Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 3. Struktura terminowa stóp procentowych – MIM UW

Zagadnienia

3. Struktura terminowa stóp procentowych

Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Wartość pieniądza w czasie. Struktura terminowa stóp procentowych. Stopy spotowe i terminowe. Kontrakty FRA i opcje.

3.1. Wprowadzenie

Rozważmy inwestycję o dwu przepływach gotówki C_{0}<0 w momencie T_{0}C_{1}>0 w T_{1}, T_{1}=T_{0}+t (rys. 1.2).

Rys. 3.1. Przepływy gotówki.

Efektywność takiej inwestycji daje się opisać na kilka sposobów. Na przykład możemy pytać o następujące wielkości:
1. Ile kosztuje w chwili T_{0} 1 jednostka monetarna (np. 1 zł), płatna w chwili T_{1}?

B=\frac{|C_{0}|}{C_{1}}

B nazywamy czynnikiem dyskontującym. Zauważmy, że B=1-D, gdzie D stopa dyskonta.
2. Jaka jest (efektywna) stopa zwrotu?

R=(\frac{C_{1}}{|C_{0}|})^{{\frac{1}{t}}}-1.

3. Jaka jest (efektywna) intensywność oprocentowania?

\bar{R}=\frac{1}{t}\ln(\frac{C_{1}}{|C_{0}|}).

Powyższe wielkości są ze sobą powiązane:

B=e^{{-\bar{R}t}}=\frac{1}{(1+R)^{t}};
\bar{R}=-\frac{\ln(B)}{t};
R=e^{{\bar{R}}}-1=B^{{-1/t}}-1.

Struktura terminowa to relacja między efektywnością opisanej powyżej inwestycji, a czasem pozostałym do momentu zapadalności. R(t) i \bar{R}(t),

R,\;\bar{R}:\langle 0,\infty)\rightarrow\langle 0,\infty),

opisują strukturę terminową stóp zwrotu (stóp procentowych). Ich wykresy nazywa się ,,krzywą dochodowości” lub ,,krzywą zwrotów” (yield curve). Natomiast B(t),

B:\langle 0,\infty)\rightarrow\langle 0,\infty).

opisuje strukturę terminową czynnika dyskontującego.

Mamy następujące ograniczenia (warunki brzegowe) na funkcję B:

B(0)=1,\;\;\;\lim _{{t\rightarrow\infty}}B(t)=0.

Ponadto B(t) jest ściśle malejąca.
Rzeczywiście, gdyby dla pewnych t_{1}<t_{2}, B(t_{1})\leq B(t_{2}), to prościej byłoby otrzymać 1 jednostkę monetarną w momencie t_{1} i przechować ją do momentu t_{2}.

Rynek dostarcza nam informacje tylko o wartościach B w skończonej liczbie punktów. Dlatego, bez ograniczania ogólności rozważań, w modelowaniu przyjmuje się, że B jest funkcją klasy C^{1} (być może poza skończoną liczbą punktów) i ma w punkcie 0 pochodną prawostronną. Pozwala to zdefiniować chwilową stopę (intensywność) spot \delta(0) i chwilowe stopy (intensywności) forward \delta(t), t>0.

\delta(t)=-\frac{d\;\ln B(t)}{dt}=-\frac{B^{{\prime}}(t)}{B(t)},\;\;\delta(0)=-B^{\prime}(0^{+}).

Zauważmy, że skoro B jest ściśle malejąca, to \delta jest prawie wszędzie dodatnia. Ponadto

B(t)=\exp(-\int _{0}^{t}\delta(s)ds),\;\;\;\bar{R}(t)=\frac{1}{t}\int _{0}^{t}\delta(s)ds.

3.2. Interpretacja \bar{R}(t) i \delta(t)

\bar{R}(t) jest średnią z \delta(s) dla 0\leq s\leq t. Dlatego też krzywe będące wykresami \bar{R}(t) i \delta(t) mają ,,podobny kształt”. Spośród wszystkich możliwych kształtów tych krzywych wyróżnia się cztery typowe ([13] s. 120, [18] §3.4).

Rys. 3.2. Płaska struktura terminowa.

\delta(t) – funkcja stała. Płaska struktura terminowa. Rynek w równowadze.

Rys. 3.3. \delta(t) malejąca.

\delta(t) – funkcja malejąca. Rynek oczekuje spadku stóp procentowych (oczekiwany jest spadek inflacji lub spadek zapotrzebowania na kapitał związany ze spadkiem aktywności gospodarczej).

