Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Analiza portfelowa i rynki kapitałowe I – 5. Wykład V, 30.X.2009 – MIM UW

5. Wykład V, 30.X.2009

W Przykładach 4.1 i 4.2 w Wykładzie IV (w których ilość spółek była jednakowa i równa 3) zbiory punktów [albo portfeli w pewnym ogólniejszym sensie niż u Markowitza, który poznamy już w tym wykładzie] krytycznych okazują się być prostymi. Czy tak jest tylko w wymiarze k=3 ? Od czego to zależy? Przyjmijmy już bez zwłoki ogólną

Definicja 5.1

Dla dowolnego ustalonego k\ge 2, punkty krytyczne w analizie portfelowej to punkty krytyczne, w sensie analizy matematycznej II, zmodyfikowanego odwzorowania Markowitza \widetilde{\mathcal{M}}\colon H\longrightarrow\mathbb{R}^{2}(\sigma^{2},\, E), tj takie punkty x\in H, w których \text{rk}\, d\widetilde{\mathcal{M}}(x)<2.

(Patrz też uwagi przy pierwszym pojawieniu się tego pojęcia w Wykładzie IV. Markowitz do scharakteryzowania krytyczności portfela używał trochę innych słów, lecz miał na myśli to, co w tej definicji. Trochę nie zachowując proporcji, przypomnijmy dla porównania, że Leibniz przez dłuższy czas swój drugi rachunek nazywał calculus summatorius. Później Jakob I Bernoulli wprowadził słowo integral – i Leibniz to przyjął. Dalej używał już nazwy calculus integralis.)

Uwaga 5.1

(i) Przy k=2 każdy punkt z H jest krytyczny w sensie podanej tu definicji (bo wtedy H jest 1-wymiarowa – jest prostą).

(ii) W tej definicji, w zakresie punktów (portfeli uogólnionych) x takich, że x^{{\text{T}}}\Sigma\, x>0, zamiast \widetilde{\mathcal{M}} równoważnie można używać odwzorowania Markowitza \mathcal{M}\colon H\longrightarrow\mathbb{R}^{2}(\sigma,\, E). Istotnie, pomocnicze odwzorowanie (\sigma^{2},\, E)\mapsto(\sigma,\, E), gdzie zawsze \sigma>0, jest dyfeomorfizmem prawej półpłaszczyzny (\sigma^{2}>0) w \mathbb{R}(\sigma^{2},\, E) na prawą półpłaszczyznę (\sigma>0) w \mathbb{R}(\sigma,\, E).

Będziemy niedługo szczegółowo badać, powtarzając zresztą rozumowanie kilku noblistów z dziedziny ekonomii, czym ogólnie w analizie portfelowej może być zbiór punktów krytycznych. Wcześniej chcemy jednak zebrać więcej materiału doświadczalnego nt krytyczności punktów. W pierwszej kolejności idzie

Przykład 5.1 (klasyczny, z wykładów [13])
\Sigma=\begin{pmatrix}19&6&1\\
6&3&1\\
1&1&\frac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad\mu=\begin{pmatrix}1\\
0\\
-1\end{pmatrix}.

Chwilowo liczymy tu tylko obrazy boków, mając już zresztą do wyboru dwie metody. Albo podstawienie do wzoru (3.2) z Wykładu III, albo też jak w Przykładzie 4.2, np dla boku \overline{e_{1}\, e_{2}}:

\left.\begin{array}[]{ll}x_{1}+x_{2}=1\\
x_{1}+0=E\end{array}\right\}\quad\longrightarrow\quad\left\{\begin{array}[]{ll}x_{1}=E\\
x_{2}=1-E\end{array}\right.,

co wstawiamy do formy kwadratowej wariancji:

\sigma^{2}(E)=19E^{2}+12E(1-E)+3(1-E)^{2}=10E^{2}+6E+3.

Tak dostajemy \widetilde{\mathcal{M}}-obraz prostej zawierającej bok \overline{e_{1}\, e_{2}}: jest to parabola \sigma^{2}=10E^{2}+6E+3. Analogicznie licząc, dostajemy

\widetilde{\mathcal{M}}\left(\overline{e_{2}\, e_{3}}\right)=\left\{\sigma^{2}=\frac{3}{2}E^{2}+4E+3\right\},\qquad\widetilde{\mathcal{M}}\left(\overline{e_{1}\, e_{3}}\right)=\left\{\sigma^{2}=\frac{35}{8}E^{2}+\frac{37}{4}E+\frac{43}{8}\right\}.

