C(\overline{\Omega})\rightarrow V^{h} zdefiniowany jako

\pi _{h}u=\sum _{{x\in N_{h}}}u(x)\phi _{x}.

Nietrudno zauważyć, że:

Stwierdzenie 13.2

Operator interpolacji \pi _{h} jest rzutem na V^{h}, tzn.

\pi _{h}C(\overline{\Omega})=V^{h},\qquad\pi _{h}v_{h}=v_{h}\quad\forall v_{h}\in V^{h}.

13.6.2. Warunek ciągłości, a przestrzeń Sobolewa H^{1}_{0}

Następne twierdzenie podaje nam warunek dostateczny na to, by przestrzeń zawierająca funkcje, które na podzbiorach są odpowiednio gładkie była zawarta w H^{1}_{0}(\Omega).

Twierdzenie 13.3

Niech T_{h} będzie triangulacją obszaru \Omega. Niech u\in C(\overline{\Omega}) będzie taka, że u_{{|\partial\Omega}}=0 i u_{{|\tau}}\in C^{1}(\tau) dla dowolnego \tau\in T_{h}. Wtedy u\in H^{1}_{0}(\Omega).

Dowód można znaleźć np. w [7]. Wynika z niego, że:

Wniosek 13.2

Jeśli wszystkie funkcje z ciągłej przestrzeni elementu skończonego V^{h} na obszarze \Omega (por. definicja 13.3) przyjmują zerowe wartości na brzegu \Omega, to V^{h} jest podprzestrzenią H^{1}_{0}(\Omega).

13.6.3. Aproksymacyjne własności ciągłych przestrzeni elementu skończonego w H^{1}_{0}

Zachodzi następujące twierdzenie o aproksymacji dla operatora interpolacji nodalnej:

Twierdzenie 13.4

Rozpatrzmy \{ V^{h}\} _{h} afiniczną rodzinę ciągłych przestrzeni elementu skończonego zbudowanych na dopuszczalnej rodzinie triangulacji regularnych co do kształtu taką, że P_{1}\subset\hat{P}, oraz u\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega). Wtedy dla operatora interpolacji nodalnej w przestrzeni V^{h} zachodzi:

\| u-\pi _{h}u\| _{{L^{2}(\Omega)}}+h|u-\pi _{h}u|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq Ch^{2}|u|_{{H^{2}(\Omega)}}.

Rozpatrzmy funkcję ciągła u na elemencie \tau\in T_{h} i \pi _{{h,\tau _{j}}}u taką funkcję w P(\tau _{j}), że

\pi _{{h,\tau _{j}}}u(x)=u(x)\qquad x\in N_{h}(\tau).

Wtedy

\pi _{{h,\tau _{j}}}u(x)=\pi _{h}u(x)\qquad\forall x\in\overline{\tau},

co wynika wprost z definicji bazy nodalnej V^{h} i operatora interpolacji nodalnej \pi _{h} (por. definicje 13.413.5). Zauważmy, że twierdzenia Sobolewa o włożeniu (ang. Sobolev embedding theorem), zob. twierdzenie 16.3, wynika, że dla d\leq 3 zachodzi H^{2}(\Omega)\subset C(\Omega). Z twierdzenia 16.5 (biorąc m=0,1 i l+1=2) otrzymujemy:

|u-\pi _{h}u|_{{H^{m}(\Omega)}}^{2}=\sum _{{\tau\in T_{h}}}|u-\pi _{h}u|_{{H^{m}(\tau)}}^{2}\leq C\sum _{{\tau\in T_{h}}}h^{{4-2m}}|u|_{{H^{2}(\tau)}}^{2}=Ch^{{4-2m}}|u|_{{H^{2}(\Omega)}}^{2},\quad m=0,1,

co kończy dowód.