Rys. 3.4. \delta(t) rosnąca.

\delta(t) – funkcja rosnąca. Rynek oczekuje wzrostu stóp procentowych (oczekiwany jest wzrost inflacji lub wzrost zapotrzebowania na kapitał wynikający ze wzrostu aktywności gospodarczej).

Rys. 3.5. Garb.

\delta(t) – posiada maksimum tzw. garb (hump). Rynek oczekuje spadku stóp procentowych w dalszej przyszłości, ale równocześnie jest duży popyt na papiery krótkoterminowe.

Powyższe rysunki są ilustracją tzw. faktów stylizowanych, tzn. pewnych uproszczeń sytuacji, z którymi spotykamy się w życiu. Strukturę terminową modelujemy za pomocą rodziny funkcji zależnych od parametrów. Dobry model powinien opisywać fakty stylizowane.

3.3. Przykłady struktur terminowych

Dla większej czytelności zapisu wprowadzimy nową funkcję

Y(t)=-\ln B(t)=\int _{0}^{t}\delta(s)ds.

Niektórzy autorzy nazywają ją funkcją dochodowości (yield function).

3.3.1. Struktura terminowa płaska

\delta(t)=\delta – funkcja stała. Wówczas:

Y(t)=t\cdot\delta,\;\;\;\bar{R}(t)=\delta,\;\;\; B(t)=e^{{-t\delta}},\;\;\; R(t)=e^{{\delta}}-1.

Zauważmy, że wartości B(t), dla t\in\langle t_{1},t_{2}\rangle, są ważonymi średnimi geometrycznymi wartości początkowej i końcowej.

Lemat 3.1

Jeśli 0<t_{1}<t<t_{2} to

B(t)=B(t_{1})^{{\frac{t_{2}-t}{t_{2}-t_{1}}}}B(t_{2})^{{\frac{t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}}.

Dowód.

B(t_{1})^{{\frac{t_{2}-t}{t_{2}-t_{1}}}}B(t_{2})^{{\frac{t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}}=
=\exp(-t_{1}\delta\frac{t_{2}-t}{t_{2}-t_{1}}-t_{2}\delta\frac{t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}})=\exp(-t\delta)=B(t).

3.3.2. Struktura terminowa kawałkami płaska

\delta(t) – funkcja kawałkami stała.

\delta(t)=\delta _{i}\mbox{ gdy }t\in[t_{{i-1}},t_{i}],

gdzie 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots<t_{n}=+\infty. Wówczas dla t\in[t_{{i-1}},t_{i}] mamy:

Y(t)=Y(t_{{i-1}})+(t-t_{{i-1}})\delta _{i},\;\;\; B(t)=B(t_{1})\exp(-(t-t_{{i-1}})\delta _{i}),\;\;\;\bar{R}(t)=\delta _{i}+\frac{t_{{i-1}}}{t}(\bar{R}(t_{{i-1}})-\delta _{i}),\;\;\;\bar{R}(0)=\delta _{1}.
Lemat 3.2

Dla i<n i t\in[t_{{i-1}},t_{i}] zachodzi:

\delta _{i}=\frac{\ln(B(t_{i}))-\ln(B(t_{{i-1}}))}{t_{i}-t_{{i-1}}},
B(t)=B(t_{{i-1}})^{{\frac{t_{i}-t}{t_{i}-t_{{i-1}}}}}B(t_{i})^{{\frac{t-t_{{i-1}}}{t_{i}-t_{{i-1}}}}}.

Strukturę kawałkami płaską stosujemy gdy znamy tylko skończoną liczbę wartości B(t), a w pozostałych punktach interpolujemy B za pomocą średniej geometrycznej ważonej.

3.3.3. Wzór Stoodleya

\delta(t)=p+\frac{s}{1+re^{{st}}},\;\;\; p,r,s>0.

Wówczas

Y(t)=\int _{0}^{t}\delta(s)ds=(p+s)t-\ln(\frac{1+re^{{st}}}{1+r}).
\bar{R}(t)=p+s-\frac{1}{t}\ln(\frac{1+re^{{st}}}{1+r}).
B(t)=\frac{1}{1+r}e^{{-(p+s)t}}+\frac{r}{1+r}e^{{-pt}}.