Co z punktami krytycznymi w tym modelu? Czy także tutaj ich zbiór tworzy prostą? I jaki jest obraz tego zbioru? W przyszłości odpowiedzi na takie pytania będą automatyczne; tu podajemy je wprost. Odpowiedź na pytanie pierwsze jest twierdząca. Oto ta prosta, tylko lekko zahaczająca sympleks standardowy \Delta^{3}:

\par
Rys. 5.1. Położenie prostej krytycznej w przykładzie Krzyżewskiego.

Przykład ten, bardzo ważny, będzie jeszcze rozbudowywany (łącznie z dyskusją obrazów boków sympleksu i prostej krytycznej) w dalszych wykładach. Tymczasem bogactwo geometrycznych możliwości pokazuje

Przykład 5.2

Oto 1-parametrowa rodzina przykładów wychodzących od oryginalnego pomysłu studenta (Ł. Mordon) zgłoszonego jeszcze w roku akademickim 2007/08

\Sigma=\begin{pmatrix}9&3&1\\
3&2&2\\
1&2&4\end{pmatrix},\qquad\mu=\begin{pmatrix}5\\
4\\
2\end{pmatrix}. (5.1)

Tę właśnie macierz \Sigma zanurzamy w 1-parametrową rodzinę macierzy

\Sigma _{{\rho}}=\begin{pmatrix}9&3&1\\
3&2&2\sqrt{2}\rho\\
1&2\sqrt{2}\rho&4\end{pmatrix},\quad\text{nie zmieniając przy tym wektora }\ \mu=\begin{pmatrix}5\\
4\\
2\end{pmatrix}.

Przy \rho=\frac{1}{\sqrt{2}} mamy tu wyjściowy model (5.1), zaś następnie nasz parametr \rho maleje  od \frac{1}{\sqrt{2}} do 0. (Wszystkie tak uzyskiwane \Sigma _{{\rho}} są dodatnio określone.4Jest dobrym ćwiczeniem znaleźć wszystkie w ogóle  \rho\in[-1,\, 1], dla których \Sigma _{{\rho}}>0.)

Okazuje się, że zbiory punktów krytycznych znowu zawsze są tu prostymi! Przy tym ewoluują one w dość ciekawy sposób. Oto ta ewolucja; autor: A. Zalewska (przypominamy, że zbiory punktów krytycznych w analizie portfelowej są podzbiorami płaszczyzny H).

Jak ta ewolucja prostych w płaszczyźnie H odwzorowuje się na płaszczyznę obrazu?  To jest, jak to wygląda po obłożeniu [bardziej graficznie poglądowym niż \mathcal{M}] odwzorowaniem \widetilde{\mathcal{M}} ?  Autorem także jest A. Zalewska.

Uwaga 5.2

Sam koniec (czy też początek) tego swoistego tańca parabol przedstawionego na drugim ,,filmie” powyżej, można też zobaczyć na rysunku wykonanym przez studenta WNE UW [w wersji pdf ten rysunek przeskoczył na następną stronę]:

\par
Rys. 5.2. Reprodukcja rysunku Siejdy z roku 2010.

Jeśli chodzi o drugi (przeciwny) koniec tej ewolucji parabol, to jest on pokazany na Rysunku 15.3 aż w Wykładzie XV (służy tam ilustracji zupełnie innych zjawisk, niż poruszane tutaj) i jest również widoczny na drugim filmiku powyżej.

Ktoś może powiedzieć, że Rysunek 5.2 jest mało kanoniczny – nie jest przecież na płaszczyźnie \mathbb{R}^{2}(\sigma,\, E). Oto, jak wygląda on całkiem kanonicznie, tj po obłożeniu znanym i wspominanym już w tych wykładach dyfeomorfizmem5jakim ? przenoszącym parabole na hiperbole (prawa autorskie należą tu do tego samego co poprzednio studenta WNE UW) [w wersji pdf Rysunek 5.3 jest dopiero dwie strony dalej]:

\par
Rys. 5.3. Reprodukcja rysunku Siejdy z roku 2010.

