6. Wykład VI, 6.XI.2009.

W Wykładzie V przerwaliśmy dyskusję strategii inwestora, który na początku okresu inwestycyjnego zajął zarówno długie jak i krótkie pozycje (te ostatnie – korzystając z ,,nieograniczonej uprzejmości Domu Maklerskiego” – modelowanie Blacka jest bardzo poręczną, lecz tylko idealizacją). Wiemy, co zrobił on na początku okresu inwestycyjnego. Co teraz zrobi na końcu tego okresu?

Otóż akcje, w których zajął długie pozycje (o numerach, jak pamiętamy, iI) inwestor będzie trzymał do końca okresu inwestycyjnego, kiedy to sprzeda je na giełdzie po cenie Ci,kon. Natomiast akcje, w których zajął krótkie pozycje (o numerach jJ) miał tylko pożyczone od DM i od razu je sprzedał. Na końcu okresu będzie je odkupował po cenie Cj,kon by zwrócić je do DM. Zwroty inwestora w jednym i drugim przypadku będą liczone inaczej! Za chwilę uwzględnimy to przy obliczaniu łącznej stopy zwrotu inwestora; ujemne składniki portfela xj<0 okażą się dobrze pasować do całości rachunku.

Wcześniej przyjrzyjmy się jeszcze jednemu, bardziej rozbudowanemu niż w prostym Ćwiczeniu 5.4 w Wykładzie V, przykładowi portfela inwestora przy nieograniczonej krótkiej sprzedaży à la Black (zaczerpniętemu z [4]).

Przykład 6.1

Przykład portfela akcji 10 spółek silnie używającego krótkiej sprzedaży:

Walor nr Udział w portfelu w procentach
1 647.1
2 770.6
3 729.4
4 1741.2
5 211.6
6 -152.9
7 -447.1
8 -594.1
9 -741.2
10 -2070.6

Udziały sumują się do 100% (do 100% kapitału własnego inwestora, w stosunku do którego wszystko jest tu podawane, czy kodowane).

Uwaga 6.1

Zwracamy uwagę, że na tej samej stronie w [4] wspominana jest też zupełnie inna krótka sprzedaż, zdefiniowana czy modelowana przez Lintnera w pracy [16]. Jest ona przeciwieństwem podejścia Blacka i współautorów – jest bardzo mocno ograniczona. Poznamy ją dokładnie na Wykładzie IX.

Jeszcze dwa zdania na temat tych trochę tajemniczych `współautorów' wybitnego ekonomisty Blacka8lecz, niestety, z losowych powodów nie laureata nagrody Nobla z ekonomii, cytując z [22], strona 39: ,,I refer to the model whose only constraint is iXi=1 as Black's model, for ease of reference and because the results of [3] are frequently cited in connection with this model. It would probably be more accurate to name it Roy-Sharpe-Merton-Black, but that is a lot of name for a simple, frequently cited model.”

Zadajmy sobie teraz pytanie, czy podstawowy paradygmat Markowitza,

ΔkxxTR=x1R1++xkRk

dający klasyczny wzór na stopę zwrotu (zmienną losową!) z portfela Markowitza (Wykład II) rozszerza się na wszystkie portfele Blacka xH ?

By odpowiedzieć na to pytanie, trzymamy się oznaczeń z Wykładu V, gdzie ujemne składniki portfela x miały indeksy jJ, dodatnie miały indeksy iI,I,J1, 2,,k, przy czym oczywiście IJ=, zaś L był kapitałem własnym inwestora. Stopę zwrotu (cały czas zmienną losową) liczymy teraz dużo staranniej niż w Wykładzie II.

stopa zwrotu inwestora mającego portfel x=przychody-rozchody przy takim portfelu xL
=1LiICi,konxiLCi,pocz+jJCj,pocz-xjLCj,pocz-iICi,poczxiLCi,pocz+jJCj,kon-xjLCj,pocz
=iIxiCi,kon-Ci,poczCi,pocz+jJxjCj,kon-Cj,poczCj,pocz=iIxiRi+jJxjRj=xTR.

(Czytelnik zwróci w tym rachunku uwagę na specyficzny sposób obliczania zysku z akcji krótko sprzedanych: od ceny początkowej Cj,pocz odejmuje się cenę końcową Cj,kon. Istotnie, powtarzając się nawet, bo to kluczowe przy modelowaniu Blacka: ta pierwsza jest ceną sprzedaży akcji o numerze j, zaś ta druga jest ich ceną zakupu, tzn. ceną, po której inwestor odkupuje akcje o numerze j, by zwrócić je Domowi Maklerskiemu.  Porównaj też strony 11 i 39 w książce [22]; fragmentem z tej drugiej wymienionej strony rozpoczęliśmy bieżący Wykład VI.)

