Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Rachunek prawdopodobieństwa II – 5. Martyngały z czasem dyskretnym – MIM UW

Zagadnienia

5. Martyngały z czasem dyskretnym

Do tej pory, dysponując ciągiem zmiennych losowych, nie wiązaliśmy z ich indeksami żadnej interpretacji. W wielu naturalnych sytuacjach można je interpretować jako współrzędną czasową. W konkretnych przypadkach często X_{n} opisuje zachowanie układu w chwili n. Tak więc indeks odpowiada za czas.

Załóżmy, że T jest ,,zbiorem czasów”: to znaczy, jest równy \{ 0,\, 1,\, 2,\,\ldots\}, \{ 1,\, 2,\,\ldots,\}, \{\ldots,-2,\,-1,\, 0\} lub \{ m,\, m+1,\,\ldots,\, n\}.

Definicja 5.1

Załóżmy, że (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) jest przestrzenią probabilistyczną, T - jak wyżej. Filtracją nazywamy rodzinę (\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}, gdzie dla każdego t, \mathcal{F}_{t} jest \sigma-ciałem zawartym w \mathcal{F} oraz \mathcal{F}_{t}\subseteq\mathcal{F}_{s} jeśli s\leq t.

Intuicja: \sigma-ciało \mathcal{F}_{t} opisuje wszystko co się może zdarzyć do chwili t.

Definicja 5.2

Załóżmy, że (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację (\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}. Funkcję \tau:\Omega\to T\cup\{+\infty\} nazywamy momentem zatrzymania, jeśli dla każdego t\in T mamy \{\tau=t\}\in\mathcal{F}_{n}.

Intuicyjnie, moment zatrzymania jest ,,sensowną” reguła stopowania: taką, iż decyzję, czy się zatrzymywać, podejmujemy na podstawie zdarzeń z przeszłości i teraźniejszości. Spójrzmy na następujący

Przykład: Rzucamy 10 razy monetą. Niech X_{n}=1, jeśli w n-tym rzucie wypadł orzeł, i X_{n}=0 w przeciwnym przypadku. Wprowadźmy \sigma-ciała \mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},\, X_{2},\,\ldots,\, X_{n}), n=1,\, 2,\,\ldots,\, 10 (jest to tzw. naturalna filtracja względem ciągu (X_{n})) Rozważmy dwie strategie: \tau - wycofujemy się, gdy wypadnie orzeł po raz pierwszy, \sigma - wycofujemy się, gdy orzeł wypada po raz ostatni (jeśli wypadają same reszki, przyjmujemy \tau=\sigma=10). Intuicja podpowiada, iż \tau jest sensowną regułą zatrzymania - decyzję o tym, czy się wycofać, czy nie, podejmujemy na podstawie informacji, które dopłynęły do nas do danej chwili. Strategia \sigma nie jest sensowna: skąd mamy wiedzieć - nie znając przyszłości - czy orzeł, który właśnie wypadł, jest ostatni? Formalny dowód tego, że \sigma nie jest momentem zatrzymania, pozostawiamy jako ćwiczenie.

Uwaga:

Warunek definiujący moment stopu można zapisać równoważnie w następujący sposób. Funkcja \tau:\Omega\to T\cup\{+\infty\} jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t\in T, \{\tau\leq t\}\in\mathcal{F}_{t}.

Dowód

\Rightarrow Mamy

\{\tau\leq t\}=\bigcup _{{k=1}}^{t}\{\tau=k\}\in\mathcal{F}_{t},

gdyż dla każdego k\leq t, \{\tau=k\}\in\mathcal{F}_{k}\subseteq\mathcal{F}_{t}.

\Leftarrow Mamy \{\tau=t\}=\{\tau\leq t\}\setminus\{\tau\leq t-1\} i oba zdarzenia należą do \mathcal{F}_{t}.

