Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Analiza portfelowa i rynki kapitałowe I – 1. Wykład I, 2.X.2009 – MIM UW

1. Wykład I, 2.X.2009

Zacznijmy od krótkiego przeglądu faktów z historii giełd na świecie:

  • W roku 1531 w Antwerpii (obecnie w Belgii, wówczas – w odległej prowincji Królestwa Hiszpanii) zostaje otwarta pierwsza giełda (towarowo–pieniężna).

  • W XVII wieku w Nowym Jorku (nazywającym się wówczas Nowym Amsterdamem) wzdłuż jego północnej granicy ciągnął się drewniany płot. W 1652 roku został on zastąpiony wysoką palisadą, wzmacnianą w obawie przed atakiem rdzennych amerykańskich plemion lub Brytyjczyków. W roku 1685 powstały pierwsze plany stworzenia na miejscu palisady ulicy. Z czasem powstający mur (ang. wall ) był wzmacniany, ale już w roku 1699 Brytyjczycy rozebrali fortyfikację; jednak ulica pozostała.

  • Na wolnym powietrzu, na placu przy Exchange Alley w Londynie powstaje giełda londyńska. Przed rokiem 1725 przeniesiono ją do Jonathan's Coffee House, którego nazwę zmieniono na Stock Exchange w roku 1773.

  • W Stanach Zjednoczonych pierwsza zorganizowana giełda powstała w roku 1792, gdy 24 finansistów podpisało stosowne ustalenia (tzw. Buttonwood Agreement). Datę tę uznaje się za moment powstania New York Stock \& Exchange Board.

  • W roku 1863 giełda ta zmienia nazwę na New York Stock Exchange, NYSE i przenosi się do majestatycznego budynku przy Wall Street, gdzie pozostaje po dziś dzień.

  • Na przełomie XIX i XX wieku giełda w Nowym Jorku rozwija się: najważniejsze spółki z tamtego okresu to: US Steel, AT\&T, Westinghouse, Eastman Kodak, Procter \& Gamble, Pillsbury, Sears, Kellogg (niektóre z tych nazw brzmią znajomo dla współczesnych inwestorów!).

  • 28 i 29 października 1929 roku indeks Dow Jones spadł o 69 punktów, osiągając poziom 230 punktów – wartość sprzed kilkudziesięciu lat – wiele osób straciło swój majątek.

  • W roku 1952 Harry M. Markowitz publikuje w The Journal of Finance artykuł ,,Portfolio Selection” [19] – rozpoczyna się epoka współczesnej teorii portfelowej.

Podstawową ideą, leżącą u podstaw analizy portfelowej jest tzw. dywersyfikacja portfela (potocznie formułowana jako zasada: ”don't put all eggs in one basket”), która ma prowadzić do zmniejszania ryzyka (rozumianego jako odchylenie standardowe lub czasem jako wariancja stopy zwrotu z portfela akcji – patrz dalsza część tego wykładu).

Warto też zwrócić uwagę na fakt, iż istnieje teoria stojąca w całkowitej opozycji do idei dywersyfikacji – jest to tzw. inwestowanie skoncentrowane (the focus investment strategy ), polegające na zakupie akcji niewielkiej liczby spółek. Najbardziej znanym zwolennikiem tej teorii jest Warren Buffett – amerykański inwestor, znajdujący się w roku 2009 (wg magazynu Forbes) na drugim miejscu na liście najbogatszych ludzi świata. Jego strategia polega właśnie na zakupie dużych pakietów akcji kilku doskonale poznanych przedsiębiorstw. Uważa on, iż takie działanie umożliwia kontrolowanie zmian tych walorów i dokonywanie ewentualnych korekt, co byłoby trudniejsze w przypadku portfela z akcjami wielu spółek. Wyniki ogromnego funduszu inwestycyjnego Berkshire Hathaway zarządzanego przez Buffetta są, także w ostatnich latach, dobre – patrz zestawienie procentowej zmiany kursu jego akcji w porównaniu ze zmianą indeksu S\&P 500 (biorąc za punkt odniesienia początek roku 2006) przytoczone tu poniżej.

\par
Rys. 1.1. Fundusz Warrena Buffetta versus indeks S\&P 500.