13.7. Zadania dyskretne i zbieżność

Dla rodziny triangulacji i przestrzeni ciągłych funkcji elementu skończonego \{ V^{h}\} _{h}, zawierających funkcje zerujące się na brzegu, możemy wprowadzić zadanie dyskretne, a dokładniej rodzinę zadań dyskretnych (13.3), które mają jednoznaczne rozwiązania i są stabilne, tzn. wspólnie ograniczone (por. (13.4)).

Teraz możemy wykorzystać teorię ciągłego elementu skończonego, aby otrzymać zbieżność i oszacowanie błędu dla elementu liniowego, por. rozdział 12.1.2, ale również elementów wyższego rzędu:

Wniosek 13.3

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 13.4 o rodzinie przestrzeni elementu skończonego \{ V^{h}\} zawartych w H^{1}_{0}(\Omega). Rozpatrzmy u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega) rozwiązanie (13.5) i u_{h}^{*} rozwiązanie zadania dyskretnego (13.3) z formą dwuliniową z (13.5) i przestrzenią dyskretną V_{n}=V^{h}. Wtedy

|u^{*}-u_{h}^{*}|_{{H^{1}(\Omega)}}\rightarrow 0\qquad h\rightarrow 0,

a jeśli dodatkowo u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega), to

|u^{*}-u_{h}^{*}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\, h\,|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}}. (13.8)

Dla u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega) oszacowanie błędu (13.8) wynika z lematu Céa (twierdzenie 13.2) i z twierdzenia 13.4.

Zauważmy, że z definicji przestrzeni H^{1}_{0}(\Omega) wynika, że jeśli u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega) to dla dowolnego \hat{\epsilon}>0 istnieje u_{\epsilon}\in C_{0}^{\infty}(\Omega) takie, że

|u^{*}-u_{\epsilon}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq\hat{\epsilon}.

Następnie z lematu Céa (twierdzenie 13.2), nierówności trójkąta i z oszacowania z twierdzenia 13.4 otrzymujemy:

\displaystyle|u^{*}-u_{h}^{*}|_{{H^{1}(\Omega)}} \displaystyle\leq \displaystyle C|u^{*}-\pi _{h}u_{\epsilon}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\left[|u^{*}-u_{\epsilon}|_{{H^{1}(\Omega)}}+|\pi _{h}u_{\epsilon}-u_{\epsilon}|_{{H^{1}(\Omega)}}\right]
\displaystyle\leq \displaystyle C\hat{\epsilon}+C\, C_{1}\, h*|u_{\epsilon}|_{{H^{2}(\Omega)}},

dla C stałej z lematu Céa i C_{1} stałej z twierdzenia 13.4. Stąd wynika zbieżność u_{h}^{*} do u^{*} w H^{1}_{0}(\Omega) dla h\rightarrow 0.

Dla dowolnego obszaru wielokątnego (wielościennego) niech T_{h} będzie rodziną triangulacji trójkątnych, jak w twierdzeniu 13.4, i niech dla p=1,2,3,\ldots

V^{h}_{p}=\{ u\in C(\overline{\Omega}):u_{{|\tau}}\in P_{p}(\tau),\;\forall\tau\in T_{h};\quad u=0\quad\mathrm{na}\quad\partial\Omega\}.

Przestrzeń V^{h}_{p} nazywamy ciągłą przestrzenią elementu liniowego dla p=1, kwadratowego dla p=2 i kubicznego dla p=3. Wtedy:

Wniosek 13.4

V^{h}_{p}\subset H^{1}_{0}(\Omega) i jeśli u^{*} jest rozwiązaniem (13.5), a u^{*}_{{h,p}} jest rozwiązaniem zadania dyskretnego (13.3) z przestrzenią V^{n}=V^{h}_{p} p=1,2,3,\ldots dla formy dwuliniowej z (13.5), to

|u^{*}-u^{*}_{{h,p}}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\, h\,|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}}

o ile u^{*}\in H^{2}(\Omega).

