Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 13. Metody stochastyczne w finansach – MIM UW

Zagadnienia

13. Metody stochastyczne w finansach

Liczba godzin 6.
Zakres materiału:
Funkcja użyteczności. Kryterium oczekiwanej użyteczności. Dominacja stochastyczna. Podstawowe miary ryzyka.

13.1. Strategie inwestycyjne

W tym wykładzie analizie poddane zostaną inwestycje jednookresowe.

Rys. 13.1. Przepływy pieniężne.

W momencie T_{0} inwestor inwestuje kwotę k, a w ustalonym momencie T_{1} otrzymuje K jednostek monetarnych. Kwota k jest znana (deterministyczna), a K modelujemy jako zmienną losową.

Pytanie.
Jaką metodę (strategię) ma zastosować inwestor, aby wybrać najlepszą z wielu możliwych inwestycji?

Odpowiedź matematyka jest następująca:
Inwestor powinien wprowadzić na zbiorze wszystkich możliwych (dopuszczalnych) inwestycji relację określającą, które z nich są ,,lepsze”, a które ,,gorsze”.

W poniższym podrozdziale omówimy własności takich relacji, a w kolejnych zajmiemy się ich konstrukcją.

13.1.1. Relacje quasi-porządku

Zastosowanie standardowych relacji porządkujących (patrz [35] rozdział IX) wymaga od inwestora informacji niejednokrotnie niemożliwych do uzyskania dlatego znacznie bardziej praktyczne jest wprowadzenie relacji quasi-porządkujących.

Definicja 13.1

Relację \succeq określoną na zbiorze X nazywamy quasi-porządkiem, jeżeli jest
a) zwrotna

\forall x\in X\;\;\; x\succeq x;

b) przechodnia

\forall x,y,z\in X\;\;\; x\succeq y\wedge y\succeq z\Longrightarrow x\succeq z.

Z każdą relacją quasi-porządku \succeq związane są trzy ,,pokrewne” relacje \preceq, \succ i \prec.

x\succ y\Leftrightarrow x\succeq y\wedge\neg(y\succeq x);
x\preceq y\Leftrightarrow y\succeq x;\;\;\;\; x\prec y\Leftrightarrow y\succ x.

Zauważmy, że dla dwóch różnych elementów x,y możliwe są cztery ewentualności, które się nawzajem wykluczają:

x\succ y,\;\;\; y\succ x,\;\;\; x\succeq y\wedge y\succeq x,\;\;\;\neg(x\succeq y)\wedge\neg(y\succeq x),

x jest lepszy, y jest lepszy, x i y są tak samo dobre lub x i y są nieporównywalne.

13.2. Podejście mikroekonomiczne

13.2.1. Oczekiwana użyteczność

Założenia:
1. Inwestor zna rozkłady prawdopodobieństwa ewentualnych inwestycji.
2. Inwestor postępuje w sposób racjonalny.

Inwestorowi przyporządkowuje się funkcję użyteczności (satysfakcji) ([30, 12])

\varphi:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\cup\{-\infty\}.

Inwestor postępuje w sposób racjonalny, jeśli wybiera inwestycję o największej oczekiwanej użyteczności wypłaty K

E(\varphi(K)).

Do wyznaczania oczekiwanej użyteczności wykorzystuje się uogólnioną wartość oczekiwaną ([26] §1.1.3), która może przyjmować wartości zarówno skończone, jak i nieskończone (\pm\infty). Uogólniona wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest zawsze określona, może być skończona lub równa +\infty. W przypadku dowolnych zmiennych losowych korzysta się z rozkładu na część dodatnią i ujemną, czyli

E(\varphi(K))=E(\varphi(K)^{+})-E(\varphi(K)^{-}).

Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a

a=a^{+}-a^{-},\;\;\;\mbox{ gdzie }\;\;\; a^{+}=\left\{\begin{array}[]{ccc}a&\mbox{dla}&a\geq 0,\\
0&\mbox{dla}&a<0,\\
\end{array}\right.\;\;\; a^{-}=\left\{\begin{array}[]{ccc}-a&\mbox{dla}&a\leq 0,\\
0&\mbox{dla}&a>0.\\
\end{array}\right.

