8.1. Duration – średni czas życia i convexity – wypukłość
Rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n nieujemnych przepływów gotówki
CF1,CF2,…,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn,
(np. obligację n-kuponową o stałym oprocentowaniu lub portfel zawierający kilka obligacji).
Załóżmy, że jej wartość obecna jest dodatnia
(tzn. przynajmniej jeden przepływ gotówki jest niezerowy).
Definicja 8.1
Duration, to średni czas życia danej inwestycji ważony udziałem wartości obecnej kolejnych przepływów
gotówki w wartości obecnej całej inwestycji
|
D=∑i=1ntiPViPV=1PV∑i=1ntiCFiBti. |
|
Convexity (wypukłość), to średni kwadrat czasu życia danej inwestycji
|
C=∑i=1nti2PViPV=1PV∑i=1nti2CFiBti. |
|
Uwaga.
Warto zauważyć, że duration i convexity zdefiniowane zostały za pomocą analogicznych formuł jak
pierwszy i drugi moment zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym. A stąd wynika, że dla
duration i convexity zachodzą podobne zależności jak dla momentów.
Jako przykład wykorzystania tej analogii pokażemy, że średni kwadrat C jest większy od kwadratu średniej D2.
Lemat 8.1
Dla dowolnej inwestycji o dodatnich przepływach gotówki
Ponadto równość zachodzi tylko wtedy, gdy ma miejsce dokładnie jeden niezerowy przepływ gotówki (np. n=1).
Dowód.
Rozważmy średni kwadrat odchylenia od średniej. Mamy
|
0≤∑i=1nti-D2PViPV=∑i=1nti2-2Dti+D2PViPV= |
|
|
=∑i=1nti2PViPV-2D∑i=1ntiPViPV+D2=C-D2. |
|
8.2. Równoległe przesunięcia struktur terminowych
Z obserwacji rynku wynika, że struktura terminowa stóp procentowych nie jest stała, lecz
zmienia się wraz z upływem czasu. Najczęściej obserwowane zmiany polegają na
zwiększeniu lub zmiejszeniu średniej efektywnej intensywności o stałą, co wizualnie odpowiada
przesunięciu równoległemu jej wykresu. Okazuje się, że
wpływ takich zmian na wartość obecną portfela obligacji
dobrze charakteryzuje się używając
duration i convexity.
Definicja 8.2
Jednoparametrowa rodzina struktur terminowych czynnika dyskontującego
|
Bx,t=e-xtBot,t≥0,x>x0, |
|
gdzie Bo:0,+∞→R ustalona nierosnąca funkcja taka, że Bo0=1,
nazywa się równoległym przesunięciem Bot.
Przykład 8.1
Gdy funkcja Bo jest stała, to znaczy
to Bx,t, x>0 jest rodziną wszystkich płaskich struktur terminowych.
Przykład 8.2
Gdy funkcja Bo jest zadane przez intensywność δt,
to intensywość Bx,t wynosi
Ponieważ czynnik dyskontujący jest ściśle malejący, to otrzymujemy następujące oszacowanie x0
Jak w podrozdziale 8.1 rozważamy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n przepływów gotówki
CF1,CF2,…,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn.
Zakładamy, że wszystkie CFi są dodatnie.
Oznaczmy przez PVx, Dx i Cx wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze
strukturą terminową Bx,t.
Lemat 8.2
|
PV′x=-PVx⋅Dx,PV′′x=PVx⋅Cx,D′x=Dx2-Cx. |
|
Dowód.
|
PV′x=∑i=1nCFie-xtiBoti′=∑i=1n-tiCFie-xtiBoti= |
|
|
=-∑i=1ntiPVi(x)=-PV(x)D(x). |
|
|
PV′′x=∑i=1nCFie-xtiBoti′′=∑i=1nti2CFie-xtiBoti= |
|
|
=∑i=1nti2PVi(x)=PV(x)C(x). |
|
Ostatnią równość otrzymamy po zróżniczkowaniu pierwszej.
|
PVxCx=PV′′x=-PVxDx′= |
|
|
=-PV′(x)D(x)-PV(x)D′(x)=PV(x)D(x)2-PV(x)D′(x). |
|
Po skróceniu przez PVx otrzymujemy
Z lematu 8.1 wynika, że w przypadku, gdy mamy co najmniej dwa dodatnie przepływy gotówki, to pochodna
duration jest ujemna. Zatem
Wniosek 8.1
Gdy n≥2 to
duration Dx jest ściśle malejącą funkcją zmiennej x. Przy przesunięciu równoległym w górę średni czas życia
maleje, a przy przesunięciu w dół rośnie.
