Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Analiza portfelowa i rynki kapitałowe I – 9. Wykład IX, 27.XI.2009 – MIM UW

9. Wykład IX, 27.XI.2009

W poprzednim wykładzie, oprócz drugiej wartości charakterystycznej [stopy zwrotu \mu _{0} bezryzykownej, gwarantowanej …], pojawiła się też trzecia (po E_{0}=\frac{\beta}{\gamma} i \mu _{0}) charakterystyczna wartość oczekiwana \frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}. (Oczywiście wartość ta pojawia się tylko wtedy, gdy napisany ułamek ma sens, np  gdy, jak w Uwadze 8.2, \mu _{0}<E_{0}.) Na pionowej osi \overrightarrow{OE} mamy wtedy trzy wyróżnione wartości.

Punktem wyjścia było – przypominamy – wzbogacenie modelowania Blacka o wyidealizowany bank oferujący w obie strony jedną i tę samą (!) stopę zwrotu \mu _{0}. Albo równoważnie – dodanie do modelu Blacka ,,waloru bezryzykownego o stopie zwrotu \mu _{0}”.

Właśnie w Uwadze 8.2 (Wykład VIII) wspomnieliśmy, że w zmodyfikowanym modelu Tobina zawsze zakłada się dodatkowo, że \mu _{0}<\frac{\beta}{\gamma}. Za chwilę wyjaśnimy, dlaczego.

Na początek postawmy pytanie, co można wtedy powiedzieć o tej trzeciej wyróżnionej wielkości \frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}?   Zauważamy bez trudu, że

\mu _{0}<\frac{\beta}{\gamma}\ \Longleftrightarrow\ \frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}>\frac{\beta}{\gamma}\,. (9.1)

Istotnie, podstawową nierówność z Lematu 6.1 (Wykład VI, \alpha\gamma-\beta^{2}>0) zapisujemy inaczej jako \alpha-\mu _{0}\beta>\frac{\beta}{\gamma}(\beta-\mu _{0}\gamma). Teraz w procesie dzielenia tej nierówności stronami przez  \beta-\mu _{0}\gammanie zmieniamy kierunku nierówności wtedy i tylko wtedy gdy \beta-\mu _{0}\gamma>0, i właśnie to jest powiedziane w (9.1).

Zanim użyjemy równoważności (9.1), podsumujmy naszą dotychczasową wiedzę na temat zmodyfikowanego modelu Tobina.

Kluczową rolę zdaje się odgrywać w nim prosta krytyczna Tobina, utworzona z portfeli relatywnie minimalnego ryzyka (relatywnie = przy ustalonej wartości oczekiwanej). W sytuacji ogólnej przechodzi ona przez dwa charakterystyczne punkty-portfele mające wartości oczekiwane E=\mu _{0} (punkt położony na osi zmiennej x_{0}) i E=\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma} (punkt leżący na ,,blaszce” x_{0}=0, istniejący tylko wtedy, gdy ułamek ma sens, tj gdy \mu _{0}\ne E_{0}). Wygląda ona wtedy tak [w wesji pdf rysunek trafia na następną stronę],

\par
Rys. 9.1. Prosta krytyczna Tobina leżąca w przestrzeni (k+1)-wymiarowej.

przy czym podprzestrzeń \{ 0\}\times\mathbb{R}^{k}(x_{1},\dots,\, x_{k}) jest przez nią trafiana w punkcie leżącym w hiperpłaszczyźnie H (dokładniej: w \{ 0\}\times H), jak zostało ustalone w [bardzo łatwym] Ćwiczeniu 8.2 w Wykładzie VIII.

Czy da się jeszcze powiedzieć coś więcej o tym punkcie spotkania prostej Tobina z \{ 0\}\times H\subset\{ 0\}\times\mathbb{R}^{k}?   Otóż tak,

Obserwacja. 9.1 Prosta krytyczna Tobina trafia podprzestrzeń \{ 0\}\times\mathbb{R}^{k} w punkcie leżącym na prostej krytycznej Blacka:

\frac{\Sigma^{{-1}}(\mu-\mu _{0}e)}{\beta-\mu _{0}\gamma}\,=\, x\left(\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}\right)

w terminach wzoru (8.10) i oznaczeniach z Wykładu VI.

Dla dowodu wystarczy policzyć dwa minory 2\times 2 wchodzące do wzoru (6.2) na portfele krytyczne Blacka x(E) w Twierdzeniu 6.1 (Wykład VI):

\begin{vmatrix}\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}&\beta\\
1&\gamma\end{vmatrix}=\frac{\alpha\gamma-\mu _{0}\beta\gamma-\beta^{2}+\mu _{0}\beta\gamma}{\beta-\mu _{0}\gamma}=\frac{\alpha\gamma-\beta^{2}}{\beta-\mu _{0}\gamma},
\begin{vmatrix}\alpha&\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}\\
\beta&1\end{vmatrix}=\frac{\alpha\beta-\mu _{0}\alpha\gamma-\beta\alpha+\mu _{0}\beta^{2}}{\beta-\mu _{0}\gamma}=-\mu _{0}\frac{\alpha\gamma-\beta^{2}}{\beta-\mu _{0}\gamma}.\qquad\square

Ta obserwacja ma ważne konsekwencje geometryczne, gdyż \mathcal{M}–obrazy prostych leżących w \widetilde{H} i przecinających prostą krytyczną Tobina są zawsze, z powodu samej tylko krytyczności ich punktu przecięcia!, styczne do \mathcal{M}–obrazu tej prostej Tobina, czyli do kątownika Tobina policzonego w Wykładzie VIII.

W szczególności stosuje się to do prostej krytycznej Blacka,20Jest to tzw. the punch line  tego i być może wszystkich wykładów z APRK1. Anglosasi mawiają w takich sytuacjach ”And now there comes the punch line …” o ile tylko punkt przecięcia tych prostych istnieje. To znaczy – patrz końcówka Wykładu VIII – gdy \mu _{0}\ne E_{0}. Albo też, co jest dokładnie tym samym na mocy równoważności (9.1), gdy \frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}\ne E_{0}.

