Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Numeryczne równania różniczkowe – 16. Przestrzenie elementu skończonego, a aproksymacja w przestrzeniach Sobolewa – MIM UW

Zagadnienia

16. Przestrzenie elementu skończonego, a aproksymacja w przestrzeniach Sobolewa

W tym rozdziale przedstawimy elementy teorii przestrzeni Sobolewa oraz kilka technicznych lematów potrzebnych do dowodów zbieżności metody elementu skończonego. Mimo, że przedstawimy tylko najmniej techniczne dowody odpowiednich lematów to, aby w pełni zrozumieć dowody, należałoby zapoznać się wcześniej z teorią przestrzeni Sobolewa, zob. np. [21].

Materiał w poniższym rozdziale wykracza poza materiał z wykładu.

16.1. Przestrzenie Sobolewa H^{m}

Poniżej podamy kilka faktów, dotyczących przestrzeni Sobolewa, potrzebnych do udowodnienia zbieżności metody elementu skończonego dla równania eliptycznego drugiego stopnia.

Najpierw zdefiniujmy przestrzenie Sobolewa H^{k}(\Omega) dla \Omega\subset\mathbb{R}^{d}, por. [21].

Definicja 16.1

Rozpatrzmy \Omega\subset\mathrm{R}^{d} obszar ograniczony, wtedy H^{m}(\Omega) definiujemy jako przestrzeń funkcji z L^{2}(\Omega), których słabe pochodne \partial^{\alpha}u dla wszystkich |\alpha|\leq m są w L^{2}(\Omega). Iloczyn skalarny w H^{m} definiujemy jako

(u,v)_{{H^{m}(\Omega)}}=\sum _{{|\alpha|\leq m}}\partial^{\alpha}u\;\partial^{\alpha}v\, dx

z normą

\| u\| _{{H^{m}(\Omega)}}=\sqrt{\sum _{{|\alpha|\leq m}}|\partial^{\alpha}u|^{2}\, dx}.

i półnormą

|u|_{{H^{m}(\Omega)}}=\sqrt{\sum _{{|\alpha|=m}}|\partial^{\alpha}u|^{2}\, dx}.

Tutaj \alpha=(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{d}) z \alpha _{j}\in\mathbb{N} - to wielowskaźnik, |\alpha|=\sum _{{k=1}}^{d}\alpha _{k} i

\partial^{\alpha}u=\frac{\partial^{{|\alpha|}}u}{\partial^{{\alpha _{1}}}\ldots\partial^{{\alpha _{d}}}}.

Można pokazać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 16.1

Rozpatrzmy \Omega\subset\mathbb{R}^{d} otwarty obszar z kawałkami gładkim brzegiem i m\geq 0. Wtedy C^{\infty}(\Omega)\cap H^{m}(\Omega) jest zbiorem gęstym w H^{m}(\Omega).

Proszę zauważyć, że to twierdzenie pozwala nam inaczej zdefiniować przestrzeń H^{m} jako domknięcie zbioru wszystkich funkcji gładkich, których norma \|\cdot\| _{{H^{m}(\Omega)}} jest ograniczona.

Dodatkowo wprowadzamy:

Definicja 16.2

Niech H^{m}_{0}(\Omega) będzie domknięciem w H^{m} przestrzeni C^{\infty}_{0}, gdzie C^{\infty}_{0}(\Omega) jest podprzestrzenią C^{\infty}(\Omega) złożoną z funkcji o zwartym nośniku w \Omega.

Zaznaczmy, że:

H^{m}_{0}(\Omega)\subset H^{m}(\Omega)\subset L^{2}(\Omega).

Zachodzą jeszcze następujące nierówności:

Stwierdzenie 16.1 (nierówność Friedrichsa)

Jeśli \Omega zawarty jest w jednostkowej kostce, to

\| u\| _{{L^{2}(\Omega)}}\leq|u|_{{H^{1}(\Omega)}}\qquad\forall u\in H^{1}_{0}(\Omega).