Należy wspomnieć, że sytuacja pokazana na Rysunkach 5.2 i 5.3 – przyklejanie się obrazu sympleksu standardowego do pocisku Markowitza tylko w jednym punkcie położonym w górnej  połowie pocisku (dla E>E_{0}) – była postulowana i poszukiwana przez szereg lat trwania wykładów z APRK1 na Wydziale MIM UW. Przełom przyniosło dopiero w roku akademickim 2007/08 uzmiennienie współczynnika \rho _{{23}} w przykładzie Mordona (Przykład 5.2 powyżej), które nie byłoby możliwe bez samego tego przykładu!

Ćwiczenie 5.1 (trudniejsze)

Znaleźć wartość(ci) 0<\rho<\frac{1}{\sqrt{2}}, przy której(ych) prosta krytyczna jest tu równoległa do boku \overline{e_{2}\, e_{3}}. Jaką współrzędną x_{1} mają wtedy punkty (portfele uogólnione) krytyczne w analizie portfelowej? Czy wtedy obraz boku \overline{e_{2}\, e_{3}} jest przesunięciem obrazu prostej krytycznej, a jeśli tak, to o jaki wektor? (Cały czas rozważamy tu zmodyfikowane odwzorowanie Markowitza.)

Ćwiczenie 5.2 (łatwiejsze, lecz wcale nie natychmiastowe)

Znaleźć wszystkie punkty krytyczne w analizie portfelowej nad modelem Markowitza doskonale dodatnio skorelowanym.

Znaleźć wszystkie punkty krytyczne w analizie portfelowej nad modelem Markowitza doskonale \pm skorelowanym.

Wskazówka: 

Przy k>2 odpowiedzi silnie zależą od wzajemnego położenia punktów (\sigma _{i},\,\mu _{i})^{{\text{T}}}, i=1,\, 2,\dots,\, k, na płaszczyźnie \mathbb{R}^{2}(\sigma,\, E).

W dojściu do odpowiedzi pomocny może też być jeden z obrazów sympleksów standardowych (który?) na Rysunku 3.1 w Wykładzie III.

W dalszym ciągu6i już do końca w tych wykładach; czasem będziemy nawet zakładać więcej zakładamy, że

\begin{pmatrix}\mu _{1}\\
\mu _{2}\\
\vdots\\
\mu _{k}\end{pmatrix}=\mu\nparallel e=\begin{pmatrix}1\\
1\\
\vdots\\
1\end{pmatrix},

tzn., że nie wszystkie wartości oczekiwane \mu _{i} stóp zwrotu R_{i} (i=1,\, 2,\,\dots,\, k) są równe. Będziemy to krótko notować jak już tu wyżej:

\mu\nparallel e\,. (5.2)

Skoro proste krytyczne (czy ogólniej: zbiory punktów krytycznych w analizie portfelowej) są tak ważne, to jak bardziej operatywnie sprawdzać, czy punkt x\in H (czy też x\in\Delta^{k}) jest krytyczny w analizie portfelowej? Innymi słowy, jak sprawdzać, czy odwzorowanie \widetilde{\mathcal{M}}\colon H\to\mathbb{R}^{2} jest krytyczne w x.

Twierdzenie 5.1

Przy bardzo ogólnych założeniach \Sigma\ge 0 i \mu\nparallel e, punkt x jest krytyczny w sensie analizy portfelowej \Longleftrightarrow \exists _{{\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in\mathbb{R}}}\ \Sigma x=\lambda _{1}\mu+\lambda _{2}\, e.

To twierdzenie pojawiało się w pierwszych wersjach wykładów [13], zaś później – w szczególności w wersji z roku 2000 – już tylko jako zadanie z gwiazdką.7Cóż to były za czasy! Obecnie jego zwarty dowód dany tu niżej jest za długi do wyłożenia w realnym czasie wykładu. Przy tym zadanie z gwiazdką dotyczyło równoważności spojrzenia Markowitza (relatywna minimalizacja ryzyka, ale w aspekcie B) i Definicji 5.1; Twierdzenie 5.1 w takiej operatywnej postaci jw w ogóle tam nie występowało. To pokazuje przy okazji całkiem odmienne filozofie wykładów Krzyżewskiego i tu prezentowanych: w bieżących to twierdzenie jest zupełnie podstawowym narzędziem. Jeśli zaś chodzi o gwiazdkę przy zadaniu w [13], to mniej więcej obejmuje ona dowód Twierdzenia 5.1.

