W tym rozdziale zajmiemy się przedstawieniem metod badania stabilności schematów różnicowych dla zadań liniowych w dyskretnej normie maksimum.
Będziemy badali stabilność schematu zapisanego w formie (8.5)-(8.6). Dla możemy zapisać (8.5) jako:
(9.1) |
gdzie jest podzbiorem punktów, dla których , czyli uwzględnionych w równaniu dla tego .
Jeśli , to dla (8.6) zachodzi:
gdzie jest zdefiniowane analogicznie jak poprzednio. jest zdefiniowane jednoznacznie.
nazywamy otoczeniem siatkowym punktu . Wprowadzimy również otoczenie siatkowe nakłute: . Oczywiście może być jednopunktowe, wtedy jest zbiorem pustym.
Zapiszmy schemat (8.5)-(8.6) jako:
(9.2) |
gdzie
Wtedy zachodzi następujące twierdzenie, pozwalające na wykazanie stabilności niektórych schematów w normie dyskretnej maksimum:
Niech dla (8.5)-(8.6) będzie w formie (9.2). Załóżmy, że dla pewnej stałej i dla :
Wtedy
Widzimy, że dla pewnego .
Rozpatrzmy równanie ze schematu dla tego punktu:
czyli
Dla zadania (7.5)-(7.6) otrzymujemy następujący układ:
dla .
Zatem dla i dla , tzn. dla . Sprawdzamy założenie twierdzenia:
Zatem i z naszego kryterium, tzn. z twierdzenia 9.1, otrzymujemy stabilność zadania przybliżonego w normie dyskretnej supremum tylko w przypadku ze stałą .
Powyższe oszacowanie sugeruje, że jeśli , to schemat może nie być stabilny w dyskretnej normie maksimum. Okaże się, że istnieją jednak inne kryteria badania stabilności, które są bardziej precyzyjne. Przedstawimy je poniżej.
Jak wiadomo, por. np. rozdział 6.4 w [11], dla równania eliptycznego spełnionych jest szereg zasad maksimum. Okaże się, że odpowiednio skonstruowane schematy różnicowe, czyli problemy przybliżone (różnicowe), spełniają analogiczne różnicowe zasady maksimum. Korzystając z tych zasad będziemy mogli wykazać stabilność tychże schematów.
Załóżmy, że operator określony na jest w formie (9.2).
Operator w postaci (9.2) będziemy nazywać operatorem dodatniego typu (ang. positive operator) w , jeśli dla dowolnego
,
,
.
Dodatkowo dla operatora typu dodatniego przedstawiamy siatkę jako dwa rozłączne zbiory zdefiniowane jako:
i
Wprowadzamy jeszcze jedną definicję:
Załóżmy, że w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w , dla którego zachodzi warunek: i jest zbiorem skończonym. Wtedy powiemy, że spełnia warunek spójności siatki (ang. mesh connectivity condition, mesh is connected), jeśli dla dowolnego istnieje ciąg elementów siatki i taki, że , i dla i .
Wtedy zachodzi następująca różnicowa zasada maksimum:
Załóżmy, że w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w , i że jest zbiorem skończonym spełniającym warunek spójności siatki. Wtedy, jeśli
to
Dowód można znaleźć w Rozdziale 10 w [10].
Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2. Wtedy zadanie (9.2) ma jednoznaczne rozwiązanie.
Załóżmy, że zadanie (9.2) ma dwa różne rozwiązania dla . Wtedy z twierdzenia 9.2 wynika, że zatem ale i , czyli . Z kolei zauważmy, że (9.2) jest układem równań liniowych, więc jednoznaczność rozwiązania z prawą stroną równą zero jest równoważna istnieniu rozwiązania dla dowolnego .
∎Jako kolejny wniosek z różnicowej zasady maksimum otrzymujemy następujące kryterium porównawcze:
Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy następujące kryterium badania stabilności w dyskretnej normie maksimum:
Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2
oraz, że istnieje nieujemna funkcja określona na taka,że
Wtedy - rozwiązanie (9.2) z prawą stroną , spełnia:
Dla prostoty załóżmy, że ( jest liniowe, więc zawsze możemy przeskalować i przez stałą różną od zera). Wtedy
zatem z twierdzenia 9.3 otrzymujemy:
Powróćmy do dyskretyzacji naszego modelowego zadania, tzn. do (7.5)-(7.6). Pozostawiamy jako proste zadanie sprawdzenie, że operator w tym przypadku jest operatorem dodatniego typu, i że siatka spełnia warunek spójności.
Aby pokazać oszacowanie stabilności korzystając z naszego kryterium należy znaleźć funkcję nieujemną określoną na , czyli w szczególności na każdej siatce ograniczonej, taką że
Na brzegu widzimy, że dla , więc wystarczy przyjąć takie, że na brzegu .
Najprościej będzie znaleźć funkcję taką, że . Następnie, korzystając z tego, że rząd aproksymacji zadania przybliżonego jest dwa w każdym punkcie siatki, tzn.
możemy wywnioskować, że istnieje stała taka, że dla funkcja
spełnia .
W naszym przypadku np. dla wystarczy zdefiniować:
Wtedy i . Zatem z naszego kryterium otrzymujemy dla , że
czyli stabilność w dyskretnej normie maksimum.
Proszę zauważyć, że stała w oszacowaniu nie zależy od stałej , za to - inaczej niż w przypadku poprzedniego prostszego kryterium, zależy od długości odcinka .
Jeśli rozwiązanie (7.1) jest w , to otrzymujemy, że:
dla z (8.7), a warunki brzegowe spełnione są dokładnie. Zatem, korzystając z twierdzenia 8.1, otrzymujemy:
Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla .
Sprawdź, czy operator z (8.10) jest dodatniego typu i zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla korzystając z różnicowej zasady maksimum.
Rozpatrzmy problem dla i gładkiej funkcji z warunkiem brzegowym Neumanna dla oraz schemat różnicowy na siatce jednorodnej dla :
z . Czy to zadania wyjściowe oraz zadanie dyskretne mają jednoznaczne rozwiązanie dla ?
Zbadaj rząd tego schematu oraz stabilność w dyskretnej normie maksimum dla stałej . Podaj oszacowanie błędu dyskretnego w dyskretnej normie maksimum w terminach .
Zbadaj rząd i stabilność w normie maksimum schematu skonstruowanego analogicznie jak schemat (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego: w z zerowym warunkiem Dirichleta na brzegu kwadratu oprócz krawędzi , gdzie jest postawiony zerowy warunek brzegowy Neumanna tzn. dla i na .
Warunek brzegowy na przybliżamy w schemacie różnicowym przez odpowiednią różnicę skończoną wprzód, tzn. przez dla z .
Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.6.
Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.9.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.