Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Numeryczne równania różniczkowe – 2. Równania różniczkowe - wprowadzenie – MIM UW

Zagadnienia

2. Równania różniczkowe - wprowadzenie

Przy pomocy równań różniczkowych modelowanych jest wiele różnych zagadnień. Równaniami różniczkowymi nazywamy takie równania, w których szukaną niewiadomą jest funkcja lub wektor funkcyjny, których pochodne i same funkcję muszą spełniać odpowiednie równania.

2.1. Równania różniczkowe zwyczajne

Najprostszą klasą równań są równania różniczkowe zwyczajne, (ang. ordinary differential equation), czyli równania postaci:

F\left(t,u,\frac{du}{dt},\ldots,\frac{d^{k}u}{dt^{k}}\right)=0 (2.1)

na funkcję u\in C^{k}((a,b),\mathbb{R}^{n}) dla F:D\rightarrow\mathbb{R}^{n} i D zbioru otwartego w \mathbb{R}^{{1+(k+1)\, n}}. Takie równanie zwyczajne nazywamy równaniem rzędu k.

Przy założeniu, że \frac{\partial F}{\partial y_{k}}(\hat{t},\hat{y})\not=0 dla (\hat{t},\hat{y})=(\hat{t},\hat{y}_{0},\ldots,\hat{y}_{k}), otrzymujemy równanie dające się rozwikłać względem \frac{d^{k}u}{dt^{k}}, tzn. istnieje funkcja f określona na otoczeniu D_{1} punktu (\hat{t},\hat{y}_{0},\ldots,\hat{y}_{{k-1}}) taka, że F(t,y_{0},\ldots,y_{{k-1}},f(t,y_{0},\ldots,y_{{k-1}}))=0 na D_{1}. Zatem po rozwikłaniu otrzymujemy nowe równanie:

\frac{d^{k}u}{dt^{k}}=f\left(t,u,\frac{du}{dt},\ldots,\frac{d^{{k-1}}}{dt^{{k-1}}}u\right),

którego rozwiązaniem jest funkcja u\in C^{k}((a,b),\mathbb{R}^{n}) i które łatwiej numerycznie rozwiązać. Od tej pory będziemy zakładać, że równanie różniczkowe jest w tej postaci. Więcej informacji na temat metod numerycznych rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych podanych w sposób niejawny, tzn. w postaci (2.1) (zwanymi też równaniami różniczkowo-algebraicznymi) można znaleźć w [1] lub [3].

Zauważmy, że przez proste podstawienie x=y_{1} i x^{{(j)}}=y_{{j+1}} dla j=1,\ldots,k-1 otrzymujemy nowy układ równań pierwszego rzędu:

\begin{array}[]{l}\frac{dy_{1}}{dt}=y_{2}\\
\frac{dy_{2}}{dt}=y_{3}\\
\vdots\\
\frac{dy_{k}}{dt}=f_{1}(t,y_{1},\ldots,y_{k}),\end{array} (2.2)

który jest szczególnym równaniem pierwszego rzędu postaci:

\frac{dx}{dt}=f(t,x), (2.3)

gdzie funkcja f:(a,b)\times G\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{m} jest zadaną funkcją ciągłą. Tutaj G jest zbiorem otwartym.

Zagadnieniem początkowym (zagadnieniem Cauchy'ego) nazywamy równanie z warunkiem początkowym:

\left\{\begin{array}[]{lcl}\frac{dx}{dt}&=&f(t,x)\\
x(t_{0})&=&x_{0}\end{array}\right. (2.4)

gdzie t_{0}\in(a,b),x_{0}\in G jest ustalone.

Rozwiązaniem równania (2.3) nazwiemy funkcję \phi klasy C^{1} określoną na podzbiorze otwartym (c,d)\subset(a,b) taką, że

\frac{d\phi}{dt}(t)=f(t,\phi(t))\qquad\forall t\in(c,d).

Jeśli dodatkowo t_{0}\in(c,d) i \phi(t_{0})=x_{0}, czyli \phi spełnia warunek początkowy to \phi jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (2.4). W przyszłości często będziemy oznaczać rozwiązanie (2.3) jako x(t).

Podamy teraz kilka prostych przykładów zagadnień fizycznych, czy ogólnie przyrodniczych modelowanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

Przykład 2.1

Najprostszy model populacji danego gatunku zwierząt:

\begin{array}[]{l}\frac{dN}{dt}=a\, N\qquad t>t_{0}\\
N(t_{0})=x_{0}>0\end{array}

gdzie N(t) - stan populacji w momencie czasu t i a jest stałą większą od zera, szybkością namnażania się osobników, zależną od gatunku. Tu możemy podać rozwiązania N(t)=\exp(a\,(t-t_{0})).

