Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 14. Metody stochastyczne w finansach - cd – MIM UW

Zagadnienia

14. Metody stochastyczne w finansach - cd

14.1. Dominacja stochastyczna

Oczekiwana użyteczność zależy od wyboru funkcji użyteczności. Zachodzi pytanie, czy można ocenić, która z dwóch inwestycji jest lepsza dla wszystkich inwestorów niezależnie od ich indywidualnych preferencji. Postaramy się odpowiedzieć na to pytanie, korzystając z pojęcia dominacji stochastycznej.

Niech K_{1} i K_{2} oznaczają zmienne losowe.

Definicja 14.1

Mówimy, że K_{1} dominuje nad K_{2} gdy

K_{1}\geq K_{2}\mbox{ p.n. },

czyli P(K_{1}<K_{2})=0.

Definicja 14.2

Mówimy, że K_{1} dominuje nad K_{2} w sensie dominacji stochastycznej rzędu pierwszego, gdy

\forall x\in\mathbb{R}\;\;\; F_{1}(x)\leq F_{2}(x),

gdzie F_{i} oznacza dystrybuantę zmiennej losowej K_{i}.

Piszemy wówczas:

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}.

Relacja FSD nie zależy od wyboru definicji dystrybuanty. Jeżeli K_{1} dominuje nad K_{2} w sensie dominacji stochastycznej rzędu pierwszego dla dystybuant prawostronnie ciągłych (F_{i}(x)=P(K_{i}\leq x)), to dominuje również w sensie dominacji stochastycznej rzędu pierwszego dla dystybuant lewostronnie ciągłych (F_{i}(x)=P(K_{i}<x)) i na odwrót. Ale dla ustalenia uwagi, w dalszym ciągu będziemy używać dystrybuant prawostronnie ciągłych (zgodnie z [21, 26]).

Dystrybuanta F jest funkcją nieujemną i ograniczoną, zatem zawsze istnieje granica skończona lub nieskończona całek \;\int _{y}^{x}F(t)dt\; gdy y zbiega do -\infty, czyli uogólniona całka niewłaściwa \;\int _{{-\infty}}^{x}F(t)dt\; jest zawsze określona.

Definicja 14.3

Mówimy, że K_{1} dominuje nad K_{2} w sensie dominacji stochastycznej rzędu drugiego, gdy

\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\int _{{-\infty}}^{x}F_{1}(t)dt\leq\int _{{-\infty}}^{x}F_{2}(t)dt,

gdzie F_{i} dystrybuanta K_{i}, a całki są całkami uogólnionymi.

Piszemy wówczas:

K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}.

Zauważmy, że w przypadku dominacji stochastycznej rzędu pierwszego i drugiego zmienne losowe K_{1} i K_{2} nie muszą być określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Ponadto, jeśli nawzajem nad sobą dominują, to mają ten sam rozkład (F_{1}=F_{2}). Zatem relacje dominacji stochastycznej, rzędu pierwszego i drugiego, są relacjami quasi-porządku na zbiorach zmiennych losowych, indukującymi relacje częściowego porządku na zbiorach ich rozkładów.

Uwaga. Mamy następujące zależności:

\mbox{Dominacja }\Rightarrow\mbox{ FSD }\Rightarrow\mbox{ SSD }.

Pokażemy teraz, jakie związki zachodzą między kryterium maksymalizacji oczekiwanej użyteczności a dominacją stochastyczną pierwszego i drugiego rzędu.

Twierdzenie 14.1

Niech K_{1} i K_{2} zmienne losowe. Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2};
2. Dla każdej niemalejącej funkcji \varphi\; mamy:
E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})) lub obie wartości oczekiwane są nieokreślone lub E(\varphi(K_{1}))=+\infty lub E(\varphi(K_{2}))=-\infty;
3. Istnieją zmienne losowe K_{1}^{\prime} i K_{2}^{\prime} o tym samym rozkładzie co odpowiednio K_{1} i K_{2}, takie, że

K_{1}^{\prime}\geq K_{2}^{\prime}.

Dowód.
1
\Rightarrow3.
Skorzystamy ze standardowej konstrukcji (patrz [21] §5.3 zad. 2). Zmienne losowe K_{1}^{\prime} i K_{2}^{\prime} zdefiniujemy na nowej przestrzeni probabilistycznej. Jako zbiór zdarzeń elementarnych weźmiemy otwarty odcinek jednostkowy (\Omega=(0,1)), a jako prawdopodobieństwo miarę Lebesgue'a \mu na tym odcinku. Niech

K_{i}^{\prime}(t)=\sup\{ u:P(K_{i}\leq u)<t\}.

Jak łatwo sprawdzić, K_{i}^{\prime} i K_{i} mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa. Rzeczywiście dla dowolnego x\in\mathbb{R}

\mu\{ t:K_{i}^{\prime}(t)\leq x\}=\mu\{ t:\sup\{ u:P(K_{i}\leq u)<t\}\leq x\}=
=\mu(0,P(K_{i}\leq x))=P(K_{i}\leq x).

Pozostaje pokazać, że K_{1}^{\prime} dominuje nad K_{2}^{\prime}. Z pierwszej dominacji stochastycznej K_{1} wynika, że

\forall u\;\;\; P(K_{1}\leq u)\leq P(K_{2}\leq u).

Zatem

\forall t>0\;\;\;\sup\{ u:P(K_{1}\leq u)<t\}\geq\sup\{ u:P(K_{2}\leq u)<t\},

czyli dla dowolnego t \;\; K_{1}^{\prime}(t)\geq K_{2}^{\prime}(t).

3\Rightarrow2.
Wartość oczekiwana zależy tylko od rozkładu, \varphi(K_{i}^{\prime}) i \varphi(K_{i}) mają ten sam rozkład, a więc E(\varphi(K_{i}^{\prime}))=E(\varphi(K_{i})) lub obie są nieokreślone. Ponadto \varphi jest niemalejąca, zatem gdy wartości oczekiwane istnieją, to

E(\varphi(K_{1}))=E(\varphi(K_{1}^{\prime}))\geq E(\varphi(K_{2}^{\prime}))=E(\varphi(K_{2})).

