Zagadnienia

9. Metoda różnic skończonych - stabilność schematów dla zadań eliptycznych w normie maksimum

W tym rozdziale zajmiemy się przedstawieniem metod badania stabilności schematów różnicowych dla zadań liniowych w dyskretnej normie maksimum.

Będziemy badali stabilność schematu zapisanego w formie (8.5)-(8.6). Dla xΩh możemy zapisać (8.5) jako:

Lhu(x)=yNhxA(x,y)uh(y)=fh(x), (9.1)

gdzie Nhx jest podzbiorem Ω¯h punktów, dla których Ax,y0, czyli uwzględnionych w równaniu dla tego x.

Jeśli xΓk,h, to dla (8.6) zachodzi:

lk,huxyNhxAx,yuhy=gk,hx,

gdzie Nhx jest zdefiniowane analogicznie jak poprzednio. Nhx jest zdefiniowane jednoznacznie.

Nhx nazywamy otoczeniem siatkowym punktu x. Wprowadzimy również otoczenie siatkowe nakłute: Nhx=Nhxx. Oczywiście Nhx może być jednopunktowe, wtedy Nhx jest zbiorem pustym.

Zapiszmy schemat (8.5)-(8.6) jako:

LhuhxyNhxAx,yuhy=ψhxxΩ¯h, (9.2)

gdzie

ψhx=fhxxΩhgk,hxxΓk,hs=1,,s.

Wtedy zachodzi następujące twierdzenie, pozwalające na wykazanie stabilności niektórych schematów w normie dyskretnej maksimum:

Twierdzenie 9.1

Niech Lh dla (8.5)-(8.6) będzie w formie (9.2). Załóżmy, że dla pewnej stałej α>0 i dla hh0:

Ax,x-yNhxAx,yαxΩ¯h.

Wtedy

uh,h1αmaxfh,h,Ωh+k=1sgk,h,h,Γk,h.

Widzimy, że uh,h=maxxΩ¯huhx=uhx0 dla pewnego x0Ω¯h.

Rozpatrzmy równanie ze schematu dla tego punktu:

ψhx0=yNhx0Ax0,yuhy
Ax0,x0uhx0-yNhx0Ax0,yuhy
Ax0,x0uhx0-yNhx0Ax0,yuhx0
=Ax0,x0-yNhx0Ax0,yuhx0αuhx0,

czyli

uh,h=uhx01αmaxxΩ¯hψhx.

Jak widzimy, jest to proste kryterium. Sprawdźmy je na naszym modelowym zadaniu (7.5)-(7.6):

Przykład 9.1

Dla zadania (7.5)-(7.6) otrzymujemy następujący układ:

-1h2uxk-1+2h2+cuxk-1h2uxk+1=fxkk=1,,N-1
uxk=gxkk=0,N.

dla xk=a+k*h.

Zatem Nhxk=xk-1,xk,xk+1 dla k=1,,N-1 i Nhx=xk dla xka,b, tzn. dla k=0,N. Sprawdzamy założenie twierdzenia:

Axk,xk-yNhxkxkAxk,y=ck=1,,N-11k=0,N.

Zatem α=min1,c i z naszego kryterium, tzn. z twierdzenia 9.1, otrzymujemy stabilność zadania przybliżonego w normie dyskretnej supremum tylko w przypadku c>0 ze stałą 1α=max1,1c.

Powyższe oszacowanie sugeruje, że jeśli c=0, to schemat może nie być stabilny w dyskretnej normie maksimum. Okaże się, że istnieją jednak inne kryteria badania stabilności, które są bardziej precyzyjne. Przedstawimy je poniżej.

9.1. Różnicowa zasada maksimum

Jak wiadomo, por. np. rozdział 6.4 w [11], dla równania eliptycznego spełnionych jest szereg zasad maksimum. Okaże się, że odpowiednio skonstruowane schematy różnicowe, czyli problemy przybliżone (różnicowe), spełniają analogiczne różnicowe zasady maksimum. Korzystając z tych zasad będziemy mogli wykazać stabilność tychże schematów.