Dowód w ogólności można znaleźć np. w [2], ale dla kostek w dwóch i trzech wymiarach dowód pozostawiamy jako zadanie.

Istnieje też następujące twierdzenie mówiące w jakim sensie możemy rozważać wartości funkcji z H^{1}(\Omega) na brzegu tego obszaru.

Twierdzenie 16.2 (Twierdzenie o śladzie)

Rozpatrzmy \Omega ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim1Brzeg \Omega jest Lipschitzowski (odpowiedniej gładkości), jeśli dla każdego punktu x\in\partial\Omega istnieje otoczenie \partial\Omega tego punktu, które może być reprezentowane jako wykres funkcji Lipschitzowkiej (odpowiednio gładkiej)., wtedy istnieje ograniczony operator liniowy \gamma:H^{1}(\Omega)\rightarrow L^{2}(\partial\Omega) i stała C:

\|\gamma u\| _{{L^{2}(\partial\Omega)}}\leq C\| u\| _{{H^{1}(\Omega)}}.\qquad\forall u\in H^{1}(\Omega)

i \gamma u=u_{{|\partial\Omega}} dla wszystkich u\in C(\overline{\Omega})\cap H^{1}(\Omega).

Funkcję \gamma u nazywamy śladem u na brzegu \partial\Omega.

Kolejnym ważnym twierdzeniem jest tzw. twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Tutaj przedstawimy tylko szczególny przypadek potrzebny w przedstawionych dowodach.

Twierdzenie 16.3 (Twierdzenie Sobolewa o włożeniu (ang. Sobolev embedding theorem))

Rozpatrzmy \Omega ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim w \mathbb{R}^{d} dla d=1,2,3, wtedy - jeśli 2*k>d - istnieje ciągłe włożenie H^{2}(\Omega) w przestrzeń C(\overline{\Omega}) tzn.

\displaystyle H^{2}(\Omega) \displaystyle\subset \displaystyle C(\overline{\Omega}),
\displaystyle\exists\, C>0\quad\forall u\in H^{k}(\Omega)\qquad\| u\| _{{C(\overline{\Omega})}} \displaystyle\leq \displaystyle C\| u\| _{{H^{k}(\Omega)}}.

Stała C>0 zależy od obszaru \Omega.

16.2. Zgodna metoda elementu skończonego

W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji zgodnej metody elementu skończonego. Zgodna metoda oznacza, że przestrzenie elementu skończonego V^{h} zawarte są w przestrzeni wyjściowej V; w tym przypadku w odpowiedniej przestrzeni Sobolewa.

16.2.1. Element skończony - ujęcie formalne

Najpierw wprowadzimy definicję elementu skończonego za [7], por. także [4] i [2].

Definicja 16.3
  • Dla \tau\subset\mathbb{R}^{d} wielościanu w \mathbb{R}^{d}. (Części brzegu \tau leżą na hiperpłaszczyznach i są nazywane ścianami)

  • P_{\tau}\subset C(\tau) jest przestrzenią funkcji wymiaru k określonych na \tau (przestrzeń tzw. funkcji kształtu) (ang. shape functions)

  • N=(N_{1},\ldots,N_{k}) jest baza P_{\tau}^{*} przestrzeni dualnej do P_{\tau}. (Zbiór stopni swobody elementu). Zazwyczaj te funkcjonały wymagają obliczenia wartości funkcji lub jej pochodnych w punktach, dlatego nazywamy je uogólnionymi warunkami interpolacyjnymi.

wtedy elementem skończonym nazywamy trójkę (\tau,P_{\tau},N).

Definicja 16.4

Dla elementu skończonego (\tau,P_{\tau},N) bazą nodalną tego elementu nazywamy bazę sprzężoną w P_{\tau} do bazy N, tzn. taki układ funkcji z P_{\tau}: (\phi _{1},\ldots,\phi _{k}), że N_{j}(\phi _{j})=1 i N_{j}(\phi _{l})=0 dla l\not=j.