2\Rightarrow1.
Zauważmy, że funkcje

\varphi _{x}(t)=\left\{\begin{array}[]{ccc}0&\mbox{ dla }&t\leq x\\
1&\mbox{ dla }&t>x\\
\end{array}\right.

są niemalejące. Zatem dla dowolnego x\in\mathbb{R}

P(K_{1}\leq x)=1-P(K_{1}>x)=1-E(\varphi _{x}(K_{1}))\leq
\leq 1-E(\varphi _{x}(K_{2}))=1-P(K_{2}>x)=P(K_{2}\leq x),

co daje K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}.

Wniosek 14.1

Niech h:I\rightarrow\mathbb{R}, I\subset\mathbb{R}, będzie funkcją niemalejącą taką, że zmienne losowe K_{1} i K_{2} prawie na pewno przyjmują wartości z I

P(K_{1}\not\in I)=P(K_{2}\not\in I)=0.

Wówczas

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\;\;\;\Longrightarrow\;\;\; h(K_{1})\geq _{{FSD}}h(K_{2}).

W szczególności dla a,m\in\mathbb{R} i a>0

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; aK_{1}+m\geq _{{FSD}}aK_{2}+m.

Dowód.
Skorzystamy z pkt. 3 powyższego twierdzenia. Jeśli K_{1}^{\prime} i K_{2}^{\prime} mają ten sam rozkład co odpowiednio K_{1} i K_{2} i

K_{1}^{\prime}\geq K_{2}^{\prime},

to h(K_{1}^{\prime}) i h(K_{2}^{\prime}) mają ten sam rozkład co odpowiednio h(K_{1}) i h(K_{2}) i

h(K_{1}^{\prime})\geq h(K_{2}^{\prime}).

Zatem

h(K_{1})\geq _{{FSD}}h(K_{2}).

Przejdziemy teraz do drugiej dominacji stochastycznej. Na początek pokażemy związek między całką z dystrybuanty, a wartością oczekiwaną.

Lemat 14.1

Dla dowolnej zmiennej losowej K o dystrybuancie F

\forall x\in\mathbb{R}\;\;\; E((K-x)^{-})=\int _{{-\infty}}^{x}F(t)dt.

Dowód.
Jak wiadomo ([21] Stwierdzenie 11 §5.6) wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej X jest równa całce z prawdopodobieństwa przekroczenia poziomu t po dt,

E(X)=\int _{0}^{\infty}P(X>t)dt.

Część ujemna (K-x)^{-} jest z definicji nieujemna, zatem

E((K-x)^{-})=\int _{0}^{\infty}P((K-x)^{-}>t)dt.

Ponieważ t\geq 0, to (K-x)^{-}>t wtedy i tylko wtedy, gdy K<x-t i

E((K-x)^{-})=\int _{0}^{\infty}P((K<x-t)dt.

Po zamianie zmiennych, s=x-t, otrzymujemy

E((K-x)^{-})=\int _{{-\infty}}^{x}P(K<s)ds=\int _{{-\infty}}^{x}F(s)ds,

gdyż poza przeliczalną liczbą punktów F(s)=P(K<s).

Z powyższego wynika następująca charakteryzacja drugiej dominacji stochastycznej:

Wniosek 14.2
K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}\;\;\; E((K_{1}-x)^{-})\leq E((K_{2}-x)^{-}).

Pokażemy teraz, że gdy K ma skończoną wartość oczekiwaną, to funkcja

G(x)=\int _{{-\infty}}^{x}F(t)dt

ma prawostronną asymptotę ukośną x-E(K).

Lemat 14.2

Dla dowolnej zmiennej losowej K o dystrybuancie F i skończonej wartości oczekiwanej (K\in L^{1})

\lim _{{x\rightarrow+\infty}}(x-\int _{{-\infty}}^{x}F(t)dt\;)=E(K).

Dowód.
Załóżmy, że x>0. Wówczas

x-\int _{{-\infty}}^{x}F(t)dt=\int _{0}^{x}(1-F(t))dt-\int _{{-\infty}}^{0}F(t)dt=\int _{{0}}^{x}P(K>t)dt-\int _{{-\infty}}^{0}F(t)dt.

Dla t\geq 0 \; K>t wtedy i tylko wtedy, gdy K^{+}>t, zatem korzystając ponownie ze stwierdzenia 11 §5.6 [21] otrzymujemy dla x zbiegającego do +\infty

\int _{{0}}^{x}P(K>t)dt=\int _{{0}}^{x}P(K^{+}>t)dt\rightarrow\int _{{0}}^{{+\infty}}P(K^{+}>t)dt=E(K^{+}).

Ponieważ, jak pokazaliśmy w poprzednim lemacie

\int _{{-\infty}}^{0}F(t)dt=E(K^{-}),

to

\lim _{{x\rightarrow+\infty}}(x-\int _{{-\infty}}^{x}F(t)dt)=E(K^{+})-E(K^{-})=E(K).
Wniosek 14.3
K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\wedge K_{2}\in L^{1}\Rightarrow E(K_{1})\geq E(K_{2}).
Twierdzenie 14.2

Niech K_{1} i K_{2} zmienne losowe o skończonych wartościach oczekiwanych (K_{1},K_{2}\in L^{1}). Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2};
2. Dla każdej niemalejącej i wklęsłej funkcji \varphi E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2}));
3. Istnieją zmienne losowe K_{1}^{\prime} i K_{2}^{\prime} o tym samym rozkładzie co odpowiednio K_{1} i K_{2}, takie, że

K_{1}^{\prime}\geq E(K_{2}^{\prime}|K_{1}^{\prime}),

tzn. para (K_{1}^{\prime},K_{2}^{\prime}) jest nadmartyngałem.

Dowód -patrz [23, Twierdzenie 5.2.8] lub [14, Theorem 2.58].