Z punktu widzenia praktyka
duration mierzy liniową część zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od
przesunięcia równoległego (czyli od
,,czynnika ryzyka” x),
a convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:
Wniosek 8.2
Dla małych h
|
PVx+h=PVx1-hDx+12h2Cx+Oh3. |
|
Rozważmy teraz ogólniejsze inwestycje, w których mamy do czynienia zarówno
z wypłatami, jak i z wpłatami (przychodami i rozchodami),
tzn. przepływy gotówki mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.
Niech I oznacza inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n przepływów gotówki
CF1,CF2,…,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn.
Zakładamy, że przynajmniej jeden przepływ jest dodatni i przynajmniej jeden ujemny.
Przedstawimy I jako różnicę dwóch inwestycji o przepływach nieujemnych
I+ i I-. W czasie trwania I+ (I-) będzie miało miejsce n przepływów gotówki
CFi+ (CFi-), odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn,
|
CFi+=CFi+=max0,CFi,CFi-=CFi-=max0,-CFi. |
|
Oznaczmy przez PV±x, D±x i C±x wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze
strukturą Bx,t dla inwestycji I±.
Lemat 8.3
Wartość obecna PVx inwestycji I jest różnicą wartości obecnych
inwestycji I±
Dowód.
Rzeczywiście dla każdego i
|
CFi=max0,CFi-max0,-CFi=CFi+-CFi-. |
|
Zatem
|
=∑i=1nCF+iB(x,ti)-∑i=1nCF-iB(x,ti)=PV+(x)-PV-(x). |
|
Załóżmy dodatkowo, że
dla pewnego x∗>x0 wartości obecne obu inwestycji I± są równe P, P>0,
Wówczas wartość obecna inwestycji I PVx∗ jest równa 0. Natomiast dla x bliskich x∗
wartość obecna PVx zależy od duration i convexity I±.
Lemat 8.4
Dla małych h
|
PV(x∗+h)=P(h(D-(x∗)-D+(x∗))+12h2(C+(x∗)-C-(x∗))+O(h3). |
|
Dowód.
Korzystamy z lematu 8.3 i wniosku 8.2.
|
PVx∗+h=PV+x∗+h-PV-x∗+h= |
|
|
=PV+(x∗)(1-hD+(x∗)+12h2C+(x∗))-PV-(x∗)(1-hD-(x∗)+ |
|
|
=P(h(D-(x∗)-D+(x∗))+12h2(C+(x∗)-C-(x∗))+O(h3). |
|
Zauważmy, że gdy duration są równe, to część liniowa się zeruje i x∗ jest punktem krytycznym PVx.
Jeśli dodatkowo convexity są różne, to w x∗ mamy ekstremum lokalne.
Wniosek 8.3
Niech D+x∗=D-x∗ i PV+x∗=PV-x∗. Wówczas
gdy C+x∗<C-x∗, to PVx ma w x∗ maksimum lokalne,
a
gdy C+x∗>C-x∗, to PVx ma w x∗ minimum lokalne.
Jeżeli dodatkowo ograniczymy przemienność wpłat i wypłat, to okaże się, że w punkcie x∗
jest ekstremum globalne. Na przykład, jeśli najpierw mamy serię wypłat, potem serię wpłat i na koniec
znowu serię wypłat, to w x∗ PVx ma globalne minimum.