Przykład 5.3 (Przykład działania tego twierdzenia (jeszcze przed jego dowodem))

Zwracamy uwagę, że wymiar w przykładzie jest 3 i założenie (5.2) jest spełnione, więc sprawdzenie założenia `rząd 2' w twierdzeniu to sprawdzenie zachodzenia jednego równania.

Mianowicie punkt (portfel Markowitza) x=\left(\begin{smallmatrix}0\\
1\\
0\end{smallmatrix}\right) jest krytyczny w \left(\Sigma _{0},\,\mu\right) wziętym z Przykładu 5.2:

\det\left(\Sigma _{0}\begin{pmatrix}0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix},\,\mu,\, e\right)=\begin{vmatrix}3&5&1\\
2&4&1\\
0&2&1\end{vmatrix}=0\,.

Portfel Markowitza x=\left(\begin{smallmatrix}0\\
0\\
1\end{smallmatrix}\right) jest krytyczny w modelu \left(\Sigma _{{\frac{1}{\sqrt{2}}}},\,\mu\right) też wziętym z Przykładu 5.2:

\det\left(\Sigma _{{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\begin{pmatrix}0\\
0\\
1\end{pmatrix},\,\,\mu,\, e\right)=\begin{vmatrix}1&5&1\\
2&4&1\\
4&2&1\end{vmatrix}=0.
Dowód twierdzenia.

Na potrzeby tego dowodu piszemy Var zamiast \sigma^{2}, przy czym Var(y)=y^{{\text{T}}}\Sigma\, y dla wszystkich y\in\mathbb{R}^{k}, nie tylko y\in H.

.\Longleftarrow.  Przechodząc od gradientów do pochodnych (czyli pewnych 1-form różniczkowych), założenie, które mamy przy dowodzeniu implikacji w tę stronę zapisujemy w postaci

d\left(\frac{1}{2}\text{Var}\right)(x)\,=\,\lambda _{1}\left.d\big(\mu^{{\text{T}}}y\big)\right|_{{y=x}}+\lambda _{2}\left.d\big(e^{{\text{T}}}y\big)\right|_{{y=x}}\,,

po czym przeciągamy wszystkie występujące tu 1-formy wstecz (pull-back) przy pomocy p^{*}, gdzie

p\colon\mathbb{R}^{{k-1}}(y_{1},\dots,\, y_{{k-1}})\ni\begin{pmatrix}y_{1}\\
\vdots\\
y_{{k-1}}\end{pmatrix}\overset{p}{\longmapsto}\begin{pmatrix}y_{1}\\
\vdots\\
y_{{k-1}}\\
1-y_{1}-\dots-y_{{k-1}}\end{pmatrix}

to parametryzacja hiperpłaszczyzny H przy pomocy \overline{y}=\left(\begin{smallmatrix}y_{1}\\
\vdots\\
y_{{k-1}}\end{smallmatrix}\right)\in\mathbb{R}^{{k-1}}, w szczególności \overline{x}=\left(\begin{smallmatrix}x_{1}\\
\vdots\\
x_{{k-1}}\end{smallmatrix}\right),  p(\overline{x})=x:

\frac{1}{2}\Big(p^{*}d\,\text{Var}\Big)(\overline{x})=\lambda _{1}\left.p^{*}d\big(\mu^{{\text{T}}}y\big)\right|_{{\overline{x}}}+\lambda _{2}\left.p^{*}d\big(e^{{\text{T}}}y\big)\right|_{{\overline{x}}}\,.

Ponieważ p^{*}d=d\, p^{*} (patrz np Tw. 4.10 (4) w [28]), zaś pull-back funkcji (tj 0-form) to po prostu składanie funkcji z przeciągającym przekształceniem (tu p), więc

\frac{1}{2}d\big(\text{Var}\circ p\big)(\overline{x})=\lambda _{1}\left.d\big(\mu^{{\text{T}}}p(\overline{y})\big)\right|_{{\overline{y}=\overline{x}}}+\lambda _{2}\left.d\big(e^{{\text{T}}}p(\overline{y})\big)\right|_{{\overline{y}=\overline{x}}}\,.