Podsumujmy zatem: tak, paradygmat Markowitza, czyli klasyczny wzór na stopę zwrotu z portfela, obowiązuje także w modelu Blacka!

Wniosek 6.1

Wzory na wariancję portfela σ2x=σ2xTR oraz na wartość oczekiwaną Ex=ExTR pozostają w mocy dla wszystkich xH i dlatego właśnie ważne są odwzorowania Markowitza M i M~ idące z całej hiperpłaszczyzny H. Badając te odwzorowania już od pewnego czasu, antycypowaliśmy zgodność, o której tu mowa.

Uwaga 6.2

Dopuszczenie nieograniczonej krótkiej sprzedaży wywołuje jedną fundamentalną zmianę w porównaniu z podejściem Markowitza. Od pierwszych wykładów było jasne, że wszystkie wartości oczekiwane μi=ERi są niemniejsze niż -1, gdyż zmienne losowe Ri przyjmują tylko takie wartości. To prowadziło do naturalnych ograniczeń na wartości oczekiwane zmiennych Markowitza xTR, xΔk, gdyż były one, oczywiście, x-kombinacjami wypukłymi liczb μ1,,μk.

Tymczasem zmienne Blacka xTR, xH, mają wartości oczekiwane będące x-kombinacjami afinicznymi liczb μ1,,μk, które (o ile tylko nie wszystkie μi są sobie równe) nie są poddane żadnym ograniczeniom i ,,biegają” po całej osi liczbowej. Koniec wtedy z ograniczeniem -1 z dołu; nieograniczona krótka sprzedaż znosi to ograniczenie! Przychody minus rozchody inwestora mogą być w podejściu Blacka dowolnie wielkie ujemne w stosunku do jego kapitału własnego L. (Mogą też oczywiście być dowolnie wielkie dodatnie – co często podkreśla się w literaturze, lecz i ujemne też! W modelu Blacka inwestor może np stracić na giełdzie w okresie inwestycyjnym, średnio biorąc, tysiąckrotność kapitału własnego.) To jest prawdziwa pojęciowa rewolucja, z której słabo zdajemy sobie sprawę, gdy pierwszy raz oglądamy definicję nieograniczonej krótkiej sprzedaży.

By nie być tu gołosłownym, w Przykładzie 5.1 (w Wykładzie V; jest on kontynuowany jako Przykład 6.3 tu niżej) mieliśmy sytuację, gdzie wszystkie wartości oczekiwane μi były niemniejsze niż -1. Mimo to, gdy traktujemy go rozszerzająco jako model Blacka (tak właśnie jest w Przykładzie 6.3), wtedy pewna istotna wielkość E0 uogólniająca E0ρ ze wzoru (3.3) z Wykładu III okazuje się dużo mniejsza niż -1: E0=-1912. Już to pokazuje, że modelowanie Blacka łatwo zaczyna żyć własnym życiem i łatwo wymyka się spod kontroli . . .

Pamiętajmy zatem, że Black to cała hiperpłaszczyzna H wraz z całym tego dobrodziejstwem inwentarza – m. in. nieograniczonymi z obu stron wartościami oczekiwanymi portfeli Blacka.

Jednakże, dopuszczając nieograniczoną krótką sprzedaż akcji, bardzo znacznie zyskujemy na łatwości operowania modelem, jak też na ogólności i elegancji opisu. Trochę doświadczenia dało nam już domykanie Rysunku 4.6 w Wykładzie IV (w szczególności piękny Rysunek 4.7 tamże). Ważne były tam obrazy prostych krytycznych; bez nich rysunki były mocno niekompletne i trudne do interpretacji.

Jednak tamte proste krytyczne cięły sympleks standardowy, a tak przecież być nie musi.

Dla przeciwwagi chcemy teraz pokazać obraz przy odwzorowaniu M (a więc tym razem na płaszczyźnie R2σ,E) zbiorów osiągalnych w obu aspektach, Markowitza i Blacka, MΔ3MH, gdy prosta krytyczna omija sympleks. (Parametry tego przykładu pochodzą z pewnego kolokwium z APRK1 na Wydziale MIM UW.)

Σ=112153235,μ=231. (6.1)

[W wersji pdf rysunek trafił na następną stronę.]

\par
Rys. 6.1. Markowitz całkowicie zdominowany przez Blacka: obraz sympleksu we wnętrzu obrazu płaszczyzny.

Jest to co prawda tylko jeden kamyk z ogromnej mozaiki. Proponujemy tu jednak czytelnikowi całą serię pytań sprawdzających.