Wniosek 14.4

Niech K_{1} i K_{2} zmienne losowe o skończonych wartościach oczekiwanych (K_{1},K_{2}\in L^{1}), a h:I\rightarrow\mathbb{R}, I\subset\mathbb{R} funkcja niemalejąca i wklęsła taka, że zmienne losowe K_{1} i K_{2} prawie na pewno przyjmują wartości z I

P(K_{1}\not\in I)=P(K_{2}\not\in I)=0.

Wówczas

K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\;\;\;\Longrightarrow\;\;\; h(K_{1})\geq _{{SSD}}h(K_{2}).

W szczególności dla a,m\in\mathbb{R} i a>0

K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; aK_{1}+m\geq _{{SSD}}aK_{2}+m.

Dowód.
Zauważmy, że wzięta ze znakiem przeciwnym część ujemna z funkcji niemalejącej i wklęsłej też jest niemalejąca i wklęsła. Zatem z dominacji stochastycznej, K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}, wynika, że dla każdego x\in\mathbb{R}

E(-(h(K_{1})-x)^{-})\geq E(-(h(K_{2})-x)^{-}),

co jest równoważne dominacji stochastycznej, h(K_{1})\geq _{{SSD}}h(K_{2}).

Na zakończenie pokażemy, że dominację stochastyczną pierwszego lub drugiego rzędu można stosować wymiennie do oceny wypłat z inwestycji lub zysku lub stóp zwrotu.

Niech K_{1} i K_{2} modelują wypłaty z dwóch inwestycji A i B, wymagających tych samych nakładów k, k>0.

CF_{{A,0}}=CF_{{B,0}}=-k,\;\;\; CF_{{A,1}}=K_{1},\;\;\; CF_{{B,1}}=K_{2}.

Przez Z i r oznaczamy odpowiednio zysk i stopę zwrotu

Z_{i}=K_{i}-k,\;\;\; r_{i}=\frac{K_{i}-k}{k}.

Załóżmy, że dystrybuanty K_{1} i K_{2} są różne od siebie tzn.

\exists t\;\;\; F_{1}(t)\neq F_{2}(t).

Wówczas:

Wniosek 14.5

Jeżeli zachodzi choć jeden z poniższych warunków
\bullet K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2},
\bullet Z_{1}\geq _{{FSD}}Z_{2},
\bullet r_{1}\geq _{{FSD}}r_{2},
to racjonalny inwestor wybierze inwestycję A.

Załóżmy ponadto, że wartości oczekiwane E(K_{1}) i E(K_{2}) są skończone.

Wniosek 14.6

Jeżeli zachodzi choć jeden z poniższych warunków
\bullet K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2},
\bullet Z_{1}\geq _{{SSD}}Z_{2},
\bullet r_{1}\geq _{{SSD}}r_{2},
to racjonalny inwestor wybierze inwestycję A.

14.2. Własności dominacji stochastycznej

Rozważania w tym podrozdziale ograniczymy do zmiennych losowych całkowalnych, tzn. posiadających skończoną wartość oczekiwaną.

Definicja 14.4

Semiwariancją ujemną i dodatnią zmiennej losowej K nazywamy odpowiednio

SV^{-}(K)=E(((K-E(K))^{-})^{2})\mbox{ i }SV^{+}(K)=E(((K-E(K))^{+})^{2}).

Pierwiastek z semiwariancji nazywamy semiodchyleniem standardowym

\sigma^{-}(K)=\sqrt{SV^{-}(K)},\;\;\;\;\sigma^{+}(K)=\sqrt{SV^{+}(K)}.

Jeśli zmienna losowa K ma rozkład symetryczny, to semiwariancje są sobie równe i wynoszą połowę wariancji

SV^{-}(K)=SV^{+}(K)=\frac{1}{2}V(K).

Gdy w definicji wariancji zastąpimy kwadrat przez moduł, to otrzymamy odchylenie przeciętne. Przypomnijmy:

Definicja 14.5

Odchyleniem przeciętnym, semiodchyleniem przeciętnym
ujemnym i semiodchyleniem przeciętnym dodatnim zmiennej losowej K nazywamy odpowiednio

d(K)=E(|K-E(K)|),
sd^{-}(K)=E((K-E(K))^{-}),\;\;\; sd^{+}(K)=E((K-E(K))^{+}).

Te trzy wielkości są ściśle ze sobą związane.

Lemat 14.3

Dla dowolnej zmiennej losowej K

sd^{-}(K)=sd^{+}(K)=\frac{1}{2}\; d(K).

Dowód. Zauważmy, że

E(|K-E(K)|)=E((K-E(K))^{+})+E((K-E(K))^{-}).

Natomiast

E((K-E(K))^{+})-E((K-E(K))^{-})=E(K-E(K))=0.

Zatem

E((K-E(K))^{+})=E((K-E(K))^{-})\mbox{ i }E(|K-E(K)|)=2E((K-E(K))^{-}).

Przeanalizujemy teraz zależności między parametrami rozkładów wynikające z dominacji stochastycznej pierwszego lub drugiego rzędu.

Lemat 14.4

Jeśli K_{1} dominuje stochastycznie nad K_{2}, \; K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}, to
1. E(K_{1})\geq E(K_{2}).
Jeśli ponadto E(K_{1})=E(K_{2}), to
2. \sigma^{-}(K_{1})\leq\sigma^{-}(K_{2});
3. \sigma^{+}(K_{1})\geq\sigma^{+}(K_{2});
4. d(K_{1})=d(K_{2}).

Dowód.
Ad 1.
Rozważamy funkcję \varphi(s)=s. Jest to funkcja rosnąca, zatem

E(K_{1})=E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2}))=E(K_{2}).

W dalszej części dowodu przyjmiemy, że wartości oczekiwane są równe,
E(K_{1})=E(K_{2})=m.

Ad 2.
Rozważamy funkcję \varphi(s)=-((s-m)^{-})^{2}. Jest to funkcja niemalejąca, zatem

-SV^{-}(K_{1})=E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2}))=-SV^{-}(K_{2}).