Twierdzenie 8.1
Jeżeli CFi zmieniają dwukrotnie znak
|
CF1,…,CFk>0,CFk+1,…,CFm<0,CFm+1,…,CFn>0, |
|
oraz D+x∗=D-x∗ i PV+x∗=PV-x∗, to
PVx ma w punkcie x∗ silne minimum globalne
|
∀x>x0x≠x∗⇒PVx>0=PVx∗. |
|
Dowód.
Niech a i b rozdzielają momenty przychodów i wydatków
W dowodzie twierdzenia wykorzystamy następujące oszacowania wariancji ,,czasu życia” inwestycji
I±.
Lemat 8.5
Dla każdego x większego od x0
|
C-x-D-x2<D-x-ab-D-x, |
|
|
C+x-D+x2>D+x-ab-D+x. |
|
Dowód lematu.
Zauważmy, że momenty czasu ti, w których mają miejsce wydatki spełniają oszacowanie
zatem
|
C-x-D-x2-D-x-ab-D-x=C-x-a+bD-x+ab= |
|
|
=∑i=k+1m-PVixPV-x(ti2-(a+b)ti+ab)=∑i=k+1m-PVixPV-x(ti-a)(ti-b)<0. |
|
Natomiast momenty czasu ti, w których mają miejsce przychody, spełniają oszacowanie
|
ti<a<b, lub a<b<ti, |
|
zatem
|
C+x-D+x2-D+x-ab-D+x=∑PVixPV+xti-ati-b>0. |
|
Dowód twierdzenia cd.
Zamiast różnicy PV+ i PV- będziemy badać ich iloraz. Niech
Z założenia PV+x∗=PV-x∗ wynika, że Fx∗=1.
Pokażemy, że funkcja F ma w tym punkcie silne minimum globalne.
|
F′x=PV+x′PV-x-PV+xPV-x′PV-x2=PV+xPV-x-D+x+D-x. |
|
Z założenia D+x∗=D-x∗ wynika, że F′x∗=0.
Pokażemy, że jest to jedyny punkt, w którym pochodna F się zeruje.
Niech Gx=D-x-D+x. Oczywiście Gx∗=0. Z lematu 8.2 otrzymujemy
|
G′x=-C-x-D-x2+C+x-D+x2. |
|
Z oszacowania wariancji czasu życia wynika, że gdy dla pewnego x
D+x=D-x (czyli Gx=0), to G′x>0.
Ponieważ G jest funkcją ciągłą, to z powyższego wynika, że
zeruje się ona tylko w punkcie x∗ i co więcej – zmienia w tym punkcie znak z ,,–” na ,,+”.
Obie wartości obecne są nieujemne, zatem to samo zachodzi dla F′,
|
x<x∗⇒F′x<0,x>x∗⇒F′x>0. |
|
Czyli F ma w punkcie x∗ silne minimum globalne. Zatem
|
∀x≠x∗PV+xPV-x=Fx>Fx∗=1. |
|
Co kończy dowód.
Powyższe fakty są wykorzystywane w praktyce bankowej przy tworzeniu tzw. regulacji ostrożnościowych, które
najczęściej sprowadzają się do ustalenia limitów na moduł różnicy duration dla pasywów
i aktywów (tzw. duration gap)
oraz dla różnicy convexity. Ponadto wymaga się, aby present value pasywów i present value aktywów
były równe.
8.3. Przypadek płaskiej struktury czasowej
Rozważmy płaską strukturę terminową, opisaną
poprzez zależność od stopy procentowej r
Biorąc pod uwagę, że rodzinę płaskich struktur terminowych można przedstawić jako
rodzinę przesunięć równoległych
to wyniki z poprzedniego podrozdziału stosują się również do tego przypadku. Co najwyżej należy skorzystać
z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, aby opisać zależność PV od r.
Jak poprzednio rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n dodatnich przepływów gotówki
CF1,CF2,…,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn.
Oznaczmy przez PVr, Dr i Cr odpowiednio wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze
strukturą Bt=1+r-t.
Lemat 8.6
|
PV′r=-PVr⋅Dr1+r,PV′′r=PVr⋅Cr+Dr1+r2, |
|
Dowód - patrz ćwiczenie 8.2.