Jak widać z powyższego, B(t) jest średnią ważoną czynników dyskontujących wyznaczonych przez płaskie struktury terminowe. Wzór Stoodleya stosuje się, gdy inwestor oczekuje, że w przyszłości będzie obwiązywać jedna z dwu płaskich struktur terminowych, ale nie wie która.

Własności funkcji \delta.
Funkcja \delta jest ściśle malejąca.

\delta(0)=p+\frac{s}{1+r},\;\;\;\lim _{{t\rightarrow\infty}}\delta(t)=p.
Rys. 3.6. Wykres funkcji Stoodleya.

3.3.4. Wzór Nelsona-Siegela

Wzór Nelsona-Siegela ([24, §15.4]) jest często używany do przybliżonego opisu struktury terminowej.

\delta(t)=\beta _{0}+\beta _{1}\exp(-\frac{t}{\tau})+\beta _{2}\frac{t}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau}),
\tau>0,\;\;\;\beta _{0}\geq 0,\;\;\;\beta _{0}+\beta _{1}\geq 0,\;\;\;(\beta _{2}<0\wedge\beta _{2}<\beta _{1})\Rightarrow\beta _{0}+\beta _{2}\exp(\frac{\beta _{1}}{\beta _{2}}-1)\geq 0.

Wówczas

Y(t)=\int _{0}^{t}\delta(s)ds=(\beta _{0}s-\tau\beta _{1}\exp(-\frac{s}{\tau})-\tau\beta _{2}(\frac{s}{\tau}+1)\exp(-\frac{s}{\tau}))|^{t}_{0}=
=\beta _{0}t-\tau\beta _{1}\exp(-\frac{t}{\tau})-\tau\beta _{2}(\frac{t}{\tau}+1)\exp(-\frac{t}{\tau})+\tau\beta _{1}+\tau\beta _{2}=
=\beta _{0}t-\tau(\beta _{1}+\beta _{2})(\exp(-\frac{t}{\tau})-1)-\beta _{2}t\;\exp(-\frac{t}{\tau}),
\bar{R}(t)=\frac{Y(t)}{t}=\beta _{0}-(\beta _{1}+\beta _{2})\frac{\exp(-\frac{t}{\tau})-1}{\frac{t}{\tau}}-\beta _{2}\exp(-\frac{t}{\tau}).

Zaletą wzoru Nelsona-Siegela jest liniowa zależność \bar{R} od parametrów \beta. Co przy ustalonym parametrze skali \tau pozwala je wyznaczyć (na podstawie danych empirycznych) za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Zauważmy, że:

\bar{R}(0)=\delta(0)=\beta _{0}+\beta _{1},\;\;\;\lim _{{t\rightarrow\infty}}\bar{R}(t)=\lim _{{t\rightarrow\infty}}\delta(t)=\beta _{0}.

Ponadto

\delta^{\prime}(t)=-\beta _{1}\frac{1}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau})+\beta _{2}(1-\frac{t}{\tau})\frac{1}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau})=
=\frac{1}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau})(-\beta _{1}+\beta _{2}-\beta _{2}\frac{t}{\tau}).

Czyli pochodna \delta^{\prime} zeruje się i zmienia znak, gdy

\frac{t}{\tau}=\frac{\beta _{2}-\beta _{1}}{\beta _{2}}=1-\frac{\beta _{1}}{\beta _{2}}.

Zatem intensywność \delta(t) posiada ekstremum, gdy

\frac{\beta _{1}}{\beta _{2}}<1.

Dla parametru \beta _{2} dodatniego jest to maksimum, a dla ujemnego minimum. Maksymalna i odpowiednio minimalna intensywność wynoszą

\delta(\tau(1-\frac{\beta _{1}}{\beta _{2}}))=\beta _{0}+\beta _{2}\exp(\frac{\beta _{1}}{\beta _{2}}-1).
Rys. 3.7. Wykres funkcji Nelsona-Siegela dla \beta _{1}=\beta _{0} i \beta _{2}=5\beta _{0}.