Ad 3.
Rozważamy funkcję \varphi(s)=((s-m)^{+})^{2}. Jest to funkcja niemalejąca, zatem

SV^{+}(K_{1})=E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2}))=SV^{+}(K_{2}).

Ad 4.
Rozważamy funkcje \varphi _{1}(s)=(s-m)^{+} i \varphi _{2}(s)=-(s-m)^{-}. Obie są funkcjami niemalejącymi, a więc

sd^{+}(K_{1})=E(\varphi _{1}(K_{1}))\geq E(\varphi _{1}(K_{2}))=sd^{+}(K_{2})=
=sd^{-}(K_{2})=-E(\varphi _{2}(K_{2}))\geq-E(\varphi _{2}(K_{1}))=sd^{-}(K_{1}).

Zatem sd^{\pm}(K_{1})=sd^{\pm}(K_{2}), czyli również d(K_{1})=d(K_{2}).

Druga dominacja stochastyczna implikuje trochę słabsze warunki.

Lemat 14.5

Jeśli K_{1} dominuje stochastycznie nad K_{2}, K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}, to
1. E(K_{1})\geq E(K_{2}).
Jeśli ponadto E(K_{1})=E(K_{2}), to
2. \sigma^{-}(K_{1})\leq\sigma^{-}(K_{2});
3. d(K_{1})\leq d(K_{2}).

Dowód.
Nierówność dla wartości oczekiwanych była pokazana już w poprzednim podrozdziale (wniosek 14.3). Nierówności 2 i 3 wynikają z faktu, że funkcje \varphi(s)=-((s-m)^{-})^{2} i \varphi _{2}(s)=-(s-m)^{-} wykorzystane do dowodu 2 i 4 w poprzednim lemacie są nie tylko niemalejące, ale i wklęsłe.

Gdy rozkłady są symetryczne, to semiodchylenia standardowe można zastąpić odchyleniem standardowym.

Wniosek 14.7

Jeśli rozkłady K_{1} i K_{2} są symetryczne, E(K_{1})=E(K_{2})K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}, to \sigma(K_{1})=\sigma(K_{2}).

Wniosek 14.8

Jeśli rozkłady K_{1} i K_{2} są symetryczne, E(K_{1})=E(K_{2})K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}, to \sigma(K_{1})\leq\sigma(K_{2}).

W przypadku rozkładów normalnych dominację stochastyczną można całkowicie opisać w terminach wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego.

Twierdzenie 14.3

Niech zmienne losowe K_{1} i K_{2} mają rozkłady normalne o parametrach

E(K_{i})=m_{i},\;\;\;\sigma(K_{i})=\sigma _{i}.

Wówczas

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; m_{1}\geq m_{2}\;\;\;\wedge\;\;\;\sigma _{1}=\sigma _{2};
K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; m_{1}\geq m_{2}\;\;\;\wedge\;\;\;\sigma _{1}\leq\sigma _{2}.

Dowód.
Niech F oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego standardowego N(0,1). Dystrybuanty zmiennych K_{i} możemy zapisać w następujący sposób

F_{1}(t)=F(\frac{t-m_{1}}{\sigma _{1}}),\;\;\; F_{2}(t)=F(\frac{t-m_{2}}{\sigma _{2}}).
K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\Leftrightarrow\forall t\;\; F_{1}(t)\leq F_{2}(t)\Leftrightarrow\forall t\;\; F(\frac{t-m_{1}}{\sigma _{1}})\leq F(\frac{t-m_{2}}{\sigma _{2}})

Dystrybuanta F jest ściśle rosnąca, zatem

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\forall t\;\;\frac{t-m_{1}}{\sigma _{1}}\leq\frac{t-m_{2}}{\sigma _{2}}\Leftrightarrow\;\;\; m_{1}\geq m_{2}\;\;\;\wedge\;\;\;\sigma _{1}=\sigma _{2}.

Druga dominacja jest bardziej skomplikowana. Zauważmy, że

\int _{{-\infty}}^{x}F_{i}(t)dt=\int _{{-\infty}}^{x}F(\frac{t-m_{i}}{\sigma _{i}})dt=\int _{{-\infty}}^{{x-m_{i}}}F(\frac{t}{\sigma _{i}})dt.

Najpierw pokażemy, że z nierówności

m_{1}\geq m_{2},\;\;\;\sigma _{1}\leq\sigma _{2}

wynika druga dominacja stochastyczna. Pokażemy, że pochodna po \sigma jest nieujemna

\frac{\partial}{\partial\sigma}\int _{{-\infty}}^{{x}}F(\frac{t}{\sigma})dt=\int _{{-\infty}}^{{x}}F^{\prime}(\frac{t}{\sigma})\frac{-t}{\sigma^{2}}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{{x}}\frac{-t}{\sigma^{2}}\exp(-\frac{t^{2}}{2\sigma^{2}})dt=
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{t^{2}}{2\sigma^{2}})|_{{-\infty}}^{{x}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}})>0.

Zatem przy ustalonych m i x zależność od \sigma jest monotoniczna. A więc

\int _{{-\infty}}^{x}F_{1}(t)dt=\int _{{-\infty}}^{{x-m_{1}}}F(\frac{t}{\sigma _{1}})dt\leq\int _{{-\infty}}^{{x-m_{1}}}F(\frac{t}{\sigma _{2}})dt\leq
\leq\int _{{-\infty}}^{{x-m_{2}}}F(\frac{t}{\sigma _{2}})dt=\int _{{-\infty}}^{x}F_{2}(t)dt.

Dowód implikacji w drugą stronę. Jak pokazaliśmy powyżej, druga dominacja stochastyczna implikuje nierówność wartości oczekiwanych.

K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\Rightarrow m_{1}\geq m_{2}.

Rozważmy następującą granicę, gdy x dąży do -\infty

g=\lim _{{x\rightarrow-\infty}}\frac{\int _{{-\infty}}^{x}F_{2}(t)dt}{\int _{{-\infty}}^{x}F_{1}(t)dt}.