Uwaga.
Iloraz
nazywa się zmodyfikowanym duration
(w odróżnieniu od D zwanego duration Macaulaya).
Na podstawie lematu 8.1 wnioskujemy, że gdy co najmniej dwa przepływy gotówki są dodatnie, to pochodna
duration jest ujemna. Zatem
Wniosek 8.4
Gdy n≥2 to
duration Dr jest ściśle malejącą funkcją r.
Gdy rynkowa stopa procentowa r rośnie, to
średni czas życia
maleje i na odwrót, gdy r maleje, to średni czas życia rośnie.
Wniosek 8.5
Gdy n≥2 to
duration Dr przyjmuje wartości większe niż czas pierwszej wypłaty t1
i mniejsze niż średni czas wypłat ważony udziałem kolejnych wypłat w ich sumie
|
Dr:r∈0,∞=t1,∑tiCFi∑CFi. |
|
Dowód - patrz ćwiczenie 8.3.
Z punktu widzenia praktyka
duration mierzy część liniową zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od
,,czynnika ryzyka” r,
a suma duration i convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:
Wniosek 8.6
Dla małych h prawdziwy jest wzór
|
PVr+h=PVr1-hDr1+r-1+12h2Cr+Dr1+r-2+Oh3. |
|
8.4. Future Value i immunizacja portfela obligacji
Niech PVI oznacza wartość obecną inwestycji I.
Future Value ozn. FVt (wartość przyszła) to wielkość przepływu gotówki po czasie t, którego
wartość obecna jest równa PVI.
|
PVI=FVtBt, czyli FVt=PVIBt=∑CFiBtiBt. |
|
W szczególności, jeżeli I generuje tylko jeden przepływ gotówki CF, który ma miejsce w momencie t, to
W modelach opartych na istnieniu deterministycznego procesu akumulacji
Kt, Future Value interpretuje się jako wartość inwestycji I w chwili t.
A dokładniej, jest to suma następujących dwóch kwot: kwoty otrzymanej przez reinwestowanie przepływów gotówki
CFi dla ti<t i kwoty równej wartości obecnej pozostałych przepływów gotówki
liczonej po upływie czasu t. Niech T oznacza chwilę obecną, a F wartość zreinwestowanej
inwestycji I w momencie T+t. Otrzymujemy:
|
F=∑ti<tCFiKT+tKT+ti+∑ti≥tCFiBT+t,ti-t= |
|
|
=∑CFiKTKT+tiKT+tKT=PVBTt=FVt. |
|
Na ogół w modelach stochastycznych powyższy wzór nie zachodzi. Co więcej
może się okazać, że wartość oczekiwana F jest różna od FVt.
Przeanalizujmy jak zmienia się FVt przy przesunięciu równoległym struktury terminowej.
Niech CFs oznacza przepływ gotówki w momencie s, a FVtx Future Value inwestycji I liczoną według
struktury terminowej
Bx,t=Botexp-xt.
|
FVtx=∑i=1nCFtiBx,tiBx,t=∑i=1nCFtiBotiBote-xti-t= |
|
|
=∑ti<tCFtiBotiBotext-ti+CFt+∑ti>tCFtiBotiBote-xti-t. |
|
Zauważmy, że gdy x rośnie, to rośnie pierwszy składnik i maleje ostatni; na odwrót, gdy x maleje,
to maleje pierwszy składnik i rośnie ostatni.
Zachodzi pytanie, w jaki sposób FVt zależy od x. Okazuje się, że w ogólnym przypadku
odpowiedź można sformułować,
wykorzystując duration Dx. Dla ułatwienia ograniczymy się do takich inwestycji, w których
wszystkie przepływy gotówki są dodatnie i liczba przepływów jest nie mniejsza od dwóch.
Twierdzenie 8.2
Jeżeli wszystkie przepływy gotówki inwestycji I są dodatnie
|
CF1,…,CFn>0,t1<t2<…<tn,n≥2, |
|
oraz Dx∗=t, x∗>x0, to
FVtx ma w punkcie x∗ silne minimum globalne
|
∀x>x0x≠x∗⇒FVtx>FVtx∗. |
|
Dowód.