Oczywiście ten model jest nierealistyczny, ponieważ populacja - nawet izolowana - nie może rosnąc do nieskończoności. Podajmy więc bardziej skomplikowany model wzrostu logistycznego:

Przykład 2.2

Model logistyczny populacji.

\begin{array}[]{l}\frac{dN}{dt}=a\, N\,(1-N/K)\qquad t>t_{0}\\
N(t_{0})=x_{0}>0\end{array}

gdzie a,K są stałymi większymi od zera. K oznacza pojemność populacji, czy górną granicę populacji. Tu też możemy podać rozwiązania, ale pozostawimy to jako zadanie.

Przykład 2.3

Rozpad radioaktywnego węgla. Wiemy, że w czasie T połowa atomów węgla rozpada się. Ilość atomów modelowana jest równaniem:

\begin{array}[]{l}\frac{dx}{dt}=-a\, x\qquad t>t_{0}\\
x(t_{0})=x_{0}>0\end{array},

gdzie a jest szybkością rozpadu, stałą większą od zera. Rozwiązaniem tego równania jest x(t)=x_{0}\,\exp(-a\,(t-t_{0})).

\
Rys. 2.1. Ruch cząsteczki.
Przykład 2.4

Równanie Newtona.

Rozpatrzmy ruch cząsteczki w przestrzeni. Oznaczmy wektory:

  • x(t)\in\mathbb{R}^{3} położenie cząsteczki w przestrzeni w czasie t,

  • v=\frac{d^{2}x}{dt^{2}} prędkość cząsteczki,

  • a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}} pochodna prędkości, czyli druga pochodna położenia, tj. przyspieszenie.

Jeśli ruch cząsteczki sterowany jest jakąś zewnętrzną siłą

F:D\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}

to - zgodnie z prawem dynamiki Newtona - zachodzi następujący związek:

m\, a=F(x(t)),

gdzie m jest masą cząsteczki. W ten sposób otrzymaliśmy równanie różniczkowe zwane równaniem Newtona:

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{F(x)}{m}

Jeśli dodatkowo znamy położenie i prędkości cząsteczki, tzn. x(t_{0}) i v(t_{0})=\frac{dx}{dt}(t_{0}) w danym momencie czasu, to możemy wyznaczyć jej położenie po jakimś czasie.

W najprostszym przypadku załóżmy, że działa siła grawitacji skierowana w dół, czyli wzdłuż osi OX_{3} (jest to duże uproszczenie, ale dość dobrze modeluje ruch): tzn. siła stała F(x)=(0,0,-m\, g)^{T}. Otrzymujemy wówczas równanie

\begin{array}[]{l}\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}=0\\
\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}}=0\\
\frac{d^{2}x_{3}}{dt^{2}}=-m\, g.\\
\end{array}

Znając położenie i prędkość w chwili t=0 łatwo je rozwiązać: x_{1}(t)=x_{1}(0)+v_{1}(0)\, t, x_{2}(t)=x_{2}(0)+v_{2}(0)\, t i x_{3}(t)=x_{3}(0)+v_{3}(0)\, t-0.5\, m\, g\, t^{2}.

W
Rys. 2.2. Wahadło.
Przykład 2.5

Równanie wahadła.

Wyprowadzamy równanie zgodnie z Rysunkiem 2.2. Ruch powoduje siła F(\theta)=-\sin(\theta)\, m\, g, gdzie m jest masą, g to przyspieszenie ziemskie, a \theta jest kątem wychylenia się wahadła. Długość łuku:

s=l\,\theta

gdzie l to długość wahadła, stąd

m\, a=m\,\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=m\,\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\, l=-\sin(\theta)\, m\, g

zatem otrzymujemy równanie:

\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\sin(\theta)\, g/l.

Sprowadzając je do równania pierwszego rzędu otrzymujemy:

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\theta\\
\nu\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{d\theta}{dt}\\
\frac{d\nu}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\nu\\
-\sin(\theta)\, g/l\end{pmatrix}=f\left(\begin{pmatrix}\theta\\
\nu\end{pmatrix}\right)

Możemy naszkicować pole wektorowe tego równania. Tzn. ogólnie jakakolwiek trajektoria rozwiązania \{(\theta(t),\nu(t))\} jest styczna do pola wektorowego zadanego przez prawą stronę równania f((\theta,\nu)^{T}), czyli w naszym przypadku pole wektorowe w punkcie (\theta,\nu) przyjmuje wartość (\nu,-\sin(\theta)\, g/l)^{T}, por. Rysunek 2.3.

