Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Optymalizacja II – 8. Warunek konieczny dla ograniczeń mieszanych – MIM UW

Zagadnienia

8. Warunek konieczny dla ograniczeń mieszanych

W tym rozdziale wyprowadzimy warunek konieczny pierwszego rzędu dla problemu optymalizacyjnego w następującej formie:

\begin{cases}f(\mathbf{x})\to\min,&\\
g_{i}(\mathbf{x})\le 0,\quad i=1,\ldots,m,&\\
h_{j}(\mathbf{x})=0,\quad j=1,\ldots,l,&\\
\mathbf{x}\in\mathbb{X},\end{cases} (8.1)

gdzie \mathbb{X}\subset\mathbb{R}^{n} jest zbiorem otwartym i f,g_{1},\ldots,g_{m},h_{1},\ldots,h_{l}:\mathbb{X}\to\mathbb{R}. Zbiór punktów dopuszczalnych zadany jest następująco:

W=\big\{\mathbf{x}\in\mathbb{X}:g_{1}(\mathbf{x})\le 0,\ldots,g_{m}(\mathbf{x})\le 0,\  h_{1}(\mathbf{x})=0,\ldots,h_{l}(\mathbf{x})=0\big\}. (8.2)

Przypomnijmy, że funkcje g_{i} nazywane są ograniczeniami nierównościowymi, funkcje h_{j}ograniczeniami równościowymi, zaś cały problem (8.1) nazywa się zadaniem optymalizacyjnym z ograniczeniami mieszanymi.

Przykład 8.1

Rozważmy następujący problem optymalizacyjny:

\begin{cases}f(\mathbf{x})\to\min,&\\
\mathbf{a}^{T}\mathbf{x}+b=0,&\\
\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n},&\end{cases}

dla pewnego \mathbf{a}\in\mathbb{R}^{n} i b\in\mathbb{R}. Ograniczenie równościowe możemy zamienić na dwa ograniczenia nierównościowe:

\begin{cases}f(\mathbf{x})\to\min,&\\
\mathbf{a}^{T}\mathbf{x}+b\le 0,&\\
-\mathbf{a}^{T}\mathbf{x}-b\le 0,&\\
\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}.&\end{cases}

Ograniczenia są afiniczne, czyli w każdym punkcie spełniony jest warunek afiniczności. Jeśli {\bar{\mathbf{x}}} jest rozwiązaniem lokalnym, to istnieje wektor mnożników Lagrange'a \mu=[\mu _{1},\mu _{2}]^{T} i spełnione są warunki Kuhna-Tuckera (5.5):

\begin{cases}Df({\bar{\mathbf{x}}})+\mu _{1}\mathbf{a}^{T}+\mu _{2}(-\mathbf{a}^{T})=\mathbf{0}^{T},&\\
\mu _{1}(\mathbf{a}^{T}\mathbf{x}+b)=0,&\\
\mu _{2}(-\mathbf{a}^{T}\mathbf{x}-b)=0,&\\
\mu _{1},\mu _{2}\ge 0.&\end{cases}

Punkt {\bar{\mathbf{x}}} jest dopuszczalny (jako że jest rozwiązaniem), czyli spełnia ograniczenia: \mathbf{a}^{T}\mathbf{x}+b=0. Stąd trywialnie spełnione są druga i trzecia równość. Możemy zatem powyższe warunki równoważnie zapisać jako:

\begin{cases}Df({\bar{\mathbf{x}}})+(\mu _{1}-\mu _{2})\mathbf{a}^{T}=\mathbf{0}^{T},&\\
\mu _{1},\mu _{2}\ge 0.&\end{cases}

Oznaczmy \lambda=\mu _{1}-\mu _{2}. Warunki nieujemności \mu _{1},\mu _{2} implikują, że \lambda\in\mathbb{R}. Dostajemy więc finalnie:

Df({\bar{\mathbf{x}}})+\lambda\mathbf{a}^{T}=\mathbf{0}^{T},\qquad\lambda\in\mathbb{R}.

Jest to warunek Kuhna-Tuckera dla ograniczeń równościowych.