Tak więc wywodząca się od Markowitza analiza portfelowa nie jest jedyną strategią dostępną graczom giełdowym. Zostawiając teraz na boku wielkiego inwestora (który w pierwszych tygodniach obecnego kryzysu kupował jesienią 2008 za 8 miliardów dolarów akcje Goldman \& Sachs i General Electric), wracajmy do idei, które upowszechnił Markowitz. Wprowadzimy mianowicie ideę opisu i mierzenia ryzyka przy kupnie akcji. W tym celu przyjrzyjmy się najpierw następującemu przykładowi.

Wyobraźmy sobie, że możemy zagrać w grę A, polegającą na tym, iż rzucamy raz symetryczną (uczciwą) monetą i jeśli wypadnie orzeł, to dostajemy złotówkę, natomiast jeśli wypadnie reszka, to my płacimy złotówkę. Jest to tzw. gra sprawiedliwa, gdyż szanse wygranej naszego rywala i nasze są równe (mówiąc nieco inaczej, średnia wygrana w tej grze jest równa zero). Każdy zapewne zgodziłby się po krótkim namyśle zagrać w taką grę – możemy się wzbogacić o złotówkę, a jeśli nawet przegramy, to nic szczególnie strasznego się nie stanie. Możemy więc uznać, że gra A jest mało ryzykowna.

Dość podobna jest gra B. Również rzucamy raz symetryczną monetą i jeśli wypadnie orzeł, to dostajemy 1000 zł, zaś jeśli wypadnie reszka, to płacimy 1000 zł. I ta gra jest sprawiedliwa - szanse wygranej są dla każdego z grających takie same. Widać jednak, że większość osób niechętnie zgodziłaby się zagrać w tę grę.

Zadajmy sobie więc pytanie, co różni obie te gry? Co sprawia, że jedna z nich wydaje się ,,niegroźna”, zaś w drugą zagralibyśmy już bardzo niechętnie? Bez wątpienia czujemy, że gra B niesie ze sobą dużo większe RYZYKO – możemy co prawda wiele zyskać, ale również bardzo dużo stracić. Jak jednak porównać ryzyka, wiążące się z tymi grami? Wyznaczmy najpierw średnie wygrane w każdej z gier.
Wygrana w grze A jest zmienną losową (oznaczmy ją przez X), przyjmującą dwie wartości: 1 z prawdopodobieństwem \frac{1}{2} (jest to szansa wyrzucenia orła w rzucie symetryczną monetą) oraz -1 (stratę rozumiemy, jako wygraną ujemną) również z prawdopodobieństwem \frac{1}{2} (szansa wyrzucenia reszki). Zatem średnia wygrana w tej grze będzie wartością oczekiwaną zmiennej losowej, oznaczającej wygraną w grze A. Wynosi więc ona \mathbb{E}(X)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot(-1)=0. Analogicznie wyznaczamy średnią wygraną w grze B. Również wynosi ona 0. Widzimy stąd, że wielkość średniej wygranej nie rozróżnia w żaden sposób naszych gier (mówi ona tylko, że obie gry są sprawiedliwe). Kolejną miarą, odnoszącą się do zmiennych losowych, jest wariancja. Jest to jedna z tzw. miar rozproszenia. Obliczymy teraz wariancję wygranej w grze A. Jest ona równa \sigma^{2}(X)=\frac{1}{2}\cdot(1-0)^{2}+\frac{1}{2}\cdot(-1-0)^{2}=1. Wariancja wygranej w grze B wynosi zaś \sigma^{2}(Y)=\frac{1}{2}\cdot(1000-0)^{2}+\frac{1}{2}\cdot(-1000-0)^{2}=1000000. Mamy więc coś, co wyraźnie odróżnia nasze gry! Gra A ma wariancję malutką, zaś gra B olbrzymią. Widać jednak, iż wariancja, jak na miarę ryzyka związanego z naszymi grami, jest nieco ,,przesadna”. Gdyby wyciągnąć pierwiastek z wariancji wygranych, otrzymalibyśmy tzw. odchylenie standardowe (oznacza się je symbolem \sigma(X)), wynoszące odpowiednio 1 i 1000. Widzimy więc, że jest to w naszym wypadku całkiem niezła miara ryzyka! Nie dość, że dla mało ryzykownej gry A przyjmuje małą wartość, zaś dla bardzo ryzykownej dużą, to jeszcze te wartości są akurat równe możliwej stracie lub zyskowi (tak jest tylko dla prostej gry symetrycznej).