\
Rys. 2.3. Pole wektorowe równania wahadła.

2.2. Równania różniczkowe cząstkowe

Ogólnie mówiąc, równania różniczkowe cząstkowe to równania, których rozwiązania są funkcjami wielu zmiennych, i w których pojawiają się pochodne cząstkowe. Przy niektórych typach równań wyróżnia się jedną ze zmiennych i oznacza jako czas t; o takich równaniach mówimy często jako o równaniach ewolucyjnych.

W tym rozdziale wymienimy podstawowe typy równań różniczkowych cząstkowych, które pojawią się w treści tego skryptu.

Po więcej informacji na temat podstawowych idei i pojęć dotyczących dziedziny matematyki zwanej równaniami różniczkowymi cząstkowymi odsyłamy do obszernego podręcznika Lawrence'a Evansa [11].

2.2.1. Równania eliptyczne

W przypadku równań eliptycznych nie mamy wyróżnionej zmiennej, ponieważ opisują one często stany stacjonarne zjawisk fizycznych.

Podstawowym przykładem równania eliptycznego jest

równanie Laplace'a:

-\triangle u(x)=f(x)\qquad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{n},

gdzie \triangle=\sum _{{k=1}}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}} i \Omega jest obszarem.

Jeśli dołożymy warunek brzegowy, to otrzymamy klasyczne równanie Poissona. Szukamy tu u\in C^{2}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) takiego, że

\left\{\begin{array}[]{r}-\triangle u(x)=f(x)\qquad x\in\Omega\\
u(s)=g(s)\qquad s\in\partial\Omega\end{array}\right. (2.5)

Zagadnienie z laplasjanem może mieć też inne warunki brzegowe.

To jest podstawowy przykład zagadnienia eliptycznego, zwanego też zagadnieniem stacjonarnym, czy zagadnieniem brzegowym. W szczególności równanie Laplace'a modeluje rozkład potencjału elektrycznego w \mathbb{R}^{3}.

Zachodzi prawo fizyczne Gaussa:

\mathrm{div}E=\rho/\epsilon _{0},

gdzie \mathrm{div}\; u=\sum _{{k=1}}^{3}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}} - to operator dywergencji (rozbieżności) pola, E - to natężenie pola elektrycznego, \rho _{0} - to gęstość ładunku elektrycznego, \epsilon _{0} - to przenikalność elektryczna.

Minus gradient potencjału V daje natężenie pola elektrycznego, tzn.

E=-\nabla V

z tego wynika, że otrzymujemy

\mathrm{div}E=\mathrm{div}(-\nabla V)=-\triangle V.

Jeśli ładunek równy zero, to otrzymujemy równanie Laplace'a:

\triangle V=0.

Podamy teraz ogólniejszą definicję równania (operatora) eliptycznego drugiego rzędu. Rozważmy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu dla ogólnego operatora liniowego drugiego rzędu L, określonego dla u\in C^{2}(G) dla G\subset\mathbb{R}^{n}:

Lu=-\sum _{{k,l=1}}^{n}a_{{kl}}(x)\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{k}\partial x_{l}}(x)+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{k}}(x)+c(x)u(x)=f(x) (2.6)

gdzie a_{{kl}},b_{k},c,f są danymi funkcjami (zazwyczaj ciągłymi) określonymi na obszarze G\subset\mathbb{R}^{n}.

Definicja 2.1

Równanie (2.6) (operator L) jest eliptyczne w punkcie x, gdy macierz A(x)=(a_{{kl}}(x))_{{kl=1,\ldots,n}} jest dodatnio określona: tzn.:

\xi^{t}A(x)\xi>0\qquad\forall\xi\in\mathbb{R}^{n}

Operator L jest eliptyczny w obszarze \Omega jeśli L jest eliptyczny w każdym punkcie obszaru \Omega.