Zauważmy, że tylko w przypadku, gdy E(\varphi(K)^{+})=E(\varphi(K)^{-})=+\infty, oczekiwana użyteczność będzie nieokreślona (\infty-\infty).

Na funkcję użyteczności \varphi nakłada się następujące warunki:
1. \varphi jest niemalejąca: ,,inwestor preferuje większy zysk”.
2. \varphi jest wklęsła: ,,awersja do ryzyka”.

Uwaga. Funkcja \varphi jest wklęsła, a -\varphi wypukła, gdy zbiór

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\leq\varphi(x)\}

jest wypukły. Jest to równoważne następującemu warunkowi:
dla dowolnych nieujemnych wag \lambda _{1} i \lambda _{2} (\lambda _{1}+\lambda _{2}=1, \lambda _{i}\geq 0)

\forall x,y\;\;\;\varphi(\lambda _{1}x+\lambda _{2}y)\geq\lambda _{1}\varphi(x)+\lambda _{2}\varphi(y).

(Więcej informacji czytelnik znajdzie w książce [38], która jest znakomitym kompendium wiedzy o funkcjach wypukłych.)

Wklęsłość uzasadnia się tym, że tłumaczy ona pewne stylizowane fakty. Otóż każda funkcja wklęsła i niemalejąca spełnia następujące oszacowania:

\forall x<y\;\forall h>0\;\;\;\varphi(x+h)-\varphi(x)\geq\varphi(y+h)-\varphi(y)\geq 0,
\forall x<y\;\forall h>0\;\;\;\varphi(x)-\varphi(x-h)\geq\varphi(y)-\varphi(y-h)\geq 0,
\forall x\;\forall h>0\;\;\;\varphi(x)-\varphi(x-h)\geq\varphi(x+h)-\varphi(x)\geq 0.

Możemy je zinterpretować w następujący sposób:
,,Ta sama kwota zysku bardziej cieszy, gdy mamy mniej.”
,,Taka sama strata bardziej boli, gdy mamy mniej.”
,,Strata bardziej boli, niż zysk cieszy.”

Zauważmy, że sformułowane powyżej kryterium oznacza, że z każdą funkcją użyteczności \varphi związaliśmy relację quasi-porządku na zbiorze \cal K zmiennych losowych, które modelują możliwe wypłaty,

K_{1}\succeq _{\varphi}K_{2}\;\;\Leftrightarrow\;\; E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})).

Wypłata, dla której oczekiwana użyteczność jest nieokreślona, tzn.

E(\varphi(K)^{+})=E(\varphi(K)^{-})=+\infty,

jest nieporównywalna z innymi wypłatami. Natomiast każde dwie wypłaty o określonej oczekiwanej użyteczności (skończonej lub nieskończonej) są porównywalne.

Wniosek 13.1

Jeżeli dla ustalonej funkcji użyteczności \varphi i dla każdej zmiennej losowej z \cal K jest określona oczekiwana użyteczność, to relacja \succeq _{\varphi} jest spójna

\forall K_{1},K_{2}\in{\cal K}\;\;\;\; K_{1}\succeq _{\varphi}K_{2}\vee K_{2}\succeq _{\varphi}K_{1}.

Przez D_{\varphi} będziemy oznaczać dziedzinę efektywną funkcji użyteczności \varphi, tzn. zbiór tych argumentów, dla których funkcja \varphi przyjmuje skończone wartości

D_{\varphi}=\{ x\in\mathbb{R}:\varphi(x)>-\infty\}.

Niech d_{\varphi} oznacza kres dolny D_{\varphi},

d_{\varphi}=\inf\{ x:x\in D_{\varphi}\}.

Ponieważ funkcja \varphi jest niemalejąca, to jej dziedzina efektywna może być:
i. zbiorem pustym (D_{\varphi}=\emptyset);
ii. całą prostą rzeczywistą (D_{\varphi}=(-\infty,+\infty), d_{\varphi}=-\infty);
iii. półprostą otwartą (D_{\varphi}=(d_{\varphi},+\infty));
iv. półprostą domkniętą (D_{\varphi}=\langle d_{\varphi},+\infty)).

