Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Wartość pieniądza w czasie. Struktura terminowa stóp procentowych. Stopy spotowe i terminowe. Kontrakty FRA i opcje.
Rozważmy inwestycję o dwu przepływach gotówki
w momencie i w , (rys. 1.2).
Efektywność takiej inwestycji daje się opisać na kilka sposobów.
Na przykład możemy pytać o
następujące wielkości:
1. Ile kosztuje w chwili 1 jednostka monetarna (np. 1 zł), płatna w chwili ?
nazywamy czynnikiem dyskontującym. Zauważmy, że
, gdzie stopa dyskonta.
2. Jaka jest (efektywna) stopa zwrotu?
3. Jaka jest (efektywna) intensywność oprocentowania?
Powyższe wielkości są ze sobą powiązane:
Struktura terminowa to relacja między efektywnością opisanej powyżej inwestycji, a czasem pozostałym do momentu zapadalności. i ,
opisują strukturę terminową stóp zwrotu (stóp procentowych). Ich wykresy nazywa się ,,krzywą dochodowości” lub ,,krzywą zwrotów” (yield curve). Natomiast ,
opisuje strukturę terminową czynnika dyskontującego.
Mamy następujące ograniczenia (warunki brzegowe) na funkcję :
Ponadto jest ściśle malejąca.
Rzeczywiście, gdyby dla pewnych , , to prościej byłoby
otrzymać 1 jednostkę monetarną w momencie i przechować ją do momentu .
Rynek dostarcza nam informacje tylko o wartościach w skończonej liczbie punktów. Dlatego, bez ograniczania ogólności rozważań, w modelowaniu przyjmuje się, że jest funkcją klasy (być może poza skończoną liczbą punktów) i ma w punkcie 0 pochodną prawostronną. Pozwala to zdefiniować chwilową stopę (intensywność) spot i chwilowe stopy (intensywności) forward , .
Zauważmy, że skoro jest ściśle malejąca, to jest prawie wszędzie dodatnia. Ponadto
jest średnią z dla . Dlatego też
krzywe będące wykresami i mają ,,podobny kształt”.
Spośród wszystkich możliwych kształtów tych krzywych wyróżnia się cztery typowe
([13] s. 120, [18] §3.4).
– funkcja stała. Płaska struktura terminowa.
Rynek w równowadze.
– funkcja malejąca. Rynek oczekuje spadku stóp procentowych (oczekiwany jest spadek inflacji
lub spadek zapotrzebowania na kapitał związany ze spadkiem aktywności gospodarczej).
– funkcja rosnąca. Rynek oczekuje wzrostu stóp procentowych (oczekiwany jest wzrost inflacji
lub wzrost zapotrzebowania na kapitał wynikający ze wzrostu aktywności gospodarczej).
– posiada maksimum tzw. garb (hump).
Rynek oczekuje spadku stóp procentowych w dalszej przyszłości, ale równocześnie jest duży popyt na papiery
krótkoterminowe.
Powyższe rysunki są ilustracją tzw. faktów stylizowanych, tzn. pewnych uproszczeń sytuacji,
z którymi spotykamy się w życiu. Strukturę terminową modelujemy za pomocą rodziny funkcji zależnych od parametrów.
Dobry model powinien opisywać fakty stylizowane.
Dla większej czytelności zapisu wprowadzimy nową funkcję
Niektórzy autorzy nazywają ją funkcją dochodowości (yield function).
– funkcja stała. Wówczas:
Zauważmy, że wartości , dla , są ważonymi średnimi geometrycznymi wartości początkowej i końcowej.
Jeśli to
Dowód.
– funkcja kawałkami stała.
gdzie . Wówczas dla mamy:
Dla i zachodzi:
Strukturę kawałkami płaską stosujemy gdy znamy tylko skończoną liczbę wartości , a w pozostałych punktach interpolujemy za pomocą średniej geometrycznej ważonej.
