Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 15. Metody stochastyczne w finansach – cd – MIM UW

Zagadnienia

15. Metody stochastyczne w finansach – cd

15.1. Value at Risk – inne spojrzenie na ryzyko finansowe

15.1.1. Wprowadzenie i definicja

Value at Risk (wartość zagrożona ryzykiem, w skrócie VaR) jest przykładem miary ryzyka opartej na nieco innej filozofii niż miary omówione w wykładzie 14. VaR, to miara, za pomocą której nie tyle określa się, na ile niedokładne są prognozy końcowego wyniku inwestycji, ale uzyskuje informacje jak duże środki należy przeznaczyć na zabezpieczenie danej inwestycji, a nawet całej instytucji finansowej. Krótko mówiąc VaR uprzedza nas, ile możemy stracić.

Miary takie jak VaR wykorzystuje się m.in.:

  1. \bullet jako element kontroli, np.:
    – poszczególnych departamentów i oddziałów przez zarząd banku,
    – poszczególnych banków przez nadzór bankowy,
    – zarządu spółki akcyjnej przez radę nadzorczą i akcjonariuszy;

  2. \bullet przy ustalaniu limitów dotyczących adekwatności kapitałowej instytucji finansowych, czyli określaniu ,,jak duże powinny być środki własne firmy, aby zabezpieczona była jej wypłacalność”;

  3. \bullet przy ustalaniu wysokości depozytów wymaganych przez izby rozrachunkowe działające na rynku instrumentów pochodnych;

  4. \bullet jako benchmark przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych, np.:
    ,,Ustala się pewną wartość graniczną d i zarządzający portfelem inwestycyjnym może tylko tak kształtować skład portfela, aby dana miara ryzyka jej nie przekroczyła”.

Ogólnie, Value at Risk to odpowiedź probabilisty na pytanie ,,ile można stracić?”. Jest to największa strata, jaką można ponieść przy zadanym poziomie ufności c.

Ustalmy pewien horyzont czasowy T. Niech X będzie zmienną losową, za pomocą której modelujemy przyszły stan należności netto danej instytucji finansowej (pasywa minus aktywa) albo stratę z danej inwestycji (aktualna wartość inwestycji minus jej wartość po upływie czasu T). Jeśli X ma rozkład ciągły i jej dystybuanta jest ściśle rosnąca (np. X ma rozkład normalny), to VaR_{c}({X}) określa się w następujący sposób

P(X\leq VaR_{c}({X}))=c.

W przypadku ogólnym (np. gdy zmienna losowa X jest dyskretna) powyższe równanie może nie mieć rozwiązań lub może mieć ich więcej niż jedno. Dlatego też zdefiniujemy VaR jako tzw. dolny kwantyl.

Definicja 15.1

Dla dowolnej zmiennej losowej X i dowolnego poziomu ufności c\in(0,1)

VaR_{c}({X})=\sup\;\{ V:P({X}\leq V)<c\},

Oczywiście można też definiować VaR jako górny kwantyl

VaR_{c}^{u}({X})=\sup\;\{ V:P(X<V)\leq c\},

lub jako średnią ważoną obu kwantyli.

Kwestią otwartą pozostaje wybór właściwego poziomu ufności c. Analitycy banku J.P.Morgan, twórcy pojęcia Value at Risk, przyjmowali c=95\% ([37]). Natomiast Komitet Bazylejski postuluje przyjęcie c=99\% ([5]). Ta różnica wynika między innymi z faktu, że według analityków z banku J.P.Morgan Value at Risk miało być narzędziem kontrolnym używanym przez zarząd banku, natomiast Komitet Bazylejski zaproponował użycie Value at Risk w ramach nadzoru bankowego. Oczywiste jest, że nadzór zewnętrzny jest bardziej wymagający (większe c oznacza większą wartość VaR).