Przypadek i.
(\varphi stała równa -\infty) jest nieciekawy z punktu widzenia zastosowań i w dalszym ciągu będziemy go pomijać.
Przypadek ii.
\varphi jest ciągła.
Przypadek iii.
Ciągłe jest obcięcie \varphi do dziedziny efektywnej.
Przypadek iv.
\varphi obcięta do dziedziny efektywnej może być nieciągła w punkcie d_{\varphi}. Ma to miejsce gdy

\lim _{{x\rightarrow d_{\varphi}^{+}}}\varphi(x)>\varphi(d_{\varphi}).

Będziemy wówczas przedstawiać funkcję \varphi jako sumę dwóch funcji niemalejących i wklęsłych, ciągłej na \langle d_{\varphi},+\infty) i stałej na (d_{\varphi},+\infty)

\varphi(x)=\widetilde{\varphi}(x)+(\varphi(d_{\varphi}^{+})-\varphi(d_{\varphi}))\kappa(x-d_{\varphi});

gdzie \varphi(d_{\varphi}^{+}) prawostronna granica \varphi w d_{\varphi},

\widetilde{\varphi}(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}\varphi(x)&\mbox{ dla }&x>d_{\varphi}\\
\varphi(d_{\varphi}^{+})&\mbox{ dla }&x=d_{\varphi}\\
-\infty&\mbox{ dla }&x<d_{\varphi},\\
\end{array}\right.
\kappa(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}0&\mbox{ dla }&x>0\\
-1&\mbox{ dla }&x=0\\
-\infty&\mbox{ dla }&x<0.\\
\end{array}\right.

Funkcje wklęsłe, ciągłe na swojej dziedzinie efektywnej, można scharakteryzować za pomocą funkcji liniowych.

Lemat 13.1

Jeśli funkcja wklęsła \varphi jest ciągła na D_{\varphi}, to istnieją ciągi liczb rzeczywistych (a_{n})_{{n=1}}^{\infty} i (b_{n})_{{n=1}}^{\infty}, takie, że

\forall x\in D_{{\varphi}}\;\;\;\varphi(x)=\inf _{n}(a_{n}x+b_{n}).

Dowód[23] lemat 5.2.1.

Zauważmy, że gdy zmienna losowa K przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem wartości z dopełnienia D_{\varphi}, to oczekiwana użyteczność wynosi -\infty lub jest nieokreślona

P(K\in\mathbb{R}\setminus D_{\varphi})>0\Longrightarrow E(\varphi(K))=-\infty\vee E(\varphi(K))=\infty-\infty.

Oznacza to, że inwestor z góry odrzuca możliwość wyboru inwestycji (strategii) o takiej wypłacie.

13.2.2. Własności oczekiwanej użyteczności

Omówimy teraz podstawowe własności oczekiwanej użyteczności. Szczególną uwagę zwrócimy na kryteria pozwalające stwierdzić, czy dla danej zmiennej losowej K jest ona określona. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że zmienne losowe K, K_{1} i K_{2} z dalszej części rozdziału są zdefiniowane na tej samej przestrzeni probabilistycznej (\Omega,{\cal M},P). Na początek pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest monotoniczna.

Twierdzenie 13.1

Jeśli prawie na pewno K_{1}\geq K_{2} (tzn. P(K_{1}<K_{2})=0), a oczekiwana użyteczność K_{2} jest określona i większa od -\infty, to oczekiwana użyteczność K_{1} jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność K_{2}

E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})).

Jeśli ponadto \varphi obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, a K_{1} i K_{2} są istotnie różne (P(K_{1}\neq K_{2})>0) oraz oczekiwana użyteczność K_{2} jest skończona, to

E(\varphi(K_{1}))>E(\varphi(K_{2})).

Dowód.
Ponieważ K_{2} ma oczekiwaną użyteczność różną od -\infty, to prawie na pewno nie przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej \varphi. A skoro \varphi jest niemalejąca, to otrzymujemy następujące nierówności

\varphi(K_{1})\geq\varphi(K_{2})>-\infty\;\;\mbox{ p.n.}

Zatem zmienna losowa \varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}) jest prawie na pewno nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną (skończoną lub nieskończoną)

E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}))\geq 0.

Ponieważ E(\varphi(K_{2})>-\infty, to oczekiwana użyteczność K_{1} jest określona i jest od niej nie większa

E(\varphi(K_{1}))=E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2})+\varphi(K_{2}))=E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}))+E(\varphi(K_{2})\geq
\geq E(\varphi(K_{2}).