Zastosujmy więc zdobytą wiedzę do analizy ryzyka na giełdzie. Każdy, kto słyszał o giełdzie wie, że najbardziej typowym zajęciem inwestorów jest kupowanie i sprzedawanie akcji wybranych spółek, notowanych na giełdzie. Inwestorzy starają się to robić w ten sposób, aby oczywiście zyskać możliwie dużo. Niektórzy obserwują tylko zmiany kursów akcji i starają się wybierać takie spółki, które np w ostatnim czasie zaczynają zyskiwać na wartości i mają nadzieję, że ta tendencja będzie się utrzymywała w najbliższej przyszłości; inni czekają na moment, kiedy akcje jakiejś spółki znacznie spadną i je kupują, licząc na wzrost ich wartości … Są to najprostsze sposoby, wymagające jedynie obserwacji zmian stóp zwrotu.

Jeżeli na początku ustalonego okresu dana akcja miała notowanie C_{{\text{pocz}}}, zaś na końcu ma, czy będzie miała, notowanie C_{{\text{kon}}}, to stopą zwrotu  w tym okresie nazywa się stosunek zysku (może on być ujemny!) z zakupu tej akcji do początkowego jej kursu (zakładamy, że kursy uwzględniają już ewentualne wypłacane dywidendy). Stopa zwrotu jest zatem równa

R=\frac{C_{{\text{kon}}}-C_{{\text{pocz}}}}{C_{{\text{pocz}}}}\,.

Warto zauważyć, że stopa zwrotu teoretycznie może przyjmować dowolną wartość nie mniejszą niż -1. Najmniejsza wartość -1 odpowiada sytuacji, gdy notowanie akcji na końcu interesującego nas okresu wyniesie 0, czyli gdy stracimy wszystkie zainwestowane pieniądze. Oczywiście wymyślono rozmaite sposoby przewidywania, kiedy warto daną akcję kupić, a kiedy sprzedać (są to metody należące do tzw. analizy technicznej). My jednak przyjrzymy się jeszcze innemu podejściu do inwestowania na giełdzie. Będzie to spojrzenie na akcje nie tylko pod kątem stopy zwrotu, ale właśnie uwzględniające też ryzyko.

Jakie ryzyko wiąże się z zakupem akcji? Oczywiście niebezpieczeństwo spadku ich wartości. Nasuwa się więc pytanie, jak można by zmierzyć to ryzyko? Przypomnijmy sobie, jak wyglądała sytuacja z grami A i B. Ryzykowna była ta gra, która charakteryzowała się dużą potencjalną stratą, czyli dla której odchylenie możliwych wyników gry od wartości średniej było duże. Podobnie rzecz się ma z akcjami: za bardziej ryzykowną uznamy tę, która wykazywała w przeszłości większe wahania, gdyż występuje wówczas większe niebezpieczeństwo, że również i teraz, po jej zakupie, zmieni ona gwałtownie swą wartość (oczywiście dla kupującego groźny jest tylko spadek wartości akcji). Spróbujmy więc użyć odchylenia standardowego również do oceny ryzyka inwestowania w akcje. Przy ewentualnych decyzjach inwestycyjnych będziemy zawsze rozważać jakiś okres inwestycyjny od chwili bieżącej do ustalonego momentu w przyszłości. Stopa zwrotu będzie więc zmienną losową: cena C_{{\text{pocz}}} będzie znana, zaś cena C_{{\text{kon}}} – przyszła i nieznana. Parametry takiej zmiennej losowej będziemy jedynie estymować  na podstawie dotychczasowych notowań akcji spółki.

W tym celu należy najpierw wybrać pewien reprezentatywny z naszego punktu widzenia okres historyczny (np tydzień, miesiąc, kwartał, rok, pięć lat, \dots). Potem estymować czy (o)szacować oczekiwaną stopę zwrotu  na podstawie danych historycznych nt stóp zwrotu w poszczególnych podokresach (np dniach, tygodniach, itp) wybranego okresu. Następnie można już szacować ryzyko akcji, rozumiane jako odchylenie standardowe zmiennej losowej stopy zwrotu z tych akcji.