Ćwiczenie 6.1

1. Patrząc na sam Rysunek 6.1, jaką dokładnie wartość ma współczynnik korelacji ρ12?  Co można powiedzieć o wartości ρ13?

2. Dla danych (6.1) znaleźć zbiór portfeli krytycznych Blacka (np używając w tym celu Twierdzenia 5.1 z Wykładu V). Czym jest ten zbiór i jak jest on położony względem sympleksu standardowego Δ3?

3. Czy poprzednie pytanie pomaga w ,,rozszyfrowaniu” całego Rysunku 6.1 ? Czy zbiór krytyczny okazuje się do tego pomocny? Czy jego nazwa współgra z rolą, jaką on odgrywa?

4. Granica minimalna w aspekcie Markowitza (patrz definicja Fmin w Wykładzie III) ma bardzo wyraźny punkt załamania (kink) na wysokości E=2. Ten punkt załamania to obraz wierzchołka e1, który tutaj leży – porównaj punkt 2 – poza zbiorem krytycznym. Dokładniej, przekształcenie Markowitza M jest tutaj w otoczeniu e1 dyfeomorfizmem. Czy czytelnik widzi związek tego faktu z pojawieniem się kinka?

5. Czy są w płaszczyźnie H portfele Blacka nie będące Markowitza, które w mapie ryzyko – wartość oczekiwana też trafiają w zbiór MΔ3? Gdzie leżą (albo: gdzie powinny leżeć) te ,,fałszywe portfele Markowitza”?

Po serii doświadczeń i ćwiczeń (w poprzednim Wykładzie V i bieżącym VI) upewniliśmy się już, że kluczową rolę w badaniu własności odwzorowań M i M~ odgrywają portfele krytyczne Blacka. Zbiór wszystkich portfeli krytycznych nie  zawsze jest prostą (o czym już słyszeliśmy w tych wykładach). Utrwalmy to jeszcze.

Przykład 6.2 (kontynuacja Rysunku 3.2)

Znajdźmy wszystkie portfele krytyczne w tamtym modelu Blacka.
Według Twierdzenia 5.1 (Wykład V) szukamy portfeli xH takich, że rkΣx,μ,e=2, tzn.

rk16x1+4x2-4x3-16x4114x1+x2-x3-4x421-4x1-x2+x3+4x451-16x1-4x2+4x3+16x461= 2,tzn.
16x1+4x2-4x3-16x4114x1+x2-x3-4x421-4x1-x2+x3+4x451=0=16x1+4x2-4x3-16x4114x1+x2-x3-4x421-16x1-4x2+4x3+16x461

(opuszczone zostały, odpowiednio, czwarty i trzeci wiersz w macierzy 4×3). Po rozwinięciu tych wyznaczników dostajemy

-28x1-7x2+7x3+28x4= 0=-28x1-7x2+7x3+28x4,

a więc (dwa razy) jedno i to samo równanie, nie zaś dwa różne równania! Zresztą równanie tożsame z opisem portfeli zerowego ryzyka.9Ćwiczenie 5.2 w Wykładzie V było na bardzo podobny temat. Tutaj w Przykładzie 6.2 nie występuje specjalna konfiguracja geometryczna, która tam stanowiła swoisty haczyk. Tak więc zbiór portfeli krytycznych pokrywa się tutaj ze zbiorem portfeli zerowego ryzyka i jest 2-wymiarową płaszczyzną.

Ćwiczenie 6.2

Jak płaszczyzna krytyczna w tym przypadku położona jest względem sympleksu Δ4 ? (Tzn. które portfele Markowitza są krytyczne?)

Wskazówka: 

Przyglądając się równaniu tej płaszczyzny (po skróceniu poprzednio otrzymanego równania stronami przez -7) 4x1+x2-x3-4x4=0, na pewnych czterech z sześciu krawędzi (na których?) sympleksu Δ4 bez trudu znajdujemy cztery specjalne punkty przecięcia płaszczyzny z sympleksem. Ich powłoka wypukła (czworokąt wypukły z wnętrzem) jest całym przecięciem płaszczyzny krytycznej z Δ4. Jeśli chodzi o przedział wartości oczekiwanych E portfeli krytycznych Markowitza, to można go w przybliżeniu doświadczalnie odczytać (bądź domyślić się) z Rysunku 3.2 w Wykładzie III, dokładnie zaś obliczyć – po przyjrzeniu się wspomnianemu wyżej czworokątowi.

Do tej analizy położeń wrócimy w przyszłości, poszukując przykładów niejednoznacznych tzw. łamanych wierzchołkowych w aspekcie Markowitza (patrz Wykłady X i XI).