3.3.5. Wzór Vasička

W tym przypadku wzór na funkcję dochodowości Y(t) jest końcowym wnioskiem ze stochastycznego modelu struktury terminowej, znanego jako model Vasička ([19, §5.2], [24, §7.4.1]). Model Vasička zależy od czterech dodatnich parametrów a, b, \sigma i r. Ponadto musi być spełniony warunek 2ab\geq\sigma^{2}. Najprostszy opis otrzymamy wprowadzając dwie funkcje pomocnicze A_{1}(t) i A_{2}(t) takie, że

Y(t)=A_{1}(t)+A_{2}(t)r\;\;\;\mbox{ i }\;\;\;\left\{\begin{array}[]{ll}A_{2}^{{\;\prime}}=1-aA_{2},&A_{2}(0)=0,\\
A_{1}^{{\;\prime}}=bA_{2}-\frac{1}{2}\sigma^{2}A_{2}^{2},&A_{1}(0)=0.\end{array}\right.

Po scałkowaniu otrzymujemy

A_{2}(t)=\frac{1}{a}(1-e^{{-at}}),
A_{1}(t)=\frac{\sigma^{2}-2ab}{2a^{2}}(A_{2}(t)-t)+\frac{\sigma^{2}}{4a}A_{2}^{2}(t).

Funkcja A_{2} jest ściśle rosnąca, A_{2}(0)=0 i \lim _{{t\rightarrow\infty}}A_{2}(t)=\frac{1}{a}.

Chwilową intensywność otrzymujemy, różniczkując Y(t).

\delta(t)=Y^{{\;\prime}}(t)=A_{1}^{{\;\prime}}(t)+A_{2}^{{\;\prime}}(t)r=
=(1-aA_{2})r+(bA_{2}-\frac{1}{2}\sigma^{2}A_{2}^{2})=r+(b-ar)A_{2}-\frac{1}{2}\sigma^{2}A_{2}^{2}.

Zauważmy, że \delta(0)=r i \lim _{{t\rightarrow\infty}}\delta(t)=\frac{2ab-\sigma^{2}}{2a^{2}}. Co jest uzasadnieniem warunku 2ab\geq\sigma^{2} (funkcja \delta(t) powinna być nieujemna dla wszystkich dodatnich t).

Okazuje się, że dobierając odpowiednio parametry, możemy otrzymać funkcję \delta monotoniczną lub z jednym maksimum.

Lemat 3.3

Jeżeli b-ar\leq 0, to funkcja \delta jest ściśle malejąca.
Jeżeli 0<b-ar<\frac{\sigma^{2}}{a}, to funkcja \delta początkowo rośnie, a potem maleje.
Jeżeli \frac{\sigma^{2}}{a}\leq b-ar, to funkcja \delta jest ściśle rosnąca.

Dowód.
Funkcję \delta możemy zapisać w postaci funkcji złożonej

\delta(t)=P(A_{2}(t)),\;\; P(x)=r+(b-ar)x-\frac{\sigma^{2}}{2}x^{2}.

Trójmian kwadratowy P(x) przyjmuje maksimum w punkcie x_{m}=\frac{b-ar}{\sigma^{2}}. Badamy monotoniczność P(x) w przedziale \langle 0,\frac{1}{a}\rangle, czyli domknięciu obrazu funkcji A_{2}(t).

Gdy x_{m} należy do przedziału otwartego (0,\frac{1}{a}), to trójmian P(x) ma ,,garb”, najpierw rośnie, a potem maleje. Gdy x_{m} leży na lewo od tego przedziału (x_{m}\leq 0), to trójmian P jest ściśle malejący, a gdy na prawo (x_{m}\geq\frac{1}{a}), to ściśle rosnący. Ponieważ funkcja A_{2}(t) jest ściśle rosnąca, to samo dotyczy funkcji \delta.

Interpretacja parametrów modelu:
r – chwilowa stopa procentowa,
\sigma – wielkość zaburzeń losowych,
\frac{b}{a} – położenie równowagi, do którego ,,dąży” model (nie osiągane ze względu na zaburzenia),
a – szybkość reakcji modelu na zaburzenia.

3.3.6. Wzór CIR

Tym razem wzór na funkcję dochodowości Y(t) jest końcowym wnioskiem ze stochastycznego modelu struktury terminowej, znanego jako model Coxa, Ingersolla, Rosa ([19, §5.2], [24, §7.4.2]). Model ten zależy od czterech dodatnich parametrów a, b, \sigma i r. Podobnie jak poprzednio, najprościej opisać go, wprowadzając dwie funkcje pomocnicze A_{1}(t) i A_{2}(t) takie, że

Y(t)=A_{1}(t)+A_{2}(t)r\;\;\;\mbox{ i }\;\;\;\left\{\begin{array}[]{ll}A_{2}^{{\;\prime}}=1-aA_{2}-\frac{1}{2}\sigma^{2}A_{2}^{2},&A_{2}(0)=0,\\
A_{1}^{{\;\prime}}=bA_{2},&A_{1}(0)=0.\end{array}\right.