Powyższy przykład sugerowałby, że teoria dla problemów z ograniczeniami nierównościowymi, zbudowana w poprzednich rozdziałach, pozwala poradzić sobie z ograniczeniami równościowymi. Niestety nie jest to prawda. Ograniczenia afiniczne są szczególnym przypadkiem. Jeśli któreś z ograniczeń równościowych nie jest afiniczne i rozbijemy je na dwie nierówności, jak powyżej, to w żadnym punkcie zbioru W nie jest spełniony ani warunek liniowej zależności ograniczeń ani warunek Slatera.

8.1. Warunek konieczny pierwszego rzędu

Teoria wprowadzana w tym podrozdziale jest prostym rozszerzeniem tego, co już zrobiliśmy dla problemu optymalizacyjnego z ograniczeniami nierównościowymi. Rozpoczniemy od rozszerzenia T_{{lin}}:

Definicja 8.1

Niech {\bar{\mathbf{x}}}\in W, g_{i} różniczkowalne w {\bar{\mathbf{x}}} dla ograniczeń aktywnych i\in I({\bar{\mathbf{x}}}) oraz h_{j} są różniczkowalne w {\bar{\mathbf{x}}} dla j=1,\ldots,l. Stożkiem kierunków stycznych dla ograniczeń zlinearyzowanych nazywamy zbiór

T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}})=\big\{\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{n}:\ \forall i\in I({\bar{\mathbf{x}}})\quad Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}\le 0,\quad\forall j=1,\ldots,l\quad Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}=0\big\}.

Podobnie jak poprzednio zauważmy, że stożek kierunków stycznych dla ograniczeń zlinearyzowanych jest zbiorem wielościennym, a zatem wypukłym i domkniętym. Jeśli jest choć jedno ograniczenie równościowe, to ma on puste wnętrze.

Warunek konieczny istnienia rozwiązania lokalnego problemu z ograniczeniami mieszanymi jest sformułowany poniżej. Identycznie jak w twierdzeniu 5.2 zakładamy równość stożka kierunków stycznych dla ograniczeń oryginalnych i zlinearyzowanych. Później uogólnimy warunki regularności, które będą taką równość pociągały.

Twierdzenie 8.1 (Twierdzenia Kuhna-Tuckera)

Niech {\bar{\mathbf{x}}} będzie rozwiązaniem lokalnym (8.1). Jeśli funkcje f, g_{i}, i\in I({\bar{\mathbf{x}}}), oraz h_{j}, j=1,\ldots,l, są różniczkowalne w {\bar{\mathbf{x}}} oraz T({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}), to istnieją \mu\in[0,\infty)^{m} oraz \lambda\in\mathbb{R}^{l} takie że

\begin{cases}Df({\bar{\mathbf{x}}})+\sum _{{i\in I({\bar{\mathbf{x}}})}}\mu _{i}Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})+\sum _{{j=1}}^{l}\lambda _{j}Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}})=\mathbf{0}^{T},&\\
\mu _{i}g_{i}({\bar{\mathbf{x}}})=0,\quad i=1,2,\ldots,m.&\end{cases} (8.3)
Dowód

Na mocy twierdzenia 5.1 mamy D({\bar{\mathbf{x}}})\cap T({\bar{\mathbf{x}}})=\emptyset. Dalej, korzystając z założenia, dostajemy D({\bar{\mathbf{x}}})\cap T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}})=\emptyset, co innymi słowy oznacza, że nie istnieje rozwiązanie \mathbf{z}\in\mathbb{R}^{n} układu

\begin{cases}Df({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{z}<0,&\\
Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{z}\le 0,\quad i\in I({\bar{\mathbf{x}}}).&\\
Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{z}\le 0,\quad j=1,\ldots,l,&\\
-Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{z}\le 0,\quad j=1,\ldots,l.&\end{cases} (8.4)

Stosujemy lemat Farkasa, lemat 5.3, z \mathbf{d}=-Df({\bar{\mathbf{x}}}) i macierzą A następującej postaci:

