Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 7. Analiza instrumentów dłużnych – cd – MIM UW

Zagadnienia

7. Analiza instrumentów dłużnych – cd

7.1. Wewnętrzna stopa zwrotu

7.1.1. Definicja IRR

Rozważmy ciąg płatności CF_{0},CF_{1},\dots,CF_{n} mających miejsce odpowiednio w momentach 0=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{n}. Na przykład
CF_{0} – zakup obligacji (CF_{0}<0),
CF_{i} – odsetki (kupony) i=1,\dots,n-1 (CF_{i}>0),
CF_{n} – odsetki i wykup obligacji (CF_{n}>0).

Dla płaskiej struktury terminowej mamy

PV=\sum _{{i=0}}^{n}\frac{CF_{i}}{(1+r)^{{t_{i}}}}=CF_{0}+\frac{CF_{1}}{(1+r)^{{t_{1}}}}+\dots+\frac{CF_{n}}{(1+r)^{{t_{n}}}},

lub jeśli zastąpimy stopę procentową r intensywnością \delta

PV=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}},\;\;\; e^{\delta}=r+1.

Pytanie: Przy jakiej stałej stopie procentowej r (intensywności \delta) inwestycja jest opłacalna, tzn. PV>0?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wprowadza się pojęcie wewnętrznej stopy zwrotu.

Definicja 7.1

Wewnętrzną stopą zwrotu – IRR (Internal Rate of Return) nazywamy dodatni pierwiastek r ,,równania wartości”

\sum _{{i=0}}^{n}\frac{CF_{i}}{(1+r)^{{t_{i}}}}=0.

Natomiast wewnętrzną intensywością nazywamy dodatnią liczbę \delta, dla której

\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}=0.

Jak łatwo zauważyć, wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa procentowa, przy której wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej nakładów inwestycyjnych. Podobnie wewnętrzna intensywność, to taka intensywność oprocentowania, przy której wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej nakładów inwestycyjnych.

Oczywiście obie te wielkości są związane zależnością

IRR=e^{\delta}-1.

Zilustrujemy definicje na przykładzie.

Przykład 7.1

Rozważmy pięcioletni projekt inwestycyjny:

Rok Nakłady Przychody CF_{i}
0 5000 0 -5000
1 2000 0 -2000
2 1000 2000 1000
3 1000 3000 2000
4 1000 4000 3000
5 1000 5000 4000

Zgodnie z danymi z tabelki mamy

PV(r)=-5000-\frac{2000}{1+r}+\frac{1000}{(1+r)^{2}}+\frac{2000}{(1+r)^{3}}+\frac{3000}{(1+r)^{4}}+\frac{4000}{(1+r)^{5}}.

Jedynym dodatnim miejscem zerowym jest 0,10193. Zatem IRR=10{,}193\%.

7.1.2. Istnienie IRR

W ogólnym przypadku funkcja PV(r) może nie mieć miejsc zerowych lub może się zerować w kilku punktach.

Rozważmy następujący przykład:
Inwestor wpłaca 100 natychmiast i 132 na koniec dwóch lat w zamian za 230 otrzymane na koniec pierwszego roku. Równanie wartości dla tej transakcji ma postać

100(1+r)^{2}+132=230(1+r)

lub

(1+r)^{2}-2{,}3(1+r)+1{,}32=0.

Po sprowadzeniu do postaci iloczynu mamy

[(1+r)-1{,}1][(1+r)-1{,}2]=0.

Stąd stopą zwrotu jest 10\% lub 20\%.

Wprawdzie nie jest rzeczą łatwą pogodzić się z faktem, że istnieją transakcje z wieloma stopami zwrotu, jednak gdy zaobserwujemy, że funkcja PV(r)=\displaystyle{\sum _{{t=0}}^{n}v^{t}R_{t}} po pomnożeniu przez (1+r)^{n} jest wielomianem n-tego stopnia zmiennej r, to staje się oczywiste, że posiada ona – licząc pierwiastki zespolone i pierwiastki wielokrotne – n miejsc zerowych.