Jeżeli w wybranym okresie historycznym mamy już wyznaczone n wartości stopy zwrotu z danej akcji, wynoszących kolejno r_{1},\, r_{2},\dots,\, r_{n}, to oczekiwaną stopę zwrotu z inwestycji w tę akcję liczymy (w istocie tylko estymujemy!) jako średnią arytmetyczną tych wartości. Jest to estymator nieobciążony wartości oczekiwanej zmiennej losowej stopy zwrotu R, która w tych wykładach będzie oznaczana symbolem \mathbb{E}(R). Mamy więc wzór \overline{R}=\frac{1}{n}\sum _{{t=1}}^{n}r_{t}. Ten estymator wartości oczekiwanej \mathbb{E}(R) jest nazywany historyczną oczekiwaną stopą zwrotu.

Natomiast odchylenie standardowe stopy zwrotu szacujemy (estymujemy) ze wzoru

\widehat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\cdot\sum _{{t=1}}^{n}(r_{t}-\overline{R})^{2}}\,,

gdzie \overline{R} jest historyczną oczekiwaną stopą zwrotu. To jest nasz (i przy tym najczęściej używany) estymator odchylenia standardowego zmiennej R, które w tych wykładach będzie oznaczane symbolem \sigma(R).

Załóżmy, że w przeciągu ostatnich dwóch miesięcy cotygodniowe dane na temat kursów dwu spółek X i Y kształtowały się następująco:
X 21.60 22.12 20.10 22.40 24.90 25.65 25.10 26.75
Y 22.40 23.60 23.90 23.45 23.10 22.95 23.80 25.70

Możemy wyznaczyć więc stopy zwrotu w kolejnych tygodniach. Liczymy je tak, jak to już zostało wcześniej opisane, np stopa zwrotu dla spółki X w pierwszym tygodniu wynosi r_{1}=\frac{22.12-21.60}{21.60}=0.024074, itd. W ten sposób dostajemy ciąg próbek – tygodniowych stóp zwrotu dla obu spółek (podajemy je w \%, jak to się zwykle robi):

X 2.4074 -9.1320 11.4428 11.1607 3.0120 -2.1443 6.5737
Y 5.3571 1.2712 -1.8829 -1.4925 -0.6494 3.7037 7.9832

Historyczna tygodniowa oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji w akcje spółki X, na podstawie dwumiesięcznego okresu obserwacji, wynosi więc 3.3315\% (jest to, powtarzamy, średnia arytmetyczna liczb z pierwszego wiersza powyższej tabeli). Wyestymowane ryzyko zmiennej stopy zwrotu z akcji X wyznaczamy w sposób wspomniany już wyżej; wynosi ono 7.3471\%. Jeśli chodzi o akcje spółki Y, historyczna (też tygodniowa) oczekiwana stopa zwrotu z tej inwestycji, na podstawie wybranego przez nas do obserwacji okresu dwóch miesięcy, wynosi 2.0415\%, natomiast wyestymowane ryzyko to 3.7591\%. Widzimy więc, że co prawda akcje spółki X miały w przeciągu wybranego przez nas historycznego okresu obserwacji większą stopę zwrotu niż akcje spółki Y, jednak odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji spółki X jest większe. Do inwestora więc należy decyzja, czy wybrać akcje, charakteryzujące się większą historyczną stopą zwrotu, ale i większym ryzykiem, czy też zgodzić się na nieco mniejszą stopę zwrotu w zamian za mniejsze ryzyko. Niestety, w rzeczywistości tak właśnie najczęściej bywa – im wyższe są stopy zwrotu osiągane przez akcje, tym większe wiąże się z nimi ryzyko. Podczas dalszych wykładów poznamy metody porównywania i wyboru walorów ,,lepszych” w określonym sensie. Jako przedsmak czekających nas tu atrakcji i możliwości przytaczamy poniżej wykres zależności ryzyka i wartości oczekiwanej w tym właśnie przykładzie, tylko rozumianym w szerszym sensie – gdybyśmy mianowicie zaczęli kombinować  czyli łączyć inwestowanie w akcje spółek X i Y. Możliwe by były wtedy różne portfele  akcji spółek X i Y. Wartości oczekiwane (pochodzące z estymacji) zmieniałyby się wtedy płynnie między 2.0415\% i 3.7591\%, zaś ryzyka (też pochodzące z estymacji) czasem schodziłyby nawet poniżej  mniejszego z dwóch ryzyk – tego związanego ze spółką Y !  Teoria, którą niebawem rozwiniemy za Markowitzem i jego kontynuatorami, prowadzi do następującej dokładnej zależności między ryzykiem i wartością oczekiwaną portfela  akcji spółek X i Y :