Zauważmy też, że w Przykładzie 6.2 macierz Σ była silnie zdegenerowana, rkΣ=1 (wobec maksymalnej możliwej wartości 4). Zatrzymajmy się na chwilę nad tym zjawiskiem.

Ćwiczenie 6.3 (sprawdzające)

Obliczyć rkΣ w każdej sytuacji doskonale skorelowanej i w każdej sytuacji ± doskonale skorelowanej.

Rozwiązanie: 

W sytuacji doskonałej dodatniej korelacji macierz Σ jest postaci

σ1 2σ1σ2σ1σkσ2σ1σ2 2σ2σkσkσ1σkσ2σk 2

i łatwo widać, iż jej i-ty wiersz jest postaci σiσ1,σ2,,σk. Wszystkie jej wiersze są liniowo zależne i nie jest ona zerowa, zatem jej rząd wynosi 1.

W sytuacji ± doskonałej korelacji macierz Σ jest postaci

σ1 2σ1σ2σ1σr-σ1σr+1-σ1σkσ2σ1σ2 2σ2σr-σ2σr+1-σ2σkσrσ1σrσ2σr2-σrσr+1-σrσk-σr+1σ1-σr+1σ2-σr+1σrσr+1   2σr+1σk-σkσ1-σkσ2-σkσrσkσr+1σk 2

i łatwo widać, iż jej i-ty wiersz jest postaci σiσ1,σ2,,σr,-σr+1,,-σk, gdy i1, 2,,r, zaś jej j-ty wiersz jest postaci -σjσ1,σ2,,σr,-σr+1,,-σk, gdy jr+1,,k. Również i w tym przypadku więc wszystkie jej wiersze są liniowo zależne, zatem jej rząd wynosi 1.

Podstawowa część teorii Blacka dotyczy modeli, w których Σ>0. Wtedy, oczywiście, rkΣ=k. Podamy teraz klasyczny rezultat Blacka i współautorów, dotyczący modeli Σ,μ:Σ>0 z nieograniczoną krótką sprzedażą, przy ważnym i naturalnym założeniu (5.2) z Wykładu V. Rezultat jest sformułowany w języku, który używa oznaczeń

α=μTΣ-1μ,
β=μTΣ-1e(=eTΣ-1μ),
γ=eTΣ-1e.
Lemat 6.1

αγ-β2>0.

Jest to wyznacznik Grama liniowo niezależnego układu wektorów μ,e przy iloczynie skalarnym zadanym (w bazie standardowej w Rk) przez macierz symetryczną i dodatnio określoną Σ-1.

Uwaga 6.3

Inny możliwy dowód lematu, zaczerpnięty z [23], przypis nr 5 na stronie 1853: βμ-αe0 jako niezerowa (β może się zerować, lecz α nie) kombinacja pary wektorów liniowo niezależnych. Zatem

0<βμ-αeTΣ-1βμ-αe=ααγ-β2 i również α>0 .

Dwa zdania zapowiedzi. To, co zaraz nastąpi, będzie uogólniało rachunki z Wykładu III. Cały czas należy jednak pamiętać, że tam odcinek Δ2 był automatycznie  częścią prostej krytycznej. Teraz zaś prosta, która wyłoni się z twierdzenia poniżej, okaże się nowym bytem wymagającym odrębnego traktowania (szczególnie, gdy używać będziemy mapy Markowitza, która jest la raison d'être  dla tej prostej).

Twierdzenie 6.1 (Merton [23], Black i współautorzy)

Przy założeniach Σ>0, μe, zbiór portfeli krytycznych tworzy prostą xE:ER, gdzie

xE=αγ-β2-1Σ-1Eβ1γμ+αEβ1e (6.2)

i parametr E jest tak dobrany, że ExE=E.

To twierdzenie jest klasyczne i w niniejszych wykładach będzie używane wielokrotnie. Dokładniej, prosta krytyczna sparametryzowana jak we wzorze (6.2) będzie najczęściej przez nas używanym obiektem. Podkreślamy, że o prostych krytycznych Markowitz pisał już w [19], patrz np strona 851-4 tamże.
(Można w tym miejscu zauważyć, że z kolei w wersji z roku 2000 wykładów [13] prosta krytyczna była tylko pobieżnie wspominana w kilku miejscach bliżej końca tamtych wykładów. Wzoru (6.2) nie było tam w ogóle, bo w jawnej postaci nie był wtedy wykładowcy potrzebny. To pokazuje kolejny raz, jak różna jest koncepcja obecnych wykładów od wcześniejszej koncepcji przyjętej w [13].)

Dowód twierdzenia.