Przykłady:

1) \tau\equiv n jest momentem zatrzymania względem każdej filtracji:

\{\tau=k\}=\begin{cases}\emptyset&\text{jeśli }n\neq k,\\
\Omega&\text{jeśli }n=k.\end{cases}

2) Załóżmy, że (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację (\mathcal{F}_{n})_{{n\in T}}. Załóżmy, że (X_{n})_{{n\in T}} jest rodziną zmiennych losowych (procesem stochastycznym) o tej własności, że dla każdego n, zmienna X_{n} jest mierzalna względem \mathcal{F}_{n} (mówimy, że proces stochastyczny (X_{n}) jest adaptowany do filtracji (F_{n})). Dalej, niech B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) oraz

\tau _{B}(\omega)=\inf\{ n\in T:X_{n}(\omega)\in B\},

przy czym przyjmijmy konwencję \inf\emptyset=+\infty. Funkcja \tau _{B} to moment pierwszego dojścia procesu (X_{n}) do zbioru B. Wówczas \tau _{B} jest momentem zatrzymania: dla każdego n,

\begin{split}\{\tau _{B}=n\}&=\{ X_{n}\in B\mbox{ oraz }X_{k}\notin B\mbox{ dla }k<n\}\\
&=\{ X_{n}\in B\}\cap\bigcap _{{k<n}}\{ X_{k}\in B^{c}\}\in\mathcal{F}_{n}.\end{split}

Analogiczny fakt zachodzi, gdy zmienne X_{n} przyjmują wartości w \mathbb{R}^{d}, albo ogólniej, w przestrzeni metrycznej E.

Definicja 5.3

Załóżmy, że (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację (\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} i niech \tau będzie momentem zatrzymania. Definiujemy

\begin{split}\mathcal{F}_{{\tau}}&=\{ A\in\mathcal{F}:A\cap\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_{n}\mbox{ dla wszystkich
}n\}\\
&=\{ A\in\mathcal{F}:A\cap\{\tau\leq n\}\in\mathcal{F}_{n}\mbox{ dla wszystkich
}n\}.\end{split}

Intuicyjnie, \mathcal{F}_{{\tau}} opisuje wszystkie zdarzenia, które mogą zajść do momentu \tau.

Uwagi:

1) \mathcal{F}_{\tau} jest \sigma-ciałem,

2) jeśli \tau\equiv n, to \mathcal{F}_{\tau}=\mathcal{F}_{n}.

Własności:

1) Jeśli \tau _{1}, \tau _{2} są momentami zatrzymania, to \tau _{1}\wedge\tau _{2}=\min\{\tau _{1},\tau _{2}\} oraz \tau _{1}\vee\tau _{2}=\max\{\tau _{1},\tau _{2}\} też są momentami zatrzymania. Istotnie,

\{\tau _{1}\wedge\tau _{2}\leq n\}=\{\tau _{1}\leq n\}\cup\{\tau _{2}\leq n\}\in\mathcal{F}_{n},
\{\tau\vee\tau _{2}\leq n\}=\{\tau _{1}\leq n\}\cap\{\tau _{2}\leq n\}\in\mathcal{F}_{n}.

2) Jeśli \tau _{1}, \tau _{2} są takimi momentami zatrzymania, że \tau _{1}\leq\tau _{2}, to \mathcal{F}_{{\tau _{1}}}\subseteq\mathcal{F}_{{\tau _{2}}}. Istotnie, jeśli A\in\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}, to dla każdego n,

A\cap\{\tau _{2}\leq n\}=(A\cap\{\tau _{1}\leq n\})\cap\{\tau _{2}\leq n\},

i dwa ostatnie przecinane zbiory należą do \mathcal{F}_{n}.

3) Moment zatrzymania \tau jest mierzalny względem \mathcal{F}_{\tau}. Istotnie,

\{\tau\leq a\}\cap\{\tau=n\}=\begin{cases}\emptyset&\mbox{jeśli }a<n,\\
\{\tau=n\}&\mbox{jeśli }a\geq n\end{cases}\,\,\in\mathcal{F}_{n}.

4) Załóżmy, że (X_{t})_{{t\in T}} jest adaptowany do danej filtracji, a \tau jest momentem zatrzymania względem tej filtracji spełniającym warunek \tau<\infty (jest to tzw. skończony moment stopu. Wówczas zmienna X_{\tau} jest mierzalna względem \mathcal{F}_{\tau}. Istotnie,

\{ X_{\tau}\leq a\}\cap\{\tau=n\}=\{ X_{n}\leq a\}\cap\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_{n},

jako że oba przecinane zdarzenia należą do \mathcal{F}_{n}.