Omówimy pokrótce podstawowe własności VaR. Zauważmy, że oba zbiory \{ V:P({X}<V)\leq c\} i \{ V:P(X\leq V)<c\} są półprostymi, wobec tego kres górny każdego z nich jest równy kresowy dolnemu odpowiednio każdego z dopełnień. Zatem VaR_{c}^{u}({X}) i VaR_{c}({X}) są równe odpowiednio

VaR_{c}^{u}({X})=\inf\;\{ V:P({X}<V)>c\},\;\;\; VaR_{c}({X})=\inf\;\{ V:P({X}\leq V)\geq c\}.

Korzystając z powyższego, udowodnimy następujący lemat.

Lemat 15.1

Dla dowolnej zmiennej losowej X i dowolnego poziomu ufności c\in(0,1):
1. P(X<VaR_{{c}}^{u}(X))\leq c\leq P(X\leq VaR_{c}(X));
2. Jeśli x jest większy od VaR_{c}^{u}(X), to P(X<x)>c;
3. Jeśli x jest mniejszy od VaR_{c}(X), to P(X\leq x)<c.
Ponadto, gdy VaR^{u}_{c}(X) nie jest równy VaR_{c}(X), to:
4. P(X<VaR_{{c}}^{u}(X))=P(X\leq VaR_{c}(X))=c;
5. Dla dowolnego x z przedziału otwartego (VaR_{c}(X),VaR_{c}^{u}(X)),
P(X<x)=P(X\leq x)=c;
6. P(X\in(VaR_{c}(X),VaR_{c}^{u}(X)))=0.

Dowód.
Punkt 1 wynika z ciągłości prawdopodobieństwa ([21] §Twierdzenie 7).

\{\omega:X(\omega)<VaR_{{c}}^{u}(X)\}=\bigcup _{{n=1}}^{\infty}\{\omega:X(\omega)<VaR_{{c}}^{u}(X)-\frac{1}{n}\},

zatem, ponieważ P(X<VaR_{{c}}^{u}(X)-\frac{1}{n})\leq c, to

P(X<VaR_{{c}}^{u}(X))=\lim _{{n\rightarrow\infty}}P(X<VaR_{{c}}^{u}(X)-\frac{1}{n})\leq c.

Podobnie

\{\omega:X(\omega)\leq VaR_{{c}}(X)\}=\bigcap _{{n=1}}^{\infty}\{\omega:X(\omega)\leq VaR_{{c}}(X)+\frac{1}{n}\}.

Ponieważ P(X\leq VaR_{{c}}^{u}(X)+\frac{1}{n})\geq c, to

P(X\leq VaR_{{c}}(X))=\lim _{{n\rightarrow\infty}}P(X\leq VaR_{{c}}(X)+\frac{1}{n})\geq c.

Punkt 2 wynika z przedstawienia VaR_{c}^{u}(X) jako kres dolny, a punkt 3 z przedstawienia VaR_{c}(X) jako kres górny.

Punkt 4 wynika z nierówności z punktu 1 i z faktu, że VaR_{c}(X) jest mniejszy od VaR_{c}^{u}(X).

c\leq P(X\leq VaR_{c}(X))\leq P(X<VaR_{{c}}^{u}(X))\leq c,

wobec tego wszystkie nierówności ,,\leq” w tym wzorze są równościami.

Podobnie pokazuje się punkt 5:

c=P(X\leq VaR_{c}(X))\leq P(X<x)\leq P(X\leq x)\leq P(X<VaR_{{c}}^{u}(X))=c.

Punkt 6 wynika z punktu 4.

P(X\in(VaR_{c}(X),VaR_{c}^{u}(X)))=
=P(X<VaR_{c}^{u}(X))-P(X\leq VaR_{c}(X))=c-c=0.

15.1.2. Alokacja kapitału

Na zakończenie przeanalizujmy możliwość zastosowania Value at Risk do wyznaczania optymalnej alokacji posiadanych środków. Rozważymy następujący prosty przykład.