Wtedy jej \mathcal{M}–obraz, czyli pocisk Markowitza, jest styczny w punkcie \mathcal{M}\left(\frac{\Sigma^{{-1}}(\mu-\mu _{0}e)}{\beta-\mu _{0}\gamma}\right) do kątownika Tobina. Przy tym pocisk leży oczywiście wewnątrz tego kątownika – bo brzeg kątownika Tobina jest, jak już wiemy z Wykładu VIII, granicą minimalną w zmodyfikowanym modelu Tobina.
W tym miejscu bardzo zalecane jest obejrzeć dwie ilustracje, Figure V i Figure VII, w fundamentalnej (choć trudno dostępnej) pracy [23].

Dla dalszej dyskusji kluczowe jest, czy \mu _{0}<E_{0}, czy też \mu _{0}>E_{0}.

\bullet W pierwszym przypadku rzędna punktu styczności

\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}>E_{0}>\mu _{0}\,, (9.2)

co pokazuje, że punkt styczności leży i na górnym ramieniu kątownika Tobina, i na górnym ,,wąsie” pocisku Markowitza. Czytelnik domyśla się już, że tylko ta sytuacja będzie dla nas ciekawa (maksymalizowany będzie współczynnik Sharpe'a, o którym wstępnie dowiedzieliśmy się już w Wykładzie I).

I czytelnik domyśla się także, co dzieje się w drugim przypadku.

\bullet\bullet Tak jest, wtedy, znowu używając (9.1),

\mu _{0}>E_{0}>\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}\,, (9.3)

więc punkt styczności leży zarówno na dolnym ramieniu kątownika Tobina, jak też na dolnym wąsie pocisku Markowitza – co z punktu widzenia analizy portfelowej jest zupełnie nieciekawe (punkt przecięcia prostych byłby portfelem nieefektywnym w aspekcie B, współczynnik Sharpe'a byłby wtedy minimalizowany). Ilustracją tej sytuacji jest Figure VII w [23]; patrz też ciekawe uwagi w przypisie 11 tamże, korygujące jeszcze wcześniejsze próby ilustrowania podejmowane przez innych autorów.

Jak tę wewnętrzną styczność pocisku Markowitza do kątownika Tobina można zobrazować geometrycznie, ograniczając się do portfelowo ciekawszej sytuacji (9.2)? Pierwsza historycznie ilustracja tego to właśnie Figure V w publikacji [23].

W tych wykładach za pierwszą próbę wizualizacji możnaby od biedy i ex post  uznać … Rysunek 1.3 w Wykładzie I. A oto jeszcze cztery próby  takiej wizualizacji, na czterech rysunkach idących jeden po drugim tu poniżej, pochodzących z prac licencjackich czterech różnych studentów naszego wydziału. (Nikt na Wydziale MIM UW, jak dotąd, nie zobrazował lepiej wewnętrznej styczności pocisku Markowitza do kątownika Tobina.)

Oznaczenia na każdym z rysunków są różne; nie ma zresztą jakiejś jednej kanonicznej terminologii przyjętej w ośrodkach badawczych, gdzie uprawiana jest analiza portfelowa. [W wersji pdf dwie z tych wizualizacji zajmują następną stronę, kolejna jest na jeszcze następnej stronie, zaś czwarta i ostatnia wizualizacja znajduje się na jeszcze jeszcze następnej.]

\par
Rys. 9.2. Prawdopodobnie najlepsza wizualizacja; symbole x_{{\text{op}}} i y_{{\text{op}}} są objaśnione w dalszej części tego wykładu.
\par
Rys. 9.3. Wizualizacja w skądinąd bardzo dobrej pracy licencjackiej; oznaczenia zbliżone do naszych z wykładu.
\par
Rys. 9.4. Odręczna ilustracja dodana do … pracy licencjackiej.
\par
Rys. 9.5. Na tej ilustracji asymptoty pocisku Markowitza trzebaby dopiero dorysować.
Ćwiczenie 9.1

Uzasadnić tę styczność [pocisku Markowitza do kątownika Tobina] bezpośrednim rachunkiem.

Wskazówka: 

Styczna do hiperboli \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 w punkcie (x_{0},\, y_{0})^{{\text{T}}} ma równanie \frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\, 1 [to cytat z przedwojennego licealnego podręcznika geometrii].

Rozwiązanie: 

Równanie stycznej do hiperboli

\frac{\sigma^{2}}{a^{2}}-\frac{(E-E_{0})^{2}}{b^{2}}=1

w punkcie

(\sigma _{1},\, E_{1})^{{\text{T}}}=\left(\frac{\sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{2}\gamma}}{\beta-\mu _{0}\gamma},\,\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}\right)^{{\text{T}}}

jest więc postaci

\frac{\sigma\sigma _{1}}{a^{2}}-\frac{(E-E_{0})(E_{1}-E_{0})}{b^{2}}=1\,.

Mamy:

E_{1}-E_{0}=\frac{\alpha-\mu _{0}\beta}{\beta-\mu _{0}\gamma}-\frac{\beta}{\gamma}=\frac{\alpha\gamma-\beta^{2}}{\gamma(\beta-\mu _{0}\gamma)}\,,

zatem, po podstawieniu wszystkich parametrów, styczna ma postać

\sigma\cdot\frac{\sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{{\, 2}}\gamma}}{\beta-\mu _{0}\gamma}\cdot\gamma-\left(E-\frac{\beta}{\gamma}\right)\cdot\frac{\alpha\gamma-\beta^{2}}{\gamma(\beta-\mu _{0}\gamma)}\cdot\frac{\gamma^{2}}{\alpha\gamma-\beta^{2}}\,=\, 1\,,

co po skróceniu i obustronnym pomnożeniu przez \frac{\beta-\mu _{0}\gamma}{\gamma} daje równanie

\sigma\cdot\sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{{\, 2}}\gamma}-\left(E-\frac{\beta}{\gamma}\right)\,=\,\frac{\beta-\mu _{0}\gamma}{\gamma}.