Można sobie wyobrazić przypadki jeszcze bardziej niezwykłe:

Przykład 7.2

Inwestor A może pożyczyć 1000 od inwestora B na rok na 8% oraz natychmiast zainwestować tę kwotę na rok na 10%. Jaka jest stopa zwrotu inwestora A?

Odpowiedź. Zysk inwestora A w ciągu roku wynosi 20, ale kwota, którą zainwestował rzeczywiście A, wynosi 0. Tak więc jego stopa zwrotu jest nieskończona.

Przykład 7.3

Jaka jest stopa zwrotu z transakcji, w której inwestor płaci 100 natychmiast oraz 101 na końcu dwóch lat w zamian za 200 otrzymane na koniec roku?

Odpowiedź. Równaniem wartości jest

100(1+r)^{2}+101=200(1+r)

co oznacza, że

100r^{2}=-1.

W tym przypadku wewnętrzna stopa zwrotu nie istnieje.

Pokażemy, że dla w miarę naturalnych ograniczeń na przepływy gotówki IRR istnieje. Wystarczy, że suma wypłat przewyższa sumę wpłat i pierwsza jest wpłata.

Lemat 7.1

Jeżeli CF_{0}<0 i \sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0 to istnieje IRR.

Dowód.
Rozważmy funkcję PV(\delta)

PV(\delta)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}.
PV(0)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0,\mbox{ i }\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}PV(\delta)=C_{0}<0.

Funkcja PV(\delta) jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem, musi istnieć punkt, w ktorym przyjmuje wartość zero .

Rys. 7.1. Wykres funkcji PV(\delta).

Teza lematu pozostanie prawdziwa, gdy pierwszy przepływ gotówki (wpłata) ma miejsce w momencie t_{1}>0.

Lemat 7.2

Jeżeli CF_{0}=0, CF_{1}<0 i \sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0 to istnieje IRR.

Dowód patrz ćwiczenie 7.1

7.1.3. Jednoznaczność IRR

Warunki gwarantujące jednoznaczność nie są już tak oczywiste. Najprostszy przypadek to ,,najpierw wpłaty, a potem wypłaty”. W szczególności obejmuje to przypadek inwestycji w obligacje, kiedy mamy jedną wpłatę, a następnie same wypłaty.

Lemat 7.3

Jeżeli CF_{0},CF_{1},\dots CF_{k}<0, CF_{{k+1}},\dots CF_{n}>0 i \sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0 to istnieje dokładnie jedna IRR.

Dowód.
Niech t_{\ast} ,,rozdziela” wpłaty i wypłaty

t_{\ast}=\frac{t_{k}+t_{{k+1}}}{2}.

Wyłączamy czynnik wykładniczy e^{{-t_{\ast}\delta}} z PV.

PV(\delta)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}=e^{{-t_{\ast}\delta}}\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{\ast}-t_{i})\delta}}

Następnie rozkładamy sumę na część dodatnią i ujemną. Zauważmy, że funkcja

A(\delta)=\sum _{{i=0}}^{k}CF_{i}e^{{(t_{\ast}-t_{i})\delta}}

jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla i=0,\dots,k CF_{i}<0 i t_{\ast}-t_{i}>0. Ponadto

A(0)=\sum _{{i=0}}^{k}CF_{i}<0,\;\;\;\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}A(\delta)=-\infty.

Również funkcja

B(\delta)=\sum _{{i=k+1}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{\ast}-t_{i})\delta}}

jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla i=k=1,\dots,n CF_{i}>0 i t_{\ast}-t_{i}<0. Ponadto

B(0)=\sum _{{i=0}}^{k}CF_{i}>0,\;\;\;\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}B(\delta)=0.

Zatem funkcja A(\delta)+B(\delta)=e^{{t_{\ast}\delta}}PV(\delta) jest ciągła, ściśle malejąca i zmienia znak

A(0)+B(0)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0;\;\;\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}A(\delta)+B(\delta)=-\infty.

Ponieważ czynnik wykładniczy nigdzie się nie zeruje, to istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji PV(\delta).

Powyższy lemat można uogólnić na przypadek, gdy pierwsza wpłata następuje po czasie t_{1}>0.