Przechodzimy do definicji głównych pojęć niniejszego rozdziału.

Definicja 5.4

Załóżmy, że (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację (\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}. Załóżmy, że (X_{t})_{{t\in T}} jest adaptowanym ciągiem całkowalnych zmiennych losowych. Mówimy, że (X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest

a) martyngałem, jeśli dla wszystkich s,\, t\in T, s\leq t zachodzi \mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}.

b) nadmartyngałem, jeśli dla wszystkich s,\, t\in T, s\leq t zachodzi \mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})\leq X_{s}.

c) podmartyngałem, jeśli dla wszystkich s,\, t\in T, s\leq t zachodzi \mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})\geq X_{s}.

Jeśli filtracja jest ustalona, to mówimy po prostu, że (X_{t})_{{t\in T}} jest martyngałem (nad-, pod-), jeśli zachodzą powyższe warunki.

Uwagi:

a) (X_{t}) jest martyngałem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych s,\, t\in T, s<t, oraz A\in\mathcal{F}_{s} zachodzi

\int _{A}X_{t}d\mathbb{P}=\int _{A}X_{s}d\mathbb{P}.

Analogicznie dla nad- i podmartyngałów.

b) U nas T=\{ 0,\, 1,\, 2,\,\ldots\}, \{ 1,\, 2,\,\ldots\}, \{ m,\, m+1,\,\ldots,\, n\}, \{\ldots,\,-2,\,-1,\, 0\}.

c) (X_{t}) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nad- i podmartyngałem.

d) (X_{t}) jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy (-X_{t}) jest nadmartyngałem.

e) Jeśli (X_{t}), (Y_{t}) są martyngałami względem tej samej filtracji i a,\, b\in\mathbb{R}, to (aX_{t}+bY_{t}) też jest martyngałem. Analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów, o ile a,\, b>0.

f) Jeśli zbiór T jest taki jak w b), to (X_{t})_{{t\in T}} jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich n\in T takich, że n+1\in T, zachodzi \mathbb{E}(X_{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})=X_{n} (analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów).

Dowód:

\Rightarrow oczywiste (szczególny przypadek).

\Leftarrow Załóżmy, że m,\, n\in T, m>n. Wówczas \mathcal{F}_{n}\subseteq\mathcal{F}_{{m-1}}, a więc na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,

\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{{m-1}})|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}(X_{{m-1}}|\mathcal{F}_{n}),

i dalej przez indukcję.

Przykłady:

1) Załóżmy, że \xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots są niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o średniej 0. Niech X_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+\ldots+\xi _{n} i \mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},X_{2},\,\ldots,X_{n}), n=1,\, 2,\,\ldots. Wówczas (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=1}}^{\infty} jest martyngałem:

\begin{split}\mathbb{E}(X_{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})&=\mathbb{E}(X_{n}+\xi _{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})\\
&=\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{F}_{n})+\mathbb{E}(\xi _{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}+\mathbb{E}\xi _{{n+1}}=X_{n}.\end{split}

2) Załóżmy, że X jest całkowalną zmienną losową, (\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest filtracją i niech X_{t}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{t}) dla t\in T. Wówczas (X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest martyngałem.

Dowód:

Weźmy s,\, t\in T, s<t. Mamy, na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,

\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{t})|\mathcal{F}_{s})=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{s})=X_{s}.

Martyngał taki jak w przykładzie 2) nazywamy prawostronnie domkniętym. Czasami nazywa się tak martyngał wraz z domknięciem: (X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{T\cup\{\infty\}}}, gdzie (X_{\infty},\mathcal{F}_{\infty})=(X,\mathcal{F}).

Stwierdzenie 5.1

Załóżmy, że (X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest martyngałem, a f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} jest funkcją wypukłą taką, że f(X_{t}) jest zmienną całkowalną dla każdego t\in T. Wówczas (f(X_{t}),\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest podmartyngałem.