Rozważamy nową inwestycję I1 złożoną z inwestycji I oraz inwestycji I-
o jednym ujemnym przepływie gotówki
który ma miejsce po upływie czasu t. Zgodnie z twierdzeniem 8.1 Present Value inwestycji I1
PV1x ma silne globalne minimum w punkcie x∗
|
PV1x∗=0,PV1x>0 dla x≠x∗. |
|
Ponieważ Future Value jest liniowa ze względu na inwestycje, to
|
FVtx=FVt1x+FVtx∗=1Bx,tPV1x+FVtx∗. |
|
Zatem dla x≠x∗ zachodzi ostra nierówność
FVtx>FVtx∗.
W przypadku, gdy zachodzi tylko jeden niezerowy przepływ gotówki w chwili t1, to
FVt1 nie zależy od x, a dla t<t1 (odpowiednio t>t1)
FVtx jest ściśle malejącą (odp. ściśle rosnącą) funkcją x.
Uwaga.
Dobór składu portfela obligacji o stałym oprocentowaniu taki, że
średni czas życia portfela pokrywa się z momentem t, dla którego wyznaczamy
Future Value, nazywa się
immunizacją, czyli uodpornieniem portfela.
Według klasycznej teorii, należy tak dobierać skład portfela, aby był on uodporniony na przesunięcie
równoległe struktury terminowej.
8.5. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1
Rozważmy, podobnie jak w zadaniu 6.8,
4 inwestycje o przepływach gotówki, takich jak spłaty kredytów w przykładzie z punktu 3 podrozdziału 4.1.
|
I1: | CF1=CF2=CF3=0,CF4=1464,1. | |
|
|
I2: | CF1=CF2=CF3=100,CF4=1100. | |
|
|
I3: | CF1=350,CF2=325,CF3=300,CF4=275. | |
|
|
I4: | CF1=CF2=CF3=CF4=315,47. | |
|
Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli ti=i.
Wyznaczymy duration i convexity tych inwestycji na 4 sposoby. Zgodnie z płaską strukturą terminową
dla stopy rynkowej r równej
odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya
|
Bt=0,51,09-t+0,51,11-t. |
|
Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości duration:
|
r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI14444I23,49563,48693,47813,4871I32,29402,28292,27192,2832I42,39252,38122,37002,3815 |
|
i convexity:
|
r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI116161616I213,165113,118713,072013,1201I36,48046,42646,37316,4278I46,96626,91046,85526,9119 |
|
Ćwiczenie 8.2
Udowodnij lemat 8.6
Rozwiązanie.
Niech xr=ln1+r. Wówczas
|
dPVdr=dPVdxdxdr=-PVrDr1+r-1. |
|
|
d2PVdr2=d2PVdx2dxdr2+dPVdxd2xdr2=PVrCr1+r-2+PVrDr1+r-2. |
|
|
dDdr=dDdxdxdr=Dr2-Cr1+r-1. |
|
Ćwiczenie 8.3
Udowodnij wniosek 8.5
Rozwiązanie.
Zauważmy, że granice Dr wynoszą odpowiednio:
|
limr→0Dr=limr→0∑tiCFi1+r-ti∑CFi1+r-ti=∑tiCFi∑CFi=t¯, |
|
|
limr→∞Dr=limr→∞∑tiCFi1+r-ti∑CFi1+r-ti= |
|
|
=limr→∞∑tiCFi1+rt1-ti∑CFi1+rt1-ti=t1CF1CF1=t1. |
|
Ćwiczenie 8.4
Zakładając, że wypłaty następują na koniec roku oraz
że struktura terminowa jest płaska i stopa procentowa r wynosi (w skali rocznej) 10%,
obliczyć średni czas życia (duration) i wypukłość (convexity) następujących obligacji
w dniu emisji (pięć lat przed wykupem):
1. pięcioletnia obligacja z kuponem zerowym.