A=\begin{bmatrix}Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}}),\quad j=1,\ldots,l\\
-Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}}),\quad j=1,\ldots,l\\
Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}}),\quad i\in I({\bar{\mathbf{x}}})\end{bmatrix}

Istnieje zatem \mathbf{y}\in[0,\infty)^{{|I({\bar{\mathbf{x}}})|+2l}} takie że \mathbf{y}^{T}A=-Df({\bar{\mathbf{x}}}) lub inaczej

Df({\bar{\mathbf{x}}})+\mathbf{y}^{T}A=\mathbf{0}^{T}. (8.5)

Zdefiniujmy \lambda _{j}=y_{j}-y_{{l+j}}, j=1,\ldots,l. Przypiszmy współrzędnym \mu odpowiadającym ograniczeniom aktywnym, i\in I({\bar{\mathbf{x}}}), ostatnie |I({\bar{\mathbf{x}}})| wartości wektora y. Na pozostałych współrzędnych połóżmy zera. Wówczas równość (8.5) jest równoważna następującej

Df({\bar{\mathbf{x}}})+\sum _{{i\in I({\bar{\mathbf{x}}})}}^{m}\mu _{i}Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})+\sum _{{j=1}}^{l}\lambda _{j}Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}})=\mathbf{0}^{T}.

Z definicji \mu _{i} oczywiste jest, że \mu _{i}g_{i}({\bar{\mathbf{x}}})=0.

8.2. Warunki regularności

Sformułujemy teraz trzy warunki dostateczne równości T({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}), zwane warunkami regularności.

Definicja 8.2

W punkcie {\bar{\mathbf{x}}}\in W spełniony jest:

  • warunek liniowej niezależności, jeśli funkcje g_{i}, i\notin I({\bar{\mathbf{x}}}), są ciągłe w {\bar{\mathbf{x}}}, pozostałe ograniczenia nierównościowe i wszystkie równościowe są klasy C^{1} na otoczeniu {\bar{\mathbf{x}}} oraz wektory Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}}) dla i\in I({\bar{\mathbf{x}}}) i Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}}) dla j=1,\ldots,l są liniowo niezależne,

  • warunek afiniczności, jeśli funkcje g_{i}, i\in I({\bar{\mathbf{x}}}), oraz h_{j}, j=1,\ldots,l, są afiniczne,

  • warunek Slatera, jeśli

    • funkcje g_{i}, i\in I({\bar{\mathbf{x}}}) są pseudowypukłe w {\bar{\mathbf{x}}}, funkcje g_{i}, i\notin I({\bar{\mathbf{x}}}), są ciągłe w {\bar{\mathbf{x}}},

    • funkcje h_{j}, j=1,\ldots,l, są afiniczne,

    • istnieje \mathbf{x}\in\mathbb{X}, dla którego g_{i}(\mathbf{x})<0 dla i\in I({\bar{\mathbf{x}}}) oraz h_{j}(\mathbf{x})=0 dla j=1,\ldots,l.

Zaczniemy od najprostszego przypadku.

Twierdzenie 8.2

Jeśli w punkcie {\bar{\mathbf{x}}}\in W spełniony jest warunek afiniczności, to zachodzi równość T({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}).

Dowód

Postępując jak w przykładzie 8.1 zamieniamy ograniczenia afiniczne równościowe na ograniczenia afiniczne nierównościowe. Teza wynika z twierdzenia 6.1.

Twierdzenie 8.3

Jeśli w punkcie {\bar{\mathbf{x}}}\in W spełniony jest warunek Slatera, to zachodzi równość T({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}).

Dowód

Zapiszmy najpierw funkcje h_{j} dla j=1,\ldots,l:

h_{j}(\mathbf{y})=\mathbf{a}_{j}^{T}\mathbf{y}+b_{j},\qquad\mathbf{a}_{j}\in\mathbb{R}^{n},\quad b_{j}\in\mathbb{R}.

Wprowadźmy uogólnienie zbioru T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}) do przypadku ograniczeń mieszanych:

T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}})=\big\{\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{n}:\ \forall i\in I({\bar{\mathbf{x}}})\quad Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}<0,\quad\forall j=1,\ldots,l\quad Dh_{j}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}=0\big\}.