Dowód:

Załóżmy, że s,\, t\in T, s<t. Wówczas, na mocy nierówności Jensena,

\mathbb{E}(f(X_{t})|\mathcal{F}_{s})\geq f(\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s}))=f(X_{s}).
Wniosek 5.1

Załóżmy, że (X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest martyngałem. Wówczas

a) Jeśli dla pewnego p\geq 1 mamy, iż X_{t}\in L^{p} dla wszystkich t, to (|X_{t}|^{p},\mathcal{F}_{t}) jest podmartyngałem.

b) Dla dowolnej liczby rzeczywistej a, proces (X_{t}\vee a,\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}} jest podmartyngałem. W szczególności, (X_{t}^{+}), (X_{t}^{-}) są podmartyngałami.

Twierdzenie 5.1 (Dooba, ,,optional sampling”)

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n\geq 0}} jest nadmartyngałem (odp., martyngałem). Załóżmy, że \tau _{1},\,\tau _{2} są momentami zatrzymania takimi, że \tau _{1}\leq\tau _{2} i \tau _{2} jest ograniczony. Wówczas mamy \mathbb{E}(X_{{\tau _{2}}}|\mathcal{F}_{{\tau _{1}}})\leq X_{{\tau _{1}}} p.n. (odpowiednio, \mathbb{E}(X_{{\tau _{2}}}|\mathcal{F}_{{\tau _{1}}})=X_{{\tau _{1}}} p.n.).

Dowód:

Załóżmy, że \tau _{2}\leq n. Zauważmy najpierw, iż X_{{\tau _{1}}},\, X_{{\tau _{2}}} są całkowalne, gdyż |X_{{\tau _{i}}}|\leq\max\{|X_{1}|,|X_{2}|,\ldots,|X_{n}|\}. Zmienna X_{{\tau _{1}}} jest mierzalna względem \mathcal{F}_{{\tau _{1}}}, a zatem wystarczy wykazać, że dla każdego A\in\mathcal{F}_{{\tau _{1}}},

\int _{A}X_{{\tau _{2}}}d\mathbb{P}\leq\int _{A}X_{{\tau _{1}}}d\mathbb{P}

(odpowiednio, z równością w miejscu nierówności w przypadku martyngałowym).

Załóżmy najpierw, że \tau _{2}-\tau _{1}\leq 1. Mamy

\begin{split}\int _{A}X_{{\tau _{1}}}-X_{{\tau _{2}}}d\mathbb{P}&=\int _{{A\cap\{\tau _{2}>\tau _{1}\}}}X_{{\tau _{1}}}-X_{{\tau _{2}}}d\mathbb{P}\\
&=\sum _{{k=0}}^{n}\int _{{\{\tau _{1}=k\}\cap A\cap\{\tau _{2}>k\}}}X_{k}-X_{{k+1}}\geq 0\end{split}

(odpowiednio, =0). Ostatnia nierówność bierze się stąd, iż \{\tau _{1}=k\}\cap A\cap\{\tau _{2}>k\}\in\mathcal{F}_{k}.

Weźmy teraz dowolne \tau _{1}\leq\tau _{2}\leq n. Definiujemy \tau^{{(k)}}=\max\{\tau _{1},\min\{\tau _{2},k\}\}. Zmienne \tau^{{(k)}} są momentami zatrzymania, a ponadto

\tau _{1}=\tau^{{(0)}}\leq\tau^{{(1)}}\leq\ldots\leq\tau^{{(n)}}=\tau _{2}

oraz \tau^{{(k+1)}}-\tau^{{(k)}}\leq 1. Zatem dla każdego A\in\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}\subseteq\mathcal{F}_{{\tau^{{(k)}}}},

\int _{A}X_{{\tau _{1}}}=\int _{A}X_{{\tau^{{(0)}}}}\geq\int _{A}X_{{\tau^{{(1)}}}}\geq\int _{A}X_{{\tau^{{(2)}}}}\geq\ldots\geq\int _{A}X_{{\tau^{{(n)}}}}=\int _{A}X_{{\tau _{2}}}

(z równościami w przypadku martyngałowym).

Twierdzenie 5.2 (Dooba o zbieżności p.n. nadmartyngałów)

Załóżmy, że proces (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}} jest nadmartyngałem takim, że \sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}<\infty. Wówczas ciąg (X_{n}) jest zbieżny p.n. do pewnej zmiennej losowej całkowalnej.