\par
Rys. 1.2. Zależność między ryzykiem i oczekiwaną stopą zwrotu dla mieszanych portfeli akcji spółek X i Y.

Przeanalizujemy teraz dokładniej zjawisko zasygnalizowane na tym wykresie, rozważając problem inwestycji mieszanych w akcje dwu innych spółek A i B, zupełnie analogicznie do budowania portfela z akcji spółek X i Y branych w różnych proporcjach.

Załóżmy, że odnaleźliśmy notowania takich spółek A i B z ostatnich dwóch miesięcy i na ich podstawie obliczyliśmy 7 tygodniowych stóp zwrotu (w praktyce należałoby wziąć pod uwagę dłuższy okres historyczny – wówczas wyniki możnaby traktować jako bardziej wiarygodne). Otrzymaliśmy następujące dane:

A 0.25 -0.25 0.35 0.55 0.25 0.35 0.25
B -0.15 0.05 -0.25 -0.65 -0.15 0.35 0.45

Są to historyczne wartości, które służą, jak już wiemy, do estymowania parametrów zmiennych losowych stóp zwrotu R_{{\text{A}}} i R_{{\text{B}}}. Historyczna tygodniowa oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji w akcje spółki A, na podstawie wybranego przez nas okresu dwóch miesięcy, wynosi \overline{R}_{{\text{A}}}=0.25, zaś dla spółki B jest to wielkość \overline{R}_{{\text{B}}}=-0.05. Natomiast dla estymatorów ryzyk zmiennych stóp zwrotu R_{{\text{A}}} i R_{{\text{B}}} dostajemy, odpowiednio: \widehat{\sigma}_{{\text{A}}}=\sqrt{0.06}\approx 0.2449, \widehat{\sigma}_{{\text{B}}}=\sqrt{0.14}\approx 0.3741.

Jakie wnioski nasuwają się po obejrzeniu tych wyników? Co prawda poznaliśmy tylko estymatory nieznanych dokładnie wielkości \mathbb{E}\big(R_{{\text{A}}}\big), \mathbb{E}\big(R_{{\text{B}}}\big), \sigma\big(R_{{\text{A}}}\big), \sigma\big(R_{{\text{B}}}\big), jednak tak jest zawsze  w analizie portfelowej – nigdy nie znamy dokładnych rozkładów zmiennych stóp zwrotu, porównaj już pierwszą i podstawową pracę Markowitza [19] !  Wnioskujemy i oceniamy tylko na podstawie estymatorów \overline{R}_{{\text{A}}}, \overline{R}_{{\text{B}}}, \widehat{\sigma}_{{\text{A}}}, \widehat{\sigma}_{{\text{B}}}.

Oczywiście od razu nasuwa się nam wybór akcji spółki A, jako zdecydowanie lepszej! Wykazuje ona dużą historyczną stopę zwrotu (25\%), podczas gdy akcje spółki B ,,zachowywały się” fatalnie — przynosiły niemal ciągłe straty, dając ostatecznie stopę zwrotu -5\%! Co więcej, spółka A może pochwalić się wahaniami (24.49\%) zdecydowanie mniejszymi, niż wahania i tak kiepskiej spółki B (37.41\%). Nie ma więc żadnej wątpliwości, jaką decyzję należy podjąć i nonsensem wydaje się branie pod uwagę ,,słabej” spółki!

Czy rzeczywiście jednak B nic nam nie może zaoferować? Przekonajmy się, że nie jest to wcale takie oczywiste.