Ten dowód tylko optycznie różni się od oryginalnego dowodu Mertona (głównie tym, że używa wzorów Cramera). Na mocy Twierdzenia 5.1 z Wykładu V, dla każdego punktu krytycznego x w analizie portfelowej istnieją λ1,λ2R takie, że Σx=λ1μ+λ2e. Zapisując to inaczej, x=λ1Σ-1μ+λ2Σ-1e. Oznaczmy Ex=E i pomnóżmy tę wektorową równość stronami (z lewej) przez μT, następnie zaś stronami, także z lewej, przez eT. Dostajemy układ równań

αλ1+βλ2=Eβλ1+γλ2=1 .

Dzięki Lematowi 6.1 wiemy, że ten układ ma jedyne rozwiązanie

λ1=Eβ1γαγ-β2, (6.3)
λ2=αEβ1αγ-β2.

Dowód twierdzenia jest zakończony.

Pierwszy ze współczynników Lagrange'a pojawiających się w powyższym dowodzie ma ważną interpretację geometryczną; co prawda na płaszczyźnie R2σ2,E, nie zaś na (bardziej kanonicznej!) R2σ,E.

Obserwacja. 6.1 (interpretacja geometryczna współczynnika λ1)

λ1E=12ddEσ2xE.

Istotnie, liczymy tę pochodną funkcji złożonej jak byśmy z powrotem znaleźli się (na chwilę) na ćwiczeniach z AM II.1:

ddEσ2xE=2xETΣddExE=2xETΣΣ-1γμ-βeαγ-β2
=2αγ-β22Eβ1γμT+αEβ1eTΣ-1γμ-βe
=2αγ-β22Eβ1γγα+αEβ1γβ-Eβ1γβ2-αEβ1βγ
=2Eβ1γαγ-β2=2λ1E

(porównaj (6.3) ).  Ta własność współczynnika λ1 będzie przez nas wykorzystywana wielokrotnie. W przyszłości, ze względu na utrwaloną w analizie portfelowej tradycję (i … wbrew zasadzie brzytwy Ockhama), współczynnik ten będzie często oznaczany dosyć dziwnym symbolem λE.

Na co przechodzi prosta krytyczna przy odwzorowaniu Markowitza M ?

Kłopotu nie ma z drugą składową tego odwzorowania. Na mocy oznaczeń przyjętych w dowodzie Twierdzenia 6.1, ExE=E. Sporo trudniej jest policzyć wariancję danego portfela krytycznego xE,

σ2xE=1αγ-β22Eβ1γμT+αEβ1eTΣ-1ΣΣ-1Eβ1γμ+αEβ1e
=1αγ-β22γαγ-β2E2-2βαγ-β2=1αγ-β2γE2-2βE+α.

Pisząc krótko σ2=σ2xE, związek ten przybiera postać

σ2αγ-β2=γE2-2βγE+αγ=γE-βγ2+αγ-β2γ,

albo

σ2a2-E-E02b2=1, (6.4)

gdzie

a=1γ,b=αγ-β2γ,E0=βγ. (6.5)

Wzory (6.4) – (6.5) pochodzą także z pracy [23], która dla analizy portfelowej okazuje się być zupełnie fundamentalna. Porównaj też rachunek prowadzony w Wykładzie III w wymiarze k=2, w szczególności przypis nr 1 tamże (w wersji html: przypis nr 3) ).

Wniosek 6.2

M-obrazem prostej krytycznej jest prawa (σ>0) gałąź hiperboli (6.4). Jest ona potocznie nazywana pociskiem Markowitza. To jeden z najczęściej używanych terminów w analizie portfelowej.
Prostą krytyczną (6.2) tradycyjnie nazywa się prostą krytyczną Blacka, mimo, że pierwszy raz pojawiła się ona eksplicite w pracy [23]. My też będziemy ją nazywać `Blacka'.
Ściśle biorąc, w pracy [23] portfele leżące na prostej krytycznej – nasze, od Wykładu V, punkty krytyczne w analizie portfelowej – są nazywane frontier portfolios.

Zauważmy w tym momencie, że tangens połowy kąta między asymptotami pocisku Markowitza wynosi

ba=αγ-β2γ. (6.6)

Jest to ważna informacja, po którą nie raz będziemy sięgać w dalszych wykładach.

Czy do tej pory widzieliśmy już jakiś pocisk Markowitza, przy tym na kanonicznej płaszczyźnie R2σ,E?  Tak jest, ,,pociski” tego typu widzieliśmy już, m. in., na Rysunkach 4.4, 4.5 (Wykład IV), czy 6.1 tu wyżej (błękitna gałąź hiperboli).