Wówczas
Jak widać z powyższego, jest średnią ważoną czynników dyskontujących wyznaczonych przez płaskie struktury terminowe. Wzór Stoodleya stosuje się, gdy inwestor oczekuje, że w przyszłości będzie obwiązywać jedna z dwu płaskich struktur terminowych, ale nie wie która.
Własności funkcji .
Funkcja jest ściśle malejąca.
Wówczas
Zaletą wzoru Nelsona-Siegela jest liniowa zależność od parametrów . Co przy ustalonym parametrze skali pozwala je wyznaczyć (na podstawie danych empirycznych) za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Zauważmy, że:
Ponadto
Czyli pochodna zeruje się i zmienia znak, gdy
Zatem intensywność posiada ekstremum, gdy
Dla parametru dodatniego jest to maksimum, a dla ujemnego minimum. Maksymalna i odpowiednio minimalna intensywność wynoszą
W tym przypadku wzór na funkcję dochodowości jest końcowym wnioskiem ze stochastycznego modelu struktury terminowej, znanego jako model Vasička ([19, §5.2], [24, §7.4.1]). Model Vasička zależy od czterech dodatnich parametrów , , i . Ponadto musi być spełniony warunek . Najprostszy opis otrzymamy wprowadzając dwie funkcje pomocnicze i takie, że
Po scałkowaniu otrzymujemy
Funkcja jest ściśle rosnąca, i .
Chwilową intensywność otrzymujemy, różniczkując .
Zauważmy, że i . Co jest uzasadnieniem warunku
(funkcja powinna być nieujemna dla wszystkich dodatnich ).
Okazuje się, że dobierając odpowiednio parametry, możemy otrzymać funkcję monotoniczną lub z jednym maksimum.
Jeżeli , to funkcja jest ściśle malejąca.
Jeżeli , to funkcja początkowo rośnie, a potem maleje.
Jeżeli , to funkcja jest ściśle rosnąca.
Dowód.
Funkcję możemy zapisać w postaci funkcji złożonej
Trójmian kwadratowy przyjmuje maksimum w punkcie .
Badamy monotoniczność w przedziale , czyli domknięciu obrazu funkcji .
Gdy należy do przedziału otwartego , to trójmian ma ,,garb”, najpierw rośnie, a potem maleje.
Gdy leży na lewo od tego przedziału
(), to trójmian jest ściśle malejący, a gdy na prawo (), to ściśle rosnący.
Ponieważ funkcja jest ściśle rosnąca, to samo dotyczy funkcji .
Interpretacja parametrów modelu:
– chwilowa stopa procentowa,
– wielkość zaburzeń losowych,
– położenie równowagi, do którego ,,dąży” model (nie osiągane ze względu na zaburzenia),
– szybkość reakcji modelu na zaburzenia.
Tym razem wzór na funkcję dochodowości jest końcowym wnioskiem ze stochastycznego modelu struktury terminowej, znanego jako model Coxa, Ingersolla, Rosa ([19, §5.2], [24, §7.4.2]). Model ten zależy od czterech dodatnich parametrów , , i . Podobnie jak poprzednio, najprościej opisać go, wprowadzając dwie funkcje pomocnicze i takie, że
Po scałkowaniu otrzymujemy
Funkcja jest ściśle rosnąca, i .
Chwilową intensywność otrzymujemy, różniczkując .
Zauważmy, że i . Okazuje się, że tak jak w modelu Vasička, dobierając odpowiednio parametry, możemy otrzymać funkcję monotoniczną lub z jednym maksimum. Stosując podobne rozumowanie jak w poprzednim podrozdziale, pokazujemy, że:
Jeżeli , to funkcja jest ściśle malejąca.
Jeżeli , to funkcja początkowo rośnie, a potem maleje.
Jeżeli , to funkcja jest ściśle rosnąca.
Interpretacja parametrów jest identyczna jak w modelu Vasička.
FRA (ang. Forward Rate Agreement) to umowa pomiędzy dwoma kontrahentami, którzy ustalają wysokość stopy procentowej mającej obowiązywać w przyszłości dla określonej kwoty wyrażonej w walucie transakcji dla z góry ustalonego okresu.