Udziałowcy Towarzystwa Ubezpieczeniowego TU SA zastanawiają się, czy zachodzi potrzeba dokapitalizowania spółki. TU SA sprzedało szereg polis ubezpieczeniowych co może skutkowac wypłatą wysokich odszkodowań. Jeśli kwota odszkodowań przekroczy posiadane fundusze, TU SA będzie zagrożone bankructwem. Aby go uniknąć udziałowcy będą zmuszeni do poniesienia dodatkowych kosztów. Z drugiej strony dokapitalizowanie też wiąże się z pewnymi kosztami. W tej sytuacji udziałowcy muszą rozstrzygnąć, jaki jest optymalny poziom funduszy posiadanych przez TU SA.

Przyjmiemy następujące oznaczenia:
Y – wielkość odszkodowań pomniejszoną o środki posiadane przez TU SA (modelujemy ją jako zmienną losową);
x – kwota, którą udziałowcy chcą dokapitalizować spółkę;
K(x,Y) – koszty w zależności od x i Y.

K(x,Y)=ax+b(Y-x)^{+},

gdzie: a – koszt kapitału (np. stopa procentowa), b – koszty, które poniosą udziałowcy na pokrycie roszczeń przekraczających fundusze TU SA (w przeliczeniu na 1 jednostkę monetarną). Oczywiście 0<a<b.

Racjonalni akcjonariusze będą się starać zminimalizować oczekiwane koszty. A więc wybiorą x, które zminimalizuje wartość oczekiwaną relatywnej straty, czyli różnicy K(x,Y)-K(0,Y),

E(K(x,Y)-K(0,Y))\longrightarrow\min.

Pokażemy, że optymalny poziom dokapitalizowania jest równy Value at Risk Y, wyznaczonemu dla poziomu ufności c=1-\frac{a}{b}.

Zauważmy, że w odróżnieniu od straty K(x,Y), relatywna strata

V(x)=K(x,Y)-K(0,Y)=ax+b(Y-x)^{+}-b(Y)^{+},

jest ograniczona i niezależnie od tego, jaki jest rozkład Y i ile wynosi x, posiada skończoną wartość oczekiwaną, która jest funkcją ciągłą zmiennej x. Ponadto, gdy K(x,Y) mają skończoną wartość oczekiwaną, to E(V(x)) i E(K(x,Y)) przyjmują minimum w tych samych punktach.

Twierdzenie 15.1

VaR_{c}(Y) minimalizuje wartość oczekiwaną relatywnej straty E(V(x)) dla c=1-\frac{a}{b}. Ponadto, jeśli dystrybuanta Y jest ściśle rosnąca w pewnym otoczeniu punktu x=VaR_{c}(Y), to jest to jedyne minimum. W przeciwnym wypadku zbiór minimów E(V(x)) jest przedziałem domkniętym

\langle VaR_{c}({Y}),VaR_{c}^{u}(Y)\rangle.

Dowód.
Niech x_{1} i x_{2}, x_{1}<x_{2}, będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Zapiszemy różnicę relatywnych strat za pomocą funkcji charakterystycznych \mathbb{I}_{\ast}

V(x_{2})-V(x_{1})=ax_{2}+b(Y-x_{2})^{+}-Y^{+}-ax_{1}-b(Y-x_{1})^{+}+Y^{+}=
=a(x_{2}-x_{1})-b(x_{2}-x_{1})\mathbb{I}_{{Y\geq x_{2}}}-b(Y-x_{1})\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}}=
=a(x_{2}-x_{1})-b(x_{2}-x_{1})\mathbb{I}_{{Y>x_{1}}}+b(x_{2}-Y)\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}}.

Zatem przyrost wartości oczekiwanej relatywnej straty wynosi

E(V(x_{2}))-E(V(x_{1}))=E(V(x_{2})-V(x_{1}))=
=(x_{2}-x_{1})(a-bP(Y\geq x_{2}))-bE((Y-x_{1})\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}})=
=(x_{2}-x_{1})(a-bP(Y>x_{1}))+bE((x_{2}-Y)\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}}).