Gdy K_{1} i K_{2} są istotnie różne, a \varphi obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, to

P(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2})>0)>0.

Zatem

E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}))>0.

Ponieważ oczekiwana użyteczność K_{2} jest skończona, to otrzymujemy ,,ostrą” nierówność

E(\varphi(K_{1}))>E(\varphi(K_{2})).

Przeformułujemy teraz powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.2

Jeżeli oczekiwane użyteczności K_{1} i K_{2} są określone i prawie na pewno
K_{1}\geq K_{2}, to

K_{1}\succeq _{\varphi}K_{2}.

Ponadto, jeśli \varphi jest ściśle rosnąca, a K_{i} są istotnie różne i mają skończone oczekiwane użyteczności, to

K_{1}\succ _{\varphi}K_{2}.

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika prosty warunek dostateczny istnienia oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.3

Jeżeli prawie na pewno K nie przyjmuje wartości mniejszych niż pewna stała x należąca do efektywnej dziedziny \varphi, to oczekiwana użyteczność K jest określona i różna od -\infty.

\exists x\in D_{\varphi}\;\;\; K\geq x\mbox{ p.n. }\Longrightarrow\;\;\; E(\varphi(K))>-\infty

Dowód.
Skoro x należy do dziedziny efektywnej \varphi, to użyteczność wypłaty x jest większa od -\infty. Zatem z powyższego twierdzenia otrzymujemy, że oczekiwana użyteczność wypłaty K jest określona i nie mniejsza od \varphi(x). Czyli

E(\varphi(K))\geq E(\varphi(x))=\varphi(x)>-\infty.

Teraz uogólnimy nierówność Jensena (patrz [21] §5.7 Twierdzenie 2, [8] str. 276).

Twierdzenie 13.2

Jeżeli zmienna losowa K ma skończoną wartość oczekiwaną (tzn. K\in L^{1}) to spełnione są następujące warunki:
i. oczekiwana użyteczność K jest określona;
ii. E(\varphi(K))\leq\varphi(E(K));
iii. dla dowolnego \sigma-ciała \cal F, {\cal F}\subset{\cal M}, jest określona oczekiwana użyteczność warunkowej wartości oczekiwanej E(K|{\cal F}) i E(\varphi(K))\leq E(\varphi(E(K|{\cal F})))\leq\varphi(E(K)).
Ponadto, jeśli \varphi jest ściśle wklęsła, a K nie jest stała i \varphi(E(K))>-\infty, to
E(\varphi(K))<\varphi(E(K)).

Uwagi.
1. Funkcja wklęsła jest ściśle wklęsła, gdy na żadnym przedziale nie jest liniowa, tzn. gdy prosta styczna do wykresu ma z nim tylko jeden punkt wspólny.
2. Punkt iii. oznacza, że jeśli uśrednimy wypłatę, to jej oczekiwana użyteczność nie zmaleje.

Dowód.
Ad ii. oraz i.
Jeżeli K ma skończoną oczekiwaną użyteczność, to ii. wynika z nierówności Jensena dla funkcji -\varphi. Ponieważ zakładamy tylko istnienie skończonej wartości oczekiwanej K, to musimy pokazać istnienie oczekiwanej użyteczności.

Niech y=l(x),

l(x)=\varphi(x_{0})+a\cdot(x-x_{0}),

bedzie równaniem prostej stycznej do wykresu \varphi(x) w punkcie x_{0}, x_{0}>d_{\varphi}. \varphi jest wklęsła, zatem jej wykres leży poniżej lub na prostej stycznej

\forall x\;\;\; l(x)\geq\varphi(x).

Zatem zmienna losowa \varphi(K)-l(K) jest niedodatnia i ma wartość oczekiwaną (w \mathbb{R}_{-}\cup\{-\infty\}),

E(\varphi(K)-l(K))\leq 0.

Ale jak łatwo zauważyć, l(K) ma skończoną wartość oczekiwaną

E(l(K))=E(\varphi(x_{0})+a\cdot(K-x_{0}))=\varphi(x_{0})+a\cdot(E(K)-x_{0}).