Uwaga 6.4

Należy mocno podkreślić odmienną naturę pocisków Markowitza przy k=2 (np na Rysunkach 4.4 i 4.5) i k>2 (np na Rysunkach 4.7 i 6.1). W tym pierwszym przypadku cały zbiór H jest prostą krytyczną, zaś pocisk jest obrazem całej H. Ten pocisk opisywaliśmy już szczegółowo w Wykładzie III.

Natomiast w drugim, przy spełnionych warunkach Twierdzenia 6.1, prosta krytyczna jest bardzo szczupłym podzbiorem H i tylko jej obrazem jest pocisk! Obrazem całej H jest wtedy pocisk oraz cała część płaszczyzny R2σ,E na prawo od niego.

Przy k=2 i -1<ρ<1, tłumaczenie języka z Wykładu III na obecny język Mertona i Blacka jest następujące. Gdy

Σ=σ1 2ρσ1σ2ρσ1σ2σ2 2,

wtedy

Σ-1=1σ1 2σ2 21-ρ2σ2 2-ρσ1σ2-ρσ1σ2σ1 2,
γ=σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2σ1 2σ2 21-ρ2,jako suma wyrazów macierzy Σ-1,
β=μ1σ2 2+μ2σ1 2-μ1+μ2ρσ1σ2σ1 2σ2 21-ρ2(por. też wzór (3.3) na E0=E0(ρ)=βγ).

W takiej sytuacji długości półoś a i b hiperboli znamy już z Wykładu III, wzory (3.5). Zatem, dzięki (6.6),

αγ-β2=ba2γ=μ1-μ22σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2σ1 2σ2 21-ρ2=μ1-μ22σ1 2σ2 21-ρ2. (6.7)

Uwaga. Opuszczamy tu odpowiedni wzór dla samego parametru α.

Gdy mamy już prostą krytyczną Blacka i jej obraz – pocisk Markowitza, wtedy dość natychmiastowo stwierdzamy, że portfele xEteż rozwiązaniami następującego problemu na ekstremum warunkowe

  • minimalizować funkcję xTΣx (czy też 12xTΣx), xRk, przy ograniczeniach μTx=E,eTx=1 .

Istotnie, na mocy Twierdzenia 5.1 z Wykładu V, na każdym poziomie E=const znaleźliśmy już jednego kandydata xE na ekstremum warunkowe lokalne. To właśnie jest niezwykłe: λ1μ+λ2e w Twierdzeniu 5.1 to kombinacja gradientów funkcji warunku i funkcji jedynego ograniczenia budżetowego Blacka. (Jeden ze słuchaczy kilka lat temu zakrzyknął podczas wykładu w tym momencie: `Przecież tu 1+1=3!')

Ponieważ przy tym funkcja xxTΣx jest ściśle wypukła (AM II, GAL 2 oraz – powtórzeniowo – Ćwiczenie 6.4 tu poniżej), więc w istocie ten kandydat xE jest minimum warunkowym globalnym – porównaj Optymalizacja 1. Przy każdej ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu E znaleźliśmy więc już portfel minimalnego ryzyka xE. Przy tym portfele te układają się na prostej, gdy stopa zwrotu przebiega wszystkie à priori możliwe wartości rzeczywiste.

Umiemy zatem minimalizować ryzyko portfela Blacka przy jego ustalonej wartości oczekiwanej! To prawdziwa ,,wartość dodana” wzoru (6.2).10za który kilku ekonomistów – lecz niestety nie Black, który już wtedy nie żył – dostało w roku 1997 nagrodę Nobla z dziedziny ekonomii

Ćwiczenie 6.4 (w ramach powtórzenia)

Pokazać, że dla macierzy Σ>0 funkcja RkxxTΣxR jest ściśle wypukła, tzn.

sx+tyTΣsx+tysxTΣx+tyTΣyx,yRks,t0,s+t=1,

zaś ”=” tylko gdy  x=ys=0t=0 .

Dygresja – inne spojrzenie na długość poziomej półosi pocisku Markowitza a=1γ.

Chodzi o znalezienie wartości (wartości, nie punktu!) globalnego minimum warunkowego funkcji xTΣx przy jednym jedynym warunku budżetowym Blacka eTx=1.

Każdy kandydat na takie ekstremum warunkowe spełnia Σx=λe przy pewnym λR (ekstremalizujemy 12xTΣx zamiast xTΣx). Wtedy x=λΣ-1e, więc też 1=λeTΣ-1e=λγ, λ=1γ. Dostajemy więc jedynego kandydata x=Σ-1eγ. Z racji ścisłej wypukłości funkcji, którą ekstremalizujemy warunkowo, jest to punkt minimum warunkowego globalnego,

xmin=Σ-1eγ. (6.8)

Zgodnie z oczekiwaniami Exmin=μTΣ-1eγ=βγ oraz σ2xmin=1γ2eTΣ-1ΣΣ-1e=γγ2=1γ, tzn. σxmin=1γ. To zaś jest znany już wzór (6.5) na długość półosi a.