Rozważymy trzy przypadki:
A. Oba punkty leżą na prawo od VaR_{c}^{u},

VaR_{c}^{u}(Y)<x_{1}<x_{2};

B. Oba punkty leżą na lewo od VaR_{c},

x_{1}<x_{2}<VaR_{c};

C. Oba punkty leżą pomiędzy VaR_{c} i VaR_{c}^{u},

VaR_{c}(Y)<x_{1}<x_{2}<VaR_{c}^{u}(Y).

Przypadek A.
Na mocy lematu 5.4.1

P(Y>x_{1})=1-P(Y\leq x_{1})<1-c=\frac{a}{b}.

Wobec tego

a-bP(Y>x_{1})>a-b\frac{a}{b}=0.

Zatem, ponieważ wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest nieujemna, to

E(V(x_{2}))-E(V_{(}x_{1}))=(x_{2}-x_{1})(a-bP(Y>x_{1}))+bE((x_{2}-Y)\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}})\geq 0.

W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja E(V(x)) jest ściśle rosnąca na półprostej
(VaR_{c}^{u}(Y),+\infty). Ale wiemy, że jest ona ciągła, zatem jest ściśle rosnąca na półprostej domkniętej \langle VaR_{c}^{u}(Y),+\infty).

Przypadek B.
Na mocy lematu 5.4.1

P(Y\geq x_{2})=1-P(Y<x_{2})>1-c=\frac{a}{b}.

Wobec tego

a-bP(Y\geq x_{2})<a-b\frac{a}{b}=0.

Zatem, ponieważ wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest nieujemna, to

E(V(x_{2}))-E(V_{(}x_{1}))=(x_{2}-x_{1})(a-bP(Y\geq x_{2}))-bE((Y-x_{1})\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}})\leq 0.

W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja E(V(x)) jest ściśle malejąca na półprostej (-\infty,VaR_{c}(Y)). Z ciągłości wynika, że jest ona ściśle malejąca na półprostej domkniętej (-\infty,VaR_{c}(Y)\rangle.

Przypadek C.
Gdy VaR_{c}(Y) jest mniejszy od VaR_{c}^{u}(Y), to na mocy lematu 5.4.1

P(Y\geq x_{2})=1-P(Y<x_{2})=1-c=\frac{a}{b}.

Wobec tego

a-bP(Y\geq x_{2})=a-b\frac{a}{b}=0.

Ponadto

P(Y\in(x_{1},x_{2}))=0,

czyli

E((Y-x_{1})\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}})=0.

Z powyższego wynika, że

E(V(x_{2}))-E(V_{(}x_{1}))=(x_{2}-x_{1})(a-bP(Y\geq x_{2}))-bE((Y-x_{1})\mathbb{I}_{{Y\in(x_{1},x_{2})}})=0.

W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja E(V(x)) jest stała na odcinku
(VaR_{c}(Y),VaR_{c}^{u}(Y)). Z ciągłości wynika, że jest ona stała na odcinku domkniętym \langle VaR_{c}(Y),VaR_{c}^{u}(Y)\rangle.

Podsumowując, gdy dystrybuanta Y jest ściśle monotoniczna w pewnym otoczeniu VaR_{c}(Y), to VaR_{c}^{u}(Y)=VaR_{c}(Y) i E(V(x)) przyjmuje minimum dokładnie w jednym punkcie. W przeciwnym przypadku każdy punkt z przedziału \langle VaR_{c}(Y),VaR_{c}^{u}(Y)\rangle minimalizuje E(V(x)).