Upraszczając, dostajemy równanie stycznej w ostatecznej postaci

\sigma\cdot\sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{2}\gamma}+\mu _{0}=E

(porównaj też jeszcze raz Figure IV oraz Figure V w [23]). Jest to równanie górnego ramienia kątownika Tobina.

Dokładniejsze przyjrzenie się Rysunkowi 9.2 pokazuje, że portfel krytyczny Blacka

x_{{\text{op}}}\overset{\text{def}}{=}\frac{\Sigma^{{-1}}(\mu-\mu _{0}e)}{\beta-\mu _{0}\gamma}\,, (9.4)

podany tu w postaci uzyskanej w (8.10) w Wykładzie VIII, w sytuacji (9.2) maksymalizuje wśród wszystkich portfeli Blacka x\in H współczynnik Sharpe'a

S_{{\mu _{0}}}(x)\,=\,\frac{E(x)-\mu _{0}}{\sigma(x)}

(powtórzenie wzoru (1.1) z Wykładu I). Jest to bezpośredni wniosek z Rysunku 9.2; porównaj też Rysunek 1.3 (i jego okolice) w Wykładzie I.

Natomiast w dualnej sytuacji (9.3), portfel (8.10), leżący niezmiennie na przecięciu prostych Blacka i Tobina, minimalizuje ten sam współczynnik wśród wszystkich portfeli Blacka, czego uzasadnienie jest zupełnie analogiczne i też geometryczne.

Wreszcie w sytuacji specjalnej \mu _{0}=E_{0}, zagadnienie maksymalizacji (czy też analogicznie minimalizacji) współczynnika Sharpe'a nie ma rozwiązania wśród wszystkich portfeli Blacka. Istotnie, dla każdego portfela Blacka nietrudno wtedy wskazać inny portfel, którego współczynnik Sharpe'a jest większy (względnie mniejszy). Nie wchodzimy tu w szczegóły, jest to całkiem elementarne.

Będziemy odtąd mówić, nie wymieniając, czy nie nawiązując już wprost do wyidealizowanego banku, że w sytuacji (9.2) portfel x_{{\text{op}}} jest optymalny w modelu Blacka ze względu na [panującą na rynku] stopę bezryzykowną \mu _{0}. Jest to pewien żargon matematyki finansowej, lecz dość szeroko rozpowszechniony. Pierwszy taką terminologię wprowadził Krzyżewski w [13]; mówił on o portfelu optymalnym w modelu Blacka względem \mu _{0}.

Dyskusja rozpoczęta w Wykładzie VIII i kontynuowana do tego miejsca w bieżącym, pozwala na sformułowanie

Twierdzenie 9.1

W niezdegenerowanym modelu Blacka istnieje portfel optymalny ze względu na stopę bezryzykowną \mu _{0}>-1\ \Longleftrightarrow\ -1<\mu _{0}<E_{0}=\frac{\beta}{\gamma}.

Gdy \mu _{0} jest właśnie taka, wtedy portfel optymalny ze względu na stopę \mu _{0} jest jedyny i dany wzorem (9.4).

To twierdzenie jest już udowodnione; również, jeśli chodzi o jedyność portfela optymalnego. (W grę wchodzą bowiem tylko portfele Blacka mające \mathcal{M}-obrazy na górnym wąsie pocisku Markowitza, więc leżące tylko na jednej półprostej \{ E\ge E_{0}\} w prostej Blacka, o początku w x_{{\min}}. Zaś na tej półprostej maksymalny współczynnik Sharpe'a ma tylko portfel x_{{\text{op}}}.)

Uwaga 9.1

(i) Współczynnik Sharpe'a to jedna z najważniejszych miar efektywności portfela w całej analizie portfelowej. Współczynnik ten mierzy premię za ryzyko, czyli nadwyżkę stopy zwrotu ponad \mu _{0}, w stosunku do samego ryzyka portfela – wyraża więc premię za ryzyko portfela na jednostkę tego ryzyka. Zwracamy uwagę, że współczynnik Sharpe'a już był wzmiankowany, w tym dokładnie kontekście, w Wykładzie I.

(ii) Podkreślamy, że portfel x_{{\text{op}}} ma podaną wyżej interpretację (maksymalizacja współczynnika Sharpe'a) na płaszczyźnie (\sigma,\, E), nie zaś (\sigma^{2},\, E)! Interpretacja dotyczy prostych i hiperbol, nie parabol. Przykład portfela, który mógłby być traktowany jako x_{{\text{op}}} (zaczerpnięty z [4]), pojawił się już na początku Wykładu VI. Dalsze przykłady są podane tu poniżej (Przykłady 9.1 i 9.2).

Przykład 9.1

W modelu Blacka z danymi z Przykładu 5.2 przy \rho=0,

\Sigma=\begin{pmatrix}9&3&1\\
3&2&0\\
1&0&4\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}5\\
4\\
2\end{pmatrix},

próbujemy wyliczyć specjalną wartość stopy bezryzykownej \mu _{0}, przy której portfelem optymalnym jest e_{2}.

Bardzo pomocny jest Rysunek 5.3. Z jego pomocą wnioskujemy, że taka sama będzie odpowiedź dla podmodelu Blacka używającego tylko spółek numer 1 i 2:21Względnie 2 i 3, my wybieramy 1 i 2. To będzie w przyszłości nasz częsty ,,stały element gry” – ograniczanie się do podmodelu i stosowanie do niego, czy w nim, tej samej teorii, co dla pełnego modelu. Zresztą pierwszy krok w tym kierunku był już zrobiony w Ćwiczeniu 7.3 w Wykładzie VII, gdy, w aspekcie M, szukaliśmy początku łamanej efektywnej na pewnym boku trójkąta.

\begin{pmatrix}9&3\\
3&2\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}5\\
4\end{pmatrix}.

Istotnie, portfel e_{2} jest tu portfelem krytycznym, więc styczna do pocisku Markowitza w jego obrazie pokrywa się ze styczną do obrazu boku \overline{e_{1}\, e_{2}} i możemy pracować z tą ,,drugą” styczną, to znaczy ograniczyć się do wspomnianego podmodelu. Trochę to niepokojące, ale … trudne do podważenia.