(1) T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}})\ne\emptyset. Weźmy punkt \mathbf{x} z warunku Slatera. Na mocy pseudowypukłości, patrz uwaga 4.3, mamy

Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})(\mathbf{x}-{\bar{\mathbf{x}}})<0,\qquad\forall\  i\in I({\bar{\mathbf{x}}}).

Dla każdego j mamy także

\mathbf{a}_{j}^{T}(\mathbf{x}-{\bar{\mathbf{x}}})=\mathbf{a}_{j}^{T}\mathbf{x}+b_{j}-\mathbf{a}_{j}^{T}{\bar{\mathbf{x}}}-b_{j}=h_{j}(\mathbf{x})-h_{j}({\bar{\mathbf{x}}})=0.

Wnioskujemy więc, że wektor (\mathbf{x}-{\bar{\mathbf{x}}})\in T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}).

(2) T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}})\subset T({\bar{\mathbf{x}}}). W tym celu weźmy dowolny \mathbf{d}\in T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}). Wystarczy pokazać, że pewien odcinek o końcu {\bar{\mathbf{x}}} i kierunku \mathbf{d} zawiera się w całości w zbiorze W. Rozważmy w tym celu funkcję \mathbf{y}(\lambda)=\mathbf{x}+\lambda\mathbf{d}. Na mocy ciągłości funkcji opisujących ograniczenia nieaktywne istnieje \varepsilon>0 taki że g_{i}\big(\mathbf{y}(\lambda)\big)\le 0 dla \lambda\in[0,\varepsilon] oraz i\notin I({\bar{\mathbf{x}}}). Z faktu, że \mathbf{d}\in T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}) dostajemy również, że h_{j}\big(\mathbf{y}(\lambda)\big)=0 dla j=1,\ldots,l i dowolnego \lambda. Pozostaje tylko zająć się ograniczeniami aktywnymi. Z faktu, że g_{i} są różniczkowalne w {\bar{\mathbf{x}}} dla i\in I({\bar{\mathbf{x}}}) mamy

\lim _{{\lambda\downarrow 0}}\frac{g_{i}\big(\mathbf{y}(\lambda)\big)-g_{i}({\bar{\mathbf{x}}})}{\lambda}=Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}<0,

gdzie ostatnia nierówność wynika z tego, że \mathbf{d}\in T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}). A zatem g_{i}\big(\mathbf{y}(\lambda)\big)-g_{i}({\bar{\mathbf{x}}})<0 dla dostatecznie małych \lambda.

(3) \mathop{\rm cl}T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Zbiory T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}) i T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}) leżą na hiperpłaszczyźnie H wyznaczonej przez afiniczne ograniczenia liniowe. Możemy zatem znaleźć przekształcenie liniowe P o pełnym rzędzie przekształcające tą hiperpłaszczyznę w przestrzeń \mathbb{R}^{{n^{{\prime}}}}, gdzie n^{{\prime}} jest wymiarem rzeczonej hiperpłaszczyzny (jeśli funkcje h_{j} są parami różne, to n^{{\prime}}=n-l). Przekształcenie to jest wzajemnie jednoznaczne rozpatrywane jako funkcja określona na H. A zatem topologie w \mathbb{R}^{{n^{{\prime}}}} i na H są identyczne. Wystarczy więc udowodnić tezę tego podpunktu na obrazach T^{{\prime}}_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}) i T^{{\prime}}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}) zbiorów T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}) i T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Zauważmy, że zbiór T^{{\prime}}_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}) jest otwarty. Wykazaliśmy, że jest niepusty. Jest również wnętrzem zbioru T^{{\prime}}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Na mocy lematu 6.1 mamy \mathop{\rm cl}T^{{\prime}}_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}})=T^{{\prime}}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}).

(4) T({\bar{\mathbf{x}}})\subset T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Identycznie jak dowód lematu 5.2.

