Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rynki kapitałowe – 8. Zarządzanie portfelem instrumentów dłużnych – MIM UW

Zagadnienia

8. Zarządzanie portfelem instrumentów dłużnych

Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Czas trwania (duration) i zmodyfikowany czas trwania. Wypukłość. Uodpornianie (immunizacja) portfela. Znaczenie duration.

8.1. Duration – średni czas życia i convexity – wypukłość

Rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n nieujemnych przepływów gotówki CF1,CF2,,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<<tn, (np. obligację n-kuponową o stałym oprocentowaniu lub portfel zawierający kilka obligacji). Załóżmy, że jej wartość obecna jest dodatnia (tzn. przynajmniej jeden przepływ gotówki jest niezerowy).

Definicja 8.1

Duration, to średni czas życia danej inwestycji ważony udziałem wartości obecnej kolejnych przepływów gotówki w wartości obecnej całej inwestycji

D=i=1ntiPViPV=1PVi=1ntiCFiBti.

Convexity (wypukłość), to średni kwadrat czasu życia danej inwestycji

C=i=1nti2PViPV=1PVi=1nti2CFiBti.

Uwaga. Warto zauważyć, że duration i convexity zdefiniowane zostały za pomocą analogicznych formuł jak pierwszy i drugi moment zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym. A stąd wynika, że dla duration i convexity zachodzą podobne zależności jak dla momentów.

Jako przykład wykorzystania tej analogii pokażemy, że średni kwadrat C jest większy od kwadratu średniej D2.

Lemat 8.1

Dla dowolnej inwestycji o dodatnich przepływach gotówki

CD2.

Ponadto równość zachodzi tylko wtedy, gdy ma miejsce dokładnie jeden niezerowy przepływ gotówki (np. n=1).

Dowód.
Rozważmy średni kwadrat odchylenia od średniej. Mamy

0i=1nti-D2PViPV=i=1nti2-2Dti+D2PViPV=
=i=1nti2PViPV-2Di=1ntiPViPV+D2=C-D2.

8.2. Równoległe przesunięcia struktur terminowych

Z obserwacji rynku wynika, że struktura terminowa stóp procentowych nie jest stała, lecz zmienia się wraz z upływem czasu. Najczęściej obserwowane zmiany polegają na zwiększeniu lub zmiejszeniu średniej efektywnej intensywności o stałą, co wizualnie odpowiada przesunięciu równoległemu jej wykresu. Okazuje się, że wpływ takich zmian na wartość obecną portfela obligacji dobrze charakteryzuje się używając duration i convexity.

Definicja 8.2

Jednoparametrowa rodzina struktur terminowych czynnika dyskontującego

Bx,t=e-xtBot,t0,x>x0,

gdzie Bo:0,+R ustalona nierosnąca funkcja taka, że Bo0=1,
nazywa się równoległym przesunięciem Bot.

Przykład 8.1

Gdy funkcja Bo jest stała, to znaczy

t0Bot=1,

to Bx,t, x>0 jest rodziną wszystkich płaskich struktur terminowych.

Przykład 8.2

Gdy funkcja Bo jest zadane przez intensywność δt,

Bot=exp-0tδsds,

to intensywość Bx,t wynosi

δt+x.

Ponieważ czynnik dyskontujący jest ściśle malejący, to otrzymujemy następujące oszacowanie x0

x0-infδt:t0.

Jak w podrozdziale 8.1 rozważamy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n przepływów gotówki CF1,CF2,,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<<tn. Zakładamy, że wszystkie CFi są dodatnie.

Oznaczmy przez PVx, Dx i Cx wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą terminową Bx,t.

Lemat 8.2
PVx=-PVxDx,PV′′x=PVxCx,Dx=Dx2-Cx.

Dowód.

PVx=i=1nCFie-xtiBoti=i=1n-tiCFie-xtiBoti=
=-i=1ntiPVi(x)=-PV(x)D(x).
PV′′x=i=1nCFie-xtiBoti′′=i=1nti2CFie-xtiBoti=
=i=1nti2PVi(x)=PV(x)C(x).

Ostatnią równość otrzymamy po zróżniczkowaniu pierwszej.

PVxCx=PV′′x=-PVxDx=
=-PV(x)D(x)-PV(x)D(x)=PV(x)D(x)2-PV(x)D(x).

Po skróceniu przez PVx otrzymujemy

Cx=Dx2-Dx.