Uwaga 6.5

Załóżmy jeszcze raz przez chwilę, że spółki są tylko dwie i w związku z tym używamy oznaczeń z Wykładu III. Wykluczona jest wtedy tylko, jak pamiętamy, sytuacja σ1=σ2 i ρ=1.

Wzór (6.8) zapisujemy na początek w postaci rozwiniętej

xmin=Σ-111eTΣ-1e,

po czym, po prawej stronie, mnożymy macierze Σ-1 stojące w liczniku i mianowniku przez detΣ. Po tej czynności mamy już w liczniku i mianowniku macierz dopełnień algebraicznych macierzy Σ zamiast samej macierzy Σ-1.11Wzór na Σ-1 przy k=2 pojawił się już w Uwadze 6.4 powyżej. To szybko prowadzi do wzoru

xmin=σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2-1σ2 2-ρσ1σ2σ1 2-ρσ1σ2,

w którego pierwszej składowej rozpoznajemy12nie może być inaczej, bo cały czas mówimy o jednej i tej samej minimalizacji ryzyka portfeli Blacka wielkość x1,0 z wzoru z Wykładu III (zaraz za Uwagą 3.2).

Po wprowadzeniu i (wstępnym) przedyskutowaniu nieograniczonej krótkiej sprzedaży, w naszym ujęciu analizy portfelowej wyodrębnione są teraz dwa oddzielne aspekty: aspekt Markowitza, oznaczany M, z portfelami dopuszczalnymi leżącymi w (gdy ilość spółek w modelu jest k) sympleksie Δk, oraz aspekt Blacka, oznaczany B, z portfelami dopuszczalnymi leżącymi na hiperpłaszczyźnie H zdefiniowanej (jeszcze w Wykładzie II) wzorem (2.2).
Dla rozróżnienia aspektów będziemy już do końca tych wykładów używać skrótów M oraz B.

W aspekcie M wprowadziliśmy, nie etykietkując tego wtedy (Wykład III) jawnie literą M, pojęcia granic: minimalnej Fmin oraz maksymalnej Fmax. Pierwsze nasuwające się pytanie to, czy te granice mają swoje analogi w aspekcie B.

Otóż jeśli chodzi o Fmax, to nie, bo zbiory liniowe MHE=const typowo są poziomymi półprostymi skierowanymi ,,w prawo”. (Inaczej jest, gdy k=2 lub gdy czasem model jest choćby częściowo zdegenerowany.) Jeśli natomiast chodzi o Fmin, to tak, bo definicja

Fmin=defzbiór lewych krańców zbiorów liniowych MHE=const

ma także sens w aspekcie B i oznacza po prostu, że ta nowa granica minimalna jest pociskiem Markowitza!

Ważną rzeczą w analizie portfelowej jest porównywanie granic minimalnych w aspektach M i B, zaś szczególnie: porównywanie ich tzw. części efektywnych (ang. `efficient'), o czym dużo będziemy mówić w dalszych wykładach. Teraz, dla przykładu, porównajmy te obiekty na Rysunku 6.1 powyżej. Fmin w aspekcie M to suma dwóch łuków hiperbol Me1e2¯Me1e3¯ (niebieskiego i czerwonego). Natomiast Fmin w aspekcie B to, jak już było wspomniane, błękitny pocisk – obraz prostej krytycznej w rozważanym przykładzie.

Ćwiczenie 6.5

Znaleźć granice minimalne w aspektach M i B w przykładzie zilustrowanym na Rysunku 4.7 w Wykładzie IV.

(Uwaga. Tamten rysunek wykonany jest na płaszczyźnie R2σ2,E, chodzi tu więc o warianty  granic minimalnych pojawiające się w wyniku użycia odwzorowania M~ zamiast odwzorowania M.)

Przykład 6.3 (obliczenia prostej krytycznej przy pomocy Twierdzenia 6.1 – kontynuacja Przykładu 5.1 z Wykładu V)
Σ-1=1-46-417-266-2642,α=31,β=-19,γ=12,αγ-β2=11,

Zgodnie ze wzorem (6.2),

xE=1111-46-417-266-2642E-1911210-1+31E-191111=-311E-2111711E+1511-1411E-211.

W szczególności

x-1517=11701617 oraz x-23=01323,

co widać na Rysunku 5.1 w Wykładzie V (miejsca przecięcia prostej krytycznej z bokami trójkąta). Pocisk Markowitza (albo też: parabola w płaszczyźnie R2σ2,E)  ma tu równanie σ2=1211E2+3811E+3111.