Wniosek 5.2

a) Każdy nieujemny nadmartyngał (X_{n},\mathcal{F}_{n}) (tzn. spełniający X_{n}\geq 0 p.n. dla wszystkich n) jest zbieżny p.n.

b) Jeśli (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}} jest podmartyngałem spełniającym \sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{+}<\infty, to (X_{n}) jest zbieżny p.n.

c) Jeśli (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}} jest nadmartyngałem, to warunek \sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}<\infty jest równoważny warunkowi \sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty (tzn. ograniczoności ciągu (X_{n}) w L^{1}).

Dowód wniosku:

a) jest oczywiste, b) wynika wprost z twierdzenia Dooba poprzez przejście do procesu (-X_{n},\mathcal{F}_{n}), który jest nadmartyngałem. Zajmijmy się dowodem c). Implikacja \Leftarrow jest oczywista. \Rightarrow Mamy |X_{n}|=X_{n}^{+}+X_{n}^{-}=X_{n}+2X_{n}^{-}, skąd

\mathbb{E}|X_{n}|=\mathbb{E}X_{n}+2\mathbb{E}X_{n}^{-}\leq\mathbb{E}X_{0}+2\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}<\infty.

W dowodzie twierdzenia o zbieżności będziemy używać następujących obiektów. Załóżmy, że (x_{n})_{{n=1,2,\ldots}} jest ciągiem liczbowym i niech a<b to ustalone liczby rzeczywiste. Określmy

\begin{split}\tau _{0}&=\inf\{ n:x_{n}<a\},\\
\tau _{1}&=\inf\{ n>\tau _{0}:x_{n}>b\},\\
&\ldots\\
\tau _{{2k}}&=\inf\{ n>\tau _{{2k-1}}:x_{n}<a\},\\
\tau _{{2k+1}}&=\inf\{ n>\tau _{{2k}}:x_{n}>b\},\\
&\ldots\end{split}

Liczba \tau _{{2k-1}} to moment k-tego przejścia w górę ciągu (x_{n}) przez przedział [a,b]. Niech teraz

U_{a}^{b}=\begin{cases}\sup\{ k:\tau _{{2k-1}}<\infty\}&\mbox{jeśli }\tau _{1}<\infty,\\
0&\mbox{jeśli }\tau _{1}=\infty\end{cases}

będzie liczbą przejść w górę ciągu (x_{n}) przez przedział [a,b].

Lemat 5.1

Ciąg liczbowy (x_{n}) jest zbieżny (być może do \pm\infty) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich a,\, b\in\mathbb{Q}, a<b, mamy U_{a}^{b}<\infty.

Dowód:

\Rightarrow Przypuśćmy wbrew tezie, że (x_{n}) jest zbieżny oraz że istnieją a,\, b\in\mathbb{Q} takie, że a<b oraz U_{a}^{b}=\infty. Wówczas znajdziemy nieskończony podciąg zawierający tylko wyrazy mniejsze od a oraz nieskończony podciąg zawierającego wyrazy tylko większe od b. Sprzeczność.

\Leftarrow Załóżmy, że \liminf x_{n}<\limsup x_{n}. Wówczas istnieją a,\, b\in\mathbb{Q} takie, że \liminf x_{n}<a<b<\limsup x_{n}; mamy wówczas U_{a}^{b}=\infty.

Lemat 5.2 (nierówność Dooba dla przejść w górę)

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0}}^{m} jest nadmartyngałem. Wówczas dla dowolnych a<b,

\mathbb{E}U_{a}^{b}\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}((X_{m}-a)^{-}).
Dowód:

Załóżmy, że (\tau _{j}) jest ciągiem momentów przejść ciągu (X_{n}) przez przedział [a,b], i niech U_{a}^{b} będzie łączną liczbą przejść. Widzimy, że (\tau _{j}) jest ciągiem momentów zatrzymania (względem filtracji (\mathcal{F}_{n})) oraz że U_{a}^{b} jest zmienną losową. Połóżmy \tilde{\tau}_{j}=\tau _{j}\wedge m i wprowadźmy zmienne Y_{k}=X_{{\tilde{\tau}_{{2k+1}}}}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}}, k=1,\, 2,\,\ldots. Z definicji widzimy, iż jeśli 0\leq k\leq U_{a}^{b}(\omega)-1, to Y_{k}(\omega)>b-a. Ponadto, jeśli k=U_{a}^{b}(\omega), to

Y_{k}(\omega)=X_{m}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}}=\begin{cases}0&\mbox{jeśli }\tau _{{2k}}=\infty,\\
\geq X_{m}-a&\mbox{jeśli }\tau _{{2k}}<\infty\end{cases}\geq-(X_{m}-a)^{-}.