By – odpowiednio teraz rozumiany, w wymiarze 2! – wzór (9.4) dawał e_{2}, zerować się musi pierwsza składowa w jego liczniku. Tymczasem ten licznik (wielkość wektorowa), z dokładnością do czynnika liczbowego \frac{1}{9}, to

\begin{pmatrix}2&-3\\
-3&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5-\mu _{0}\\
4-\mu _{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mu _{0}-2\\
21-6\mu _{0}\end{pmatrix}.

Stąd odpowiedzią jest \mu _{0}=2. Środkowy z trzech walorów okazuje się być optymalny w modelu Blacka przy stopie bezryzykownej równej wartości oczekiwanej najsłabszego (czyli trzeciego) z walorów.

Przykład 9.2

W modelu Blacka z danymi studenta Mordona

\Sigma=\begin{pmatrix}9&3&1\\
3&2&2\\
1&2&4\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}5\\
4\\
2\end{pmatrix}

(znowu sięgamy do Przykładu 5.2 w Wykładzie V, a nawet do praźródła tamtego przykładu), \beta=\frac{13}{5}, \gamma=\frac{3}{5}, zatem pocisk Markowitza ma dzióbek na wysokości E_{0}=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{13}{3}=4.33(3). Bierzemy \mu _{0} dosyć duże w stosunku do E_{0}, by wydobyć dynamikę tkwiącą we wzorze (9.4) na portfel optymalny:

gdy \mu _{0}=4, wtedy x_{{\text{op}}}=\frac{\Sigma^{{-1}}(\mu-\mu _{0}e)}{\beta-\mu _{0}\gamma}=\left(\begin{smallmatrix}-2\\
10\\
-7\end{smallmatrix}\right).

Gdy zaś \mu _{0}=\frac{25}{6}, wtedy x_{{\text{op}}}=\frac{1}{3}\left(\begin{smallmatrix}-11\\
55\\
-41\end{smallmatrix}\right).

Dynamika ilustrowana w Przykładzie 9.2 jest całkowicie zrozumiała, gdy rysunki takie jak [np] Rysunek 9.2 analizujemy pod kątem dążności \mu _{0}\to E_{0}-: punkt styczności, czyli \mathcal{M}(x_{{\text{op}}}), ucieka wtedy w górę (w kierunku `północno-wschodnim') po wąsie pocisku Markowitza do \infty.

Ćwiczenie 9.2 (kontynuacja ćwiczenia z Uwagi 7.2 (Wykład VII))

Znaleźć wartość stopy bezryzykownej \mu _{0}, względem której portfel (0,\, 0,\, 1)^{{\text{T}}} jest optymalny w modelu Blacka z parametrami (7.1), który pojawił się jeszcze w Wykładzie VII. Czy w tym modelu Blacka są jeszcze inne portfele optymalne względem tej wartości \mu _{0}? Jeśli tak, to znaleźć wszystkie takie portfele [optymalne w tym modelu Blacka względem tej wartości \mu _{0}].

W tym samym modelu Blacka znaleźć wszystkie portfele optymalne względem stopy bezryzykownej \mu _{0}=0.

Dyskusja portfeli optymalnych w teorii Blacka byłaby niepełna bez dyskusji portfeli efektywnych w zmodyfikowanym modelu Tobina, leżących na półprostej krytycznej Tobina zaczynającej się w portfelu (1,\, 0,\dots,\, 0)^{{\text{T}}} i przechodzącej przez \big(0,\, x_{{\text{op}}}^{{\,\text{T}}}\big)^{{\text{T}}}. Ta półprosta jest zaznaczona na czerwono na Rysunku 9.6 poniżej. One, i tylko one, są efektywne, gdyż tylko one przechodzą na górne ramię kątownika Tobina, tzn. \{(\sigma,\, E)^{{\text{T}}}\colon E-\mu _{0}=\sigma\sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{{\, 2}}\gamma}\}. W szczególności odcinek portfeli między punktami charakterystycznymi na prostej Tobina (1,\, 0,\dots,\, 0)^{{\text{T}}} i (0,\, x_{{\text{op}}}^{{\,\text{T}}})^{{\text{T}}} przechodzi afinicznie na odcinek o końcach (0,\,\mu _{0})^{{\text{T}}} i \mathcal{M}\big(x_{{\text{op}}}\big).22Formalnie rzecz biorąc, nie powinniśmy w argumencie pod \mathcal{M} opuszczać zerowej składowej x_{{\text{op},0}}=0. Te odcinki są pogrubione na Rysunku 9.6 poniżej.

Na rzucie wymienionego odcinka [czerwonego pogrubionego na Rysunku 9.6] na \mathbb{R}^{k}(x_{1},\dots,\, x_{k}) leży ważny z punktu widzenia interpretacji finansowych ,,portfel”

y_{{\text{op}}}=\frac{x_{{\text{op}}}}{\sum _{{i=1}}^{k}|x_{{\text{op},i}}|}\,. (9.5)

Uwaga. Jest częstym błędem w pracach licencjackich czy nawet podręcznikach lokować punkt y_{{\text{op}}} na czerwonym pogrubionym odcinku na Rysunku 9.6. Punkty tam leżące są pewnymi portfelami krytycznymi Tobina i oczywiście spełniają warunek budżetowy. Ślad tego błędu jest też na, skądinąd bardzo starannym i czytelnym, Rysunku 9.2 powyżej.

Ćwiczenie 9.3

Gdzie dokładnie jest błąd na Rysunku 9.2?

Wskazówka: 

Przeprowadzić analizę porównawczą Rysunków 9.2 i 9.6.