Warto wspomnieć, że w praktyce pojawiają się także równania eliptyczne czwartego rzędu, np. równanie bi-harmoniczne, które modeluje np. wygiętą cienką membranę (czy płytkę) poprzez zewnętrzną siłę:

\triangle^{2}u=f\qquad\mathrm{w}\qquad\Omega\subset\mathbb{R}^{2},

gdzie \triangle^{2}=\triangle\triangle - to operator bi-harmoniczny, u - to odchylenie membrany od położenia zero, f - to siła wyginająca membranę pionowo do góry. Tutaj też mogą zachodzić warunki brzegowe różnego typu:

u=g_{1}\quad\partial _{n}u=g_{2}\qquad\mathrm{na}\qquad\partial\Omega

dla płytki przygiętej (tutaj n - to wektor normalny zewnętrzny do brzegu \Omega), czy

u=g\qquad\mathrm{na}\qquad\partial\Omega

dla zadania podpartej płytki.

2.2.2. Równania hiperboliczne pierwszego rzędu

Ogólnie za równanie różniczkowe hiperboliczne pierwszego rzędu uważamy równanie postaci:

F\left(x,u,\frac{\partial u}{\partial x_{1}},\ldots,\frac{\partial u}{\partial x_{N}}\right)=0\qquad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{N}

dla funkcji F:\Omega\times G\subset\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{N}\rightarrow\mathbb{R} i obszaru \Omega\subset\mathbb{R}^{N}.

Dodatkowo dodaje się warunek brzegowy na brzegu lub części brzegu \Omega np.:

u=g,

gdzie g - to dana funkcja.

Będą nas w szczególności interesować równania liniowe:

F(x,u,\nabla u)=\vec{a}(x)^{T}\nabla u+b(x)u+c(x) (2.7)

dla danych funkcji a_{k},b,c:\Omega\rightarrow\mathbb{R}.

Ważnym przykładem jest równanie:

\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0\qquad t\in\mathbb{R}\quad x\in\mathbb{R}

gdzie a - to stała, dla którego znamy rozwiązanie:

u(t,x)=F(at-x)

dla dowolnej funkcji różniczkowalnej w sposób ciągły F.

Dodając warunek początkowy

u(0,x)=\phi(x)

dla \phi\in C^{1}(\mathbb{R}) otrzymujemy jednoznaczne rozwiązanie

u(t,x)=\phi(at-x).

2.2.3. Równania hiperboliczne drugiego rzędu

Ogólnie równaniem liniowym hiperbolicznym drugiego rzędu nazwiemy równanie:

\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-Lu=f\qquad t>0\quad x\in\Omega (2.8)

dla operatora L eliptycznego w \Omega\subset\mathbb{R}^{N}. Tutaj u_{{tt}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}.

Klasycznym przykładem takiego równania jest równanie falowe:

\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\triangle u=f\qquad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\quad N=1,2,3.

Dla prawej strony równej zero, tj. f=0, nazywamy je jednorodnym równaniem falowym, a w przeciwnym przypadku nazywamy je niejednorodnym równaniem falowym.

Odpowiada ono drganiu struny (N=1), membrany (N=2) i elastycznej bryły (N=3). Wartości u(t,x) odpowiadają położeniu np. struny w momencie czasu t, jako że zmienna t odpowiada czasowi - jest to równanie ewolucyjne.

Aby zadanie posiadało jednoznaczne rozwiązanie należy:

  • Podać warunki brzegowe np. typu Dirichleta

    u(t,s)=g(t,s)\qquad s\in\partial\Omega

    dla danej funkcji g:[0,T]\times\partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}. Zakładamy, że na brzegu znamy położenie struny. Gdyby g(t,s)=g(s), to struna czy membrana byłaby zaczepiona.

  • Podać warunki początkowe:

    \displaystyle u(0,x)=\phi(t)
    \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=\psi(t)

    dla danych funkcji określonych na \Omega. Warunki początkowe oznaczają, że znamy położenie i prędkości np. struny w momencie startowym t=0.

2.2.4. Równania paraboliczne

Równaniem liniowym parabolicznym drugiego rzędu nazywamy równanie:

\frac{\partial u}{\partial t}-Lu=f\qquad t>0\quad x\in\Omega, (2.9)

gdzie L operator eliptyczny w \Omega\subset\mathbb{R}^{N}.