Jeśli założymy, że funkcjonały z N są określone i ograniczone na większej lub innej przestrzeni liniowej V, to definiujemy:

Definicja 16.5

Dla elementu skończonego (\tau,P_{\tau},N) definiujemy operator interpolacji \pi _{\tau}:V+P_{\tau}\rightarrow P_{\tau}:

\pi _{\tau}(f):=\sum _{{j=1}}^{k}N(f)\phi _{j}\qquad\forall f\in V

dla (\phi _{j})_{{j=0}}^{k} bazy nodalnej tego elementu.

Jeśli rozpatrujemy podział obszaru na elementy (triangulacje) i każdy element \tau jest elementem skończonym, tzn. rozpatrujemy trójkę (\tau,P_{\tau},N_{\tau}), to możemy zdefiniować przestrzeń dyskretną dla danego podziału - zwaną dalej przestrzenią elementu skończonego.

Definicja 16.6

Przestrzenią elementu skończonego V^{h} dla triangulacji T_{h}(\Omega) nazywamy dowolną przestrzeń funkcji określonych na \Omega takich, że dla funkcji u\in V^{h} obciętej do elementu \tau\in T_{h} zachodzi własność

u_{{|\tau}}\in P_{\tau}.

Oczywiście w praktyce elementy skończone są tego samego typu. Często dokładamy na przestrzenie elementu skończonego warunki ciągłości lub dodatkowe warunki na brzegu obszaru.

Definicja 16.3 elementu skończonego dotyczy pojedynczego elementu, a analiza metody elementu skończonego będzie polegała na tym, że wyniki otrzymane na elemencie wzorcowym przenoszą się na dowolny element, o ile wszystkie elementy są skonstruowane przy pomocy przekształceń afinicznych.

Definicja 16.7

Rodzina przestrzeni elementu skończonego V^{h} dla rodziny triangulacji T_{h}(\Omega) z \Omega\subset\mathbb{R}^{d} jest rodziną afiniczną pod warunkiem, że istnieje element skończony (\hat{\tau},\hat{P},\hat{N}) - zwany dalej elementem wzorcowym, i spełnione są następujące warunki: dla dowolnego \tau _{j}\in T_{h}, istnieje przekształcenie afiniczne F_{j}:\hat{\tau}\rightarrow\tau takie, że dla dowolnej funkcji u\in V^{h} istnieje p\in\hat{P} takie, że

u(x)=p(F_{j}^{{-1}}x)

oraz dla dowolnego N_{j}\in N istnieje \hat{N}_{j}\in\hat{N} takie, że

N_{j}(u)=\hat{N}_{j}(u\circ F_{j}).

Widzimy, że przekształcenie afiniczne spełnia:

F_{j}\hat{x}=A_{j}\hat{x}+y_{j}\quad\hat{x}\in\hat{\tau},

dla A_{j} macierzy nieosobliwej d\times d i y_{j} ustalonego wektora.

Stwierdzenie 16.2

Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego \{ V^{h}\} dla triangulacji \{ T_{h}\}. Wtedy istnieją takie stałe C_{1},C_{2}, że dla elementu triangulacji \tau _{j}\in T_{h} i dowolnej funkcji v\in H^{m}(\tau _{j}) otrzymujemy:

\displaystyle|\hat{v}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}\leq C_{1}\| A_{j}\|^{m}|det(A_{j})|^{{-1/2}}|v|_{{H^{m}(\tau _{j})}},
\displaystyle|v|_{{H^{m}(\tau _{j})}}\leq C_{2}\| A_{j}^{{-1}}\|^{m}|det(A_{j})|^{{1/2}}|\hat{v}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}},

gdzie \hat{v}(\hat{x})=v(F_{j}\hat{x}) dla \hat{x}\in\hat{\tau}.