Cudzysłów przed definicją (9.5) został więc użyty celowo; obiekt opisany wzorem (9.5) najczęściej nie jest portfelem. Dokładniej, oznaczając t\overset{\text{def}}{=}\left(\sum _{{i=1}}^{k}|x_{{\text{op},i}}|\right)^{{-1}}, na czerwonym pogrubionym odcinku poniżej leży portfel krytyczny Tobina

(1-t)\begin{pmatrix}1\\
0\\
\vdots\\
0\\
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\
x_{{\text{op}}}\end{pmatrix}\,\,=\,\,\begin{pmatrix}1-t\\
0\\
\vdots\\
0\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\
y_{{\text{op}}}\end{pmatrix}. (9.6)

[W wersji pdf odpowiedni rysunek przeskoczył aż na następną stronę.]

\par
Rys. 9.6. Pogrubiony czerwony odcinek przechodzi pod działaniem \mathcal{M} afinicznie na pogrubiony czarny odcinek.

Chcemy te ogólne uwagi wstępne wesprzeć konkretnym przykładem. Jeśli portfel wypisany explicite w Wykładzie VI oznaczyć właśnie x_{{\text{op}}}, wtedy (rezygnując z \% na rzecz zwykłych ułamków) t=(81.118)^{{-1}}=0.01233, zaś y_{{\text{op}}} zdefiniowany wzorem (9.5) wynosi
Walor nr Udział w ,,portfelu” y_{{\text{op}}}
1 0.0798
2 0.095
3 0.0899
4 0.2147
5 0.268
6 -0.0188
7 -0.0551
8 -0.0732
9 -0.0914
10 -0.2553

Zgodnie we wzorem (9.6), do tak określonego wektora y_{{\text{op}}} dochodzi ogromna część kapitału (tylko kapitału własnego inwestora, o czym niżej!), dokładnie (1-t=0.98767) –część zdeponowana w banku na bezryzykownym koncie procentującym \mu _{0} w rozważanym okresie inwestycyjnym, patrz wzór (9.8) poniżej.

,,Portfel” y_{{\text{op}}} jest nazywany w literaturze portfelem optymalnym Lintnera, por. [16] i [5]. Wyraża on, czy modeluje (koduje?) inwestowanie na giełdzie z ograniczoną w sensie Lintnera krótką sprzedażą; w danym przypadku – inwestowanie optymalne w sensie współczynnika Sharpe'a S_{{\mu _{0}}}.

Przed dalszymi wyjaśnieniami chcemy podkreślić występującą tu pozorną sprzeczność. Oto z jednej strony ,,portfel” y_{{\text{op}}} niesie w sobie kompletną informację dotyczącą inwestowania w akcje: suma modułów jego składowych wynosi z definicji 1, czyli przedstawia on podział kapitału własnego inwestora na części inwestowane w poszczególne spółki giełdowe. Ponadto znaki wskazują na rodzaj tego inwestowania: + oznacza zajmowanie długiej pozycji w danym walorze, zaś - oznacza zajmowanie krótkiej pozycji.

Wszystko wydaje się pasować, dopóki nie uzmysłowimy sobie, że jednak y_{{\text{op}}} nie jest portfelem, zaś staje się takim dopiero po dołożeniu czy też dostrzeżeniu lwiej części środków pieniężnych umieszczonych na bezryzykownym koncie w banku. Czy można w jakiś finansowo spójny sposób połączyć wymienione tu fakty i informacje?

Otóż tak, przy czym wyjaśnienie przychodzi z dwu stron.

Pierwsza jest algebraiczna i polega na uważnym przyjrzeniu się wielkości środków, które trafiają do banku:

1-t=\frac{\sum _{{i=1}}^{k}|x_{{\text{op},i}}|-1}{\sum _{{i=1}}^{k}|x_{{\text{op},i}}|}=\frac{2\sum _{{j\colon x_{{\text{op},j}}<0}}|x_{{\text{op},j}}|}{\sum _{{i=1}}^{k}|x_{{\text{op},i}}|}. (9.7)

Druga polega na przyjrzeniu się inwestowaniu w akcje z dopuszczeniem krótkiej sprzedaży w sensie Lintnera. Podkreślmy – jakiemukolwiek takiemu inwestowaniu, niekoniecznie inwestowaniu w portfel y_{{\text{op}}} pochodzący od portfela optymalnego w modelu Blacka.

Otóż Lintner modeluje inwestowanie w portfel y z krótką sprzedażą następująco:

inwestor wkracza do Domu Maklerskiego ze swoim kapitałem L, który dzieli na części |y_{i}|L przeznaczone do zainwestowania w akcje spółek o numerach i, \sum _{{i=1}}^{k}|y_{i}|=1. Jeśli zajmuje on długą pozycję w walorze i, wtedy y_{i}>0. Jeśli krótką, wtedy y_{i}<0. W tym drugim, ciekawszym przypadku inwestor:

  • - deponuje w DM (-y_{i})L swego kapitału, czyli równowartość akcji i-tej spółki pożyczonych przez DM;

  • - następnie sprzedaje te dopiero co pożyczone akcje i uzyskane za nie (-y_{i})L zamraża na cały okres inwestycyjny w DM, po angielsku: put in escrow;

  • - na końcu okresu inwestycyjnego odbiera pieniądze put in escrow i odkupuje za nie pożyczone na początku akcje nr i (za mniejszą kwotę, niż zamroził – wtedy ma zysk, lub za większą – wtedy różnicę musi dołożyć z własnych środków i wówczas odnotowuje stratę), które następnie zwraca do DM;

  • - wychodząc z DM odbiera swoje zdeponowane na okres inwestycyjny (-y_{i})L.

Unifikacja spojrzeń na krótką sprzedaż Lintnera następuje przez zapisanie (9.7) w postaci

1-t=\sum _{{i\colon y_{{\text{op},i}}<0}}2(-y_{{\text{op},i}}) (9.8)

i następnie ekstrapolację tego wzoru do ogólniejszego

1-t=\sum _{{i\colon y_{i}<0}}2(-y_{i}), (9.9)

gdzie t\,=\, 1+2\sum _{{i\colon y_{i}<0}}y_{i}\,=\,\sum _{{i=1}}^{k}|y_{i}|+2\sum _{{i\colon y_{i}<0}}y_{i}\,=\,\sum _{{i=1}}^{k}y_{i}.