15.2. Teoretyczne podstawy pomiaru ryzyka dla inwestycji finansowych.

Każdą inwestycję A charakteryzujemy za pomocą dwóch wielkości:
wartości początkowej (nakładów) ozn. W_{0}(A)
i wartości końcowej (wypłaty, bogactwa końcowego) ozn. W_{1}(A).
W_{0}(A)>0 i jest znane w momencie rozpoczęcia inwestycji.
W_{1}(A)\geq 0 modelujemy jako zmienną losową określoną na pewnej przestrzeni probabilistycznej (\Omega,{\cal F},\mathbb{P}).
W tej konwencji
W_{1}(A)-W_{0}(A) oznacza zysk,
W_{0}(A)-W_{1}(A) stratę,
a stopa zwrotu to R(A)=\frac{W_{1}(A)-W_{0}(A)}{W_{0}(A)}.

Ponadto ze względów technicznych zakładamy, że zbiór dopuszczalnych inwestycji \cal G jest stożkiem wypukłym

\displaystyle i. \displaystyle\forall A\in{\cal G}\;\;\;\forall\lambda>0\;\;\;\exists C\in{\cal G}\;\;\; W_{i}(C)=\lambda W_{i}(A),\;\;\; i=0,1;
\displaystyle ii. \displaystyle\forall A,B\in{\cal G}\;\;\;\exists C\in{\cal G}\;\;\; W_{i}(C)=W_{i}(A)+W_{i}(B),\;\;\; i=0,1;

oraz zawiera inwestycję o zerowym zysku

\displaystyle iii. \displaystyle\exists C\in{\cal G}\;\;\; W_{1}(C)=W_{0}(C).

Inwestycje C z punktów i. oraz ii. będziemy oznaczać odpowiednio C=\lambda A i C=A+B.

Z punktu widzenia metodologicznego wyróżniamy dwie grupy miar ryzyka: miary dyspersji i miary monotoniczne. Osobną grupę stanowią miary efektywności, ściśle związane z ryzykiem nieosiągnięcia zakładanego poziomu zysku albo stopy zwrotu.

15.2.1. Miary dyspersji.

Miary dyspersji ostrzegają, o ile stopa zwrotu R(A) albo wypłata W_{1}(A) różnią się od prognozy (np. wartości oczekiwanej lub mediany). Ostrzeżenie to może dotyczyć zarówno:
1. Możliwości wystąpienia efektu niezgodnego z przewidywaniami. Nieważne, czy jest to przykra niespodzianka, czy przyjemne zaskoczenie; ważne, że prognoza była niedokładna.
2. Możliwości poniesienia straty. Uwzględniamy tylko przykre niespodzianki.

Najbardziej popularne miary ryzyka-dyspersji to omówione na poprzednim wykładzie (patrz 14.3.1):

1. Odchylenie standardowe i wariancja.

V(R)=\mathbb{E}((R-\mathbb{E}(R))^{2}),\;\;\;\sigma(R)=\sqrt{V(R)}

Wyznaczamy prognozę błędu prognozy.

2. Ujemne semiodchylenie standardowe i ujemna semiwariancja.

SV^{-}(R)=\mathbb{E}(((R-\mathbb{E}(R))^{-})^{2}),\;\;\;\sigma^{-}(R)=\sqrt{SV^{-}(R)}

Są to odpowiedniki odchylenia standardowego i wariancji w przypadku drugiej interpretacji ryzyka.

3. Odchylenie przeciętne i ujemne semiodchylenie przeciętne.

d(R)=\mathbb{E}(|R-\mathbb{E}(R)|),\;\;\; sd^{-}(R)=\mathbb{E}((R-\mathbb{E}(R))^{-}).

Więcej przykładów i informacji o miarach dyspersji (dewiacji) czytelnik może znaleźć w pracy [40].