Z lematu 8.1 wynika, że w przypadku, gdy mamy co najmniej dwa dodatnie przepływy gotówki, to pochodna duration jest ujemna. Zatem

Wniosek 8.1

Gdy n2 to duration Dx jest ściśle malejącą funkcją zmiennej x. Przy przesunięciu równoległym w górę średni czas życia maleje, a przy przesunięciu w dół rośnie.

Z punktu widzenia praktyka duration mierzy liniową część zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od przesunięcia równoległego (czyli od ,,czynnika ryzyka” x), a convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:

Wniosek 8.2

Dla małych h

PVx+h=PVx1-hDx+12h2Cx+Oh3.

Rozważmy teraz ogólniejsze inwestycje, w których mamy do czynienia zarówno z wypłatami, jak i z wpłatami (przychodami i rozchodami), tzn. przepływy gotówki mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Niech I oznacza inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n przepływów gotówki CF1,CF2,,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<<tn. Zakładamy, że przynajmniej jeden przepływ jest dodatni i przynajmniej jeden ujemny.
Przedstawimy I jako różnicę dwóch inwestycji o przepływach nieujemnych I+ i I-. W czasie trwania I+ (I-) będzie miało miejsce n przepływów gotówki CFi+ (CFi-), odpowiednio w momentach 0<t1<<tn,

CFi+=CFi+=max0,CFi,CFi-=CFi-=max0,-CFi.

Oznaczmy przez PV±x, D±x i C±x wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą Bx,t dla inwestycji I±.

Lemat 8.3

Wartość obecna PVx inwestycji I jest różnicą wartości obecnych inwestycji I±

PVx=PV+x-PV-x.

Dowód.
Rzeczywiście dla każdego i

CFi=max0,CFi-max0,-CFi=CFi+-CFi-.

Zatem

PVx=i=1nCFiBx,ti=
=i=1nCF+iB(x,ti)-i=1nCF-iB(x,ti)=PV+(x)-PV-(x).

Załóżmy dodatkowo, że dla pewnego x>x0 wartości obecne obu inwestycji I± są równe P, P>0,

PV+x=PV-x=P.

Wówczas wartość obecna inwestycji I PVx jest równa 0. Natomiast dla x bliskich x wartość obecna PVx zależy od duration i convexity I±.

Lemat 8.4

Dla małych h

PV(x+h)=P(h(D-(x)-D+(x))+12h2(C+(x)-C-(x))+O(h3).

Dowód.
Korzystamy z lematu 8.3 i wniosku 8.2.

PVx+h=PV+x+h-PV-x+h=
=PV+(x)(1-hD+(x)+12h2C+(x))-PV-(x)(1-hD-(x)+
+12h2C-(x))+O(h3)=
=P(h(D-(x)-D+(x))+12h2(C+(x)-C-(x))+O(h3).

Zauważmy, że gdy duration są równe, to część liniowa się zeruje i x jest punktem krytycznym PVx. Jeśli dodatkowo convexity są różne, to w x mamy ekstremum lokalne.

Wniosek 8.3

Niech D+x=D-x i PV+x=PV-x. Wówczas
gdy C+x<C-x, to PVx ma w x maksimum lokalne,
a gdy C+x>C-x, to PVx ma w x minimum lokalne.

Jeżeli dodatkowo ograniczymy przemienność wpłat i wypłat, to okaże się, że w punkcie x jest ekstremum globalne. Na przykład, jeśli najpierw mamy serię wypłat, potem serię wpłat i na koniec znowu serię wypłat, to w x PVx ma globalne minimum.

Twierdzenie 8.1

Jeżeli CFi zmieniają dwukrotnie znak

CF1,,CFk>0,CFk+1,,CFm<0,CFm+1,,CFn>0,

oraz D+x=D-x i PV+x=PV-x, to PVx ma w punkcie x silne minimum globalne

x>x0xxPVx>0=PVx.

Dowód.
Niech a i b rozdzielają momenty przychodów i wydatków

tk<a<tk+1,tm<b<tm+1.

W dowodzie twierdzenia wykorzystamy następujące oszacowania wariancji ,,czasu życia” inwestycji I±.

Lemat 8.5

Dla każdego x większego od x0

C-x-D-x2<D-x-ab-D-x,
C+x-D+x2>D+x-ab-D+x.

Dowód lematu.
Zauważmy, że momenty czasu ti, w których mają miejsce wydatki spełniają oszacowanie

a<ti<b

zatem

C-x-D-x2-D-x-ab-D-x=C-x-a+bD-x+ab=
=i=k+1m-PVixPV-x(ti2-(a+b)ti+ab)=i=k+1m-PVixPV-x(ti-a)(ti-b)<0.