Podkreślamy jeszcze raz – portfel (y_{1},\, y_{2},\dots,\, y_{k})^{{\text{T}}} modelujący krótką sprzedaż Lintnera nie pochodzi teraz od żadnego portfela optymalnego. Jedyne ograniczenie, jakiemu podlega, to \sum _{{i=1}}^{k}y_{i}>0, tzn. inwestor inwestuje więcej w długie pozycje niż w krótkie.23  Nawet to ograniczenie à priori nie jest konieczne w podejściu Lintnera. Jednakże nasze interpretacje dotyczą tylko portfeli Lintnera, w których więcej niż połowa kapitału idzie w długie pozycje, a mniej niż połowa w pozycje krótkie.

Kluczowe dla zrozumienia sytuacji jest zauważenie, że zarówno początkowe pieniądze inwestora (-y_{i})L zdeponowane w DM, jak i te ,,nowe” (-y_{i})L zamrożone, czy też put in escrow  na okres inwestycyjny, procentują ze stopą zysku \mu _{0}! DM nie trzyma przecież takich depozytów u siebie, tylko w banku, który zawsze stosuje stopę \mu _{0}. Innymi słowy, dla każdej spółki nr i, w której inwestor zajmuje krótką pozycję (y_{i}<0), przez okres inwestycyjny procentuje dla niego kwota 2(-y_{i})L. Łącznie procentuje tak zatem kwota L\cdot[wielkość po prawej stronie wzoru (9.9)]. Czy inwestor Lintnera tego chce, czy nie, efekt jest taki, jakby (1-t)-ta część jego kapitału procentowała bezryzykownie ze stopą \mu _{0}.

Natomiast pozostała t-ta część jego kapitału zachowuje się proporcjonalnie ze współczynnikiem t do zachowania na giełdzie portfela – już teraz prawdziwego portfela Blacka \frac{y}{e^{{\text{T}}}y} :

t\frac{y}{e^{{\text{T}}}y}=\left(\sum _{{i=1}}^{k}y_{i}\right)\frac{y}{e^{{\text{T}}}y}=y.

Im mniejszy jest ,,portfel” Lintnera y, t małe dodatnie, tym większa jest ilość środków, 1-t w stosunku do kapitału inwestora, realnie lokowana w banku. Im większa skłonność do krótkiej sprzedaży, tym większa część środków bezryzykownie ,,pracuje” w banku. Taka jest istota ograniczonej krótkiej sprzedaży Lintnera.

Dla wygody słuchacza, któremu przypadła do gustu krótka sprzedaż w sensie Lintnera, proponujemy następujący krótki słownik:
portfel Blacka x (w szczególności portfel optymalny x_{{\text{op}}} ze względu na \mu _{0}) \longmapsto ”portfel” Lintnera \frac{x}{\sum _{{i=1}}^{k}|x_{i}|}, przy czym bezryzykownie procentuje, ze stopą \mu _{0}, \frac{2\sum _{{j\colon x_{j}<0}}|x_{j}|}{\sum _{{i=1}}^{k}|x_{i}|} – część kapitału inwestora, por. (9.7)
portfel Blacka \frac{y}{e^{{\text{T}}}y} \longmapsfrom ”portfel” Lintnera y taki, że e^{{\text{T}}}y>0, przy którym bezryzykownie procentuje, ze stopą \mu _{0}, 2\sum _{{j\colon y_{j}<0}}(-y_{j}) – część kapitału inwestora, por. (9.9)

Uwaga 9.2

Należy cały czas pamiętać, że krótka sprzedaż Lintnera może też wykraczać poza opisany tu schemat. Można w niej dokładnie połowę kapitału inwestować w krótkie pozycje, można \frac{3}{4}, można \frac{7}{8}, … Patrz też uwagi na ten temat w [5], przypis 4 oraz [4], przypis 4 na str. 230.

Uwaga 9.3

Dużo bardziej realistycznie, niż Black czy Lintner, modelował krótką sprzedaż akcji na giełdzie G. J. Alexander w pracy [2]. Jego podejście jest szczegółowo dyskutowane na wykładzie APRK2.

Dla zamknięcia tematu ,,zmodyfikowany model Tobina” warto spojrzeć na oba typy kątowników: stary w teorii Blacka (mówimy krótko ”kątownik Blacka”) i nowy w teorii Tobina (”kątownik Tobina”) z jednego wspólnego punktu widzenia.

Mianowicie, zmodyfikowany model Tobina okazuje się leżeć ,,na granicy” pewnych  niezdegenerowanych modeli Blacka (k+1)\times(k+1) z parametrami

\widetilde{\Sigma}_{{\epsilon}}=\begin{pmatrix}\epsilon&0&\dots&0\\
0&&&\\
\vdots&&\Sigma&\\
0&&&\end{pmatrix}\quad\text{ i }\quad\widetilde{\mu}_{{\epsilon}}=\begin{pmatrix}\mu _{0}\\
\mu\end{pmatrix},\quad\epsilon>0.

Dokładniej, dla tych modeli można policzyć klasyczne parametry z teorii Blacka \alpha _{{\epsilon}},\,\beta _{{\epsilon}},\gamma _{{\epsilon}}, uzyskując:

\alpha _{{\epsilon}}=\frac{\mu _{0}^{{\, 2}}}{\epsilon}+\alpha,\quad\beta _{{\epsilon}}=\frac{\mu _{0}}{\epsilon}+\beta,\quad\gamma _{{\epsilon}}=\frac{1}{\epsilon}+\gamma\,.