Stosując dwukrotnie regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

g=\lim _{{x\rightarrow-\infty}}\frac{F_{2}(x)}{F_{1}(x)}=\lim _{{x\rightarrow-\infty}}\frac{F(\frac{x-m_{2}}{\sigma _{2}})}{F(\frac{x-m_{1}}{\sigma _{1}})}=
=\frac{\sigma _{1}}{\sigma _{2}}\lim _{{x\rightarrow-\infty}}\exp(\frac{(x-m_{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}-\frac{(x-m_{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}})=
=\left\{\begin{array}[]{ccc}0&\mbox{ dla }&\sigma _{1}>\sigma _{2}\\
0&\mbox{ dla }&\sigma _{1}=\sigma _{2}\wedge m_{1}<m_{2}\\
1&\mbox{ dla }&\sigma _{1}=\sigma _{2}\wedge m_{1}=m_{2}\\
+\infty&\mbox{ dla }&\sigma _{1}=\sigma _{2}\wedge m_{1}>m_{2}\\
+\infty&\mbox{ dla }&\sigma _{1}<\sigma _{2}\end{array}\right.

Z drugiej dominacji stochastycznej wynika, że g jest nie mniejsze od 1. Zatem przypadek \sigma _{1}>\sigma _{2} można wykluczyć.

Na zakończenie zajmiemy się zmiennymi losowymi o rozkładzie lognormalnym.

Twierdzenie 14.4

Niech K_{1} i K_{2} zmienne losowe o rozkładzie lognormalnym,
K_{i}=e^{{X_{i}}}, gdzie zmienne losowe X_{i} mają rozkład normalny o parametrach

E(X_{i})=m_{i},\;\;\;\sigma(X_{i})=\sigma _{i}.

Wówczas

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; m_{1}\geq m_{2}\;\;\;\wedge\;\;\;\sigma _{1}=\sigma _{2};
K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; 0\leq\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}\leq 2(m_{1}-m_{2}).

Dowód.
Równoważność dla dominacji stochastycznej pierwszego rzędu wynika z faktu, że funkcja wykładnicza jest rosnąca i odwracalna. Zatem z wniosku 14.1 i charakteryzacji dominacji stochastycznej dla rozkładów normalnych (twierdzenie 14.3) otrzymujemy:

K_{1}\geq _{{FSD}}K_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; X_{1}\geq _{{FSD}}X_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; m_{1}\geq m_{2}\;\;\;\wedge\;\;\;\sigma _{1}=\sigma _{2}.

W przypadku dominacji stochastycznej drugiego rzędu dominacja X_{1} nad X_{2} nie jest równoważna dominacji K_{1} and K_{2}. Prawdziwa jest tylko implikacja w jedną stronę, która wynika z faktu, że X_{i}=\ln(K_{i}), a logarytm naturalny jest funkcją rosnąca i wklęsła. Z wniosku 14.4 i twierdzenia 14.3 otrzymujemy:

K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\;\;\;\Longrightarrow\;\;\; X_{1}\geq _{{SSD}}X_{2}\;\;\;\Longrightarrow\;\;\; m_{1}\geq m_{2}\;\;\;\wedge\;\;\;\sigma _{1}\leq\sigma _{2}.

Ponadto z dominacji stochastycznej wynika nierowność dla wartości oczekiwanych

K_{1}\geq _{{SSD}}K_{2}\;\;\;\Longrightarrow\;\;\; E(K_{1})\geq E(K_{2}).

Przypomnimy, że

E(K_{i})=E(e^{{X_{i}}})=\frac{1}{\sigma _{i}\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}e^{x}\exp(-\frac{(x-m_{i})^{2}}{2\sigma^{2}})dx=
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}e^{{\sigma _{i}x+m_{i}}}e^{{-\frac{x^{2}}{2}}}dx=
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}\exp(-\frac{(x-\sigma _{i})^{2}}{2}+\frac{\sigma _{i}^{2}}{2}+m_{i})dx=\exp(\frac{\sigma _{i}^{2}}{2}+m_{i}).

Zatem

E(K_{1})\geq E(K_{2})\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\;\frac{\sigma _{1}^{2}}{2}+m_{1}\geq\frac{\sigma _{2}^{2}}{2}+m_{2}\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\;\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}\leq 2(m_{1}-m_{2}).

Co kończy dowód implikacji w prawą stronę.

Pokażemy teraz, że warunki na parametry \sigma _{i} i m_{i} wystarczają, aby zachodziła dominacja stochastyczna rzędu drugiego. Skorzystamy z warunku 3 twierdzenia 14.2. Niech \widehat{X_{1}} i \widehat{X_{3}} niezależne zmienne losowe o rozkładzie normalnym

\widehat{X_{1}}\sim N(m_{1},\sigma _{1}),\;\;\;\widehat{X_{3}}\sim N(m_{2}-m_{1},\sqrt{\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}}).

Niech \widehat{X_{2}}=\widehat{X_{1}}+\widehat{X_{3}}, zatem \widehat{X_{2}} też ma rozkład normalny

\widehat{X_{2}}\sim N(m_{2},\sigma _{2}).

Okazuje się, że para \exp(\widehat{X_{1}}), \exp(\widehat{X_{2}}) jest nadmartyngałem. Otóż z niezależności \widehat{X_{3}} od \widehat{X_{1}} wynika, że

E(\exp(\widehat{X_{2}})|\exp(\widehat{X_{1}}))=\exp(\widehat{X_{1}})E(\exp(\widehat{X_{3}}))=
=\exp(\widehat{X_{1}})\exp(m_{2}-m_{1}+\frac{1}{2}(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2})).

Ponieważ założyliśmy, że m_{2}-m_{1}+\frac{1}{2}(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2})\leq 0, to

E(\exp(\widehat{X_{2}})|\exp(\widehat{X_{1}}))\leq\exp(\widehat{X_{1}}),

czyli

\exp(\widehat{X_{1}})\geq _{{SSD}}\exp(\widehat{X_{2}}).