Wreszcie, jeśli k>U_{a}^{b}(\omega), to Y_{k}(\omega)=0. Sumując stronami powyższe związki dostajemy

\sum _{{k=0}}^{m}(X_{{\tilde{\tau}_{{2k+1}}}}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}})\geq(b-a)U_{a}^{b}-(X_{m}-a)^{-},

a zatem, biorąc wartość oczekiwaną,

\sum _{{k=0}}^{m}\mathbb{E}(X_{{\tilde{\tau}_{{2k+1}}}}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}})\geq(b-a)\mathbb{E}U_{a}^{b}-\mathbb{E}(X_{m}-a)^{-}.

Lewa strona jest niedodatnia, na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling); dostajemy zatem żądaną nierówność.

Dowód twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów

Ustalmy a,\, b\in\mathbb{Q}, a<b. Niech U_{a}^{b}(m) będzie łączną liczbą przejść nadmartyngału (X_{n})_{{n=1}}^{m} w górę przez przedział [a,b]. Mamy U_{a}^{b}(m)\uparrow U_{a}^{b}. Na mocy drugiego z powyższych lematów,

\begin{split}\mathbb{E}U_{a}^{b}(m)&\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}((X_{m}-a)^{-})\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}(|X_{m}|+|a|)\\
&\leq\frac{1}{b-a}(\sup\mathbb{E}|X_{m}|+|a|)<\infty.\end{split}

Zatem, na mocy twierdzenia Lebesgue'a, \mathbb{E}U_{a}^{b}<\infty, skąd U_{a}^{b}<\infty p.n. Zatem

\mathbb{P}(\forall _{{a,b\in\mathbb{Q},\, a<b}}U_{a}^{b}<\infty)=1

i na mocy pierwszego z powyższych lematów, ciąg (X_{n}) jest zbieżny p.n. Pozostaje tylko wykazać, że granica jest całkowalna; wynika to natychmiast z lematu Fatou:

\mathbb{E}|\lim _{n}X_{n}|=\mathbb{E}\lim _{n}|X_{n}|\leq\liminf\mathbb{E}|X_{n}|\leq\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty.
Twierdzenie 5.3 (Nierówność maksymalna dla nadmartyngałów)

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}} jest nadmartyngałem. Wówczas dla każdego \lambda>0,

\mathbb{P}(\sup _{n}|X_{n}|\geq\lambda)\leq K\frac{\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|}{\lambda},

przy czym można wziąć K=1, jeśli nadmartyngał jest nieujemny (tzn. zmienne losowe X_{0},\, X_{1},\,\ldots są nieujemne p.n.), niedodatni, bądź jest martyngałem. W przypadku ogólnym nierówność zachodzi z K=3.

Dowód:

Zauważmy, iż wystarczy szacować \mathbb{P}(\sup _{n}|X_{n}|>\lambda), przez proste przejście graniczne. Mamy

\mathbb{P}(\sup _{n}|X_{n}|>\lambda)\leq\mathbb{P}(\sup _{n}X_{n}>\lambda)+\mathbb{P}(\inf _{n}X_{n}<-\lambda).

Zajmiemy się oddzielnie prawdopodobieństwami występującymi po prawej stronie.

a) Niech \tau=\inf\{ n:X_{n}>\lambda\}. Na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling),

\mathbb{E}X_{0}\geq\mathbb{E}X_{{\tau\wedge n}}=\int _{{\{\tau\leq n\}}}X_{\tau}+\int _{{\{\tau>n\}}}X_{n}\geq\lambda\mathbb{P}(\max _{{k\leq n}}X_{k}>\lambda)-\int _{{\{\tau>n\}}}X_{n}^{-}.