Lemat 7.4

Jeżeli CF_{0}=0, CF_{1},\dots CF_{k}<0, CF_{{k+1}},\dots CF_{n}>0 i \sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0 to istnieje dokładnie jedna IRR.

Bardziej skomplikowany przypadek to ,,jedna zmiana znaku skumulowanego przepływu”. Oznaczmy przez Q skumulowany przepływ.

Q_{t}=\sum _{{t_{i}\leq t}}CF_{i},\;\;\; t\geq 0.
Lemat 7.5

Jeżeli Q_{t}<0, dla t<t_{\ast} i Q_{t}>0, dla t>t_{\ast} i ponadto t_{i} są wymierne, to istnieje dokładnie jedna IRR.

Dowód.
Niech N wspólny mianownik t_{1},\dots t_{n}. Oznaczmy przez C_{j} przepływ gotówki w momencie t=\frac{j}{N}. j=0,1,\dots.

C_{j}=\left\{\begin{array}[]{ccc}CF_{i}&\mbox{ gdy }&t_{i}=\frac{j}{N}\\
0&\mbox{ gdy }&t_{i}\neq\frac{j}{N}\end{array}\right.

Zaczniemy od dowodu pomocniczego faktu.

\sum _{{k=0}}^{{\infty}}Q_{{k/N}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}}=\sum _{{k=0}}^{{\infty}}(\sum _{{j=0}}^{k}C_{j})e^{{-\delta\frac{k}{N}}}=
=\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}(\sum _{{k=j}}^{{\infty}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}})=\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}(\sum _{{k=0}}^{{\infty}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}})=
=\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}\cdot\frac{1}{1-\exp(-\frac{\delta}{N})}.

Zatem, gdy

\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}=\sum _{{j=0}}^{{Nt_{n}}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}=0,

to

\sum _{{k=0}}^{{\infty}}Q_{{k/N}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}}=0.

Dalej powtarzamy rozumownie z poprzedniego lematu i pokazujemy, że istnieje dokładnie jedna IRR.

7.1.4. Kryterium inwestycyjne oparte na IRR

Załóżmy, że istnieje dokładnie jedna IRR, CF_{0}<0 i \sum _{i}CF_{i}>0. Możemy wówczas przeformułować kryterium inwestycyjne oparte na PV (2.1.4) obliczonej dla płaskiej struktury terminowej. Niech B(t)=(1+r)^{{-t}} – czynnik dyskontujący.

Lemat 7.6

Jeżeli IRR>r, to inwestycja jest opłacalna, a gdy IRR<r, to nieopłacalna.

Dowód.
PV(r)
zmienia znak w IRR z ,,+” na ,,–”. Zatem gdy IRR>r, to PV(r)>0, a gdy IRR<r, to PV(r)<0.

Uwaga. Gdy IRR>r to IRR-r wyznacza tzw. ,,margines bezpieczeństwa”.

Gdy IRR nie jest wyznaczone jednoznacznie (istnieje kilka miejsc zerowych), ale CF_{0}<0 i \sum _{i}CF_{i}>0, to można sformułować jedynie dużo słabsze kryterium:
Jeżeli IRR_{{min}}>r, to inwestycja jest opłacalna, a gdy IRR_{{max}}<r, to nieopłacalna.

Przykład 7.4

Rozważmy dwa wykluczające się projekty. W projekcie A nakłady inwestycyjne wynoszą 7000 zł, natomiast wpływy 3430 zł, płatne na koniec każdego z trzech lat. W projekcie B nakłady inwestycyjne wynoszą 12000 zł, a wpływy 5520 zł, płatne na koniec każdego z trzech lat. Przy założeniu, że koszt kapitału wynosi 10% rocznie (rynkowa stopa procentowa), stosując kryterium PV oraz IRR, rozstrzygnąć, który projekt należy wybrać.