Z gęstości funkcji gładkich w H^{m} możemy założyć, że v\in C^{\infty}(\overline{\tau}). Dowód następnie wynika ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonych:

\|\partial^{\alpha}\hat{v}\| _{{L^{2}(\hat{\tau})}}\leq C\| A_{j}\|^{m}\sum _{{|\beta|=m}}\|(\partial^{\beta}v)\circ F_{j}\| _{{L^{2}(\hat{\tau})}}.

dla |\alpha|=m. Z twierdzenia o podstawianiu otrzymujemy:

\|\partial^{\alpha}\hat{v}\| _{{L^{2}(\hat{\tau})}}\leq C\| A_{j}\|^{m}|det(A_{j})|^{{-1/2}}\sum _{{|\beta|=m}}\|(\partial^{\beta}v)\| _{{L^{2}(\tau)}}.

Sumowanie po wszystkich multiindeksach \alpha o długości m kończy dowód.

Stwierdzenie 16.3

Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego \{ V^{h}\} dla triangulacji \{ T_{h}\}. Wtedy dla \tau _{j}\in T_{h} zachodzi:

\displaystyle\| A_{j}\|\leq\frac{\mathrm{diam}(\tau _{j})}{\hat{\rho}},\qquad\| A_{j}^{{-1}}\|\leq\frac{\mathrm{diam}(\hat{\tau})}{\rho _{{\tau _{j}}}},

gdzie \hat{\rho} jest średnicą okręgu wpisanego we wzorcowy element \hat{\tau}, a \rho _{{\tau _{j}}} jest średnicą okręgu wpisanego w element \tau _{j}.

Widzimy, że

\| A_{j}\|=\sup _{{\| z\|=1}}\| A_{j}z\|=\hat{\rho}^{{-1}}\sup _{{\| z\|=\hat{\rho}}}\| A_{j}z\|.

Dla dowolnego z o normie \hat{\rho} istnieją \hat{x},\hat{y}\in\overline{\hat{\tau}}, takie, że z=\hat{x}-\hat{y}. Zatem biorąc x=F_{j}\hat{x},y=F_{j}\hat{y}\in\overline{\tau _{j}} otrzymujemy x-y=F_{j}(\hat{x})-F_{j}(\hat{y})=A_{j}(\hat{x}-\hat{y})=A_{j}z, a stąd

\| A_{j}\|\leq\hat{\rho}^{{-1}}\| x-y\|\leq\frac{\mathrm{diam}(\tau _{j})}{\hat{\rho}}.

Drugą nierówność dowodzimy analogicznie.

Jako wniosek otrzymujemy:

Wniosek 16.1

Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji \{ T_{h}\} ze względu na kształt i afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego \{ V^{h}\} dla tych triangulacji. Wtedy istnieją takie stałe C_{1},C_{2}, że dla elementu \tau _{j}\in T_{h} i dowolnej funkcji v\in H^{m}(\tau _{j}) zachodzi

\displaystyle|\hat{v}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}\leq C(\mathrm{diam}(\tau _{j}))^{m}|det(A_{j})|^{{-1/2}}|v|_{{H^{m}(\tau _{j})}},
\displaystyle|v|_{{H^{m}(\tau _{j})}}\leq C\rho _{{\tau _{j}}}^{{-1}}|det(A_{j})|^{{1/2}}|\hat{v}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}},

gdzie \hat{v}(\hat{x})=v(F_{j}\hat{x}) dla \hat{x}\in\hat{\tau}.

16.3. Elementy aproksymacji w przestrzeniach Sobolewa H^{k}

Kolejne twierdzenie pozwala oszacować normę H^{m} przez półnormę:

Twierdzenie 16.4 (Lemat Deny-Lionsa)

Niech \tau\subset\mathbb{R}^{d} będzie elementem triangulacji i l\geq 0. Wtedy istnieje stała C=C(l,d,\tau) taka, że

\inf _{{p\in P_{l}}}\| v+p\| _{{H^{{l+1}}(\tau)}}\leq C|v|_{{H^{{l+1}}(\tau)}}.

Dowód korzysta z tak zwanej metody zwartości. Można go znaleźć np. w [7], lub [26].