Natomiast momenty czasu ti, w których mają miejsce przychody, spełniają oszacowanie

ti<a<b, lub a<b<ti,

zatem

C+x-D+x2-D+x-ab-D+x=PVixPV+xti-ati-b>0.

Dowód twierdzenia cd.
Zamiast różnicy PV+ i PV- będziemy badać ich iloraz. Niech

Fx=PV+xPV-x,x>x0.

Z założenia PV+x=PV-x wynika, że Fx=1. Pokażemy, że funkcja F ma w tym punkcie silne minimum globalne.

Fx=PV+xPV-x-PV+xPV-xPV-x2=PV+xPV-x-D+x+D-x.

Z założenia D+x=D-x wynika, że Fx=0. Pokażemy, że jest to jedyny punkt, w którym pochodna F się zeruje.

Niech Gx=D-x-D+x. Oczywiście Gx=0. Z lematu 8.2 otrzymujemy

Gx=-C-x-D-x2+C+x-D+x2.

Z oszacowania wariancji czasu życia wynika, że gdy dla pewnego x D+x=D-x (czyli Gx=0), to Gx>0. Ponieważ G jest funkcją ciągłą, to z powyższego wynika, że zeruje się ona tylko w punkcie x i co więcej – zmienia w tym punkcie znak z ,,–” na ,,+”. Obie wartości obecne są nieujemne, zatem to samo zachodzi dla F,

x<xFx<0,x>xFx>0.

Czyli F ma w punkcie x silne minimum globalne. Zatem

xxPV+xPV-x=Fx>Fx=1.

Co kończy dowód.

Powyższe fakty są wykorzystywane w praktyce bankowej przy tworzeniu tzw. regulacji ostrożnościowych, które najczęściej sprowadzają się do ustalenia limitów na moduł różnicy duration dla pasywów i aktywów (tzw. duration gap) oraz dla różnicy convexity. Ponadto wymaga się, aby present value pasywów i present value aktywów były równe.

8.3. Przypadek płaskiej struktury czasowej

Rozważmy płaską strukturę terminową, opisaną poprzez zależność od stopy procentowej r

Bt=1+r-t,r>0.

Biorąc pod uwagę, że rodzinę płaskich struktur terminowych można przedstawić jako rodzinę przesunięć równoległych

Bt=e-xt,x=ln1+r,

to wyniki z poprzedniego podrozdziału stosują się również do tego przypadku. Co najwyżej należy skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, aby opisać zależność PV od r.

Jak poprzednio rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n dodatnich przepływów gotówki CF1,CF2,,CFn, odpowiednio w momentach 0<t1<<tn. Oznaczmy przez PVr, Dr i Cr odpowiednio wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą Bt=1+r-t.

Lemat 8.6
PVr=-PVrDr1+r,PV′′r=PVrCr+Dr1+r2,
Dr=Dr2-Cr1+r.

Dowód - patrz ćwiczenie 8.2.

Uwaga. Iloraz

d=D1+r.

nazywa się zmodyfikowanym duration (w odróżnieniu od D zwanego duration Macaulaya).

Na podstawie lematu 8.1 wnioskujemy, że gdy co najmniej dwa przepływy gotówki są dodatnie, to pochodna duration jest ujemna. Zatem

Wniosek 8.4

Gdy n2 to duration Dr jest ściśle malejącą funkcją r. Gdy rynkowa stopa procentowa r rośnie, to średni czas życia maleje i na odwrót, gdy r maleje, to średni czas życia rośnie.

Wniosek 8.5

Gdy n2 to duration Dr przyjmuje wartości większe niż czas pierwszej wypłaty t1 i mniejsze niż średni czas wypłat ważony udziałem kolejnych wypłat w ich sumie

Dr:r0,=t1,tiCFiCFi.

Dowód - patrz ćwiczenie 8.3.

Z punktu widzenia praktyka duration mierzy część liniową zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od ,,czynnika ryzyka” r, a suma duration i convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:

Wniosek 8.6

Dla małych h prawdziwy jest wzór

PVr+h=PVr1-hDr1+r-1+12h2Cr+Dr1+r-2+Oh3.

8.4. Future Value i immunizacja portfela obligacji

Niech PVI oznacza wartość obecną inwestycji I.
Future Value ozn. FVt (wartość przyszła) to wielkość przepływu gotówki po czasie t, którego wartość obecna jest równa PVI.