Klasycznym równaniem parabolicznym jest równanie przewodnictwa ciepła:

\frac{\partial u}{\partial t}-\triangle u=f\qquad t>0,\quad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\quad N=1,2,3

opisujące rozchodzenie się ciepła w pręcie (N=1), cienkiej płytce (N=2), czy bryle (N=3). Wartości u(t,x) odpowiadają temperaturze w punkcie x w momencie czasu t. Jest to równanie ewolucyjne. Aby zadanie było dobrze postawione należy dodać warunek początkowy u(0,x)=\phi(x) w \Omega oraz warunki brzegowe np. typu Dirichleta

u(t,s)=g(s)\qquad s\in\partial\Omega

dla danej funkcji g:[0,T]\rightarrow\partial\Omega co oznacza, że znamy temperaturę na brzegu i temperaturę początkową:

\displaystyle u(0,x)=\phi(x)

dla danej funkcji \phi określonej na \Omega.

Możemy też na brzegu \Omega postawić inne warunki brzegowe np. z pochodną, które odpowiadają temu, że znamy strumień energii wpływającej do płytki, czyli

\partial _{n}u(t,s)=h(s)\qquad s\in\partial\Omega.

W jednym wymiarze, tzn. dla \Omega=(0,L) i dla równania ze współczynnikiem stałym a>0 i f=0, warunkami brzegowymi u(0)=u(L)=0 i warunkiem początkowym u_{0}=\sin(k\, t\,\pi/L) tzn.:

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} \displaystyle= \displaystyle a\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad\mathrm{w}\qquad(0,T)\times(0,L)
\displaystyle u(0) \displaystyle= \displaystyle u(L)=0,
\displaystyle u(x,0) \displaystyle= \displaystyle\sin(\pi\, x/L)\quad x\in(0,L)

znamy rozwiązanie: u(t,x)=\exp(-a\,(\pi/L)^{2}\, t)\sin(\pi\, x/L), czyli rozwiązanie gaśnie wraz z upływem czasu.

2.3. Zadania

Ćwiczenie 2.1

Rozpatrzmy zadanie początkowe autonomiczne (tzn. prawa strona równania nie zależy od t):

\displaystyle\frac{dy}{dt} \displaystyle= \displaystyle g(x,y)
\displaystyle\frac{dx}{dt} \displaystyle= \displaystyle f(x,y)
\displaystyle x(t_{0}) \displaystyle= \displaystyle x_{0}\qquad y(t_{0})=y_{0}

dla f,g\in C^{1}(G), G - to obszar, i |f(x_{0},y_{0})|>0 dla pewnego (x_{0},y_{0})^{T}\in G. Pokaż, że istnieje otoczenie U_{{x_{0}}} punktu x_{0} takie, że na tym otoczeniu równanie

dy/dx=f(x,y)/g(x,y)\quad y(x_{0})=y_{0}

ma rozwiązania \psi(x) takie, że krzywa całkowa tego równania, tzn. zbiór \{(x,\psi(x):x\in U_{{x_{0}}}\} zawarta jest w trajektorii wyjściowego równania, tzn. w zbiorze \{(x(t),y(t))\} dla x,y rozwiązań wyjściowego równania.

Rozwiązanie: 

Z tego, że \frac{dx}{dt}(t_{0})=f(x_{0},y_{0})\not=0 i z twierdzenia o funkcji odwrotnej wynika, że istnieje otoczenie U_{{x_{0}}}, na którym określona jest funkcja t(x) odwrotna do x(t), której pochodna równa się dt/dx=1/(dx/dt)=1/f. Wtedy szukaną funkcją jest złożeniem y(t) i t(x), czyli \psi(x):=y(t(x)) i zawieranie się krzywej całkowej w trajektorii jest oczywiste.

Ćwiczenie 2.2

Wyprowadź równania ruchu wahadła w postaci:

\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=f(x,y)
\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=g(x,y).

dla (x,y) położenia wahadła (przyjmujemy, że dla \theta=0 zachodzi x=y=0).

Narysuj powyższe pole wektorowe wahadła w Octavie (funkcja quiver()).

Wskazówka: 

Trzeba dokonać rozkładu na odpowiednie składowe jedynej siły, która powoduje ruch wahadła czyli -mg\,\sin(\theta) stycznej do toru ruchu. Następnie skorzystać z tego jak wyraża się położenie punktu w terminach \theta.

Rozwiązanie: 

Zauważmy, że (x,y)^{T}=(\sin(\theta),\cos(\theta))^{T} i siła działająca poziomo jest równa -m\, g\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)=-m\, g\, x\, y a działająca pionowo: -m\, g\,\sin(\theta)\,\sin(\theta)=-m\, g\, x^{2}.