Po scałkowaniu otrzymujemy

A_{2}(t)=\frac{\sinh(\gamma t)}{\gamma\;\cosh(\gamma t)+\frac{a}{2}\sinh(\gamma t)},\;\;\; 2\gamma=\sqrt{a^{2}+2\sigma^{2}}
A_{1}(t)=-\frac{2b}{\sigma^{2}}\ln(\frac{\gamma\exp(\frac{at}{2})}{\gamma\;\cosh(\gamma t)+\frac{a}{2}\sinh(\gamma t)}).

Funkcja A_{2} jest ściśle rosnąca, A_{2}(0)=0 i \lim _{{t\rightarrow\infty}}A_{2}(t)=\alpha=\frac{2}{a+2\gamma}.

Chwilową intensywność otrzymujemy, różniczkując Y(t).

\delta(t)=Y^{{\;\prime}}(t)=A_{1}^{{\;\prime}}(t)+A_{2}^{{\;\prime}}(t)r=
=bA_{2}+(1-aA_{2}-\frac{1}{2}\sigma^{2}A_{2}^{2})r=r+(b-ar)A_{2}-\frac{1}{2}\sigma^{2}rA_{2}^{2}.

Zauważmy, że \delta(0)=r i \lim _{{t\rightarrow\infty}}\delta(t)=b\alpha. Okazuje się, że tak jak w modelu Vasička, dobierając odpowiednio parametry, możemy otrzymać funkcję \delta monotoniczną lub z jednym maksimum. Stosując podobne rozumowanie jak w poprzednim podrozdziale, pokazujemy, że:

Lemat 3.4

Jeżeli b-ar\leq 0, to funkcja \delta jest ściśle malejąca.
Jeżeli 0<b-ar<\sigma^{2}\alpha r, to funkcja \delta początkowo rośnie, a potem maleje.
Jeżeli \sigma^{2}\alpha r\leq b-ar, to funkcja \delta jest ściśle rosnąca.

Interpretacja parametrów jest identyczna jak w modelu Vasička.

3.4. Instrumenty pochodne

3.4.1. Kontrakty FRA

FRA (ang. Forward Rate Agreement) to umowa pomiędzy dwoma kontrahentami, którzy ustalają wysokość stopy procentowej mającej obowiązywać w przyszłości dla określonej kwoty wyrażonej w walucie transakcji dla z góry ustalonego okresu.

W kontrakcie FRA są dwie strony transakcji:

1. Długa pozycja (ang. long position –- a FRA buyer) otrzymuje przepływ determinowany przez stawkę referencyjną, w zamian za stawkę stałą kontraktu (co niekiedy, w celu uniknięcia popełnienia błędu, bywa zapisywane jako: RECEIVE floating and PAY fixed),
2. Krótka pozycja (ang. short position –- a FRA seller) otrzymuje przepływ stały (którego wysokość w rzeczywistości jest ustalona w dniu zawarcia transakcji) w zamian za stawkę referencyjną (RECEIVE fixed and PAY floating).

W kontrakcie FRA występuje:

1. Data zawarcia transakcji (ang. transaction date) T_{t},
2. Data ustalenia stawki referencyjnej (ang. fixing date) T_{f},
3. Data rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. start date) T_{s}; przeważnie jest to data spot (tzn. drugi kolejny dzien roboczy) od dnia fixingu stawki,
4. Data zakończenia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. end date) T_{e}.

T_{t}<T_{f}<T_{s}<T_{e}

Stopy (stawki) r_{{ref}} i r_{{FRA}} podawane są w skali rocznej.

Rozliczenie kontraktu następuje w drugim kolejnym dniu roboczym po ustaleniu stawki T_{m}=T_{f}+spot, który przeważnie pokrywa się z datą rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej. Podczas rozliczania kontraktu nie dochodzi do rzeczywistej wymiany odsetek a jedynie do transferu zdyskontowanej różnicy stóp |r_{{ref}}-r_{{FRA}}|\cdot(T_{e}-T_{s}) w odpowiednim kierunku. A zatem, gdy T_{m}=T_{s}, to wypłaty (tzw. kwoty kompensacyjne) wynoszą

CF_{{buyer}}=K\frac{(r_{{ref}}-r_{{FRA}})(T_{e}-T_{s})}{1+r_{{ref}}(T_{e}-T_{s})}=-CF_{{seller}},

gdzie K kwota kontraktu (umowna kwota kapitału, na który opiewa kontrakt), a czas jest liczony w latach (por. [4, §8.1.2.3]).