Aby zakończyć dowód, wystarczy zauważyć, że K_{1} ma taki sam rozkład jak \exp(\widehat{X_{1}}), a K_{2} jak \exp(\widehat{X_{2}}).

14.3. Dochód i ryzyko

14.3.1. Oczekiwany dochód i miary ryzyka

Strategie oparte na dominacji stochastycznej wymagają dokładnej znajomości całego rozkładu, co jest:
a) pracochłonne;
b) kosztowne;
c) czasami niewykonalne.
Ponadto prowadzą one do optymalizacji ,,\infty-kryterialnej”. Dlatego bardziej popularne są strategie oparte na dwu kryteriach: prognozowany dochód i ryzyko. Maksymalizujemy prognozowany dochód i minimalizujemy ryzyko. Prowadzi to do następującego kryterium wyboru inwestycji.

Niech zmienne losowe R_{1} i R_{2} modelują zysk z dwu inwestycji wymagających tych samych nakładów. Załóżmy, że mają one różne prognozy dochodu lub różne miary ryzyka. Oczywistym jest, że jeśli prognozowany dochód dla R_{1} jest większy lub równy prognozowanemu dochodowi dla R_{2} i ryzyko dla R_{1} jest mniejsze lub równe ryzyku dla R_{2}, to inwestor wybierze R_{1}.

Jako prognozę dochodu najczęściej przyjmuje się wartość oczekiwaną E(R), rzadziej medianę m_{e}(R). W obu przypadkach jest to prognoza punktowa zysku. Im większa wartość prognozy, tym inwestycja jest korzystniejsza. Ale R jest przecież zmienną losową i należy uwzględnić, że wynik może być różny od prognozy. Dlatego wprowadza się pojęcie ryzyka. Ma ono w analizie portfelowej dwa znaczenia.
1. Możliwość wystąpienia efektu niezgodnego z przewidywaniami. Nieważne, czy jest to przykra niespodzianka, czy przyjemne zaskoczenie; ważne, że prognoza była niedokładna.
2. Możliwość poniesienia straty. Uwzględniamy tylko przykre niespodzianki.

Najbardziej popularne miary ryzyka to:

\bullet dla niezgodności z przewidywaniami (1.).
Odchylenie standardowe i wariancja.

V(R)=E((R-E(R))^{2}),\;\;\;\sigma(R)=\sqrt{V(R)};

wyznaczamy prognozę błędu prognozy.

\bullet dla możliwości straty (2.).
Ujemne semiodchylenie standardowe i ujemna semiwariancja.

SV^{-}(R)=E(((R-E(R))^{-})^{2}),\;\;\;\sigma^{-}(R)=\sqrt{SV^{-}(R)}

SV^{-} i \sigma^{-}, to odpowiedniki odchylenia standardowego i wariancji w przypadku drugiej interpretacji ryzyka.

\bullet dla obu interpretacji ryzyka (1. i 2.).
Odchylenie przeciętne i ujemne semiodchylenie przeciętne.

d(R)=E(|R-E(R)|),\;\;\; sd^{-}(R)=E((R-E(R))^{-}).

Ponieważ d(R)=2sd^{-}(R) (lemat 14.3) to można je stosować przy obu interpretacjach ryzyka, mierzą one zarówno błąd prognozy, jak i wielkość możliwej straty.

Zauważmy, że w przypadku rozkładu normalnego powyższe miary są równoważne, w szczególności odchylenie standardowe, semiodchylenie standardowe, odchylenie przeciętne i semiodchylenie przeciętne są proporcjonalne. Rzeczywiście, jeśli R ma rozkład normalny o parametrach m i \sigma, R\sim N(m,\sigma^{2}), to (por. ćwiczenie 14.2)

V(R)=\sigma^{2},\;\;\sigma(R)=\sigma,\;\; SV^{-}(R)=\frac{1}{2}\sigma^{2},\;\;\sigma^{-}(R)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma,\;\; sd^{-}(R)=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}},\;\; d(R)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\sigma.

14.3.2. Model Markowitza

Przyjęcie wartości oczekiwanej jako miary dochodowości, a odchylenia standardowego jako miary ryzyka jest równoważne stwierdzeniu, że inwestor dokonuje wyboru inwestycji zgodnie z relacją (kryterium) Markowitza ([28, 29]).

Definicja 14.6
R_{1}\succeq _{M}R_{2}\;\;\Leftrightarrow\;\; E(R_{1})\geq E(R_{2})\;\wedge\;\sigma(R_{1})\leq\sigma(R_{2}).

Relacja Markowitza jest określona tylko dla zmiennych losowych o skończonych zarówno wartości oczekiwanej, jak i wariancji (R_{1},R_{2}\in L^{2}). W przypadku zmiennych losowych o rozkładzie normalnym relacja Markowitza jest zgodna z drugą dominacją stochastyczną. Natomiast w przypadku zmiennych losowych o rozkładach w znaczny sposób różniących się od rozkładu normalnego (np. dyskretnych) należy przy jej stosowaniu zachować dużą ostrożność. Zilustrujemy to następującym przykładem.

Przykład
Rozważmy dwie inwestycje, które wymagają takich samych nakładów i rozliczenie, których nastąpi w tym samym czasie. Wiadomo, że wypłata z pierwszej wyniesie 3 tys. zł, a z drugiej z tym samym prawdopodobieństwem (50%) 3 lub 4 tys. zł. Oczywiste jest, że każdy racjonalny inwestor wybierze drugą inwestycję. Niemniej zauważmy, że

E(K_{2})=3,5\;\;\mbox{ i }\;\;\sigma^{2}(K_{2})=3^{2}\frac{1}{2}+4^{2}\frac{1}{2}-3,5^{2}=\frac{25}{2}-\frac{49}{4}=0,25.

Zatem \sigma(K_{2})=0,5, podczas gdy

E(K_{1})=3,\;\;\;\sigma(K_{1})=0,

co oznacza, że z punktu widzenia kryterium Markowitza inwestycje K_{1} i K_{2} są nieporównywalne.