Z tego wynika, że istnieje oczekiwana użyteczność K i spełnia nierówność

E(\varphi(K))=E(\varphi(K)-l(K)+l(K))=E(\varphi(K)-l(K))+E(l(K))\leq
\leq E(l(K))=\varphi(x_{0})+a\cdot(E(K)-x_{0}).

Gdy E(K)>d_{\varphi}, to podstawiamy x_{0}=E(K) i otrzymujemy warunek ii. W przeciwnym przypadku, gdy E(K)\leq d_{\varphi}, to albo z dodatnim prawdopodobieństwem K przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej \varphi, wówczas oczekiwana użyteczność K jest równa -\infty i warunek ii. też jest spełniony

E(\varphi(K)))=-\infty=\varphi(E(K)),

albo K jest prawie na pewno stała, K=d_{\varphi}\;\;\; p.n., a zatem E(\varphi(K))=\varphi(d_{\varphi})=\varphi(E(K)).

Ad iii.
Dowód punktu iii. jest trochę bardziej skomplikowany. K\in L^{1}, a więc warunkowa wartość oczekiwana E(K|{\cal F}) jest określona i też należy do L^{1},

E(E(K|{\cal F}))=E(K).

Zatem jej oczekiwana użyteczność jest określona i nie większa niż \varphi(E(K)) (punkt (i)). Gdy oczekiwana użyteczność K jest równa -\infty, to warunek (iii) jest automatycznie spełniony. W przeciwnym przypadku, gdy zarówno E(K) i E(\varphi(K)) są skończone, korzystamy z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej dla \varphi ([23, lemat 5.2.2])

\varphi(E(K|{\cal F}))\geq E(\varphi(K)|{\cal F})\;\; p.n.

Następnie korzystamy z twierdzenia o iterowaniu wartości oczekiwanej i otrzymujemy następującą nierówność

E(\varphi(E(K|{\cal F})))\geq E(E(\varphi(K)|{\cal F}))=E(\varphi(K)).

Co kończy dowód iii.

Gdy \varphi jest ściśle wklęsła, to

\forall x\;\;\; x\neq x_{0}\Rightarrow l(x)=\varphi(x_{0})+a\cdot(x-x_{0})>\varphi(x).

Ponadto rozkład K nie jest skupiony w jednym punkcie

P(K\neq x_{0})>0,

zatem

P(l(K)>\varphi(K))>0.

A z tego wynika, że dla x_{0}=E(K) otrzymujemy

\varphi(E(K))=E(l(K))>E(\varphi(K)).

Przeformułujemy powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.4

Jeżeli E(K) i \varphi(E(K)) są skończone, to

E(K)\succeq _{\varphi}K.

Ponadto, jeśli \varphi jest ściśle wklęsła, a K nie jest stała, to

E(K)\succ _{\varphi}K.

Z powyższego twierdzenia wynika również następująca charakteryzacja niechęci (awersji) do ryzyka.

Wniosek 13.5

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru inwestycję pewną o znanej z góry wypłacie k_{1} i inwestycję wymagającą takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o losowej (nieznanej) wypłacie K o wartości oczekiwanej k_{1}, wybierze tę pierwszą.

Natomiast z punktu iii. twierdzenia 13.2 wynika warunkowa monotoniczność oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.6

Jeżeli para K_{1},K_{2} jest nadmartyngałem, tzn.

E(K_{2}|K_{1})\leq K_{1}\;\;\; p.n.,

oraz K_{2} ma skończoną zarówno wartość oczekiwaną jak i oczekiwaną użyteczność, to oczekiwana użyteczność K_{1} jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność K_{2}

E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})).

Dowód.
Z twierdzenia 13.2 wynika, że oczekiwana użyteczność E(K_{2}|K_{1}) istnieje i spełnia nierówność

E(\varphi(K_{2}))\leq E(\varphi(E(K_{2}|K_{1}))).

Natomiast z twierdzenia 13.1 otrzymujemy istnienie E(\varphi(K_{1})) i oszacowanie

E(\varphi(E(K_{2}|K_{1})))\leq E(\varphi(K_{1})).

Co kończy dowód.