Stawki r_{{FRA}} są ściśle powiązane ze strukturą terminową stóp procentowych w dniu zawarcia transakcji.

Lemat 3.5
r_{{FRA}}\cdot(T_{e}-T_{s})=\frac{B(T_{s}-T_{t})}{B(T_{e}-T_{t})}-1.

Dowód.
Rozważmy dwie inwestycje:
A. Sprzedaż kontraktu FRA na okres <T_{s},T_{e}> na kwotę 1 i kupno 1 obligacji płacącej 1 w chwili T_{s}.
B. Kupno obligacji płacących 1 w chwili T_{e} za kwotę B(T_{s}-T_{t}) i ich sprzedaż w chwili T_{f}.

Rozliczenie.

W chwili zawarcia transakcji mamy:

CF_{{A,T_{t}}}=-B(T_{s}-T_{t})=CF_{{B,T_{t}}}.

Rozliczenie obu transakcji nastąpi w chwili T_{s}=T_{f}+spot.

CF_{{A,T_{s}}}=1+\frac{(r_{{FRA}}-r_{{ref}})(T_{e}-T_{s})}{1+r_{{ref}}(T_{e}-T_{s})},
CF_{{B,T_{s}}}=\frac{B(T_{s}-T_{t})}{B(T_{e}-T_{t})(1+r_{{ref}}(T_{e}-T_{s}))}.

Po przyrównaniu obydwu wypłat otrzymujemy

(1+r_{{ref}}(T_{e}-T_{s}))+(r_{{FRA}}-r_{{ref}})(T_{e}-T_{s})=\frac{B(T_{s}-T_{t})}{B(T_{e}-T_{t})}.

Co po uproszczeniu daje tezę lematu.

3.4.2. Kontrakty IRS

Swap stopy procentowej, IRS (ang. interest rate swap), to kontrakt wymiany płatności odsetkowych, jeden z podstawowych instrumentów pochodnych, będący przedmiotem obrotu na rynku międzybankowym. IRS jest umową pomiędzy dwiema stronami, na podstawie której strony wypłacają sobie wzajemnie (w określonych odstępach czasu w trakcie trwania kontraktu) odsetki od umownego nominału kontraktu, naliczane według odmiennie zdefiniowanych stóp procentowych. Transakcja IRS może być traktowana jako seria kontraktów FRA, albo jako wymiana odsetek od dwóch obligacji kuponowych.

Obecnie w coraz większym zakresie transakcje IRS zawierane są przez korporacje. Dokonują tego m.in. w celu zapewnienia sobie stałego kosztu finansowania (receive floating rate and pay fixed), albo pozyskania tańszego finansowania w walucie obcej (receive foreing fixed rate vs. pay domestic fixed rate).

W rodzinie IRS można wyróżnić:

1. Prosty (waniliowy) swap stopy procentowej (ang. plain vanilla IRS) – strony wymieniają się przepływami uzależnionymi od stopy stałej i zmiennej (fixed rate vs. floating rate).
2. Basis swap - obie strony płacą odsetki wg różnej stopy zmiennej, np. WIBOR 3-miesięczny w zamian za WIBOR 6-miesięczny (floating rate vs. floating rate).
3. Walutowy swap stopy procentowej (ang. currency IRS, CIRS) – strony wymieniają się płatnościami denominowanymi w różnych walutach. Nie należy go mylić ze swapem walutowym.

W waniliowej transakcji IRS wyróżnia się dwie pozycje, przy czym to kierunek płatności stawki zmiennej określa jaką pozycję zajmuje kontrahent w transakcji IRS:

1. Kontrahent A zajmuje długą pozycję w stopie zmiennej – referencyjnej, gdy otrzymuje przepływ wyznaczony przez stawkę zmienną w zamian za ustaloną stawkę stałą (RECEIVE floating and PAY fixed).
2. Kontrahent B zajmuje krótką pozycję w stopie zmiennej (ang. short position), gdy płaci odsetki określone przez stawkę zmienną, a w zamian otrzymuje płatności determinowane przez stawkę stałą (RECEIVE fixed and PAY floating).
W charakterze stopy zmiennej występuje zazwyczaj stopa ”rynkowa” (LIBOR, EURIBOR, WIBOR lub inna, zależnie od rynku). Wysokość stopy stałej dla standardowych kontraktów jest kwotowana przez banki i zwana stopą swapową (ang. swap rate). Jest ona dobrana w taki sposób, by początkowa wartość kontraktu była zerowa.