Lecz e^{{\text{T}}}p(\overline{y})\equiv 1, więc d\big(e^{{\text{T}}}p(\overline{y})\big)\equiv 0. Zatem

d\big(\text{Var}\circ p\big)(\overline{x})\,=\, 2\lambda _{1}\left.d\big(\mu^{{\text{T}}}p(\overline{y})\big)\right|_{{\overline{y}=\overline{x}}}\,,

tzn. pochodne w \overline{x} pierwszej i drugiej składowej odwzorowania \widetilde{\mathcal{M}}\circ p  są proporcjonalne (pierwsza jest wielokrotnością drugiej). Pokazaliśmy, że  \text{rk}\, d\left(\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\right)(\overline{x})\,<\, 2 .

.\Longrightarrow.  Ponieważ

\text{Var}\big(p(\overline{y})\big)=\text{Var}\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{{k-1}}\\
1-y_{1}-\cdots-y_{{k-1}}\end{pmatrix}

oraz

E\big(p(\overline{y})\big)=\mu _{1}y_{1}+\cdots+\mu _{{k-1}}y_{{k-1}}+\mu _{k}\big(1-y_{1}-\cdots-y_{{k-1}}\big)=\mu _{k}+(\mu _{1}-\mu _{k})y_{1}+\cdots+(\mu _{{k-1}}-\mu _{k})y_{{k-1}}\,,

więc krytyczność punktu x=p(\overline{x}) oznacza, że

\text{rk}\begin{pmatrix}\text{Var}_{{y_{1}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}&\text{Var}_{{y_{2}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}&\dots&\text{Var}_{{y_{{k-1}}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\mu _{1}-\mu _{k}&\mu _{2}-\mu _{k}&\dots&\mu _{{k-1}}-\mu _{k}\\
\end{pmatrix}(x)\,<\, 2\,,

przy czym drugi wiersz tej macierzy jest niezerowy, bo \mu\nparallel e.
Zatem pierwszy wiersz jest pewną wielokrotnością drugiego wiersza. W (czytelniejszym) zapisie kolumnowym

\begin{pmatrix}\text{Var}_{{y_{1}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\text{Var}_{{y_{2}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\vdots\\
\text{Var}_{{y_{{k-1}}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\end{pmatrix}(x)=\lambda\begin{pmatrix}\mu _{1}-\mu _{k}\\
\mu _{2}-\mu _{k}\\
\vdots\\
\mu _{{k-1}}-\mu _{k}\\
\end{pmatrix}

przy pewnym \lambda\in\mathbb{R}. Zapiszmy tę równość tylko pozornie inaczej, sztucznie wydłużając o jedno zero wektory występujące po obu stronach:

\begin{pmatrix}\text{Var}_{{y_{1}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\vdots\\
\text{Var}_{{y_{{k-1}}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\text{Var}_{{y_{k}}}-\text{Var}_{{y_{k}}}\\
\end{pmatrix}(x)=\lambda\begin{pmatrix}\mu _{1}-\mu _{k}\\
\vdots\\
\mu _{{k-1}}-\mu _{k}\\
\mu _{k}-\mu _{k}\\
\end{pmatrix}.

Dostaliśmy w ten sposób

2\Sigma x\,=\,\lambda\mu+\left(\text{Var}_{{y_{k}}}(x)-\lambda\mu _{k}\right)e\,,

co daje potrzebne wyrażenie dla \Sigma x ze współczynnikami  \lambda _{1}=\frac{\lambda}{2},  \lambda _{2}=\frac{\text{Var}_{{y_{k}}}(x)-\lambda\mu _{k}}{2} .

Ćwiczenie 5.3 (pytanie kontrolne po dowodzie twierdzenia)

Jakie ograniczenie(a) na zbiór punktów krytycznych w [danym modelu w] analizie portfelowej nakłada to twierdzenie (czym, ogólnie rzecz biorąc, jest/może być taki zbiór)?