Wyobraźmy sobie, że postanowiliśmy w naszej inwestycji uwzględnić również spółkę B. Oczywiście nie chcemy zrezygnować ze świetnej spółki A, zatem postanawiamy nabyć akcje obydwu tych spółek. Inwestorzy nazywają taką sytuację zakupem portfela akcji. Nasz portfel będzie tylko dwuelementowy. Spróbujmy opisać go w ścisły sposób. Wystarczy do tego płaszczyzna kartezjańska \mathbb{R}^{2}. Nasz portfel to punkt x=(x_{1},\, x_{2})^{{\text{T}}}, gdzie x_{1} oraz x_{2} będą częściami naszego kapitału, zainwestowanymi w akcje spółki A oraz B odpowiednio. Widzimy, że x_{1}+x_{2}=1. Ponadto sensowne portfele muszą mieć współrzędne nieujemne (najmniejszą ilością akcji, które możemy kupić, jest zero). Zauważmy, że wszystkie portfele o tych własnościach tworzą na płaszczyźnie odcinek, będący fragmentem prostej o równaniu x_{2}=1-x_{1} zawartym między punktami (0,\, 1)^{{\text{T}}} i (1,\, 0)^{{\text{T}}}. Tak więc jeżeli rozważamy zakup akcji dwu spółek, to możemy wybierać spośród nieskończenie wielu portfeli z tego odcinka — nazywa się go zbiorem portfeli dopuszczalnych. Np jeżeli mamy do dyspozycji 1000 zł i postanowiliśmy nabyć akcje spółki A za 850 zł oraz akcje spółki B za 150 zł, nasz portfel ma postać (0.85,\, 0.15)^{{\text{T}}}. Ściślej rzecz ujmując, jeżeli posiadamy w chwili początkowej kwotę L_{{\text{pocz}}} i akcje spółki A zakupimy za x_{1}\cdot L_{{\text{pocz}}}, zaś akcje spółki B za x_{2}\cdot L_{{\text{pocz}}}, to kapitał końcowy (losowy – nieznany w chwili początkowej!) wynosić będzie L_{{\text{kon}}}=L_{{\text{pocz}}}\cdot x_{1}\cdot(1+R_{{\text{A}}})+L_{{\text{pocz}}}\cdot x_{2}\cdot(1+R_{{\text{B}}}), gdzie R_{{\text{A}}} oraz R_{{\text{B}}} to oczywiście zmienne losowe – stopy zwrotu z akcji spółek A i B.

Przez stopę zwrotu z portfela (x_{1},\, x_{2})^{{\text{T}}} (wielkość losową!) rozumiemy stosunek (losowego) zysku inwestora posiadającego dany portfel akcji do kwoty (znanej, nielosowej) zainwestowanej w ten portfel na początku; jest to więc zmienna losowa

\frac{L_{{\text{kon}}}-L_{{\text{pocz}}}}{L_{{\text{pocz}}}}=\frac{L_{{\text{pocz}}}\cdot x_{1}\cdot(1+R_{{\text{A}}})+L_{{\text{pocz}}}\cdot x_{2}\cdot(1+R_{{\text{B}}})-L_{{\text{pocz}}}}{L_{{\text{pocz}}}}=x_{1}\cdot R_{{\text{A}}}+x_{2}\cdot R_{{\text{B}}}\,.

Zatem wartość oczekiwana stopy zwrotu z portfela x=(x_{1},\, x_{2}), oznaczana teraz i w dalszych wykładach E(x), wynosi

E(x)=x_{1}\cdot\mathbb{E}(R_{{\text{A}}})+x_{2}\cdot\mathbb{E}(R_{{\text{B}}})\,.

Natomiast wariancję stopy zwrotu z portfela x, oznaczaną teraz i w dalszych wykładach \sigma^{2}(x), liczymy trochę spokojniej

\sigma^{2}(x)=\sigma^{2}\Big(x_{1}\cdot R_{{\text{A}}}+x_{2}\cdot R_{{\text{B}}}\Big)=\sigma^{2}\big(R_{{\text{A}}}\big)x_{1}^{{\, 2}}+2\,\text{cov}\Big(R_{{\text{A}}},\, R_{{\text{B}}}\Big)x_{1}\cdot x_{2}+\sigma^{2}\big(R_{{\text{B}}}\big)x_{2}^{{\, 2}}\,.