2. pięcioletnia obligacja z kuponem 10%.
3. pięcioletnia obligacja z kuponem 8%.
Rozwiązanie.
Oznaczmy przez K wartość nominalną obligacji.
1. Ponieważ jest tylko jedna płatność w przyszłości
|
CF5=K,CFi=0 dla i≠5. |
|
Zatem
|
D=5PV5PV=5 i C=52PV5PV=25. |
|
2. Mamy pięć płatności.
|
CF1=CF2=CF3=CF4=0,1K,CF5=1,1K. |
|
Wzór na wartość obecną przybierze postać
|
PV=0,1K1,1+0,1K1,12+0,1K1,13+0,1K1,14+1,1K1,15= |
|
|
=0,1K1,1+0,1K1,12+0,1K1,13+1,1K1,14=⋯=1,1K1,1=K. |
|
Zatem
|
D=0,1K1,1K+20,1K1,12K+30,1K1,13K+40,1K1,14K+51,1K1,15K= |
|
|
=0,11,1+0,21,12+0,31,13+0,41,14+5,51,15=4,1699. |
|
|
C=120,1K1,1K+220,1K1,12K+320,1K1,13K+420,1K1,14K+521,1K1,15K= |
|
|
=0,11,1+0,41,12+0,91,13+1,61,14+27,51,15=19,2658. |
|
3. Jak poprzednio, mamy pięć płatności.
|
CF1=CF2=CF3=CF4=0,08K,CF5=1,08K. |
|
Wzór na wartość obecną przybierze postać
|
PV=0,08K1,1+0,08K1,12+0,08K1,13+0,08K1,14+1,08K1,15=0,9242K. |
|
Zatem
|
D=0,08K1,1+20,08K1,12+30,08K1,13+40,08K1,14+51,08K1,15:0,9242K= |
|
|
=(0,081,1+0,161,12+0,241,13+0,321,14+5,41,15):0,9242=4,2814. |
|
|
C=120,08K1,1+220,08K1,12+320,08K1,13+420,08K1,14+521,08K1,15:0,9242K= |
|
|
=(0,081,1+0,321,12+0,721,13+1,281,14+271,15):0,9242=20,0363. |
|
Odpowiedź.
Średni czas życia i wypukłość wynoszą odpowiednio:
– dla obligacji zerokuponowej: 5 i 25,
– dla obligacji z kuponem 10%: 4,1699 i 19,2658,
– a dla obligacji z kuponem 8%: 4,2814 i 20,0363.
Ćwiczenie 8.5
Zakładając, że wypłaty następują na koniec roku oraz
że struktura terminowa jest płaska i stopa procentowa r wynosi (w skali rocznej) 10%,
obliczyć średni czas życia (duration) i wypukłość (convexity) następujących inwestycji:
1. pięcioletnia spłata kredytu, raty w równej wysokości zawierają spłatę
kapitału i odsetki.
2. renta płacąca odsetki w nieskończoność.
Rozwiązanie.
Oznaczmy przez k kwotę pojedynczej płatności.
1.
Mamy pięć płatności
|
CF1=CF2=CF3=CF4=CF5=k. |
|
Wzór na wartość obecną przybierze postać
|
PV=k1,1+k1,12+k1,13+k1,14+k1,15=k1,1⋅1-1,1-51-1,1-1=1-1,1-50,1k=3,7908k. |
|
Zatem
|
D=k1,1+2k1,12+3k1,13+4k1,14+5k1,15:3,7908k=2,8101, |
|
|
C=12k1,1+22k1,12+32k1,13+42k1,14+52k1,15:3,7908k=9,8734. |
|
2. Mamy nieskończenie wiele płatności
Wzór na wartość obecną przybierze postać
|
PV=∑i=1∞k1,1i=k0,1=10k. |
|
Zatem
|
D=∑i=1∞ki1,1i:10k=1,1k0,12⋅10k=11. |
|
|
C=∑i=1∞ki21,1i:10k=1,1⋅2,1k0,13⋅10k=231. |
|
Skorzystaliśmy tutaj z następujących wzorów sumacyjnych dla x>1
|
1x-1=∑i=1∞1xi;xx-12=∑i=1∞ixi;xx+1x-13=∑i=1∞i2xi. |
|
Odpowiedź.