Stąd

\lambda\mathbb{P}(\max _{{k\leq n}}X_{k}>\lambda)\leq\mathbb{E}X_{0}+\int _{{\{\tau>n\}}}X_{n}^{-}\leq\mathbb{E}X_{0}+\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|.

Stąd teza (gdy weźmiemy n\to\infty) gdy (X_{n}) jest nieujemny.

b) Rozważmy moment zatrzymania \tilde{\tau}=\inf\{ n:X_{n}<-\lambda\}. Z twierdzenia Dooba,

\begin{split}\mathbb{E}X_{n}&\leq\mathbb{E}X_{{\tilde{\tau}\wedge n}}\\
&=\int _{{\{\tilde{\tau}\leq n\}}}X_{{\tilde{\tau}}}+\int _{{\{\tilde{\tau}>n\}}}X_{n}\leq-\lambda\mathbb{P}(\min _{{k\leq n}}X_{k}<-\lambda)+\int _{{\{\min _{{k\leq n}}X_{k}\geq-\lambda\}}}X_{n},\end{split}

skąd

\lambda\mathbb{P}(\min _{{k\leq n}}X_{k}<-\lambda)\leq-\int _{{\{\min _{{k\leq n}}X_{k}<-\lambda\}}}X_{n}\leq\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}. (**)

Stąd teza, gdy nadmartyngał jest niedodatni. Ponadto, jeśli (X_{n}) jest martyngałem, to stosujemy powyższą nierówność do niedodatniego nadmartyngału (-|X_{n}|,\mathcal{F}_{n}).

W ogólnym przypadku, wystarczy zsumować dwie końcowe nierówności pochodzące z a) i b), dostać nierówność ze stałą 3.

Jeśli (X_{n}) jest podmartyngałem, to stosując (**) dla (-X_{n}) dostajemy

Wniosek 5.3

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0}}^{m} jest podmartyngałem. Wówczas dla \lambda>0,

\mathbb{P}(\max _{{n\leq m}}X_{n}>\lambda)\leq\frac{1}{\lambda}\int _{{\{\max _{{n\leq m}}X_{n}>\lambda\}}}X_{n}.
Twierdzenie 5.4 (Nierówność maksymalna Dooba)

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n\geq 0}} jest martyngałem spełniającym warunek X_{n}\in L^{p}, n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots dla pewnego p>1. Wówczas

||\sup _{n}|X_{n}|||_{p}\leq\frac{p}{p-1}\sup _{n}||X_{n}||_{p}.
Dowód:

Niech Y_{n}=\max _{{k\leq n}}|X_{k}|, k=0,\, 1,\, 2,\ldots. Mamy, stosując poprzedni wniosek do podmartyngału (|X_{k}|,\mathcal{F}_{k})_{{k=0,1,2,\ldots,n}}, dostajemy

\begin{split}\mathbb{E}Y_{n}^{p}&=p\int _{0}^{\infty}\lambda^{{p-1}}\mathbb{P}(Y_{n}>\lambda)d\lambda\\
&\leq p\int _{0}^{\infty}\lambda^{{p-1}}\frac{1}{\lambda}\int _{{\{ Y_{n}>\lambda\}}}|X_{n}|d\mathbb{P}d\lambda\\
&=p\int _{0}^{\infty}\int _{\Omega}\lambda^{{p-2}}1_{{\{ Y_{n}>\lambda\}}}|X_{n}|d\mathbb{P}d\lambda\\
&=p\int _{\Omega}\int _{0}^{{Y_{n}}}\lambda^{{p-2}}|X_{n}|d\lambda d\mathbb{P}\\
&=\frac{p}{p-1}\int _{\Omega}|X_{n}|Y_{n}^{{p-1}}d\mathbb{P}\leq\frac{p}{p-1}||X_{n}||_{p}||Y_{n}||_{p}^{{(p-1)/p}}.\end{split}

Dzieląc obustronnie przez ||Y_{n}||_{p}^{{(p-1)/p}} (jeśli ta liczba jest zerem, to otrzymana poniżej nierówność także jest prawdziwa) dostajemy

||Y_{n}||_{p}\leq\frac{p}{p-1}||X_{n}||_{p}\leq\frac{p}{p-1}\sup _{k}||X_{k}||_{p}

i wystarczy zbiec z n\to\infty.