Rozwiązanie. Dla projektu A mamy IRR=22{,}05\%, a dla projektu B IRR=18{,}01\%. Obie te stopy są wyższe od stopy rynkowej, zatem obie inwestycje są opłacalne. Na pytanie, którą z nich wybrać, nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Inwestycja A ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu, czyli większy margines bezpieczeństwa. Za to inwestycja B ma wyższą wartość obecną. Rzeczywiście dla r=0{,}1 mamy PV_{A}=1529{,}9 i PV_{B}=1772{,}42. Oznacza to, że gdy porównujemy dwie opłacalne inwestycje, to nasze kryteria mogą dawać sprzeczne wnioski .

Rys. 7.2. Wykres funkcji PV_{A}(r) i PV_{B}(r).

7.1.5. IRR a YTM

Rozważmy obligację, z której n krotnie wypłacane są odsetki (obligacja n-kuponowa), co daje n+1 przepływów pieniężnych. Niech P=-CF_{0} – cena zakupu, CF_{1},\dots,CF_{{n-1}} – kupony, CF_{n} – ostatni kupon i kwota otrzymana po wykupieniu obligacji. Kolejne przepływy gotówki następują, odpowiednio, po czasie t_{1},\dots,t_{n}.

Dla takiej obligacji stopa zwrotu liczona do momentu zapadalności (YTM) jest wyznaczona przez równanie

P(1+YTM)^{{t_{n}}}=CF_{1}(1+YTM)^{{t_{n}-t_{1}}}+\dots+CF_{{n-1}}(1+YTM)^{{t_{{n}}-t_{{n-1}}}}+CF_{n}.

Lub po podzieleniu przez (1+YTM)^{{t_{n}}}

0=CF_{0}+\frac{CF_{1}}{(1+YTM)^{{t_{1}}}}+\dots+\frac{CF_{{n-1}}}{(1+YTM)^{{t_{{n-1}}}}}+\frac{CF_{n}}{(1+YTM)^{{t_{{n}}}}}.

To samo równanie wyznacza wewnętrzną stopę zwrotu.

Wniosek 7.1
YTM=IRR

Ponadto spełnione są założenia lematu 2.2.3. Zatem YTM jest wyznaczona jednoznacznie.

7.1.6. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania

Wewnętrzna stopa zwrotu znalazła swoje miejsce w obowiązujących w Polsce aktach prawnych dotyczących kredytów. W ustawie o kredycie konsumenckim ([45, 46]) ustawodawca wprowadził wymóg informowania kredytobiorcy o ,,rzeczywistej rocznej stopie oprocentowania”, którą dla kredytów o stałym oprocentowaniu wyznacza się jako wewnętrzną stopę zwrotu dla wszystkich przepływów gotówki wynikających z danej umowy kredytowej. Zatem jest to stopa procentowa i, która spełnia następujące równanie

\sum _{{k=1}}^{n}\frac{CF_{k}}{(1+i)^{{t_{k}}}}=0,

gdzie,
k=1,\dots,n – numer kolejnego przepływu gotówki;
t_{k} – czas wyrażony w latach, pomiędzy pierwszą wypłatą i k-tym przepływem gotówki (t_{1}=0), wyznaczony zgodnie z zasadą ,,dokładnej liczby dni” (patrz podrozdział 1.3.8);
CF_{k}k-ty przepływ gotówki;

CF_{k}=-K_{k}+RK_{k}+OD_{k}+P_{k}.

Transze kredytu (K_{k}) bierzemy ze znakiem minus, a raty kredytowe (RK_{k}), zapłacone odsetki OD_{k}, prowizje i inne opłaty (P_{k}) ze znakiem plus.

Zgodnie z ustawą, rzeczywistą roczną stopę oprocentowania podaje się z dokładnością co najmniej do 1 promila.

7.1.7. Uogólnienia

1. Przypadek nieskończonej liczby płatności.
Równanie wartości ma postać

\sum _{{i=0}}^{{\infty}}CF_{i}e^{{-\delta t_{i}}}=0.

Zadanie jest dobrze postawione, gdy szereg jest zbieżny.

2. Przypadek ciągłego strumienia płatności.
Równanie wartości ma postać

P=\int _{0}^{{+\infty}}g(s)e^{{-\delta s}}ds,

gdzie: P cena (koszt inwestycji) (P=-CF_{0}), g(t) gęstość płatności.