Jest to forma kwadratowa  od x. Jej współczynniki mają w analizie portfelowej (i też szerzej w rachunku prawdopodobieństwa) swoje klasyczne oznaczenia

\sigma^{2}(x)=\sigma _{{1,1}}\cdot x_{1}^{{\, 2}}+2\,\sigma _{{1,2}}\cdot x_{1}\cdot x_{2}+\sigma _{{2,2}}\cdot x_{2}^{{\, 2}}\,.

Przypominamy tutaj, że wielkości te tylko estymujemy, gdyż nie mamy wiedzy, by poznać je dokładnie. Dla naszych danych w przykładzie otrzymujemy wyniki, celowo nie rozróżniając już tu niżej między estymatorami i prawdziwymi (de facto nieznanymi) wartościami: \sigma _{{1,1}}=0.06, \sigma _{{1,2}}=-0.035, \sigma _{{2,2}}=0.14. Zatem dla wszystkich dopuszczalnych portfeli x=(x_{1},\, x_{2})^{{\text{T}}} wariancje ich stopy zwrotu opisane są wzorem

\sigma^{2}(x)=0.06\, x_{1}^{{\, 2}}-0.07\, x_{1}\cdot x_{2}+0.14\, x_{2}^{{\, 2}}\,.

Jeżeli zauważymy teraz, że w naszej sytuacji x_{2}=1-x_{1}, to wzór na wariancję portfela, trochę nadużywając oznaczeń po lewej stronie, uprości się do postaci

\sigma^{2}(x_{1})=0.27\, x_{1}^{{\, 2}}-0.35\, x_{1}+0.14\,,

gdzie x_{1} jest dowolną liczbą z przedziału [0,\, 1]. Widzimy więc, że w ten sposób uzyskaliśmy prosty przepis, jak możemy manipulować ryzykiem naszego portfela poprzez odpowiedni dobór jego składników (czyli zakup akcji A i B w stosownej proporcji). Powyższa funkcja przyjmuje swoje minimum (globalne) w punkcie x_{1}=\frac{35}{54}\approx 0.648 i wynosi ono \sigma^{2}\left(\frac{35}{54}\right)=\frac{287}{10800}\approx 0.027. Zatem gdybyśmy za około 65\% posiadanych pieniędzy nabyli akcje spółki A, zaś pozostałe 35\% przeznaczyli na zakup (kiepskich!) akcji spółki B, ryzyko naszego portfela (mierzone odchyleniem standardowym jego stopy zwrotu) byłoby najmniejsze z możliwych i wyniosłoby \sqrt{\frac{287}{10800}}, czyli około 16.30\%! Jest to o wiele mniej, niż 24.49\% dla akcji spółki A, czy 37.41\% dla akcji spółki B. (Proszę spojrzeć w tym momencie na wykres ilustrujący poprzedni przykład!)  Niech nam się jednak nie wydaje, że dokonaliśmy jakiegoś cudu — owszem, przy pomocy ,,kiepskich” akcji udało się znacznie zmniejszyć ryzyko, jednak kosztem stopy zwrotu! Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z takiego portfela: E(x)=\frac{35}{54}\cdot 25\%+\frac{19}{54}(-5\%)\approx 14.44\%. Jest to niestety mniej niż 25\% możliwe do uzyskania z inwestycji wyłącznie w ,,lepsze” akcje. Znowu więc powraca pytanie, co wybrać: wyższy zwrot ale i wyższe ryzyko, czy też zwrot niższy, ale przy niższym poziomie ryzyka? Narzędziem, pomagającym w tego rodzaju dylematach okazuje się (najczęściej, nie jedynie) tzw. wskaźnik, lub współczynnik Sharpe'a danego portfela. W tych wykładach jest on systematycznie badany o wiele później, poczynając od Wykładu IX (patrz w szczególności Uwaga 9.1 w tamtym wykładzie).