Zauważmy, że relacja Markowitza zachowuje się przy przeskalowaniu.

Lemat 14.6

Niech a,m\in\mathbb{R}, a>0, wówczas

R_{1}\succeq _{M}R_{2}\;\;\Leftrightarrow\;\; aR_{1}+m\succeq _{M}aR_{2}+m.

Dowód.
Wartość oczekiwana jest liniowa, a odchylenie standardowe dodatnio jednorodne, zatem

E(R_{1})\geq E(R_{2})\Leftrightarrow aE(R_{1})+m\geq aE(R_{2})+m\Leftrightarrow E(aR_{1}+m)\geq E(aR_{2}+m),
\sigma(R_{1})\leq\sigma(R_{2})\Leftrightarrow a\sigma(R_{1})\leq a\sigma(R_{2})\Leftrightarrow\sigma(aR_{1})\leq\sigma(aR_{2}).

Wobec tego

\sigma(aR_{1}+m)\leq\sigma(aR_{2}+m).

Zatem obie nierówności zostają zachowane przy przeskalowaniu.

Wniosek 14.9

Niech K_{1},K_{2} wypłaty, Z_{1},Z_{2} zysk, a R_{1},R_{2} stopy zwrotu z dwóch inwestycji, które wymagają tych samych nakładów k. Wówczas następujące warunki są równoważne
i. K_{1}\succeq _{M}K_{2},
ii. Z_{1}\succeq _{M}Z_{2},
iii. R_{1}\succeq _{M}R_{2}.

Kryterium Markowitza jest powszechnie używane przy planowaniu składu portfela inwestycyjnego.

Założenia modelowe.
Inwestor inwestuje kwotę k, k>0 w portfel inwestycyjny, który może zawierać d papierów wartościowych. Oznaczmy przez r_{i} stopę zwrotu z i-tego papieru, a przez k_{i} kwotę zainwestowaną w ten papier (k_{1}+\dots k_{d}=k). k_{i} są znane w momencie zawarcia transakcji, a r_{i} modelujemy jako zmienne losowe o skończonej wariancji. Zysk i stopa zwrotu z portfela wynoszą

Z=k_{1}r_{1}+\dots+k_{d}r_{d},\;\;\; R=\frac{Z}{k}=\frac{k_{1}}{k}r_{1}+\dots+\frac{k_{d}}{k}r_{d}.

Oznaczmy przez x_{i} udział i-tego waloru w portfelu

x_{i}=\frac{k_{i}}{k}.

Wówczas wzór na stopę zwrotu przyjmuje postać

R=x_{1}r_{1}+\dots+x_{d}r_{d}.

Wartość oczekiwana stopy zwrotu z portfela jest kombinacją liniową stóp zwrotu z poszczególnych papierów

E(R)=x_{1}E(r_{1})+\dots+x_{d}E(r_{d}),

a wariancja kombinacją liniową ich wariancji i kowariancji ([21] §5.6 Twierdzenie 16)

\sigma^{2}(R)=x_{1}^{2}\sigma^{2}(r_{1})+\dots+x_{d}^{2}\sigma^{2}(r_{d})+2x_{1}x_{2}\; cov(r_{1},r_{2})+\dots+2x_{{d-1}}x_{d}\; cov(r_{{d-1}},r_{d}).

Biorąc pod uwagę, że cov(r_{i},r_{i})=\sigma^{2}(r_{i}) i cov(r_{i},r_{j})=cov(r_{j},r_{i}), możemy zapisać powyższy wzór jako podwójną sumę

\sigma^{2}(R)=\sum _{{i=1}}^{d}\sum _{{j=1}}^{d}x_{i}x_{j}cov(r_{i},r_{j}),

lub w postaci macierzowej

\sigma^{2}(R)=x^{T}Cx,\;\;\mbox{ gdzie }\;\; x=\left(\begin{array}[]{c}x_{1}\\
\dots\\
x_{d}\\
\end{array}\right),\;\;\; C=\left(cov(r_{i},r_{j})\right)_{{i,j=1,\dots,d}}\;.

Zbiór inwestycji dopuszczalnych \cal P opisujemy jako podzbiór \mathbb{R}^{d}. Punkt x=(x_{1},\dots,x_{d}) należy do \cal P wtedy i tylko wtedy, gdy inwestor może zainwestować w portfel o składzie x_{1},\dots,x_{d}. Na ogół przyjmuje się, że wszystkie aktywa są nieskończenie podzielne i \cal P jest podzbiorem wypukłym hiperpłaszczyzny x_{1}+\dots+x_{d}=1.

Odwzorowanie, które przyporządkowuje portfelowi o składzie x odchylenie standardowe jego stopy zwrotu \sigma(R_{x}) i jej wartość oczekiwaną E(R_{x}), nazywa się odwzorowaniem Markowitza

M:{\cal P}\rightarrow\mathbb{R}^{2},\;\;\; x\mapsto(\sigma(R_{x}),E(R_{x})).

Obraz M({\cal P}) nazywa się zbiorem możliwości. Portfel o składzie x, x\in{\cal P}, nazywamy efektywnym, gdy stopa zwrotu z tego portfela R_{x} jest maksymalna względem relacji Markowitza

\neg\exists y\in{\cal P}\;\;\; R_{y}\succ _{M}R_{x}.

Obraz zbioru portfeli efektywnych jest zawarty w brzegu zbioru możliwości i nazywa się granicą efektywną (rys. 5.2). Zauważmy, że ma ona prostą interpretację geometryczną. Punkt (\sigma _{0},\mu _{0}) należy do granicy efektywnej, gdy zbiór możliwości i zbiór punktów leżących na lewo i powyżej punktu (\sigma _{0},\mu _{0}) przecinają się tylko w tym punkcie

M({\cal P})\cap\{(\sigma,\mu):\sigma\leq\sigma _{0}\wedge\mu\geq\mu _{0}\}=\{(\sigma _{0},\mu _{0})\}.
Rys. 14.1. Granica efektywna.

