Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 5. Wyznaczanie struktury terminowej stóp zwrotu – MIM UW

Zagadnienia

5. Wyznaczanie struktury terminowej stóp zwrotu

Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Tworzenie struktury stóp procentowych.

5.1. Wyznaczanie struktury terminowej stóp zwrotu

Empiryczną strukturę terminową wyznaczamy na podstawie następujących danych:
stóp referencyjnych na rynku międzybankowym,
cen, kuponów i kwot wykupu obligacji zerokuponowych i kuponowych o stałym oprocentowaniu
oraz kontraktów FRA.

Przypomnijmy, że przez B oznaczona została funkcja opisująca strukturę terminową czynnika dyskontującego.

5.1.1. Stopy międzybankowe

Niech r_{t} oznacza stopę procentową na okres t wyrażony w latach. Wówczas przyjmujemy

B(t)=(1+tr_{t})^{{-1}}.

5.1.2. Obligacje zerokuponowe i bony

Mamy do czynienia z dwoma przepływami pieniężnymi: zakupem i wykupem obligacji. Niech P oznacza cenę zakupu, C_{t} – kwotę otrzymaną po wykupieniu obligacji, a t – czas życia obligacji. Wówczas kładziemy

B(t)=\frac{P}{C_{t}}.

Ta metoda ma istotne ograniczenie. A mianowicie, obligacje zerokuponowe, będące w obrocie rynkowym, mają zwykle krótki termin do wykupienia. W szczególności czas życia bonów skarbowych nie przekracza jednego roku.

5.1.3. Obligacje kuponowe o stałym oprocentowaniu

Obligacja, z której n krotnie wypłacane są odsetki (n-kuponowa) daje n+1 przepływów pieniężnych. Niech P – cena zakupu obligacji, C_{1},\dots,C_{{n-1}} – kupony, C_{n} – ostatni kupon i kwota otrzymana po wykupieniu obligacji. Kolejne przepływy gotówki następują po czasie t_{1},\dots,t_{n}.

Stosuje się dwie metody:
A. Wyznacza się Yield to Maturity (YTM) – stopę zwrotu liczoną do momentu zapadalności.
B. Oblicza się B(t) w momentach kolejnych przepływów finansowych w sposób łańcuchowy.

5.1.3.1. Yield to Maturity – stopa zwrotu liczona do momentu zapadalności

Założenie toretyczne:
Reinwestujemy otrzymane odsetki C_{1},\dots,C_{{n-1}} z tą samą efektywną stopą zwrotu.
Czyli szukamy takiej efektywnej stopy zwrotu YTM, że

P(1+YTM)^{{t_{n}}}=C_{1}(1+YTM)^{{t_{n}-t_{1}}}+\dots+C_{{n-1}}(1+YTM)^{{t_{{n}}-t_{{n-1}}}}+C_{n}.

Lub po podzieleniu przez (1+YTM)^{{t_{n}}}

P=\frac{C_{1}}{(1+YTM)^{{t_{1}}}}+\dots+\frac{C_{{n-1}}}{(1+YTM)^{{t_{{n-1}}}}}+\frac{C_{n}}{(1+YTM)^{{t_{{n}}}}}.

Następnie wyznaczamy B(t_{n}) z wzoru

B(t_{n})=\frac{1}{(1+YTM)^{{t_{n}}}}.

Zauważmy, że jest to równoważne przyjęciu, że efektywna stopa zwrotu jest równa stopie zwrotu liczonej do momentu zapadalności

R(t_{n})=YTM.

5.1.3.2. Metoda łańcuchowa

Jeśli znamy B(t) dla t=t_{1},\dots,t_{{n-1}}, to B(t_{n}) wyznaczamy ze wzoru

P=C_{1}\cdot B(t_{1})+C_{2}\cdot B(t_{2})+\dots+C_{n}\cdot B(t_{n}).

Stosując jedną lub drugą metodę, otrzymujemy wartości B(t) dla skończonej ilości punktów t_{1},t_{2},\dots,t_{n}. Następnie należy skonstruować funkcję malejącą, która przedłuży naszą empiryczną B(t) określoną dla t\in\{ t_{1},t_{2},\dots,t_{n}\}, albo dobrać funkcję ,,modelową”, która przybliży empiryczne B(t_{i}).

5.1.4. Wyznaczanie struktury terminowej w oparciu o kontrakty FRA

Korzystamy ze wzoru z lematu 3.5. Jeśli znamy stopę FRA na okres [t+T_{s},t+T_{e}] oraz B(T_{s}), to wówczas

B(T_{e})=\frac{B(T_{s})}{1+r_{{FRA}}\cdot(T_{e}-T_{s})}.

5.2. Ćwiczenia

Ćwiczenie 5.1

W dniu 27 sierpnia 2004 roku na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie było notowanych pięć serii obligacji zerokuponowych OKmmrr, wszystkie o nominale 1000 zł. Wyznaczyć strukturę terminową.