W kontrakcie FRA są dwie strony transakcji:
1. Długa pozycja (ang. long position –- a FRA buyer) otrzymuje przepływ determinowany przez stawkę referencyjną, w zamian za stawkę stałą kontraktu (co niekiedy, w celu uniknięcia popełnienia błędu, bywa zapisywane jako: RECEIVE floating and PAY fixed),
2. Krótka pozycja (ang. short position –- a FRA seller) otrzymuje przepływ stały (którego wysokość w rzeczywistości jest ustalona w dniu zawarcia transakcji) w zamian za stawkę referencyjną (RECEIVE fixed and PAY floating).
W kontrakcie FRA występuje:
1. Data zawarcia transakcji (ang. transaction date) ,
2. Data ustalenia stawki referencyjnej (ang. fixing date) ,
3. Data rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. start date) ;
przeważnie jest to data spot (tzn. drugi kolejny dzien roboczy) od dnia fixingu stawki,
4. Data zakończenia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. end date) .
Stopy (stawki) i podawane są w skali rocznej.
Rozliczenie kontraktu następuje w drugim kolejnym dniu roboczym po ustaleniu stawki , który przeważnie pokrywa się z datą rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej. Podczas rozliczania kontraktu nie dochodzi do rzeczywistej wymiany odsetek a jedynie do transferu zdyskontowanej różnicy stóp w odpowiednim kierunku. A zatem, gdy , to wypłaty (tzw. kwoty kompensacyjne) wynoszą
gdzie kwota kontraktu (umowna kwota kapitału, na który opiewa kontrakt), a czas jest liczony w latach (por. [4, §8.1.2.3]).
Stawki są ściśle powiązane ze strukturą terminową stóp procentowych w dniu zawarcia transakcji.
Dowód.
Rozważmy dwie inwestycje:
A. Sprzedaż kontraktu FRA na okres na kwotę 1 i kupno 1 obligacji płacącej 1 w chwili .
B. Kupno obligacji płacących 1 w chwili za kwotę i ich sprzedaż w chwili .
Rozliczenie.
W chwili zawarcia transakcji mamy:
Rozliczenie obu transakcji nastąpi w chwili .
Po przyrównaniu obydwu wypłat otrzymujemy
Co po uproszczeniu daje tezę lematu.
Swap stopy procentowej, IRS (ang. interest rate swap), to kontrakt wymiany płatności odsetkowych, jeden z podstawowych instrumentów pochodnych, będący przedmiotem obrotu na rynku międzybankowym. IRS jest umową pomiędzy dwiema stronami, na podstawie której strony wypłacają sobie wzajemnie (w określonych odstępach czasu w trakcie trwania kontraktu) odsetki od umownego nominału kontraktu, naliczane według odmiennie zdefiniowanych stóp procentowych. Transakcja IRS może być traktowana jako seria kontraktów FRA, albo jako wymiana odsetek od dwóch obligacji kuponowych.
Obecnie w coraz większym zakresie transakcje IRS zawierane są przez korporacje. Dokonują tego m.in. w celu zapewnienia sobie stałego kosztu finansowania (receive floating rate and pay fixed), albo pozyskania tańszego finansowania w walucie obcej (receive foreing fixed rate vs. pay domestic fixed rate).
W rodzinie IRS można wyróżnić:
1. Prosty (waniliowy) swap stopy procentowej (ang. plain vanilla IRS) – strony wymieniają się przepływami uzależnionymi od stopy stałej i zmiennej (fixed rate vs. floating rate).
2. Basis swap - obie strony płacą odsetki wg różnej stopy zmiennej, np. WIBOR 3-miesięczny w zamian za WIBOR 6-miesięczny (floating rate vs. floating rate).
3. Walutowy swap stopy procentowej (ang. currency IRS, CIRS) – strony wymieniają się płatnościami denominowanymi w różnych walutach. Nie należy go mylić ze swapem walutowym.