Należy zwrócić uwagę, że wysokość stopy zmiennej płaconej w danym okresie odsetkowym standardowo ustalana jest z góry na początku tego okresu (tak jak dla lokat bankowych). Niekiedy spotykane są kontrakty, w których stopa ta ustalana jest z dołu (tzw. ang. LIA swap lub Libor in arrears swap). Należą one jednak do grupy skomplikowanych w wycenie, tzw. egzotycznych instrumentów pochodnych.

3.4.3. Opcje na stopę procentową

Opcja na górny pułap stopy procentowej (interest rate cap)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju zobowiązań głównie długoterminowych przed wzrostem stopy procentowej. Przedmiotem zabezpieczenia mogą być na przykład długoterminowe kredyty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja cap jest wielookresowym odpowiednikiem opcji call. W wyniku zawarcia transakcji cap nabywca opcji otrzymuje gwarancję od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, że wzrost stopy procentowej ponad poziom uzgodniony w umowie zostanie zrekompensowany przez sprzedającego

Opcja na dolny pułap stopy procentowej (interest rate floor)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju należności długoterminowych (choć nie tylko) przed spadkiem stopy procentowej. Przedmiotem tego zabezpieczenia mogą być długoterminowe lokaty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja floor jest wielookresowym odpowiednikiem opcji put. W wyniku zawarcia transakcji typu floor nabywca opcji otrzymuje od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, gwarancję, że spadek stopy procentowej poniżej uzgodnionego w umowie pułapu zostanie zrekompensowany przez sprzedającego. Kompensata polega na przekazaniu przez wystawcę floor kwoty stanowiącej różnicę pomiędzy referencyjną stopą procentową, a stopą procentową ustaloną w transakcji opcyjnej zwaną pułapem. Wystawca płaci ją na początku każdego podokresu wówczas, gdy różnica pomiędzy powyższymi kwotami jest ujemna. W każdym innym przypadku nie dochodzi do żadnej płatności.

3.5. Ćwiczenia

Ćwiczenie 3.1

Rozważamy strukturę terminową stóp procentowych opisaną przez chwilową intensywność

\delta(t)={1\over 1+t}.

Inwestor zainwestował 1 JM na okres n lat. Obliczyć, ile wynosi wypłata i efektywna stopa zwrotu R.

Rozwiązanie. Niech K oznacza wypłatę inwestora po n latach. Wiemy, że
1=K\cdot B(n). Zatem

K=B(n)^{{-1}}=\exp\big(\int _{0}^{n}\delta(t)dt\big)=\exp\big(\int _{0}^{n}{1\over 1+t}dt\big)=\exp\big(\ln(1+t)\big|_{0}^{n}\big)=1+n.

Ponadto

R=\sqrt[n]{K}-1=\sqrt[n]{n+1}-1.

Odpowiedź. Wypłata jest równa n+1, a efektywna stopa zwrotu \sqrt[n]{n+1}-1.

Ćwiczenie 3.2

Udowodnić lemat 3.4.

Ćwiczenie 3.3

Wyznaczyć stopę r_{{FRA}} dla półrocznego okresu odsetkowego, który rozpocznie się za dwa lata
a. dla płaskiej struktury terminowej.
b. dla struktury terminowej opisanej wzorem Stoodleya.
c. dla struktury terminowej opisanej wzorem Nelsona-Siegela.
d. dla struktury terminowej opisanej wzorem Vasička.
Zakładamy, że T_{m}=T_{s}.

Ćwiczenie 3.4

Struktura terminowa jest wyznaczona przez chwilową stopę \delta(t). Niech r_{{FRA}}(h,t) oznacza stopę FRA dla okresu odsetkowego o długości h, który rozpocznie się za t lat. Zakładamy, że T_{m}=T_{s}, wyznaczyć

\lim _{{h\rightarrow 0^{+}}}r_{{FRA}}(h,t).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.