PVI=FVtBt, czyli FVt=PVIBt=CFiBtiBt.

W szczególności, jeżeli I generuje tylko jeden przepływ gotówki CF, który ma miejsce w momencie t, to

FVt=CF.

W modelach opartych na istnieniu deterministycznego procesu akumulacji Kt, Future Value interpretuje się jako wartość inwestycji I w chwili t. A dokładniej, jest to suma następujących dwóch kwot: kwoty otrzymanej przez reinwestowanie przepływów gotówki CFi dla ti<t i kwoty równej wartości obecnej pozostałych przepływów gotówki liczonej po upływie czasu t. Niech T oznacza chwilę obecną, a F wartość zreinwestowanej inwestycji I w momencie T+t. Otrzymujemy:

F=ti<tCFiKT+tKT+ti+titCFiBT+t,ti-t=
=CFiKTKT+tiKT+tKT=PVBTt=FVt.

Na ogół w modelach stochastycznych powyższy wzór nie zachodzi. Co więcej może się okazać, że wartość oczekiwana F jest różna od FVt.

Przeanalizujmy jak zmienia się FVt przy przesunięciu równoległym struktury terminowej. Niech CFs oznacza przepływ gotówki w momencie s, a FVtx Future Value inwestycji I liczoną według struktury terminowej Bx,t=Botexp-xt.

FVtx=i=1nCFtiBx,tiBx,t=i=1nCFtiBotiBote-xti-t=
=ti<tCFtiBotiBotext-ti+CFt+ti>tCFtiBotiBote-xti-t.

Zauważmy, że gdy x rośnie, to rośnie pierwszy składnik i maleje ostatni; na odwrót, gdy x maleje, to maleje pierwszy składnik i rośnie ostatni.

Zachodzi pytanie, w jaki sposób FVt zależy od x. Okazuje się, że w ogólnym przypadku odpowiedź można sformułować, wykorzystując duration Dx. Dla ułatwienia ograniczymy się do takich inwestycji, w których wszystkie przepływy gotówki są dodatnie i liczba przepływów jest nie mniejsza od dwóch.

Twierdzenie 8.2

Jeżeli wszystkie przepływy gotówki inwestycji I są dodatnie

CF1,,CFn>0,t1<t2<<tn,n2,

oraz Dx=t, x>x0, to FVtx ma w punkcie x silne minimum globalne

x>x0xxFVtx>FVtx.

Dowód.
Rozważamy nową inwestycję I1 złożoną z inwestycji I oraz inwestycji I- o jednym ujemnym przepływie gotówki

CF-=-FVtx,

który ma miejsce po upływie czasu t. Zgodnie z twierdzeniem 8.1 Present Value inwestycji I1 PV1x ma silne globalne minimum w punkcie x

PV1x=0,PV1x>0 dla xx.

Ponieważ Future Value jest liniowa ze względu na inwestycje, to

FVtx=FVt1x+FVtx=1Bx,tPV1x+FVtx.

Zatem dla xx zachodzi ostra nierówność FVtx>FVtx.

W przypadku, gdy zachodzi tylko jeden niezerowy przepływ gotówki w chwili t1, to FVt1 nie zależy od x, a dla t<t1 (odpowiednio t>t1) FVtx jest ściśle malejącą (odp. ściśle rosnącą) funkcją x.

Uwaga. Dobór składu portfela obligacji o stałym oprocentowaniu taki, że średni czas życia portfela pokrywa się z momentem t, dla którego wyznaczamy Future Value, nazywa się immunizacją, czyli uodpornieniem portfela. Według klasycznej teorii, należy tak dobierać skład portfela, aby był on uodporniony na przesunięcie równoległe struktury terminowej.

8.5. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1

Rozważmy, podobnie jak w zadaniu 6.8, 4 inwestycje o przepływach gotówki, takich jak spłaty kredytów w przykładzie z punktu 3 podrozdziału 4.1.

I1:CF1=CF2=CF3=0,CF4=1464,1.
I2:CF1=CF2=CF3=100,CF4=1100.
I3:CF1=350,CF2=325,CF3=300,CF4=275.
I4:CF1=CF2=CF3=CF4=315,47.

Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli ti=i.

Wyznaczymy duration i convexity tych inwestycji na 4 sposoby. Zgodnie z płaską strukturą terminową

Bt=1+r-t

dla stopy rynkowej r równej odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya

Bt=0,51,09-t+0,51,11-t.

Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości duration:

r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI14444I23,49563,48693,47813,4871I32,29402,28292,27192,2832I42,39252,38122,37002,3815

i convexity:

r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI116161616I213,165113,118713,072013,1201I36,48046,42646,37316,4278I46,96626,91046,85526,9119

Ćwiczenie 8.2

Udowodnij lemat 8.6

Rozwiązanie.
Niech xr=ln1+r. Wówczas

dPVdr=dPVdxdxdr=-PVrDr1+r-1.
d2PVdr2=d2PVdx2dxdr2+dPVdxd2xdr2=PVrCr1+r-2+PVrDr1+r-2.
dDdr=dDdxdxdr=Dr2-Cr1+r-1.
Ćwiczenie 8.3

Udowodnij wniosek 8.5

Rozwiązanie.
Zauważmy, że granice Dr wynoszą odpowiednio:

limr0Dr=limr0tiCFi1+r-tiCFi1+r-ti=tiCFiCFi=t¯,
limrDr=limrtiCFi1+r-tiCFi1+r-ti=
=limrtiCFi1+rt1-tiCFi1+rt1-ti=t1CF1CF1=t1.
Ćwiczenie 8.4

Zakładając, że wypłaty następują na koniec roku oraz że struktura terminowa jest płaska i stopa procentowa r wynosi (w skali rocznej) 10%, obliczyć średni czas życia (duration) i wypukłość (convexity) następujących obligacji w dniu emisji (pięć lat przed wykupem):
1. pięcioletnia obligacja z kuponem zerowym.
2. pięcioletnia obligacja z kuponem 10%.
3. pięcioletnia obligacja z kuponem 8%.

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez K wartość nominalną obligacji.
1. Ponieważ jest tylko jedna płatność w przyszłości

CF5=K,CFi=0 dla i5.
PV=PV5=K1+r5.

Zatem

D=5PV5PV=5 i C=52PV5PV=25.

2. Mamy pięć płatności.

CF1=CF2=CF3=CF4=0,1K,CF5=1,1K.

Wzór na wartość obecną przybierze postać

PV=0,1K1,1+0,1K1,12+0,1K1,13+0,1K1,14+1,1K1,15=
=0,1K1,1+0,1K1,12+0,1K1,13+1,1K1,14==1,1K1,1=K.

Zatem

D=0,1K1,1K+20,1K1,12K+30,1K1,13K+40,1K1,14K+51,1K1,15K=
=0,11,1+0,21,12+0,31,13+0,41,14+5,51,15=4,1699.
C=120,1K1,1K+220,1K1,12K+320,1K1,13K+420,1K1,14K+521,1K1,15K=
=0,11,1+0,41,12+0,91,13+1,61,14+27,51,15=19,2658.

3. Jak poprzednio, mamy pięć płatności.

CF1=CF2=CF3=CF4=0,08K,CF5=1,08K.

Wzór na wartość obecną przybierze postać

PV=0,08K1,1+0,08K1,12+0,08K1,13+0,08K1,14+1,08K1,15=0,9242K.

Zatem

D=0,08K1,1+20,08K1,12+30,08K1,13+40,08K1,14+51,08K1,15:0,9242K=
=(0,081,1+0,161,12+0,241,13+0,321,14+5,41,15):0,9242=4,2814.
C=120,08K1,1+220,08K1,12+320,08K1,13+420,08K1,14+521,08K1,15:0,9242K=
=(0,081,1+0,321,12+0,721,13+1,281,14+271,15):0,9242=20,0363.

Odpowiedź.
Średni czas życia i wypukłość wynoszą odpowiednio:
– dla obligacji zerokuponowej: 5 i 25,
– dla obligacji z kuponem 10%: 4,1699 i 19,2658,
– a dla obligacji z kuponem 8%: 4,2814 i 20,0363.

Ćwiczenie 8.5

Zakładając, że wypłaty następują na koniec roku oraz że struktura terminowa jest płaska i stopa procentowa r wynosi (w skali rocznej) 10%, obliczyć średni czas życia (duration) i wypukłość (convexity) następujących inwestycji:
1. pięcioletnia spłata kredytu, raty w równej wysokości zawierają spłatę kapitału i odsetki.
2. renta płacąca odsetki w nieskończoność.

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez k kwotę pojedynczej płatności.
1. Mamy pięć płatności

CF1=CF2=CF3=CF4=CF5=k.

Wzór na wartość obecną przybierze postać

PV=k1,1+k1,12+k1,13+k1,14+k1,15=k1,11-1,1-51-1,1-1=1-1,1-50,1k=3,7908k.