Oznaczmy przez Q(t) skumulowany przepływ gotówki

Q(t)=-P+\int _{0}^{{t}}g(s)ds.
Lemat 7.7

Jeżeli Q(t)<0, dla t<t_{\ast} i Q(t)>0, dla t>t_{\ast} i ponadto funkcja Q(t) jest ograniczona i \lim _{{t\rightarrow\infty}}Q(t)=Q_{\infty}>0, to istnieje dokładnie jedna IRR.

Dowód.
Rozważmy funkcję PV(\delta),

PV(\delta)=-P+\int _{0}^{{+\infty}}g(s)e^{{-\delta s}}ds.

Jak łatwo zauważyć, zmienia ona znak PV(0)=Q_{\infty}>0 i \lim _{{t\rightarrow\infty}}PV(t)=Q(0)<0. Ponieważ jest ciągła, to posiada miejsca zerowe.

Po scałkowaniu przez części otrzymamy

PV(\delta)=-P+\int _{0}^{{+\infty}}g(s)e^{{-\delta s}}ds=-P+Q(s)e^{{-\delta s}}|_{0}^{{\infty}}+\delta\int _{0}^{{+\infty}}Q(s)e^{{-\delta s}}ds=
=\delta e^{{-\delta t_{\ast}}}\int _{0}^{{+\infty}}Q(s)e^{{\delta(t_{\ast}-s)}}ds=
=\delta e^{{-\delta t_{\ast}}}(\int _{0}^{{t_{\ast}}}Q(s)e^{{\delta(t_{\ast}-s)}}ds+\int _{{t_{\ast}}}^{{+\infty}}Q(s)e^{{\delta(t_{\ast}-s)}}ds).

Ponieważ obie otrzymane całki są funkcjami malejącymi zmiennej \delta, to PV zeruje się tylko w jednym punkcie.

7.2. Ćwiczenia

Ćwiczenie 7.1

Udowodnić lemat 7.2.

Rozwiązanie.
Mamy CF_{0}=0, zatem

PV(\delta)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}=e^{{t_{1}\delta}}\cdot\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{1}-t_{i})\delta}}.

Oznaczmy drugi czynnik przez FV(\delta),

FV(\delta)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{1}-t_{i})\delta}}.

Ponieważ CF_{1}<0 i \sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}>0, to

FV(0)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}>0,\;\;\;\lim _{{t\rightarrow+\infty}}FV(\delta)=CF_{1}<0.

Funkcja FV(\delta) jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem, istnieje punkt \delta _{0} taki, że FV(\delta _{0})=0.

Ćwiczenie 7.2

Udowodnić lemat 7.4.

Ćwiczenie 7.3

Zainwestowane 200 zł zwracają 120 zł po roku i 110 zł po dwóch latach. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu dla tej inwestycji.

Rozwiązanie.
Równanie wartości ma postać

-200+\frac{120}{1+r}+\frac{110}{(1+r)^{2}}=0.

Skracamy współczynniki przez 10, podstawiamy X=1+r i mnożymy równanie przez X^{2}. Otrzymujemy równanie kwadratowe

20X^{2}-12X-11=0.

\Delta wynosi 1024 czyli 32^{2}. Zatem pierwiastek większy od 1 to

X_{+}=\frac{12+32}{2\cdot 20}=1,1.

Czyli IRR=X_{+}-1=0,1.

Odpowiedź.
Wewnętrzna stopa zwrotu rozpatrywanej inwestycji wynosi 10%.

Ćwiczenie 7.4

Która z poniższych inwestycji ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu?
Inwestycja A.
Zakup za 900 zł czteroletniej kuponowej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł o stałym rocznym oprocentowaniu 20% (odsetki płatne po upływie kolejnego roku).
Inwestycja B.
Zakup za 800 zł zerokuponowej rocznej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł.

Rozwiązanie.
Wewnętrzna stopa zwrotu dla zerokuponowej rocznej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł i cenie 800 zł jest równa ,,zwykłej” stopie zwrotu i wynosi

IRR_{B}=\frac{1000-800}{800}=0,25.

