Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Analiza portfelowa i rynki kapitałowe I – 12. Wykład XII (kolokwium), 18.XII.2009 – MIM UW

12. Wykład XII (kolokwium), 18.XII.2009

1. (15p.)

Rozważamy rodzinę modeli Blacka (\Sigma _{\rho},\ \mu), gdzie

\Sigma _{\rho}=\begin{pmatrix}9&3&1\\
3&2&2\sqrt{2}\rho\\
1&2\sqrt{2}\rho&4\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}5\\
4\\
2\end{pmatrix},\quad 0\le\rho\le\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • \bullet Znaleźć (w podanym przedziale) wszystkie wartości parametru \rho, przy których prosta krytyczna jest równoległa do prostej boku \overline{e_{2}\, e_{3}} .

  • \bullet Jaka jest wtedy odległość prostej krytycznej od prostej boku \overline{e_{2}\, e_{3}} ?

2. (15p.)

Wychodzimy od znanego przykładu

\Sigma=\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}3\\
1\\
2\end{pmatrix}.

Zwiększamy teraz \rho _{{13}} do pierwszej napotkanej wartości, przy której prosta krytyczna w takim modelu Blacka przechodzi przez wierzchołek (1,0,0)^{{\text{T}}}. Znaleźć łamaną wierzchołkową i łamaną efektywną w uzyskanym modelu Markowitza. Wykonać odpowiednie rysunki.

3. (10p.)

Rozważamy inny znany przykład modelu Markowitza

\Sigma=\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&1&1\\
0&1&1\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}3\\
1\\
2\end{pmatrix}.

Znaleźć w tym modelu portfel optymalny \widetilde{x}_{{\textrm{op}}} ze względu na stopę bezryzykowną \mu _{0}=\frac{1}{2} (optymalny, tzn. maksymalizujący współczynnik Sharpe'a).

——————————————————————————————————————–

Pytanie dodatkowe

, będące przedłużeniem zadania nr 1 (NIEOBOWIĄZKOWE):

  • \bullet Czy \widetilde{\mathcal{M}}-obraz prostej boku \overline{e_{2}\, e_{3}} jest wtedy przesunięciem równoległym pocisku Markowitza oglądanego na płaszczyźnie (\sigma^{2},\, E) ?
    Jeśli tak, to o jaki wektor?
    Za odpowiedź na to pytanie można uzyskać do 8p., przy czym łączny wynik z kolokwium nie może przekroczyć 40p.

Przykładowe rozwiązanie Zadania 1 z kolokwium  (patrz też Ćwiczenie 5.1 w Wykładzie V, które mieści też w sobie Pytanie dodatkowe z kolokwium).

Prosta krytyczna ma [więc] równanie

\tag{$*$}x_{1}=c\,, (12.1)

gdzie c pozostaje do wyznaczenia. Piszemy to równanie w postaci wynikającej z Twierdzenia 5.1 w Wykładzie V:

\begin{vmatrix}9c+3x_{2}+x_{3}&5&1\\
3c+2x_{2}+2\sqrt{2}\rho x_{3}&4&1\\
c+2\sqrt{2}\rho x_{2}+4x_{3}&2&1\\
\end{vmatrix}=0\,,\ \textrm{albo}
\tag{$**$}10c+2\sqrt{2}\rho x_{2}+(6-6\sqrt{2}\rho)x_{3}=0\,. (12.2)

Warunkiem koniecznym, by równania (12.1) i (12.2) były tym samym, jest równość współczynników przy x_{2} i x_{3} w (12.2), 2\sqrt{2}\rho=6-6\sqrt{2}\rho, stąd \rho=\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{2}}, jedyne rozwiązanie, i przy tym leżące w przedziale [0,\frac{1}{\sqrt{2}}].

Wtedy wnioskiem z (12.1) i (12.2) jest 10c+2\sqrt{2}\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{2}}(1-c)=0, albo c=-\frac{3}{17}. By znaleźć odległość prostej krytycznej x_{1}=-\frac{3}{17} od prostej boku \overline{e_{2}\, e_{3}}, tzn. prostej x_{1}=0, zauważamy, że przy zmianie wartości const (w x_{1}=\text{const}) od 1 do 0, twierdzenie Pitagorasa mówi, że odpowiednie proste są odległe o \sqrt{\frac{3}{2}}. Zatem, z proporcjonalności, przy zmianie const od 0 do -\frac{3}{17}, odległość odpowiednich prostych wynosi \left|-\frac{3}{17}\right|\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{17}\sqrt{\frac{3}{2}}.

Uwaga 12.1

– ostrzeżenie do rozwiązania zadania 1 z kolokwium.
Studenci często szukają tej odległości prostych równoległych [leżących w położonej ukośnie płaszczyźnie H] używając rzutów tych prostych na płaszczyznę (x_{2},\, x_{3}) [uwaga – w wersji pdf rysunek jest na następnej stronie]:

\par
Rys. 12.1. .

Następnie, pracując w tej płaszczyźnie, udzielają różnych odpowiedzi: \frac{20}{17}-1, \sqrt{2}\left(\frac{20}{17}-1\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{20}{17}-1\right). Ta ostatnia liczba jest odległością prostych na powyższym rysunku, jednak żadna z tych liczb nie jest odpowiedzią do pytania w zadaniu.

Odpowiedź liczbowa do Pytania dodatkowego z kolokwium:
obraz prostej krytycznej x_{1}=-\frac{3}{17} (czyli pocisk Markowitza) oglądany na płaszczyźnie (\sigma^{2},\, E) ma równanie

\sigma^{2}\,=\,\frac{91}{51}+\frac{3}{4}\left(E-\frac{11}{3}\right)^{2}\,, (12.3)

natomiast obraz prostej x_{1}=0 ma równanie

\sigma^{2}\,=\,\frac{23}{12}+\frac{3}{4}\left(E-\frac{11}{3}\right)^{2}\,. (12.4)

Ten drugi obraz jest więc przesunięciem równoległym pierwszego o wektor \left[\begin{array}[]{c}0\\
\frac{23}{12}-\frac{91}{51}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}0\\
\frac{9}{68}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}0\\
0.13235...\end{array}\right], jak na rysunku poniżej [w wersji pdf Rysunek 12.2 trafia na następną stronę].

\par
Rys. 12.2. Krzywa o równaniu (12.4) to czerwona parabola.

Jeśli chodzi o związane z nimi gałęzie hiperbol,39w zadaniu się o nie nie pytano to mają one, oczywiście, te same asymptoty przecinające oś \overrightarrow{OE} na wysokości \frac{11}{3}, ze stosunkiem długości półoś \frac{b}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}. Jednak konkretne wartości długości półoś są różne: dla hiperboli (12.3) (niebieskiej na Rysunku 12.3 poniżej) wynoszą one a_{{123}}=1.3358, b_{{123}}=1.5424, zaś dla hiperboli (12.4) (czerwonej na Rysunku 12.3) wynoszą a_{{23}}=1.3844, b_{{23}}=1.5986. Oto te gałęzie [w wersji pdf Rysunek 12.3 przeskakuje na następną stronę]:

\par
Rys. 12.3. Przesunięte równolegle parabole z Rysunku 12.2 stają się gałęziami hiperbol mających te same asymptoty.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.