13.8. Zadania

Ćwiczenie 13.1

Udowodnij (13.6).

Ćwiczenie 13.2

Niech f,f_{k}\in L^{2}(\Omega) dla \Omega\subset\mathbb{R}^{d}. Pokaż, że \Psi(u)=\int _{\Omega}fu\, dx+\sum _{{k=1}}^{d}f_{k}\frac{\partial u}{\partial x_{k}}\, dx zdefiniowane dla u\in H^{1}_{0}(\Omega) jest ograniczonym funkcjonałem liniowym na H^{1}_{0}(\Omega).

Ćwiczenie 13.3

Niech \Psi\in(H^{1}_{0}(\Omega))^{*} będzie funkcjonałem liniowy na H^{1}_{0}(\Omega). Tu \Omega\subset\mathbb{R}^{d}. Pokaż, że istnieją f,f_{1},f_{2}\in L^{2}(\Omega) dla \Omega\subset\mathbb{R}^{d}, takie, że \Psi(u)=\int _{\Omega}fu\, dx+\sum _{{k=1}}^{d}f_{k}\frac{\partial u}{\partial x_{k}}\, dx dla dowolnego u\in H^{1}_{0}(\Omega).

Ćwiczenie 13.4 (trick Nitsche'go)

Rozpatrzmy zadanie dualne do (13.5): znaleźć \psi\in H^{1}_{0}(\Omega)

a(v,\psi)=\int _{\Omega}fv\, dx\qquad\forall v\in H^{1}_{0}(\Omega).

Pokaż, że ma ono jednoznaczne rozwiązanie takie, że |\psi|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\| f\| _{{L^{2}(\Omega)}}.

Dodatkowo zakładamy regularność rozwiązania dualnego (13.5): tzn., że dla dowolnego f\in L^{2}(\Omega) zachodzi: \psi\in H^{2}(\Omega) z |\psi|_{{H^{2}(\Omega)}}\leq C\| f\| _{{L^{2}(\Omega)}} oraz, że V_{h}\subset H^{1}_{0}(\Omega) taki, że jeśli \psi\in H^{2}(\Omega) to \inf _{{v\in V^{h}}}\|\psi-v\| _{{H^{1}(\Omega)}}\leq C_{1}h|\psi\| _{{H^{1}(\Omega)}}.

Pokaż, że biorąc f=u^{*}-u^{*}_{h} dla u^{*}_{h} rozwiązania (13.3) otrzymamy:

\| u^{*}-u^{*}_{h}\| _{{L^{2}(\Omega)}}\leq Ch^{2}|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}}.
Ćwiczenie 13.5

Dla liniowej przestrzeni elementu skończonego V^{h} na kwadracie jednostkowym z rozdziału 12.1.2 pokaż, że

|u^{*}-u^{*}_{h}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq Ch|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}},

gdzie u^{*} rozwiązanie (12.1).

Wskazówka: 

Wystarczy sprawdzić założenia wniosku 13.4.

Ćwiczenie 13.6

Uogólnij twierdzenie 13.4 tzn. pokaż, zakładając, że P_{p}\subset\hat{P}, a u\in H^{{p+1}}(\Omega)\cap H^{1}_{0}(\Omega), że otrzymujemy

|u-\pi _{h}u|_{{H^{s}(\Omega)}}\leq Ch^{{p+1-s}}|u|_{{H^{{p+1}}(\Omega)}}\qquad s=0,1,\ldots,p.
Ćwiczenie 13.7

Uogólnij wniosek 13.4, tzn. pokaż, że przy założeniach wniosku, jeśli dodatkowo u^{*}\in H^{{p+1}}(\Omega), to

|u^{*}-u^{*}_{{h,p}}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\, h^{p}\,|u^{*}|_{{H^{{p+1}}(\Omega)}}.
Wskazówka: 

Wykorzystaj wynik poprzedniego zadania.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.