Rozwiązanie
W poniższej tabeli podane są ich terminy zapadalności obligacji i ceny, po jakich można było je zakupić. Na tej podstawie wyznaczone zostały: czas życia t, B(t), \bar{R}(t) i R(t). Dla uproszczenia przyjęliśmy, że 1 dzień, to \frac{1}{365} część roku.

seria OK1204 OK0405 OK0805 OK0406 OK0806
termin 12.12. 12.04. 12.08. 12.04. 12.08.
zapadalności 2004 2005 2005 2006 2006
cena
w zł (P) 980,5 957 934,8 888,5 866,4
czas życia
w latach (t) 0,2932 0,6247 0,9589 1,6247 1,9589
B(t) 0,9805 0,957 0,9348 0,8885 0,8664
\bar{R}(t) 0,06718 0,07036 0,07031 0,07277 0,07321
R(t) 0,06948 0,07290 0,07284 0,07548 0,07595
Ćwiczenie 5.2

Rozważmy obligację WS0922. Jest to obligacja o stałym oprocentowaniu 5,75% (w skali roku) i terminie zapadalności 2022-09-23. Nominał wynosi 1000 zł. Odsetki wypłacane są co roku we wrześniu. W dniu 11 sierpnia 2004 na GPW w Warszawie za tę obligację płacono 890,90 zł. Wyznaczyć stopę zwrotu liczoną do momentu zapadalności (YTM).

Rozwiązanie
Stosujemy metodę YTM. Mamy 19 okresów odsetkowych (n=19). Z pierwszego pozostało tylko 43 dni, pozostałe są jednoroczne.

P=890,9,\;\;\; C_{1}=C_{2}=\dots=C_{{18}}=57,5,\;\;\; C_{{19}}=1057,5.

Czas życia obligacji wynosił

t_{{19}}=18+\frac{43}{366}=18,117.

YTM wyznaczamy z równania

P(1+YTM)^{{t_{{19}}}}=\sum _{{i=1}}^{{18}}C_{{19-i}}(1+YTM)^{i}+C_{{19}}.

Po wstawieniu wartości liczbowych równanie to wygląda następująco:

890,9\cdot(1+YTM)^{{18,117}}=\sum _{{i=1}}^{{18}}57,5\cdot(1+YTM)^{i}+1057,5.

Jego jedynym dodatnim pierwiastkiem jest

YTM=0,07375.

Zatem

B(t_{{19}})=B(18,117)=(1+0,07375)^{{-18,117}}=0,2755.
Ćwiczenie 5.3

Rozważmy obligację WS0437. Jest to obligacja o stałym oprocentowaniu 5% (w skali roku) i terminie zapadalności 2037-04-25. Nominał wynosi 1000 zł. Odsetki wypłacane są co roku w kwietniu. W dniu 21 listopada 2011 na GPW w Warszawie kurs tej obligacji wynosił 89. Wyznaczyć stopę zwrotu liczoną do momentu zapadalności (YTM).

Rozwiązanie
Stosujemy metodę YTM. Mamy 26 okresów odsetkowych (n=26). Z pierwszego pozostało tylko 156 dni, pozostałe są jednoroczne. Naliczone odsetki wynoszą (po zaokrągleniu do groszy)

50\cdot\frac{210}{366}=28{,}69.

Otrzymujemy

P=918{,}69,\;\;\; C_{1}=C_{2}=\dots=C_{{25}}=50,\;\;\; C_{{26}}=1050.

Czas życia obligacji wynosił

t_{{26}}=25+\frac{156}{366}=25,42623.

YTM wyznaczamy z równania

P(1+YTM)^{{t_{{26}}}}=\sum _{{i=1}}^{{25}}C_{{26-i}}(1+YTM)^{i}+C_{{26}}.

Po wstawieniu wartości liczbowych równanie to wygląda następująco:

918{,}69\cdot(1+YTM)^{{25{,}42623}}=\sum _{{i=1}}^{{25}}50\cdot(1+YTM)^{i}+1050.

Jego jedynym dodatnim pierwiastkiem jest

YTM=0{,}058382.
Ćwiczenie 5.4

Rozważmy grudniowe obligacje z serii SP: SP1206, SP1207 i SP1208. Są to obligacje o stałym oprocentowaniu, odpowiednio 9,0%, 5,5% i 6,6% (w skali roku), o terminach zapadalności 2006-12-03, 2007-12-02 i 2008-12-01. Nominał wynosi 100 zł. Odsetki wypłacane są co roku na początku grudnia. W dniu 27 sierpnia 2004 na GPW w Warszawie za te obligacje płacono odpowiednio 109,06 zł, 98,09 zł i 100,35 zł.
Wyznaczyć strukturę terminową.