Załóżmy, że operator Lh określony na Ω¯h jest w formie (9.2).

Definicja 9.1

Operator Lh w postaci (9.2) będziemy nazywać operatorem dodatniego typu (ang. positive operator) w Ω¯h, jeśli dla dowolnego xΩ¯h

  1. Ax,x>0,

  2. Ax,y<0yNhx ,

  3. yNhxAx,y0.

Dodatkowo dla operatora typu dodatniego przedstawiamy siatkę Ωh jako dwa rozłączne zbiory Ω¯h=k=1,2Ωh1Ωh2 zdefiniowane jako:

Ωh1=xΩ¯h:yNhxAx,y=0

i

Ωh2=Ω¯hΩh1=xΩ¯h:yNhxAx,y>0.

Wprowadzamy jeszcze jedną definicję:

Definicja 9.2

Załóżmy, że Lh w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w Ω¯h, dla którego zachodzi warunek: Ωh2 i Ω¯h jest zbiorem skończonym. Wtedy powiemy, że Ω¯h spełnia warunek spójności siatki (ang. mesh connectivity condition, mesh is connected), jeśli dla dowolnego xΩh1 istnieje ciąg elementów siatki xii=1NΩh1 i yΩh2 taki, że x1=x, i xi+1Nhxi dla i=1,,N-1 i yNhxN.

Wtedy zachodzi następująca różnicowa zasada maksimum:

Twierdzenie 9.2 (Różnicowa zasada maksimum - ang. finite difference maximum principle)

Załóżmy, że Lh w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w Ω¯h, i że Ω¯h jest zbiorem skończonym spełniającym warunek spójności siatki. Wtedy, jeśli

Lhuhx0xΩ¯h,

to

uhx0xΩ¯h.

Dowód można znaleźć w Rozdziale 10 w [10].

Wniosek 9.1

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2. Wtedy zadanie (9.2) ma jednoznaczne rozwiązanie.

Załóżmy, że zadanie (9.2) ma dwa różne rozwiązania uk dla k=1,2. Wtedy z twierdzenia 9.2 wynika, że Lhu1-u2=0 zatem u1-u20 ale i u2-u10, czyli u1=u2. Z kolei zauważmy, że (9.2) jest układem równań liniowych, więc jednoznaczność rozwiązania z prawą stroną równą zero jest równoważna istnieniu rozwiązania dla dowolnego ψh.

Jako kolejny wniosek z różnicowej zasady maksimum otrzymujemy następujące kryterium porównawcze:

Twierdzenie 9.3

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2 oraz niech

Lhuhx=fhxLhvhx=ghxxΩ¯h.

Wtedy, jeśli

fhxghxxΩ¯h,

to

uhxvhxxΩ¯h.

Niech zh=uh-vh, a wh=uh+vh. Stąd

Lh-zhx=-fhx+ghx0,Lhwhx=fhx+ghx0xΩ¯h.

Zatem z twierdzenia 9.2 otrzymujemy:

zhx0,whx0xΩ¯h,

a stąd otrzymujemy uhxvhx dla xΩ¯h.

Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy następujące kryterium badania stabilności w dyskretnej normie maksimum:

Twierdzenie 9.4 (kryterium stabilności z różnicowej zasady maksimum)

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2

oraz, że istnieje nieujemna funkcja vh określona na Ω¯h taka,że

0vhM,Lhvh1.

Wtedy uh - rozwiązanie (9.2) z prawą stroną ψh, spełnia:

uh,h=maxxΩ¯huhxMψh,h.

Dla prostoty załóżmy, że ψh,h=1 (Lh jest liniowe, więc zawsze możemy przeskalować uh i ψh przez stałą różną od zera). Wtedy

Lhuhx=ψhx1LhvhxΩ¯h,

zatem z twierdzenia 9.3 otrzymujemy:

uhxvhxM=Mψh,hxΩ¯h.
Przykład 9.2

Powróćmy do dyskretyzacji naszego modelowego zadania, tzn. do (7.5)-(7.6). Pozostawiamy jako proste zadanie sprawdzenie, że operator Lh w tym przypadku jest operatorem dodatniego typu, i że siatka spełnia warunek spójności.