Pozostaje już tylko przypomnieć, że T({\bar{\mathbf{x}}}) jest zbiorem domkniętym. A zatem

\mathop{\rm cl}T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}})\subset T({\bar{\mathbf{x}}})\subset T_{{lin}}=\mathop{\rm cl}T_{{int}}({\bar{\mathbf{x}}}).

Zanim przejdziemy do rozważań nad trzecim warunkiem regularności, warunkiem liniowej niezależności, przypomnijmy twierdzenie o funkcji uwikłanej, by, korzystając z niego, podać opis stożka kierunków stycznych do powierzchni zadanej przez ograniczenia równościowe.

Twierdzenie 8.4 (Twierdzenie o funkcji uwikłanej)

Niech f:\mathbb{X}\to\mathbb{R}^{n}, gdzie \mathbb{X}\subset\mathbb{R}^{{n+m}} otwarty, będzie odwzorowaniem klasy C^{k}. Załóżmy, że f(\mathbf{a},\mathbf{b})=\mathbf{0}, gdzie (\mathbf{a},\mathbf{b})\in\mathbb{X}. Przyjmujemy tutaj notację, że \mathbf{a}\in\mathbb{R}^{n}, zaś \mathbf{b}\in\mathbb{R}^{m}. Oznaczmy przez A_{x} macierz pochodnych cząstkowych, w punkcie (\mathbf{a},\mathbf{b}), względem pierwszych n zmiennych: A_{x}\in\mathbb{R}^{{n\times n}} zadana jest wzorem (A_{x})_{{ij}}=\frac{\partial f_{i}}{\partial u_{j}}(\mathbf{a},\mathbf{b}).

Jeśli macierz A_{x} jest odwracalna, to istnieje zbiór otwarty W\subset\mathbb{R}^{m} zawierający \mathbf{b} oraz funkcja g:W\to\mathbb{R}^{{n}} klasy C^{k}, taka że \big(g(\mathbf{y}),\mathbf{y}\big)\in\mathbb{X} dla \mathbf{y}\in W, g(\mathbf{b})=\mathbf{a} oraz f\big(g(\mathbf{y}),\mathbf{y}\big)=\mathbf{0} dla \mathbf{y}\in W. Ponadto, Dg(\mathbf{b})=-(A_{x})^{{-1}}A_{y}, gdzie A_{y} jest pochodną f w punkcie (\mathbf{a},\mathbf{b}) względem ostatnich m zmiennych: A_{y}\in\mathbb{R}^{{n\times m}} zadana jest wzorem (A_{y})_{{ij}}=\frac{\partial f_{i}}{\partial u_{{n+j}}}(\mathbf{a},\mathbf{b}).

Rozważmy powierzchnię opisaną przez układ m^{*} równań:

S=\big\{\mathbf{x}\in\mathbb{X}:\  c_{i}(\mathbf{x})=0,\quad i=1,\ldots,m^{*}\},

gdzie \mathbb{X}\subset\mathbb{R}^{n} otwarty. Przez T^{S}({\bar{\mathbf{x}}}) oznaczmy stożek kierunków stycznych do S punkcie {\bar{\mathbf{x}}}\in S.

Twierdzenie 8.5

Załóżmy, że funkcje c_{i}, i=1,\ldots,m^{*}, są klasy C^{k}, k\ge 1, na otoczeniu {\bar{\mathbf{x}}} oraz gradienty Dc_{i}({\bar{\mathbf{x}}}), i=1,\ldots,m^{*}, są liniowo niezależne. Wówczas

T^{S}({\bar{\mathbf{x}}})=T^{S}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}):=\big\{\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{n}:\  Dc_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}=0,\quad i=1,\ldots,m^{*}\big\}.

Ponadto, dla każdego \mathbf{d}\in T^{S}({\bar{\mathbf{x}}}) istnieje \varepsilon>0 i krzywa \mathbf{y}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S klasy C^{k} o tej własności, że y(0)={\bar{\mathbf{x}}} oraz \mathbf{y}^{{\prime}}(0)=\mathbf{d}.