W waniliowej transakcji IRS wyróżnia się dwie pozycje, przy czym to kierunek płatności stawki zmiennej określa jaką pozycję zajmuje kontrahent w transakcji IRS:
1. Kontrahent A zajmuje długą pozycję w stopie zmiennej – referencyjnej, gdy otrzymuje przepływ wyznaczony przez stawkę zmienną w zamian za ustaloną stawkę stałą (RECEIVE floating and PAY fixed).
2. Kontrahent B zajmuje krótką pozycję w stopie zmiennej (ang. short position), gdy płaci odsetki określone przez stawkę zmienną, a w zamian otrzymuje płatności determinowane przez stawkę stałą (RECEIVE fixed and PAY floating).
W charakterze stopy zmiennej występuje zazwyczaj stopa ”rynkowa” (LIBOR, EURIBOR, WIBOR lub inna, zależnie od rynku). Wysokość stopy stałej dla standardowych kontraktów jest kwotowana przez banki i zwana stopą swapową (ang. swap rate). Jest ona dobrana w taki sposób, by początkowa wartość kontraktu była zerowa.
Należy zwrócić uwagę, że wysokość stopy zmiennej płaconej w danym okresie odsetkowym standardowo ustalana jest z góry na początku tego okresu (tak jak dla lokat bankowych). Niekiedy spotykane są kontrakty, w których stopa ta ustalana jest z dołu (tzw. ang. LIA swap lub Libor in arrears swap). Należą one jednak do grupy skomplikowanych w wycenie, tzw. egzotycznych instrumentów pochodnych.
Opcja na górny pułap stopy procentowej (interest rate cap)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju zobowiązań głównie długoterminowych przed wzrostem stopy procentowej. Przedmiotem zabezpieczenia mogą być na przykład długoterminowe kredyty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja cap jest wielookresowym odpowiednikiem opcji call. W wyniku zawarcia transakcji cap nabywca opcji otrzymuje gwarancję od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, że wzrost stopy procentowej ponad poziom uzgodniony w umowie zostanie zrekompensowany przez sprzedającego
Opcja na dolny pułap stopy procentowej (interest rate floor)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju należności długoterminowych (choć nie tylko) przed spadkiem stopy procentowej. Przedmiotem tego zabezpieczenia mogą być długoterminowe lokaty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja floor jest wielookresowym odpowiednikiem opcji put. W wyniku zawarcia transakcji typu floor nabywca opcji otrzymuje od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, gwarancję, że spadek stopy procentowej poniżej uzgodnionego w umowie pułapu zostanie zrekompensowany przez sprzedającego. Kompensata polega na przekazaniu przez wystawcę floor kwoty stanowiącej różnicę pomiędzy referencyjną stopą procentową, a stopą procentową ustaloną w transakcji opcyjnej zwaną pułapem. Wystawca płaci ją na początku każdego podokresu wówczas, gdy różnica pomiędzy powyższymi kwotami jest ujemna. W każdym innym przypadku nie dochodzi do żadnej płatności.
Rozważamy strukturę terminową stóp procentowych opisaną przez chwilową intensywność
Inwestor zainwestował 1 JM na okres lat.
Obliczyć, ile wynosi wypłata i efektywna stopa zwrotu .
Rozwiązanie.
Niech oznacza wypłatę inwestora po latach. Wiemy, że
.
Zatem
Ponadto
Odpowiedź. Wypłata jest równa , a efektywna stopa zwrotu .
Udowodnić lemat 3.4.
Wyznaczyć stopę dla półrocznego okresu odsetkowego, który rozpocznie się za dwa lata
a. dla płaskiej struktury terminowej.
b. dla struktury terminowej opisanej wzorem Stoodleya.
c. dla struktury terminowej opisanej wzorem Nelsona-Siegela.
d. dla struktury terminowej opisanej wzorem Vasička.
Zakładamy, że .
Struktura terminowa jest wyznaczona przez chwilową stopę . Niech oznacza stopę FRA dla okresu odsetkowego o długości , który rozpocznie się za lat. Zakładamy, że , wyznaczyć
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.