15.2.2. Miary monotoniczne – zgodne z dominacją stochastyczną.

Miary monotoniczne mają za zadanie oceniać, która inwestycja może przynieść większą stratę. Funkcja

\rho:{\cal G}\longrightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}

jest monotoniczą miarą ryzyka jeżeli spełnia następujące warunki

\displaystyle A1. \displaystyle W_{0}(A)\leq W_{0}(B)\wedge W_{1}(A)\geq W_{1}(B)\;\;\Longrightarrow\;\;\rho(A)\leq\rho(B);
\displaystyle A2. \displaystyle W_{0}(A)=W_{1}(A)\;\;\Longrightarrow\;\;\rho(A)=0.

Poza tym ,,mile widziane” są następujące własności:

\displaystyle A3. \displaystyle\forall\lambda _{1},\lambda _{2}\geq 0,\;\lambda _{1}+\lambda _{2}=1\;\;\;\;\rho(\lambda _{1}A_{1}+\lambda _{2}A_{2})\leq\lambda _{1}\rho(A_{1})+\lambda _{2}\rho(A_{2});
\displaystyle A4. \displaystyle\forall c\in\mathbb{R}\;\;\;\; W_{1}(B)-W_{0}(B)=W_{1}(A)-W_{0}(A)+c\;\Longrightarrow\;\rho(B)=\rho(A)-c;
\displaystyle A5. \displaystyle\forall\lambda>0\;\;\;\rho(\lambda A)=\lambda\rho(A).

Miary spełniające aksjomaty A1, A2, A3 i A4 nazywa się wypukłymi (patrz [14]). Natomiast miary spełniające wszystkie pięć aksjomatów to tzw. koherentne miary ryzyka (patrz [2, 3]). Podstawowym zastosowaniem takich miar jest wyznaczanie wielkości ”kapitału ekonomicznego” potrzebnego do zabezpieczenia danej pozycji.

Przykłady miar monotonicznych.

1. Prawdopodobieństwo nieosiągnięcia wyznaczonego poziomu T (poziomu aspiracji)

SF_{{T}}(A)=\mathbb{P}(W_{1}(A)-W_{0}(A)<T).

Gdy T=0 jest to prawdopodobieństwo poniesienia straty.
Gdy T\leq 0, to SF_{{T}} spełnia tylko warunki A1 i A2.

2. Value at Risk - największa strata przy zadanym poziomie istotności \alpha (\alpha=0.05,0.01,\dots).

VaR_{\alpha}(A)=\inf\{ V:\mathbb{P}(W_{0}(A)-W_{1}(A)>V)<\alpha\}.

VaR_{\alpha} spełnia warunki A1, A2, A4 i A5, ale na ogół nie spełnia A3 – patrz lemat 15.1.

3. Conditional VaR (zwany też Probable Maximum Loss lub Expected Shortfall) - warunkowa oczekiwana wartość straty pod warunkiem, że osiągnie ona lub przekroczy VaR.

CVaR_{\alpha}(A)=\mathbb{E}(W_{0}(A)-W_{1}(A)|W_{0}(A)-W_{1}(A)\geq VaR_{\alpha}(A)).

Dla zmiennych losowych W_{1}() o ciągłym rozkładzie CVaR jest koherentną miarą ryzyka i spełnia wszystkie pięć aksjomatów (patrz [32, 39, 1]).

4. Spadek oczekiwanej użyteczności.

\rho _{\varphi}(A)=\varphi(W_{0}(A))-\mathbb{E}(\varphi(W_{1}(A))),

gdzie \varphi wklęsła i rosnąca funkcja na \mathbb{R}_{+} (funkcja użyteczności) np. \ln(t).
\rho _{\varphi} spełnia warunki A1, A2 i A3.

5. Miary ryzyka indukowane przez zmianę miary probabilistycznej.
Niech Y_{i}, i=1,\dots k, nieujemne zmienne losowe o skończonej wartości oczekiwanej (np. kursy waluty lokalnej w i-tej walucie lub koszyku walut).

\rho(A)=\sup\left\{\frac{\mathbb{E}(Y_{i}(W_{0}(A)-W_{1}(A)))}{\mathbb{E}(Y_{i})}\right\},i=1,\dots,k\}.