Dowód

Pokażemy najpierw, że T^{S}({\bar{\mathbf{x}}})\subset T^{S}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Niech \mathbf{d}\in T^{S}({\bar{\mathbf{x}}}). Wówczas \mathbf{d}=\lim _{{k\to\infty}}\lambda _{k}(\mathbf{x}_{k}-{\bar{\mathbf{x}}}) dla (\mathbf{x}_{k})\subset S, \mathbf{x}_{k}\ne\mathbf{x}. Z definicji pochodnej dostajemy dla każdego i=1,\ldots,m^{*}:

\underset{=0}{\underbrace{c_{i}(\mathbf{x}_{k})}}=\underset{=0}{\underbrace{c_{i}({\bar{\mathbf{x}}})}}+Dc_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\underset{\to\mathbf{d}}{\underbrace{\lambda _{n}(\mathbf{x}_{k}-{\bar{\mathbf{x}}})}}+\underset{\to\|\mathbf{d}\|}{\underbrace{\lambda _{k}\| x_{k}-{\bar{\mathbf{x}}}\|}}\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{o(\| x_{k}-{\bar{\mathbf{x}}}\|)}{\| x_{k}-{\bar{\mathbf{x}}}\|}}},

czyli Dc_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}=0. Stąd wynika, że \mathbf{d}\in T^{S}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}).

Pozostało jeszcze zawieranie w drugą stronę. Dowód tej części będzie zdecydowanie trudniejszy. Ustalmy \mathbf{d}\in T^{S}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Skonstruujemy krzywą przechodzącą przez {\bar{\mathbf{x}}} i zawartą w S, której pochodna w punkcie {\bar{\mathbf{x}}} jest równa \mathbf{d}. Oznaczmy c(\mathbf{x})=\big(c_{1}(\mathbf{x}),\ldots,c_{{m^{*}}}(\mathbf{x})\big) i zdefiniujmy funkcję \Phi:\mathbb{R}^{{m^{*}}}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{{m^{*}}} wzorem

\Phi(u,t)=c\big({\bar{\mathbf{x}}}+t\mathbf{d}+(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u\big).

Zauważmy, że \Phi(\mathbf{0},0)=\mathbf{0}. Oznaczmy przez D_{u}\Phi macierz pochodnych cząstkowych względem zmiennych wektora u: D_{u}\Phi=(\frac{\partial\Phi _{i}}{\partial u_{j}})_{{i,j=1}}^{{m^{*}}}. W (\mathbf{0},0) mamy D_{u}\Phi(\mathbf{0},0)=Dc({\bar{\mathbf{x}}})\big(Dc({\bar{\mathbf{x}}})\big)^{T}. Przypomnijmy, że zgodnie z założeniem macierz Dc({\bar{\mathbf{x}}}) ma maksymalny rząd (równy m^{*}), czyli D_{u}\Phi(\mathbf{0},0) jest odwracalna. Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej istnieje zatem \varepsilon>0 oraz funkcja u:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}^{{m^{*}}} klasy C^{k}, taka że \Phi\big(u(t),t\big)=\mathbf{0}. Połóżmy

y(t)={\bar{\mathbf{x}}}+t\mathbf{d}+(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u(t).

Krzywa ta, zgodnie z konstrukcją, leży na powierzchni S, tzn. c(y(t))=\mathbf{0} dla t\in(-\varepsilon,\varepsilon) oraz y(0)={\bar{\mathbf{x}}}. Różniczkując złożenie c(y(t)) dostajemy

\frac{d}{dt}c\big(y(t)\big)=Dc\big(y(t)\big)\big(\mathbf{d}+(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u^{{\prime}}(t)\big).

czyli w t=0 mamy

\frac{d}{dt}c\big(y(t)\big)\big|_{{t=0}}=Dc({\bar{\mathbf{x}}})\big(\mathbf{d}+(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u^{{\prime}}(0)\big).