Zatem

D=k1,1+2k1,12+3k1,13+4k1,14+5k1,15:3,7908k=2,8101,
C=12k1,1+22k1,12+32k1,13+42k1,14+52k1,15:3,7908k=9,8734.

2. Mamy nieskończenie wiele płatności

CFi=k,i=1,2,.

Wzór na wartość obecną przybierze postać

PV=i=1k1,1i=k0,1=10k.

Zatem

D=i=1ki1,1i:10k=1,1k0,1210k=11.
C=i=1ki21,1i:10k=1,12,1k0,1310k=231.

Skorzystaliśmy tutaj z następujących wzorów sumacyjnych dla x>1

1x-1=i=11xi;xx-12=i=1ixi;xx+1x-13=i=1i2xi.

Odpowiedź.
Średni czas życia i wypukłość wynoszą odpowiednio:
– dla renty pięcioletniej: 2,8101 i 9,8734,
– a dla renty ,,nieskończonej”: 11 i 231.

Ćwiczenie 8.6

Rozważmy 4 inwestycje o następujących przepływach gotówki:

I1:CF1=CF2=CF3=0,CF4=1464,1.
I2:CF1=CF2=CF3=100,CF4=1100.
I3:CF1=350,CF2=325,CF3=300,CF4=275.
I4:CF1=CF2=CF3=CF4=315,47.

Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli ti=i.

Wyznaczyć Future Value tych inwestycji na 4 sposoby. Zgodnie z płaską strukturą terminową

Bt=1+r-t

dla stopy rynkowej r równej odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya

Bt=0,51,09-t+0,51,11-t.

Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości FV2:

r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI11232,30412101188,2961210,700I21226,59112101193,8751210,530I31213,19112101206,9661210,135I41214,27912101205,8911210,162

i FV4:

r=0,09r=0,1r=0,11StoodleyI11464,1001464,11464,1001464,100I21457,3131464,11470,9731463,895I31441,3931464,11487,1031463,417I41442,6851464,11485,7791463,449

Podsumowując, gdy stopa rynkowa jest równa efektywnej stopie oprocentowania kredytu, to future value nie zależy od sposobu spłaty kredytu.

Ćwiczenie 8.7

Inwestor ma do dyspozycji: obligacje 4 letnie, o wartości nominalnej 100 zł i oprocentowane w wysokości 5% rocznie – płatne co rok, oraz roczne bony skarbowe o wartości nominalnej 100 zł. Zakładamy, że struktura terminowa stóp procentowych jest płaska, aktualna stopa procentowa wynosi 5%, a pierwsze wypłaty nastąpią za rok.
a. Wyznaczyć Present Value, Duration i Covexity dla obligacji oraz dla bonów.
b. Jaki powinien być skład portfela inwestora, aby Future Value dla T=3 lata wynosiła 1 390 252,5 zł i była uodporniona na wahania stopy procentowej?

Rozwiązanie.
a. Ponieważ stopa rynkowa jest równa stopie oprocentowania obligacji to Present Value jest równe wartości nominalnej

PV1=100.

Natomiast Duration i Convexity wynoszą odpowiednio

D1=110051,05+251,052+351,053+41051,054=3+669821-33,723,
C1=110051,05+2251,052+3351,053+441051,054=14+406721-314,439,

Ponieważ bony generują tylko jeden przyszły przepływ gotówki (po 1 roku) to

D2=C2=1,PV2=1001,05=9552195,238.

b. Zgodnie z twierdzeniem 8.2 portfel będzie uodporniony gdy jego Duration wyniesie 3 lata (D=3). Zatem aby wyznaczyć liczbę obligacji (k1) i bonów (k2) musimy rozwiązać układ równań:

k1PV1+k2PV21,05D=FV,
k1D1PV1+k2D2PV2=Dk1PV1+k2PV2.

Z drugiego równania otrzymujemy

k1669821-3=k222021.

Czyli

k2=k1334920212.

Po wstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy

k1100+1002021334920212213203=1390252,5.

Co po uproszczeniu daje

k1100213+3349=1390252,5203,

czyli

k1=8820 i k2=3349.

Odpowiedź.
a. Dla obligacji Present Value, Duration i Covexity wynoszą odpowiednio 100, 3,723 i 14,439, a dla bonów 95,238, 1 i 1.
b. Porfel spełniający warunki zadania skład się z 8 820 czteroletnich obligacji i 3 349 rocznych bonów.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.