Twierdzenie 16.5

Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji \{ T_{h}\} ze względu na kształt i afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego \{ V^{h}\} dla tych triangulacji. Jeśli warunki interpolacyjne dla elementu wzorcowego \hat{N} są funkcjonałami liniowymi ograniczonymi na przestrzeni H^{{l+1}}(\hat{\tau}) oraz P_{l}\subset\hat{P}\subset H^{{l+1}}(\hat{\tau}) dla 0\leq l, to operator interpolacji nodalnej \pi _{{\tau _{j}}} (por. definicję 16.5) jest poprawnie zdefiniowany oraz dla 0\leq m\leq l+1 zachodzi:

|u-\pi _{{\tau _{j}}}u|_{{H^{m}(\tau _{j})}}\leq Ch_{{\tau _{j}}}^{{l+1-m}}|u|_{{H^{{l+1}}(\tau _{j})}}\qquad\forall u\in H^{{l+1}}(\tau _{j}),

dla h_{{\tau _{j}}}=\mathrm{diam}(\tau _{j}) i C zależy od m,l oraz elementu skończonego wzorcowego, i stałej w założeniu regularności ze względu na kształt.

Zauważmy, że \hat{w}(\hat{x})=w(F_{j}\hat{x})=\pi _{{\hat{\tau}}}\hat{u}(\hat{x}) dla \hat{x}\in\hat{\tau} i w=\pi _{{\tau _{j}}}u, co wynika z afiniczności rodziny przestrzeni V^{h} (por. definicję 16.7).

Stąd na mocy wniosku 16.1 otrzymujemy, że

\displaystyle|u-\pi _{\tau}u|_{{H^{m}(\tau)}}=\rho _{{\tau _{j}}}^{{-m}}|det(A_{j})|^{{1/2}}|\hat{u}-\pi _{{\hat{\tau}}}\hat{u}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}\leq C\rho _{{\tau _{j}}}^{{-m}}|det(A_{j})|^{{1/2}}(|\hat{u}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}+|\pi _{{\hat{\tau}}}\hat{u}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}).

Z założeń twierdzenia otrzymujemy teraz:

\displaystyle|\pi _{{\hat{\tau}}}\hat{u}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}} \displaystyle\leq \displaystyle\sum _{{j=1}}^{k}|N_{j}(\hat{u})||\hat{\phi}_{j}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}\leq\sum _{{j=1}}^{k}\| N_{j}\| _{{(H^{{l+1}}(\hat{\tau}))^{*}}}\|\hat{u}\| _{{H^{{l+1}}(\hat{\tau})}}|\hat{\phi}_{j}|_{{H^{m}(\hat{\tau})}}
\displaystyle\leq \displaystyle C\|\hat{u}\| _{{H^{{l+1}}(\hat{\tau})}}

Oczywiście \pi _{{\hat{\tau}}}p=p dla dowolnego p\in\hat{P}, w szczególności dla p wielomianu z P_{l}.

Zatem

\displaystyle|u-\pi _{\tau}u|_{{H^{m}(\tau)}}\leq C\rho _{{\tau _{j}}}^{{-m}}|det(A_{j})|^{{1/2}}\|\hat{u}+p\| _{{H^{{l+1}}(\hat{\tau})}}\qquad\forall p\in P_{l}.

Stąd na mocy twierdzenia 16.4 otrzymujemy

\displaystyle|u-\pi _{\tau}u|_{{H^{m}(\tau)}} \displaystyle\leq \displaystyle C\rho _{{\tau _{j}}}^{{-m}}|det(A_{j})|^{{1/2}}|\hat{u}|_{{H^{{l+1}}(\hat{\tau})}}.

Z kolei z wniosku 16.1 otrzymujemy

\displaystyle|u-\pi _{\tau}u|_{{H^{m}(\tau)}} \displaystyle\leq \displaystyle Ch_{{\tau _{j}}}^{{l+1}}\rho _{{\tau _{j}}}^{{-m}}|u|_{{H^{{l+1}}(\tau _{j})}}\leq Ch_{{\tau _{j}}}^{{l+1-m}}|u|_{{H^{{l+1}}(\tau _{j})}}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.