W tej chwili mamy już dwa opisy krytyczności punktów z H (nie tylko klasycznych portfeli Markowitza z \Delta^{k}\subset H !): definicyjny i dany poprzez to dopiero co udowodnione twierdzenie. Jest najwyższa pora wyjaśnić, co dla nas znaczą wszystkie  punkty x\in H, tj takie x\in\mathbb{R}^{k}, że e^{{\text{T}}}x=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}=1, spośród których tylko nieliczne są, przy ustalonych parametrach modelu, krytyczne.

Odpowiedź będzie modelowaniem tzw.  nieograniczonej krótkiej sprzedaży (ang. unrestricted short selling) wg podejścia Blacka i współautorów z wczesnych lat 1970ch – porównaj szczególnie strony 11 oraz 39 w [22].

Portfel inwestora w modelu Blacka, a więc – powtarzamy – z dopuszczalną nieograniczoną krótką sprzedażą

  • Inwestor wkracza do Domu Maklerskiego (dalej DM) z kwotą L>0 (np złotych czy funtów).

  • Po okazaniu kwoty L, pożycza w DM według swojego uznania akcje spółek o numerach j\in J\subset\{ 1,\, 2,\dots,\, k\}. Konkretnie, tyle akcji spółki j-tej, że (albo: by) ich obecna wartość jest (była) A_{j}, dla j\in J.

  • Pożyczone akcje spółek o numerach j\in J natychmiast, tego samego dnia, sprzedaje na giełdzie. W wyniku tego ma teraz L+\sum _{{j\in J}}A_{j} złotych (czy funtów, \dots).

  • Za wszystkie te środki od razu kupuje akcje spółek o numerach i\in I\subset\{ 1,\, 2,\dots,\, k\}\,\,\backslash\,\, J. Konkretnie, tyle akcji spółki i-tej, że (albo: by) ich obecna wartość jest (była) A_{i}, i\in I, przy czym, oczywiście,

    L+\sum _{{j\in J}}A_{j}=\sum _{{i\in I}}A_{i}. (5.3)

Można się już domyślać, jaka będzie dalsza strategia inwestora – od tego zaczniemy następny wykład. W tej chwili chcemy `tylko' matematycznie zakodować opisaną działalność inwestora.
W tym celu zapisujemy równość bilansową (5.3) trochę inaczej

1=\sum _{{i\in I}}\frac{A_{i}}{L}+\sum _{{j\in J}}\left(\frac{-A_{j}}{L}\right) (5.4)

i oznaczamy x_{i}=\frac{A_{i}}{L} dla i\in I, oraz x_{j}=\frac{-A_{j}}{L} dla j\in J. Dla indeksów l\in\{ 1,\, 2,\dots,\, k\}\,\,\backslash\,\,(I\cup J) kładziemy x_{l}=0. Portfel inwestora jest teraz zakodowany jako wektor x=(x_{\nu})_{{\nu=1}}^{k}. Mamy, dzięki (5.4), x\in H. Mówimy, że w spółkach o numerach i\in I inwestor zajął długie pozycje (jest to zakodowane poprzez dodatni znak x_{i}: x_{i}>0), zaś w spółkach o numerach j\in J zajął krótkie pozycje (zakodowane poprzez ujemny znak x_{j}: x_{j}<0).

Ćwiczenie 5.4 (pytanie kontrolne)

Inwestor miał 4 tysiące zł kapitału własnego. Z krótkiej sprzedaży akcji spółek C i D uzyskał odpowiednio 7 i 13 tysięcy zł. Następnie kupił (czyli zajął długie pozycje w) akcje(ach) spółek A i B w proporcji wartościowej 2:1. Wyznaczyć portfel tego inwestora zapisany w modelu Blacka.

Wskazówka: 

4+7+13=16+8 .

Rozwiązanie: 

Dzięki informacji zawartej we wskazówce widzimy, że portfelem inwestora jest x=(x_{{\text{A}}},\, x_{{\text{B}}},\, x_{{\text{C}}},\, x_{{\text{D}}})^{{\text{T}}}=\left(\frac{16}{4},\,\frac{8}{4},\,-\frac{7}{4},\,-\frac{13}{4}\right)^{{\text{T}}}=\left(4,\, 2,\,-\frac{7}{4},\,-\frac{13}{4}\right)^{{\text{T}}}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.