Średni czas życia i wypukłość wynoszą odpowiednio:
– dla renty pięcioletniej: 2,8101 i 9,8734,
– a dla renty ,,nieskończonej”: 11 i 231.
Ćwiczenie 8.6
Rozważmy
4 inwestycje o następujących przepływach gotówki:
|
I1: | CF1=CF2=CF3=0,CF4=1464,1. | |
|
|
I2: | CF1=CF2=CF3=100,CF4=1100. | |
|
|
I3: | CF1=350,CF2=325,CF3=300,CF4=275. | |
|
|
I4: | CF1=CF2=CF3=CF4=315,47. | |
|
Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli ti=i.
Wyznaczyć Future Value tych inwestycji na 4 sposoby.
Zgodnie z płaską strukturą terminową
dla stopy rynkowej r równej
odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya
|
Bt=0,51,09-t+0,51,11-t. |
|
Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości FV2:
|
r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI11232,30412101188,2961210,700I21226,59112101193,8751210,530I31213,19112101206,9661210,135I41214,27912101205,8911210,162 |
|
i FV4:
|
r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI11464,1001464,11464,1001464,100I21457,3131464,11470,9731463,895I31441,3931464,11487,1031463,417I41442,6851464,11485,7791463,449 |
|
Podsumowując, gdy stopa rynkowa jest równa efektywnej stopie oprocentowania kredytu, to
future value nie zależy od sposobu spłaty kredytu.
Ćwiczenie 8.7
Inwestor ma do dyspozycji: obligacje 4 letnie, o wartości nominalnej 100 zł
i oprocentowane w wysokości 5% rocznie – płatne co rok, oraz roczne bony skarbowe
o wartości nominalnej 100 zł. Zakładamy, że struktura terminowa stóp procentowych jest płaska,
aktualna stopa procentowa wynosi 5%, a pierwsze wypłaty nastąpią za rok.
a. Wyznaczyć Present Value, Duration i Covexity dla obligacji oraz dla bonów.
b. Jaki
powinien być skład portfela inwestora, aby Future Value dla T=3 lata
wynosiła 1 390 252,5 zł i była uodporniona na wahania stopy procentowej?
Rozwiązanie.
a. Ponieważ stopa rynkowa jest równa stopie oprocentowania obligacji to Present Value jest równe wartości nominalnej
Natomiast Duration i Convexity wynoszą odpowiednio
|
D1=110051,05+251,052+351,053+41051,054=3+6698⋅21-3≈3,723, |
|
|
C1=110051,05+2251,052+3351,053+441051,054=14+4067⋅21-3≈14,439, |
|
Ponieważ bony generują tylko jeden przyszły przepływ gotówki (po 1 roku) to
|
D2=C2=1,PV2=1001,05=95521≈95,238. |
|
b.
Zgodnie z twierdzeniem 8.2 portfel będzie uodporniony gdy jego Duration wyniesie 3 lata (D=3).
Zatem aby wyznaczyć liczbę obligacji (k1) i bonów (k2) musimy rozwiązać układ równań:
|
k1PV1+k2PV2⋅1,05D=FV, |
|
|
k1D1PV1+k2D2PV2=Dk1PV1+k2PV2. |
|
Z drugiego równania otrzymujemy
Czyli
Po wstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
|
k1100+1002021334920⋅212⋅213203=1390252,5. |
|
Co po uproszczeniu daje
|
k1⋅100⋅213+3349=1390252,5⋅203, |
|
czyli
|
k1=8820 i k2=3349. |
|
Odpowiedź.
a. Dla obligacji Present Value, Duration i Covexity wynoszą odpowiednio
100, 3,723 i 14,439,
a dla bonów
95,238, 1 i 1.
b. Porfel spełniający warunki zadania skład się z 8 820 czteroletnich obligacji i 3 349 rocznych bonów.