Miary indukowane są koherentnymi miarami ryzyka i spełniają wszystkie pięć aksjomatów.

6. Miary wyznaczone przez poziom krytyczny r taki, że wartość oczekiwana jego przekroczenia przez stratę jest stała i wynosi \gamma, \gamma>0.

\rho _{\gamma}(A)=r+\gamma,\mbox{ gdzie }\;\mathbb{E}((W_{0}(A)-W_{1}(A)-r)^{+})=\gamma.

Miary \rho _{\gamma} są wypukłe i spełniają warunki A1, A2, A3 i A4 ([22]).

7. Miary wyznaczone przez poziom krytyczny r taki, że wartość oczekiwana przekroczenia r jest proporcjonalna do r i wynosi \gamma r, \gamma>0.

\rho _{\gamma}(A)=\left\{\begin{array}[]{ccl}0,&\mbox{gdy}&\mathbb{P}(W_{1}(A)<W_{0}(A))=0,\\
r,&\mbox{gdy}&\mathbb{P}(W_{1}(A)<W_{0}(A))>0,\end{array}\right.

gdzie

r>0\;\;\mbox{ i }\;\;\mathbb{E}((\frac{W_{0}(A)-W_{1}(A)}{r}-1)^{+})=\gamma.

Miary \rho _{\gamma} spełniają warunki A1, A2, A3 i A5 ([22]).

8. Miary wyznaczone przez poziom krytyczny r taki, że dla ustalonego parametru, \gamma>0.

r\geq\mathbb{E}(W_{0}(A)-W_{1}(A))\;\;\mbox{ i }\;\;\mathbb{E}((W_{0}(A)-W_{1}(A)-r)^{+})=\gamma(r-\mathbb{E}(W_{0}(A)-W_{1}(A))).

Miary \rho _{\gamma} są koherentne i spełniają warunki A1, A2, A3, A4 i A5 ([22]).

9. Składka holenderska.

\rho _{c}(A)=E(W_{0}(A)-W_{1}(A))+cE(W_{1}(A)-E(W_{1}(A))^{-}),\;\;\; c\in(0,1].

Miary \rho _{\gamma} są koherentne i spełniają warunki A1, A2, A3, A4 i A5.

15.2.3. Miary efektywności

Miary efektywności (performance measures) mają za zadanie ocenić w jakim stopniu dana strategia inwestycyjna gwarantuje uzyskanie (i przekroczenie) zadanego poziomu aspiracji T. Zwykle benchmark T jest wielkością deterministyczną, ale może być też zależny od czynników losowych.

Miary efektywności najczęściej konstruowane są jako iloraz dwóch miar:
miary nadwyżki stopy zwrotu nad benchmarkiem T
i miary dyspersji stopy zwrotu względem benchmarku T.
Można tu zauważyć pewną analogię z testami statystycznymi dotyczącymi wartości oczekiwanej.

Przykłady miar efektywności ([31]).

Przyjmiemy następujące oznaczenia:
R – stopa zwrotu z inwestycji, a T – benchmark czyli wymagany poziom stopy zwrotu (poziom aspiracji).

1. Uogólniony współczynnik Sharpe'a.

\lambda(R)=\frac{\mathbb{E}(R-T)}{\sigma(R-T)}.

2. Współczynnik Sortino.

SoR(R)=\frac{\mathbb{E}(R-T)}{\sigma((R-T)^{-})}.

3. Wskaźnik potencjału nadwyżki (Upside Potential Ratio).

UPR(R)=\frac{\mathbb{E}((R-T)^{+})}{\sigma((R-T)^{-})}.

4. Stosunek zysku do straty (Gain-Loss Ratio), zwany też funkcją omega.

\Omega(R)=\frac{\mathbb{E}((R-T)^{+})}{\mathbb{E}((R-T)^{-})}.