Z twierdzenia 13.2 wynika tylko górne ograniczenie na oczekiwaną użyteczność. Dolne ograniczenie może nie istnieć. Okazuje się, że skończona wartość oczekiwana wypłaty K wcale nie musi implikować skończonej oczekiwanej użyteczności nawet, jeśli K nie przyjmuje wartości spoza dziedziny efektywnej \varphi (- patrz ćwiczenie 13.5).

Na zakończenie pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest wklęsła.

Twierdzenie 13.3

Jeżeli zmienne losowe K_{1} i K_{2} mają skończoną oczekiwaną użyteczność to dla dowolnych wag \lambda _{1} i \lambda _{2} (\lambda _{1}+\lambda _{2}=1, \lambda _{i}\geq 0)
i. zmienna losowa \lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2} ma określoną oczekiwaną użyteczność,
ii. E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})\geq\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{2})).
Ponadto, jeśli \varphi jest ściśle wklęsła, K_{1} i K_{2} są istotnie różne, P(K_{1}\neq K_{2})>0, a wagi \lambda _{i} dodatnie, to E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})>\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{2})).

Dowód.
\varphi
jest funkcją wklęsłą czyli dla dowolnych wag \lambda _{1} i \lambda _{2}

\forall x,y\;\;\;\varphi(\lambda _{1}x+\lambda _{2}y)\geq\lambda _{1}\varphi(x)+\lambda _{2}\varphi(y).

Zatem zmienna losowa \varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2}) jest nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną. Zatem

E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2}))=
=E((\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2}))+(\lambda _{1}\varphi(K_{1})+\lambda _{2}\varphi(K_{2})))=
=E((\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2})))+E(\lambda _{1}\varphi(K_{1})+\lambda _{2}\varphi(K_{2}))\geq
\geq\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{1})).

Gdy \varphi jest funkcją ściśle wklęsłą, to dla x\neq y, \varphi(x),\varphi(y)>-\infty i \lambda _{i}>0

\varphi(\lambda _{1}x+\lambda _{2}y)>\lambda _{1}\varphi(x)+\lambda _{2}\varphi(y).

Zatem nieujemna zmienna losowa \varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2}) jest dodatnia na zbiorze, który ma dodatnią miarę. Zatem jej wartość oczekiwana jest dodatnia i nierówność z punktu ii. jest ostra.

Wniosek 13.7

Jeżeli istotnie różne zmienne losowe K_{1} i K_{2} mają równe skończone oczekiwane użyteczności, a \varphi jest ściśle wklęsła, to dla dowolnych dodatnich wag \lambda _{1} i \lambda _{2} (\lambda _{1}+\lambda _{2}=1, \lambda _{i}>0)

\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2}\succ _{\varphi}K_{1},K_{2}.

Dowód.
Niech \varphi _{0} oczekiwana użyteczność K_{1} i K_{2}. Z powyższego twierdzenia wynika, że

E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})>\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{2}))=(\lambda _{1}+\lambda _{2})\varphi _{0}=\varphi _{0}.

Zatem kombinacja wypukła K_{1} i K_{2} jest od nich obu ,,lepsza”.

Z powyższego wniosku wynika następująca zasada dywersyfikacji portfela.

Wniosek 13.8

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru trzy inwestycje wymagające takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o istotnie różnych wypłatach K_{1}, K_{2} i K_{3}, takich, że oczekiwane użyteczności K_{1} i K_{2} są skończone i równe, a K_{3} jest kombinacją wypukłą K_{1} i K_{2}, wybierze tę trzecią.

13.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 13.1

Niech X_{1} i X_{2} będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

P(X_{i}=1)=p_{i},\; P(X_{i}=0)=1-p_{i},\;\; p_{i}\in\langle 0,1\rangle,

a \varphi dowolną funkcją użyteczności taką, że \varphi(0)>-\infty. Pokazać, że

p_{1}\geq p_{2}\Longrightarrow X_{{1}}\succeq _{\varphi}X_{{2}}.

Rozwiązanie.

Dla zmiennej losowej zero-jedynkowej oczekiwana użyteczność wynosi

E(\varphi(X))=(1-p)\varphi(0)+p\varphi(1)=\varphi(0)+p(\varphi(1)-\varphi(0)).