Definiuje się go jako stosunek tzw. premii za ryzyko (mierzonej różnicą między stopą zwrotu z inwestycji w portfel akcji i stopą zwrotu pozbawioną ryzyka \mu _{0} — związaną z nabywaniem bonów skarbowych, obligacji, itp., czyli papierów wartościowych, z których mamy zagwarantowany konkretny dochód) do ryzyka (mierzonego odchyleniem standardowym stopy zwrotu portfela). Formalnie, dla danego portfela x,

S_{{\mu _{0}}}(x)\,=\,\frac{E(x)-\mu _{0}}{\sigma(x)}\,. (1.1)

Można więc powiedzieć, że współczynnik Sharpe'a jest to względna premia  za podjęcie ryzyka inwestycji w akcje. Zauważmy, że gdyby ryzyka portfeli były takie same, to większy współczynnik Sharpe'a oznaczałby wyższą stopę zwrotu. I podobnie, gdyby stopy zwrotu portfeli były równe, większy współczynnik Sharpe'a oznaczałby mniejsze ryzyko. Widzimy więc, jak naturalna jest przesłanka, by inwestorzy wybierali portfele, mające możliwie największy wskaźnik Sharpe'a. Niech za ilustrację tego służy następujący poglądowy rysunek,

\par
Rys. 1.3. Graficzna interpretacja współczynnika Sharpe'a dla różnych portfeli.

na którym na pionowej osi widać punkt odniesienia – stopę bezryzykowną \mu _{0} i gdzie od razu widzimy, że portfel, którego obrazem Markowitza  jest punkt B, ma większy wskaźnik Sharpe'a niż np portfel, którego obrazem jest punkt A. Czy ten pierwszy (dający punkt B) nie ma przypadkiem największego możliwego, w jakiejś niesprecyzowanej jeszcze klasie portfeli, współczynnika Sharpe'a?
(Obraz Markowitza danego portfela – podstawowe pojęcie w teorii Markowitza – to punkt na płaszczyźnie \mathbb{R}^{2}(\sigma,\, E) mający współrzędne: odchylenie standardowe i wartość oczekiwana tego portfela. Będziemy systematycznie używać tego pojęcia już od Wykładu II. Czy czytelnik, odczytując optycznie dane z Rysunku 1.3, jest w stanie policzyć, według wzoru (1.1), przybliżone wartości wskaźników Sharpe'a tych portfeli, których obrazami Markowitza są punkty A i B ?)

Wracamy teraz do drugiego głównego przykładu dyskutowanego w tym wykładzie. Przyjmijmy (w nim), że obecnie \mu _{0}=5\%. Wtedy dla inwestycji w akcje spółki A wskaźnik Sharpe'a wynosi \frac{0.25-0.05}{\sqrt{0.06}}\approx 0.816. Natomiast dla naszego portfela x o minimalnym ryzyku mamy S_{{5\%}}(x)=\frac{0.1444-0.05}{\sqrt{287/10800}}\approx 0.579. Jest to wynik zdecydowanie słabszy!

Pozostaje jednak pytanie: czy jeżeli chcielibyśmy znaleźć portfel, dla którego współczynnik Sharpe'a przyjmuje wartość największą z możliwych (porównaj też Rysunek 1.3 powyżej), to czy właściwą odpowiedzią będzie ten złożony tylko z akcji ,,najlepszej” spółki? Otóż niekoniecznie! Często istnieje portfel ,,lepszy” i od portfela dającego najwyższą stopę zwrotu i od portfela o minimalnym ryzyku. Portfel taki ma wtedy stopę zwrotu znajdującą się pomiędzy stopami zwrotu powyższych dwóch portfeli i nazywa się go portfelem optymalnym ze względu na daną stopę zwrotu pozbawioną ryzyka. Okazuje się, że w tym przykładzie jest to x_{{\text{op}}}=(\frac{49}{51},\,\frac{2}{51})^{{\text{T}}}. I rzeczywiście, jego wskaźnik Sharpe'a wynosi około 0.818, odrobinę lepiej, niż dla portfela zawierającego wyłącznie akcje ,,najlepszej” spółki! W późniejszych wykładach, poczynając od dziewiątego, poznamy teorię dającą sposoby dochodzenia do takiego wyniku przy dwu lub też większej (dowolnej) ilości spółek w modelu.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.