Wówczas wysokości dzióbków ich pocisków Markowitza zachowują się zgodnie z oczekiwaniami

\frac{\beta _{{\epsilon}}}{\gamma _{{\epsilon}}}=\frac{\frac{\mu _{0}}{\epsilon}+\beta}{\frac{1}{\epsilon}+\gamma}\longrightarrow\mu _{0}\quad\text{gdy}\quad\epsilon\to 0+\,. (9.10)

Co z kątami między asymptotami tych pocisków, albo najkrócej: co z kątami w ich kątownikach Blacka? Liczymy tangensy połowy kątów w kątownikach Blacka dla tych modeli, wzór (6.6):

\frac{b_{{\epsilon}}}{a_{{\epsilon}}}\,=\,\sqrt{\frac{\alpha _{{\epsilon}}\gamma _{{\epsilon}}-\beta _{{\epsilon}}^{{\, 2}}}{\gamma _{{\epsilon}}}}\,\,=\,\,\sqrt{\frac{\mu _{0}^{{\, 2}}}{\epsilon}+\alpha-\frac{\left(\frac{\mu _{0}}{\epsilon}+\beta\right)^{2}}{\frac{1}{\epsilon}+\gamma}}\,.
Ćwiczenie 9.4

Jest pouczającym ćwiczeniem24choć to niby jest tylko AM I … policzyć granicę tego wyrażenia przy \epsilon\to 0+.

Rozwiązanie: 

Ta granica wynosi \sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{{\, 2}}\gamma} , co wydaje się dość naturalne.

Do kompletu informacji brak jeszcze wiedzy na temat samych półoś a_{{\epsilon}} oraz b_{{\epsilon}} pocisków Markowitza, które mają do czegoś dążyć. Z poziomymi półosiami nie ma najmniejszego kłopotu,

a_{{\epsilon}}=\frac{1}{\sqrt{\gamma _{{\epsilon}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\epsilon}+\gamma}}\longrightarrow 0

gdy \epsilon\to 0+. (Podobnie z pionowymi półosiami, gdy już – właśnie z Ćwiczenia 9.4 ! – znamy granicę tangensów kątów:

b_{{\epsilon}}\,=\, a_{{\epsilon}}\frac{b_{{\epsilon}}}{a_{{\epsilon}}}\longrightarrow 0\cdot\sqrt{\alpha-2\mu _{0}\beta+\mu _{0}^{{\, 2}}\gamma}\,=\, 0\,,

lecz nam wystarcza informacja o półosiach poziomych.)

Tak więc dany zmodyfikowany model Tobina istotnie jest granicą pewnych niezdegenerowanych modeli Blacka w wymiarze k+1, z naciskiem na ”pewnych”, specjalnie dobranych. Ich kątowniki Blacka dążą do kątownika Tobina, ok, lecz nawet więcej: same te pociski Markowitza dążą do kątownika Tobina.25W tym momencie przypomina się nam Rysunek 4.5 w Wykładzie IV: pocisk Markowitza oglądany z tak daleka, że już nieodróżnialny od własnych asymptot.

Konkludując, [ktoś powie:] nic nowego pod słońcem; zmodyfikowany model Tobina może być w bardzo precyzyjnym sensie traktowany jako przypadek graniczny w teorii Blacka i współpracowników.

Chcemy teraz przenieść spojrzenie Tobina na model Blacka na – też Tobina – spojrzenie na model Markowitza! Pamiętamy, że w teorii Blacka portfel optymalny ze względu na stopę bezryzykowną podaną przez teorię Tobina wyłonił się całkiem naturalnie. Maksymalizowanie przez niego współczynnika Sharpe'a jest widoczne bezpośrednio i jest bardzo intuicyjne.

Inaczej będzie z portfelami optymalnymi w teorii Markowitza. Metody Analizy II bezpośrednio tam nie wystarczą, potrzebna będzie Optymalizacja II. Więcej nawet: do samego szukania granicy minimalnej F_{{\min}} w ogólnym przypadku też użyteczna będzie Optymalizacja II.

Kluczowe narzędzie dla całej pozostałej części kursu APRK1

Przypomnimy teraz ważne narzędzie z Optymalizacji II, tzw. twierdzenie Karusha-Kuhna-Tuckera, które oryginalnie opublikowane zostało w [14], tzn. w trudno dostępnej publikacji zbiorowej ,,Proceedings 2^{{\text{nd}}} Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability” (1951) oraz było już zawarte w nieopublikowanej pracy magisterskiej [11] z [grudnia] roku 1939. Twierdzenie to prawie zawsze przypisywane jest tylko Kuhnowi i Tuckerowi; niżej (i w dalszych wykładach) czytelnik znajdzie niemało prób wyjaśnienia takiego stanu rzeczy.
Należy zaznaczyć, że oryginalne sformułowania twierdzenia, bardzo do siebie zbliżone, choć podane całkowicie niezależnie przez (a) Karusha oraz (b) Kuhna i Tuckera, były inne  niż przytoczone tu poniżej. Nie miały one charakteru `iff' (czyli, po nowo-polsku, `wteddy') i nie było w nich żadnych słów dotyczących wklęsłości bądź wypukłości. Były to tylko warunki konieczne ekstremów lokalnych warunkowych konkretnego typu; w istocie jeden warunek wspólny w obu pracach. Jest to znakomicie opisane w – dużo późniejszej – przeglądowej i historycznej pracy [12], gdzie szczególnie należy zwrócić uwagę na początek sekcji 2.3 na stronie 337, jako, że na pierwszy rzut oka warunek Karusha jednak różni się od warunku(ów) Kuhna i Tuckera.

Piszący kilkanaście lat później [w dużym przeglądowym artykule w Wiadomościach Matematycznych XII.1 (1969)] A. Turowicz i H. Górecki tak oceniali to twierdzenie: ”… Metody Dubowickiego–Milutina oraz Kuhna–Tuckera są tak doniosłe, że powinny być udostępnione inżynierom pracującym naukowo w specjalnym opracowaniu.” (O pracy magisterskiej Karusha nic wtedy, a może i później, nie wiedzieli.)

Dopiero po jakimś czasie dyskutowane twierdzenie zaczęło być używane w kategorii wypukłej, i wówczas już jako `wteddy'. Nie sposób obecnie odtworzyć łańcuszka tego swoistego głuchego telefonu, który w danym przypadku ulepszał, a nie pogarszał rezultat!
Oto wersja, jaka nam będzie potrzebna i (chwilowo) wystarczająca.