Rozwiązanie
Stosujemy metodę łańcuchową. Dla uproszczenia przyjmiemy, że okresy odsetkowe kończą się 2 grudnia. Wówczas

t_{1}=97/366\approx 0,27,\;\;\; t_{2}\approx 1,27,\;\;\; t_{3}\approx 2,27,\;\;\; t_{4}\approx 3,27,\;\;\; t_{5}\approx 4,27.

Wartości B(t_{1}) i B(t_{2}) nie możemy określić za pomocą notowań obligacji serii SP. Przybliżymy, je korzystając z notowań obligacji zerokuponowych z przykładu 1.8.1.

B(t_{1})=0,9821,\;\;\; B(t_{2})=0,9130.

B(t_{3}), B(t_{4}) i B(t_{5}) wyznaczamy metodą łańcuchową.

109,06=9\cdot 0,9821+9\cdot 0,9130+109\cdot B(t_{3}).

Zatem B(t_{3})\approx 0,8441.

98,09=5,5\cdot 0,9821+5,5\cdot 0,9130+5,5\cdot 0,8441+105,5\cdot B(t_{4}).

Czyli B(t_{4})\approx 0,7870.

100,35=6,6\cdot 0,9821+6,6\cdot 0,9130+6,6\cdot 0,8441+6,6\cdot 0,7870+106,6\cdot B(t_{5}).

Otrzymujemy B(t_{5})\approx 0,7231.

Uzyskane wyniki są zebrane w poniższej tabeli.

seria SP1206 SP1207 SP1208
termin zapadalności 2006-12-03 2007-12-02 2008-12-01
kupony 9,00 5,50 6,60
cena w zł 109,06 98,09 100,35
czas życia w latach (t) 2,27 3,27 4,26
B(t) 0,8441 0,7870 0,7231
R(t) 0,0776 0,0761 0,0790
\bar{R}(t) 0,0747 0,0734 0,0760
Ćwiczenie 5.5

Przedłużamy funkcję B(t) jako funkcję kawałkami wykładniczą (kawałkami płaska struktura terminowa). Przyjmujemy, że t_{0}=0 i B(t_{0})=1, a dla t\in(t_{{i-1}},t_{i}), i=1,2,\dots,n, wyznaczamy B(t) jako ważoną średnią geometryczną B(t_{{i-1}}) i B(t_{i}). Kładziemy

B(t)=B(t_{{i-1}})^{\frac{t_{i}-t}{t_{i}-t_{{i-1}}}}B(t_{{i}})^{\frac{t-t_{{i-1}}}{t_{i}-t_{{i-1}}}}=
=B(t_{{i-1}})^{\frac{t_{i}}{t_{i}-t_{{i-1}}}}B(t_{{i}})^{\frac{-t_{{i-1}}}{t_{i}-t_{{i-1}}}}\exp(\frac{\ln(B(t_{i}))-\ln(B(t_{{i-1}}))}{t_{i}-t_{{i-1}}}t).

Zauważmy, że taka metoda przedłużania ,,zachowuje” płaską strukturę czasową. Jeśli B(t_{i})=e^{{-\delta t_{i}}} dla i=1,\dots,n B(t_{i})=e^{{-\delta t_{i}}} to po przedłużeniu B(t)=e^{{-\delta t}} dla dowolnego t\in\langle 0,t_{n}\rangle.

W oparciu wartości B(t_{i}) wyznaczone w ćwiczeniach 5.1 i 5.3 wyznaczyć łączną strukturę terminową.

Rozwiązanie
Mamy

B(t_{1})=0,9805,B(t_{2})=0,957,B(t_{3})=0,9348,B(t_{4})=0,8885,
B(t_{5})=0,8664,B(t_{6})=0,8441,B(t_{7})=0,7870,B(t_{8})=0,7231,

gdzie:

t_{1}=0,29,\;\;\; t_{2}=0,62,\;\;\; t_{3}=0,96,\;\;\; t_{4}=1,62,
t_{5}=1,96,\;\;\; t_{6}=2,27,\;\;\; t_{7}=3,27,\;\;\; t_{8}=4,26.

Po przedłużeniu otrzymujemy:

B(t)=\left\{\begin{array}[]{rcc}\exp(-0,0674t)&\mbox{ dla }&t\in\langle 0,t_{1})\\
1,002\exp(-0,0732t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{1},t_{2})\\
1,000\exp(-0,0702t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{2},t_{3})\\
1,006\exp(-0,0763t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{3},t_{4})\\
1,004\exp(-0,0754t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{4},t_{5})\\
1,022\exp(-0,0843t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{5},t_{6})\\
0,990\exp(-0,0703t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{6},t_{7})\\
1,038\exp(-0,0847t)&\mbox{ dla }&t\in\langle t_{7},t_{8}\rangle\\
\end{array}\right.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.