Aby pokazać oszacowanie stabilności korzystając z naszego kryterium należy znaleźć funkcję nieujemną ψ określoną na Ω¯, czyli w szczególności na każdej siatce ograniczonej, taką że

Lhψ1.

Na brzegu widzimy, że Lhψx=ψx dla xa,b, więc wystarczy przyjąć ψ takie, że ψ1 na brzegu Ω.

Najprościej będzie znaleźć funkcję ψ taką, że Lψ=-d2ψdx22. Następnie, korzystając z tego, że rząd aproksymacji zadania przybliżonego jest dwa w każdym punkcie siatki, tzn.

Lψ-Lhrhψx=Lψ-Lhrhψx=Oh2xΩh,

możemy wywnioskować, że istnieje stała h0 taka, że dla hh0 funkcja

ψhx=ψx=rhψxxΩ¯h

spełnia Lhψh1.

W naszym przypadku np. dla c0 wystarczy zdefiniować:

ψx=1+b-a2+x-a*x-b.

Wtedy 0ψ1+b-a2+b-a24=M i -d2ψdx2+c*ψ-d2ψdx2=2. Zatem z naszego kryterium otrzymujemy dla hh0, że

uh,h1+b-a2+b-a24maxga,gb,fh,Ωh,h,

czyli stabilność w dyskretnej normie maksimum.

Proszę zauważyć, że stała w oszacowaniu nie zależy od stałej c, za to - inaczej niż w przypadku poprzedniego prostszego kryterium, zależy od długości odcinka a,b.

Jeśli rozwiązanie (7.1) jest w C4a,b, to otrzymujemy, że:

Lhrhu-Lu,h,Ωh=Oh2

dla Lh z (8.7), a warunki brzegowe spełnione są dokładnie. Zatem, korzystając z twierdzenia 8.1, otrzymujemy:

rhu-uh,h=Oh2.

9.2. Zadania

Ćwiczenie 9.1

Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla c>0.

Ćwiczenie 9.2

Sprawdź, czy operator z (8.10) jest dodatniego typu i zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla c=0 korzystając z różnicowej zasady maksimum.

Ćwiczenie 9.3

Rozpatrzmy problem -dudtt+cut=ft dla t0,1 i f gładkiej funkcji z warunkiem brzegowym Neumanna dudts=0 dla s0,1 oraz schemat różnicowy na siatce jednorodnej Ω¯h=xkk=0N dla xk=k*h:

-¯huhxk+cuhxk=fxkk=1,,N-1

z huhx0=¯huhxN=0. Czy to zadania wyjściowe oraz zadanie dyskretne mają jednoznaczne rozwiązanie dla c>0?

Zbadaj rząd tego schematu oraz stabilność w dyskretnej normie maksimum dla stałej c>0. Podaj oszacowanie błędu dyskretnego w dyskretnej normie maksimum w terminach Ohp.

Ćwiczenie 9.4

Zbadaj rząd i stabilność w normie maksimum schematu skonstruowanego analogicznie jak schemat (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego: -u+c*u=f w Ω=0,12 z zerowym warunkiem Dirichleta na brzegu kwadratu oprócz krawędzi Γ1=0×0,1, gdzie jest postawiony zerowy warunek brzegowy Neumanna tzn. us=0 dla sΩΓ1 i un0,s=-ux0,s=0 na Γ1.

Warunek brzegowy na Γ1 przybliżamy w schemacie różnicowym przez odpowiednią różnicę skończoną wprzód, tzn. przez 1uh0,k*h dla k=1,,N-1 z h=1N.

Ćwiczenie 9.5

Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.6.

Ćwiczenie 9.6

Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.9.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.