Wyznaczamy Present Value inwestycji A dla r=IRR_{B}=0,25.

PV_{A}(0,25)=-900+\frac{200}{1,25}+\frac{200}{1,25^{2}}+\frac{200}{1,25^{3}}+\frac{1200}{1,25^{4}}=-18,08.

Ponieważ PV_{A}(r) jest funkcją malejącą to jej miejsce zerowe (IRR_{A}) leży na lewo od 0,25.

Odpowiedź.
Inwestycja B ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu.

Ćwiczenie 7.5

Kredytobiorca otrzymał kredyt 10 tys. zł wypłacony w dwóch równych transzach w odstępie rocznym. W kolejnych latach kredytobiorca spłacił kredyt w czterech równych ratach po 3000 zł. Spłaty miały miejsce po dwóch, trzech, czterech i pięciu latach od dnia wypłaty pierwszej transzy. Ponadto przy wypłacie pierwszej transzy pobrano prowizję w wysokości 500 zł. Ile wyniosła rzeczywista roczna stopa oprocentowania?

Rozwiązanie. Mamy sześć przepływów gotówki n=6, \; t_{1}=0, \; t_{2}=1, \dots,\; t_{6}=5.

CF_{1}=-5000+500=-4500,
CF_{2}=-5000,
CF_{3}=CF_{4}=CF_{5}=CF_{6}=3000.

Z lematu 2.2.3 wynika, że dla powyższych przepływów gotówki wewnętrzna stopa zwrotu, a więc i rzeczywista roczna stopa oprocentowania i są wyznaczone jednoznacznie. Zatem i jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania

-4500-\frac{5000}{1+i}+\frac{3000}{(1+i)^{2}}+\frac{3000}{(1+i)^{3}}+\frac{3000}{(1+i)^{4}}+\frac{3000}{(1+i)^{5}}=0.

Po jego rozwiązaniu otrzymujemy

i\approx 0{,}082882057.

Odpowiedź.
Rzeczywista roczna stopa oprocentowania wynosi 8,3%.

Ćwiczenie 7.6

Sklep z artykułami gospodarstwa domowego proponuje swoim klientom ,,kredyt 0%”. Należność za nabyty towar klient płaci w 12 równych miesięcznych ratach. Ponadto za udzielenie kredytu pobierana jest prowizja, która wynosi 5% kwoty kredytu. Wiedząc, że pierwsza rata ma miejsce po miesiącu od zawarcia umowy kredytowej (i zakupu towaru), a prowizja jest pobierana w dniu zawarcia umowy, wyznacz rzeczywistą roczną stopę oprocentowania.

Rozwiązanie.
Mamy trzynaście przepływów gotówki n=13. Dla uproszczenia przyjmiemy zasadę równych miesięcy t_{j}=(j-1)/12. Niech K oznacza kwotę kredytu.

CF_{1}=-K+0{,}05K=-0{,}95K;
CF_{j}=\frac{K}{12},\;\; j=2,\dots 13.

Zatem rzeczywista roczna stopa oprocentowania i jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania

-0{,}95K+\sum _{{j=2}}^{{13}}\frac{K}{12}(1+i)^{{-\frac{j-1}{12}}}=0.

Po jego rozwiązaniu otrzymujemy

i\approx 0{,}100088186852655.

Odpowiedź.
Rzeczywista roczna stopa oprocentowania wynosi 10%.

Ćwiczenie 7.7

Inwestor zakupił za 100 JM rentę o ciągłym stałym strumieniu płatności o gęstości 10 w skali roku. Płatności zaczną się za rok i będą trwały nieprzerwanie 11 lat. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu.

Rozwiązanie.
Równanie wartości ma postać

100=\int _{1}^{{12}}10e^{{-\delta t}}dt=-\frac{10}{\delta}(e^{{-12\delta}}-e^{{-\delta}}).

Jego pierwiastek to \delta\approx 0{,}0148.
Zatem IRR=e^{\delta}-1\approx 0{,}0149.

Odpowiedź.
Wewnętrzna intensywnośc wynosi 0,0148, a wewnętrzna stopa zwrotu 0,0149.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.