\varphi jest niemalejąca. Zatem gdy p_{1}\geq p_{2}, to oczekiwana użyteczność X_{1} jest większa lub równa oczekiwanej użyteczności X_{2}. A stąd

X_{{1}}\succeq _{\varphi}X_{{2}}.
Ćwiczenie 13.2

Niech X_{1} i X_{2} będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

P(X_{i}=1)=p_{i},\; P(X_{i}=0)=1-p_{i},\;\; p_{i}\in\langle 0,1\rangle,

a \varphi dowolną funkcją użyteczności taką, że \varphi(1)>\varphi(0)>-\infty. Pokazać, że gdy zmienne losowe X_{i} mają taką samą oczekiwaną użyteczność, to mają takie samo prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu.

Rozwiązanie.

E(\varphi(X_{i}))=(1-p_{i})\varphi(0)+p_{i}\varphi(1)=\varphi(0)+p_{i}(\varphi(1)-\varphi(0)).

Zatem z równości oczekiwanych użyteczności otrzymujemy

p_{1}=\frac{E(\varphi(X_{1}))-\varphi(0)}{\varphi(1)-\varphi(0)}=\frac{E(\varphi(X_{2}))-\varphi(0)}{\varphi(1)-\varphi(0)}=p_{2}.
Ćwiczenie 13.3

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność E(\varphi(X)), gdy X ma rozkład normalny N(0,1) a \varphi(x)=\min(x,M), gdzie M ustalony parametr rzeczywisty.

Rozwiązanie.

E(\varphi(X))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{M}x\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)dx+MP(X>M)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{M^{2}}{2}\right)+M(1-F(M)).

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność X wynosi \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{M^{2}}{2}\right)+M(1-F(M)), gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Ćwiczenie 13.4

Inwestor podejmuje decyzje w oparciu o logarytmiczną funkcję użyteczności

\varphi(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}\ln(x)&\mbox{ dla }&x>0,\\
-\infty&\mbox{ dla }&x\leq 0.\\
\end{array}\right.

Może zainwestować 1000 zł w dwie inwestycje, o tym samym czasie życia. Wypłata z pierwszej ma rozkład
K_{1} 960 980 1000 1030 1050
prawdopodobieństwo [%] 20 10 15 25 30

a z drugiej
K_{2} 960 970 990 1000 1010 1040 1050 1060
prawd. [%] 15 5 5 15 5 25 20 10

Którą z inwestycji wybierze?

Rozwiązanie. Wyznaczamy oczekiwane użyteczności:

E(\ln(K_{1}))=0{,}2\ln(960)+0{,}1\ln(980)+0{,}15\ln(1000)+0{,}25\ln(1030)+
+0{,}3\ln(1050)=6{,}919597359,
E(\ln(K_{2}))=0{,}15\ln(960)+0{,}05\ln(970)+0{,}05\ln(990)+0{,}15\ln(1000)+
+0{,}05\ln(1010)+0{,}25\ln(1040)+0{,}2\ln(1050)+0{,}1\ln(1060)=6{,}925494121.

Jak widać, oczekiwana użyteczność drugiej wypłaty jest trochę większa.

Odpowiedź. Inwestor wybierze drugą inwestycję.

Ćwiczenie 13.5

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność dla wypłaty K, która ma rozkład jednostajny na przedziale (0,2)

P(K\leq x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}0&\mbox{ dla }&x\leq 0\\
\frac{1}{2}x&\mbox{ dla }&0<x<2\\
1&\mbox{ dla }&2\leq x\\
\end{array}\right.

i dla funkcji użyteczności

\varphi(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}-\infty&\mbox{ dla }&x\leq 0\\
1-\frac{1}{x}&\mbox{ dla }&0<x.\\
\end{array}\right.

Porównać ją z użytecznością wartości oczekiwanej K.

Rozwiązanie. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego na przedziale o długości 2 jest równa 0,5 wewnątrz tego przedziału i 0 poza nim. Zatem

E(\varphi(K))=\int _{0}^{2}(1-\frac{1}{x})\frac{1}{2}dx=-\infty.

Z drugiej strony wartość oczekiwana K wynosi 1, a więc

\varphi(E(K))=\varphi(1)=0.

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność dla wypłaty K wynosi -\infty, podczas gdy użyteczność wartości oczekiwanej K wynosi 0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.