Z drugiej strony wiemy, że c(y(t))=\mathbf{0}, czyli powyższa pochodna jest równa zero: Dc({\bar{\mathbf{x}}})\big(\mathbf{d}+(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u^{{\prime}}(0)\big)=\mathbf{0}. Przypomnijmy, że \mathbf{d}\in T^{S}_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}), co w naszym zapisie oznacza Dc({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}=\mathbf{0}. Wynika stąd, że Dc({\bar{\mathbf{x}}})(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u^{{\prime}}(0)=\mathbf{0}. Korzystając z faktu, że Dc({\bar{\mathbf{x}}}) ma rząd m^{*} dostajemy u^{{\prime}}(0)=\mathbf{0}. Jesteśmy już teraz gotowi, aby dokończyć dowód. Różniczkując funkcję y dostajemy

y^{{\prime}}(t)=\mathbf{d}+(Dc({\bar{\mathbf{x}}}))^{T}u^{{\prime}}(t),

co w t=0 daje y^{{\prime}}(0)=\mathbf{d}. Możemy stąd już łatwo wywnioskować, że \mathbf{d}\in T^{S}({\bar{\mathbf{x}}}).

Uwaga 8.1

Powyższe twierdzenie dowodzi powszechnie znanego faktu dotyczącego przestrzeni stycznej do rozmaitości. Otóż, z założeń wynika, że S jest lokalnie wokół punktu {\bar{\mathbf{x}}} rozmaitością różniczkową klasy C^{k}. Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie {\bar{\mathbf{x}}} definiowana jest jako zbiór wektorów, które są pochodnymi (w punkcie {\bar{\mathbf{x}}}) krzywych leżących na tej rozmaitości i przechodzących przez {\bar{\mathbf{x}}} (jest to równoważne definicji T({\bar{\mathbf{x}}})). Równość T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}})=T({\bar{\mathbf{x}}}) oznacza, że przestrzeń styczna jest jądrem przekształcenia liniowego Dc({\bar{\mathbf{x}}}).

Z powyższego twierdzenia będziemy wielokrotnie korzystać w następnych rozdziałach. Będzie ono głównym narzędziem przy dowodzeniu warunku koniecznego drugiego rzędu. W tym rozdziale pozwoli łatwo wykazać równość T({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}) przy założeniu warunku liniowej niezależności.

Twierdzenie 8.6

Jeśli w punkcie {\bar{\mathbf{x}}}\in W spełniony jest warunek liniowej niezależności, to zachodzi równość T({\bar{\mathbf{x}}})=T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}).

Dowód

Ustalmy \mathbf{d}\in T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}). Niech \hat{I}({\bar{\mathbf{x}}})=\{ i\in I({\bar{\mathbf{x}}}):\  Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}=0\}. Na mocy twierdzenia 8.5 istnieje krzywa y:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}^{n}, taka że y(0)={\bar{\mathbf{x}}}, y^{{\prime}}(0)=\mathbf{d} oraz g_{i}\big(y(t)\big)=0, i\in\hat{I}({\bar{\mathbf{x}}}), i h_{j}\big(y(t)\big)=0, j=1,\ldots,l. Ustalmy i\in I({\bar{\mathbf{x}}})\setminus\hat{I}({\bar{\mathbf{x}}}). Połóżmy \hat{g}_{i}(t)=g_{i}(y(t)), t\in(-\varepsilon,\varepsilon). Wówczas \hat{g}^{{\prime}}_{i}(0)=Dg_{i}({\bar{\mathbf{x}}})\mathbf{d}<0, czyli istnieje \varepsilon _{i}>0, takie że \hat{g}_{i}(t)<0 dla t\in[0,\varepsilon _{i}). Z ciągłości, g_{i}(y(t))<0 na pewnym otoczeniu 0 dla i\notin I({\bar{\mathbf{x}}}). Podsumowując, istnieje \bar{\varepsilon}>0, takie że y(t)\in W dla t\in[0,\bar{\varepsilon}). Stąd trywialnie \mathbf{d}\in T({\bar{\mathbf{x}}}).

Dowód zawierania T({\bar{\mathbf{x}}})\subset T_{{lin}}({\bar{\mathbf{x}}}) jest identyczny do dowodu lematu 5.2.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.