To uzupełnia Przykład 5.1 w Wykładzie V. Mamy (wreszcie) już całościowy opis obiektów  składających się na przykład Krzyżewskiego – i wkrótce to wykorzystamy.

Dla utrwalenia wzorów poznanych na tym wykładzie proponujemy wrócić jeszcze do Rysunku 6.1 i danych (6.1), które go generują. Naśladując rachunki z Przykładu 6.3, policzmy tu prostą krytyczną, która w mapie ryzyko – wartość oczekiwana daje błękitny pocisk Markowitza na Rysunku 6.1.

Σ-1=13161-711-1-7-14,α=553,β=193,γ=73,αγ-β2=249.

Stosując znowu wzór (6.2),

xE=92413161-711-1-7-14E193173231+553E1931111=14E+3438E-78-58E+98.
Ćwiczenie 6.6

1. Upewnić się, że ta prosta krytyczna nie przecina sympleksu standardowego Δ3, czyli, że tutaj żaden portfel krytyczny Blacka nie jest Markowitza.

2. Upewnić się też, że wartość oczekiwana E nie jest stała na tej prostej krytycznej.

Wskazówka: 

Nietrudno policzyć wektor prędkości xE.

Ćwiczenie 6.7

Czy zawsze na prostej (6.2) parametr E zmienia się (nie jest stały)?

Wskazówka: 

Nietrudno zróżniczkować po E wzór (6.2) na xE. Dlaczego wynik jest zawsze wektorem niezerowym?

Zajmijmy się teraz dokładniej ostatnim pytaniem nr 4 w Ćwiczeniu 6.1 na początku tego wykładu. Po wykonaniu Ćwiczenia 6.6, jak teraz operatywnie zapisać proste–poziomice wartości E na płaszczyźnie H, i to w powiązaniu z parametrycznym opisem tej prostej krytycznej?

Po prostu policzyć iloczyn wektorowy

μ×e=231×111=2-1-1,

po czym zapisać (wszystkie!) punkty płaszczyzny H jako

xE+t2-1-1.

Ustalając tu E i zmieniając t, właśnie dostaje się poziomicę trafiającą prostą krytyczną w punkcie (portfelu Blacka) xE.

Uwaga 6.6

Nie należy sądzić, że te poziomice wartości oczekiwanej E są prostopadłe do prostej krytycznej! Tną one prostą krytyczną ukośnie pod ustalonym kątem. Np w rozważanym przykładzie wektor wyznaczający kierunek prostej krytycznej 1438-58 właśnie nie jest prostopadły de wektora μ×e, tylko tworzy z nim kąt około 6813 stopni.

(Jak wylicza się taką rozwartość kąta? Pożądane byłoby tu zaznaczyć na kartce papieru trzy wierzchołki pewnego trójkąta równobocznego o boku długości 2, nazwać je e1,e2,e3, jako obrazy wierzchołków Δ3 przy pewnej jednoznacznie już wyznaczonej izometrii, po czym narysować na kartce obraz prostej krytycznej w tej izometrii oraz obrazy poziomic parametru E. Nie symbolicznie, lecz realnie. Tak, jak one naprawdę leżą na H względem wierzchołków trójkąta Δ3. Tutaj rysowanie jako wierna izometria.)

Ćwiczenie 6.8

Rozwiązać ostatnią część (nr 4) Ćwiczenia 6.1.

Wskazówka: 

σ2xE+t2-1-1=78E2-194E+558+8t2. Gdzie zatem szukać portfela dublującego dany portfel Markowitza co do ryzyka i wartości oczekiwanej? Czy można go narysować ?

Ćwiczenie 6.9

Pokazać, że, przynajmniej w wymiarze k=3, z powyższych ćwiczeń wyłania się już ogólny sposób znajdowania ,,fałszywych portfeli Markowitza” dublujących te ostatnie co do ryzyka i wartości oczekiwanej. Tak więc, dla danego portfela Markowitza – jego ,,fałszywy” odpowiednik.

Oczywiście najciekawiej jest, gdy – jak tutaj – prosta krytyczna nie tnie trójkąta Δ3. Co się dzieje z ,,fałszywymi” portfelami Markowitza, gdy prosta krytyczna jednak tnie sympleks (mieliśmy już takie przykłady; czy wszystkie ,,fałszywe” są wtedy naprawdę fałszywe)?

Wskazówka: 

Pokazać, wykorzystując wzór (6.2), że, przy parametrze E traktowanym jako stała, w trójmianie kwadratowym od t, σ2xE+t××μ×e, nie ma wyrazu z t1.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.