Ćwiczenie 2.3 (Metoda Fouriera)

Rozważmy równanie paraboliczne jednowymiarowe:

\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(t,x)\quad\mathrm{w}\quad(0,T)\times(0,1)

z warunkami brzegowymi u(t,0)=u(t,1)=0 i początkowym u(0,x)=u_{0}(x). Załóżmy, że szukamy rozwiązania postaci:

u(t,x)=f(x)g(t).

Wstaw u takiej postaci do powyższego równania i pokaż, że dostajemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne na f i g. Rozwiąż te równania tzn. znajdź rozwiązania uogólnione i sprawdź dla jakich u_{0} możemy wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego problemu.

Ćwiczenie 2.4 (Metoda Fouriera)

Rozważmy równanie hiperboliczne jednowymiarowe:

\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}(t,x)=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(t,x)\quad\mathrm{w}\quad(0,T)\times(0,1)

z warunkami brzegowymi u(0,t)=u(1,t)=0 i początkowymi u(x,0)=u_{0}(x) i \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_{0}(x). Załóżmy, że szukamy rozwiązania postaci:

u(t,x)=f(x)g(t).

Wstaw u takiej postaci do powyższego równania i pokaż, że dostajemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne na f i g. Rozwiąż te równania, tzn. znajdź rozwiązania uogólnione, czyli rodzinę rozwiązań zależną od stałej, i sprawdź dla jakich u_{0},v_{0} możemy wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego problemu.

Ćwiczenie 2.5 (Metoda charakterystyk)

Rozpatrzmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu F(x,u,\nabla u)=0 dla funkcji F:G\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R} i G\subset\mathbb{R}^{m}. Przyjmijmy, że szukamy krzywych \vec{x}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^{m} na których można wyznaczyć rozwiązanie. Przyjmijmy oznaczenia

\displaystyle w(s) \displaystyle= \displaystyle u(x(s))
\displaystyle z_{j}(s) \displaystyle= \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x_{j}}(x(s))\qquad j=1,\ldots,m.

Różniczkując ostatnie równanie otrzymujemy:

\frac{dz_{j}}{ds}=\sum _{{i=1}}^{m}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(x(s))\frac{dx_{i}}{ds} (2.10)

a różniczkując po x_{j} wyjściowe równanie widzimy, że

\frac{\partial F}{\partial x_{j}}(x,u,\nabla u)+\frac{\partial F}{\partial w}(x,u,\nabla u)\frac{\partial u}{\partial x_{j}}+\sum _{{i=1}}^{m}\frac{\partial F}{\partial z_{i}}(x,u,\nabla u)\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{j}\partial x_{i}}=0 (2.11)

Treścią zadania jest wykazanie, że definiując krzywą x(s) jako krzywą spełniającą równanie:

\frac{dx_{i}}{ds}=\frac{\partial F}{\partial z_{i}}(\vec{x},w,\vec{z})\qquad i=1,\ldots,m, (2.12)

i korzystając z powyższych równań otrzymujemy, że \vec{x},w,\vec{z} spełniają następujący układ równań zwyczajnych:

\displaystyle\frac{dx_{j}}{ds} \displaystyle= \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z_{j}}(\vec{x},w,\vec{z})\qquad j=1,\ldots,m
\displaystyle\frac{dw}{ds} \displaystyle= \displaystyle\sum _{{i=1}}^{m}z_{i}\frac{\partial F}{\partial z_{i}}(\vec{x},w,\vec{z})
\displaystyle\frac{dz_{j}}{ds} \displaystyle= \displaystyle-\frac{\partial F}{\partial x_{j}}(\vec{x},w,\vec{z})-z_{j}\frac{\partial F}{\partial w}(\vec{x},w,\vec{z})\qquad j=1,\ldots,m.

Równania te nazywamy równaniami charakterystyk dla wyjściowego równania pierwszego rzędu, a krzywe \vec{x} - charakterystykami tego równania.

Wskazówka: 

Drugie równanie na pochodną, tzn. w, uzyskujemy różniczkując po zmiennej s równanie w(s)=u(x(s)), a ostatnie równanie otrzymujemy eliminując człon z drugimi pochodnymi u z (2.10) korzystając z (2.11).

Ćwiczenie 2.6

Wyprowadź równania charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu (2.7) jednorodnych tzn. z c(x)=0. Oblicz rozwiązania dla równania liniowego w dwóch wymiarach dla \vec{a}(x)=(1,a_{2}) i a_{2} stałej, b=c=0 i warunku brzegowego u(0,x)=\sin(x) dla x\in\mathbb{R}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.