14.4. Ćwiczenia

Ćwiczenie 14.1

Oszacowano następujące prawdopodobieństwa wypłat dla inwestycji A, B i C:

Inwestycja A:
wypłata [tys. zł] 6 8 10 13 15
prawdopodobieństwo [%] 20 10 15 25 30

Inwestycja B:
wypłata [tys. zł] 6 7 9 10 11 14 15 16
prawdopodobieństwo [%] 15 5 5 15 5 25 20 10

Inwestycja C:
wypłata [tys. zł] 6 7 8 9 11 13 14 15
prawdopodobieństwo [%] 10 5 10 5 15 10 25 20

Sprawdzić, czy na podstawie kryterium dominacji stochastycznej można wybrać najlepszą spośród nich (każda wymaga zainwestowania 10 000 zł).

Rozwiązanie.Wypłaty są skokowymi zmiennymi losowymi, zatem ich dystrybuanty (F) są funkcjami schodkowymi, a całki z dystrybuant (G) ciągłymi funkcjami kawałkami liniowymi. Aby je scharakteryzować, wystarczy wyznaczyć ich wartości na dyskretnym zbiorze punktów zawierającym wszystkie wartości, jakie mogą przyjmować z niezerowym prawdopodobieństwem wypłaty K_{A}, K_{B} i K_{C}. Wielkości te są przedstawione w poniższej tabelce.

K 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16
A 20 0 10 0 15 0 25 0 30 0
P(K) B 15 5 0 5 15 5 0 25 20 10
C 10 5 10 5 0 15 10 25 20 0
A 20 20 30 30 45 45 70 70 100 100
F B 15 20 20 25 40 45 45 70 90 100
C 10 15 25 30 30 45 55 80 100 100
A 0 20 40 70 100 145 235 305 375 475
G B 0 15 35 55 80 120 210 255 325 415
C 0 10 25 50 80 110 200 255 335 435

Wiersz K zawiera wszystkie możliwe wartości wypłat. W następnych trzech wierszach podane są prawdopodobieństwa, z jakimi są one przyjmowane odpowiednio przez K_{A}, K_{B} i K_{C}. Poniżej są wartości dystrybuant, a pod nimi całek z dystrybuant. Zauważmy, że wartości dystrybuant F i całek G oblicza się rekurencyjnie według następujących wzorów:

F(K_{{i}})=F(K_{{i-1}})+p_{{i}},\;\;\; G(K_{{i}})=G(K_{{i-1}})+F(K_{{i-1}})\cdot(K_{i}-K_{{i-1}}).

Na podstawie tabelki stwierdzamy, że w każdym punkcie dystrybuanta F_{A} przyjmuje wartości większe niż dystrybuanta F_{B} bądź równe. Nie jest to prawdą dla pozostałych par dystrybuant F_{A} i F_{C} oraz F_{B} i F_{C}. Zatem K_{B}>_{{FSD}}K_{A}, a K_{C} jest FSD-nieporównywalne z K_{B} i K_{A}.

Całki G mierzą pola pod wykresami dystrybuant, zatem G_{A} przyjmuje nie mniejsze wartości niż G_{B}. Z tabelki otrzymujemy, że również wykres G_{C} leży poniżej wykresu G_{A}. Natomiast wykresy G_{B} i G_{C} przecinają się. Zatem K_{B}>_{{SSD}}K_{A} i K_{C}>_{{SSD}}K_{A}, ale K_{C} jest SSD-nieporównywalne z K_{B}.

Odpowiedź. Inwestor dokonujący wyboru inwestycji na podstawie dominacji stochastycznej pierwszego lub drugiego rzędu powinien odrzucić inwestycję A. Inwestycje B i C są nieporównywalne względem obu dominacji. Zatem kryteria oparte na pierwszej i drugiej dominacji stochastycznej nie dają wskazówek, którą z inwestycji należy wybrać.

Ćwiczenie 14.2

Wyznaczyć ujemne semiodchylenie przeciętne dla zmiennej losowej R o rozkładzie N(m,\sigma^{2}).

Rozwiązanie.

sd^{-}(R)=E((R-m)^{-})=\frac{-1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{m}x\exp(-\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}})dx\frac{-1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{0}x\exp(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}})dx=
=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}})|^{0}_{{-\infty}}=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}.

Odpowiedź. Ujemne semiodchylenie przeciętne dla zmiennej losowej R o rozkładzie N(m,\sigma^{2}) wynosi \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}.

Ćwiczenie 14.3

W oparciu o relację Markowitza określić, która z poniższych inwestycji jest bardziej, a która mniej korzystna:
inwestycja A – stopa zwrotu ma rozkład N(0{,}1;0{,}02^{2});
inwestycja B – stopa zwrotu ma rozkład N(0{,}2;0{,}02^{2});
inwestycja C – stopa zwrotu ma rozkład N(0{,}2;0{,}03^{2}).

Rozwiązanie.Porównujemy wartości oczekiwane i odchylenia standardowe

E(R_{A})=0,1<0,2=E(R_{B})=E(R_{C}),
\sigma(R_{A})=\sigma(R_{B})=0,02<0,03=\sigma(R_{C}).

Zatem inwestycja B ma największą wartość oczekiwaną stopy zwrotu i najmniejsze odchylenie standardowe, czyli

R_{B}\succ _{M}R_{A}\;\;\;\mbox{ i }\;\;\; R_{B}\succ _{M}R_{C}.

Natomiast stopy zwrotu z inwestycji A i C są nieporównywalne względem relacji Markowitza, A ma lepsze odchylenie standardowe, a C wartość oczekiwaną.

Odpowiedź. Zgodnie z relacją Markowitza najkorzystniejsza jest inwestycja B. Pozostałe dwie inwestycje są nieporównywalne względem relacji Markowitza, a tym samym nie daje ona wskazówek, która z nich jest bardziej, a która mniej korzystna.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.