Miary 2, 3, i 4, w odróżnieniu od ,,symetrycznego” współczynnika Sharpe'a, określane są w literaturze jako ”Downside Risk Measures”.

15.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 15.1

Wyznacz VaR_{c} dla straty X o rozkładzie normalnym, X\sim N(\mu,\sigma^{2}), dla c=0{,}95 i dla c=0{,}99.

Rozwiązanie.

VaR_{c}(X)=F_{X}^{{-1}}(c)=\mu+\sigma F^{{-1}}(c),

gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Zatem VaR_{{0.95}}=\mu+1{,}65\sigma a VaR_{{0.99}}=\mu+2{,}33\sigma.

Odpowiedź.VaR_{{0.95}}=\mu+1{,}65\sigma a VaR_{{0.99}}=\mu+2{,}33\sigma.

Ćwiczenie 15.2

Wyznacz VaR_{c} dla straty X o rozkładzie lognormalnym, X=\exp(Y) Y\sim N(\mu,\sigma^{2}), dla c\in(0,1).

Rozwiązanie.

VaR_{c}(X)=\exp(VaR_{c}(Y))=\exp(\mu+\sigma F^{{-1}}(c)),

gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Odpowiedź.VaR_{c}(X)=\exp(\mu+\sigma F^{{-1}}(c)), gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Ćwiczenie 15.3

Wyznacz VaR_{c} dla straty X o rozkładzie Pareto, F_{X}(x)=1-\frac{1}{x^{k}}, x\geq 1, k>0 dla c=0{,}95 i dla c=0{,}99.

Rozwiązanie.

F_{X}^{{-1}}(y)=(1-y)^{{-1/k}}.

Zatem

VaR_{{0{,}95}}(X)=F_{X}^{{-1}}(0{,}95)=0{,}05^{{-1/k}}=20^{{1/k}},
VaR_{{0{,}99}}(X)=F_{X}^{{-1}}(0{,}99)=0{,}01^{{-1/k}}=100^{{1/k}}.

Odpowiedź.VaR_{{0{,}95}}(X)=0{,}05^{{-1/k}}=20^{{1/k}}, a VaR_{{0{,}99}}(X)=0{,}01^{{-1/k}}=100^{{1/k}}.

Ćwiczenie 15.4

Przybliżamy łączny rozkład dziennych stóp zwrotu kursów USD i EUR w PLN rozkładem normalnym o parametrach: m_{1}=m_{2}=0, \sigma _{1}=0,01, \sigma _{2}=0,02 i \rho=0,5. Aktualny kurs USD wynosi 3,5 PLN, a EUR – 4 PLN. Wyznaczyć dzienny Value at Risk dla portfela walutowego złożonego z 20 tys. USD i 10 tys. EUR, dla c=0,95.

Rozwiązanie. Niech r_{1} i r_{2} oznaczają dzienne stopy zwrotu (relatywne przyrosty) kursów USD i EUR. Oznaczmy przez K wyrażoną w PLN, możliwą stratę, tzn. różnicę wartości aktualnej portfela i w dniu następnym.

K=-(3,5\cdot 20000\cdot r_{1}+4\cdot 10000\cdot r_{2})=-(70000r_{1}+40000r_{2}).

K ma rozkład normalny o zerowej wartości oczekiwanej i wariancji

\sigma^{2}(K)=70000^{2}\sigma _{1}^{2}+40000^{2}\sigma _{2}^{2}+2\cdot 70000\cdot 40000\cdot\rho\sigma _{1}\sigma _{2}=1690000.

Odchylenie standardowe K wynosi 1300. Po przybliżeniu kwantyla rozkładu normalnego standardowego przez 1,65 otrzymujemy, że VaR(K) wynosi 1300\cdot 1,65=2145.

Odpowiedź. Dla poziomu ufności 0,95 Value at Risk wynosi 2145 PLN.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.