Twierdzenie 9.2 (Karush; Kuhn, Tucker; wersja w kategorii wypukłej)

Niech G\subset\mathbb{R}^{k} będzie otwarty i wypukły, zaś f\colon G\to\mathbb{R} będzie wklęsła (wypukła) i różniczkowalna w punkcie x=x_{0}\in G, który spełnia warunki

\tag{$\intercal$}\left\{\begin{array}[]{ll}a_{i}^{{\text{T}}}x=b_{i},&i=1,\, 2,\dots,\, r;\\
a_{i}^{{\text{T}}}x\le b_{i},&i=r+1,\dots,\, l,\end{array}\right. (9.11)

gdzie b_{i}\in\mathbb{R}, a_{i}\in\mathbb{R}^{k}. Wtedy punkt x_{0} jest punktem globalnego warunkowego maksimum (minimum) funkcji f przy warunkach (ograniczeniach) (9.11) \Longleftrightarrow

\exists\,\,\lambda _{1},\dots,\,\lambda _{r}\in\mathbb{R}\quad\exists\lambda _{{r+1}},\dots,\,\lambda _{l}\le 0\ (\ge 0)\qquad\nabla f(x_{0})+\sum _{{i=1}}^{l}\lambda _{i}a_{i}=0
\text{oraz }\quad\sum _{{i=r+1}}^{l}\lambda _{i}(b_{i}-a_{i}^{{\text{T}}}x_{0})=0\quad\text{ (warunek komplementarności)}.
Uwaga 9.4

Podane tu sformułowanie twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera nie jest najogólniejszym możliwym jego sformułowaniem w kategorii wypukłej. (I poza tym to twierdzenie istnieje też w innych kategoriach – patrz Wykłady XIII i XIV.)
We Francji np przyszłych inżynierów uczy się takiej jego wersji, w której zamiast ograniczeń liniowych (9.11) występują dużo bardziej ogólne ograniczenia dawane funkcjami wypukłymi (wklęsłymi), gdy ekstremalizowana funkcja f jest wklęsła (wypukła), porównaj np [25], s. 276. W związku z tym twierdzenie to jest we Francji również nazywane twierdzeniem o punkcie siodłowym.26Ściśle biorąc, najbliższe oryginalnym pracom Karusha i Kuhna\&Tuckera jest w książce [25] Twierdzenie 3 na stronie 266, które jednak nie jest tam nazwane KT, ani tym bardziej K-KT. Twierdzenie o punkcie siodłowym na stronie 276 jest z niego wnioskiem, czy też jednym z wniosków. W [25] w ogóle nie występuje nazwisko Karush. Jednakże dla naszych potrzeb ograniczenia liniowe (typu równościowego i nierównościowego) są zupełnie wystarczające.

Uwaga 9.5

Jeszcze z innej strony problematykę `K-KT' naświetla klasyczny podręcznik [17]. W rozdziale `First-Order Necessary Conditions' formułuje on, na stronach 314–315, warunki konieczne  warunkowego minimum/maksimum (zależnie, czy funkcję celu chcemy minimalizować, czy maksymalizować), i nazywa je `Kuhn-Tucker Conditions'. Nazwisko Karush i tam się nie pojawia. Jest to kwintesencja rezultatów Karusha i Kuhna\&Tuckera, tak, jak je znamy z wersji upublicznionej w [12]. (Żadnego innego dojścia do tekstów źródłowych [11] i [14] nie mamy.) Po warunkach koniecznych pierwszego rzędu pojawiają się w [17] jeszcze warunki dostateczne  drugiego rzędu (!). Książka bardzo godna polecenia, napisana w solidnym anglosaskim stylu.

Jak już powiedziano, Twierdzenie 9.2 będziemy stosować w analizie portfelowej. Jednak dobrą rozgrzewką jest następujące zagadnienie, które też (m. in.) może być atakowane przy pomocy twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera.

Ćwiczenie 9.5

Znaleźć wielomian(y) ax^{2}+bx+c (a,\, b,\, c\in\mathbb{R}) najlepiej przybliżający(e) w normie \sup funkcję |x| na przedziale [-1,\, 1].

Wskazówka: 

Chwytamy nieznany wielomian (na przykład) w pięciu węzłach: -1,\,-\frac{1}{2},\, 0,\,\frac{1}{2},\, 1 i postulujemy, by w tych węzłach był on odległy od funkcji |x| o nie więcej niż \frac{1}{8}. To znaczy postulujemy, by

|c|\le\frac{1}{8},\ \left|\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{8},\ \left|\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{8},\ |a-b+c-1|\le\frac{1}{8},\ |a+b+c-1|\le\frac{1}{8}.

Każdą z funkcji a,\, b,\, c na G=\mathbb{R}^{3}(a,\, b,\, c) raz traktujemy jako wklęsłą, raz jako wypukłą. Szukamy ich maksimów i minimów na zbiorze opisanym pięcioma nierównościami modułowymi, albo dziesięcioma nierównościami bezmodułowymi jak w Twierdzeniu 9.2. Komputer powinien pomóc w przeczesaniu ogromu możliwości tutaj. Spodziewamy się następującej odpowiedzi …

Pod następnym kliknięciem wyświetli się wszystkich 10 nierówności bezmodułowych, czyli przecięcie 10 półprzestrzeni domkniętych w \mathbb{R}^{3}(a,\, b,\, c):

c\le\frac{1}{8}\,,\ -\, c\le\frac{1}{8}\,,\ \frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c-\frac{1}{2}\le\frac{1}{8}\,,\ -\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b-c+\frac{1}{2}\le\frac{1}{8}\,,\ \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c-\frac{1}{2}\le\frac{1}{8}\,,
-\,\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b-c+\frac{1}{2}\le\frac{1}{8}\,,\  a-b+c-1\le\frac{1}{8}\,,\ -\, a+b-c+1\le\frac{1}{8}\,,\  a+b+c-1\le\frac{1}{8}\,,\ -\, a-b-c+1\le\frac{1}{8}\,.

Podejrzenie zasadza się w tym, że to przecięcie jest jednym punktem  \left(1,0,\frac{1}{8}\right)^{{\text{T}}}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.