Twierdzenie 5.5 (Zbieżność martyngałów w L^{1})

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n\geq 0}} jest martyngałem. następujące warunki są równoważne.

a) rodzina \{ X_{n}:n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots\} jest jednostajnie całkowalna.

b) (X_{n}) jest zbieżny w L^{1}.

c) Istnieje zmienna losowa X\in L^{1} taka, że X_{n}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n}), n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots (czyli martyngał jest prawostronnie domknięty).

Co więcej, jeśli te warunki są spełnione, to (X_{n}) jest zbieżny p.n. do

X_{\infty}=\mathbb{E}(X|\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n})) (*)

i X_{\infty} jest jedyną zmienną losową mierzalną względem \sigma-ciała \sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}) taką, że X_{n}=\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n}), n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots.

Wniosek 5.4 (Twierdzenie Levy'ego)

Jeśli X\in L^{1} oraz (\mathcal{F}_{n}) jest filtracją, to

\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})\xrightarrow{\mbox{p.n. i w
}L^{1}}\mathbb{E}\left[X\Big|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right].
Dowód twierdzenia o zbieżności

a)\Rightarrowb) Na mocy jednostajnej całkowalności dostajemy, iż \sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty. Zatem na mocy twierdzenia Dooba martyngał (X_{n}) jest zbieżny p.n., a zatem także według prawdopodobieństwa. łącząc to z jednostajną całkowalnością dostajemy zbieżność w L^{1}.

b)\Rightarrowc) Załóżmy, że X_{m}\to X_{\infty} w L^{1}. Dla ustalonego n i m>n mamy \mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}. Z drugiej strony, \mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})\to\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n}) w L^{1}, gdyż operator warunkowej wartości oczekiwanej jest kontrakcją w L^{1}: istotnie,

||\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})-\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})||_{1}\leq||X_{m}-X_{\infty}||_{1}\to 0.

Stąd \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}.

c)\Rightarrow a) Pozostawiamy jako ćwiczenie.

Pozostaje wykazać drugą część twierdzenia. Wiemy już, że warunki a), b), c) pociągają za sobą, iż X_{n}=\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n}), n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots (gdzie X_{\infty} jest granicą, w sensie zbieżności w L^{1} i p.n., martyngału (X_{n})). Oczywiście X_{\infty} jest mierzalna względem \sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}). Przypuśćmy teraz, że Y jest całkowalną zmienną losową, mierzalną względem tego \sigma-ciała, dla której X_{n}=\mathbb{E}(Y|\mathcal{F}_{n}), n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots. Zatem \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}(Y|\mathcal{F}_{n}), skąd dla dowolnego n i dowolnego A\in\mathcal{F}_{n},

\int _{A}X_{\infty}d\mathbb{P}=\int _{A}Yd\mathbb{P}.

Klasa \bigcup _{n}\mathcal{F}_{n} jest \pi-układem. Klasa tych zbiorów A, dla których zachodzi powyższa równość, jest \lambda-układem. Z lematu o \pi-\lambda układach mamy, iż powy'rsza równo'sć całek zachodzi dla dowolnego A\in\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}). Na mocy mierzalności X_{\infty} oraz Y względem tego \sigma-ciała, mamy, iż X_{\infty}=Y p.n.

Wreszcie, pozostaje udowodnić równość (*). Jeśli X_{n}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n}), to

\begin{split} X_{n}&=\mathbb{E}\left[X_{n}|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})\Big|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right]\\
&=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left(X\Big|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right)\Big|\mathcal{F}_{n}\right].\end{split}

Na mocy powyższych rozważań o jednoznaczności, dostajemy (*). Dowód jest zakończony.

Wniosek 5.5 (Prawo 0-1 Kołmogorowa)

Załóżmy, że X_{1}, X_{2}, \ldots są niezależnymi zmiennymi losowymi i \mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}) dla n\geq 1. Wówczas jeśli A\in\bigcap _{{n=0}}^{\infty}\sigma(X_{{n+1}},X_{{n+2}},\ldots), to \mathbb{P}(A)\in\{ 0,1\}.

Dowód

Oczywiście 1_{A} jest mierzalne względem \sigma-ciała \sigma\left(\bigcup _{{n=1}}^{\infty}\mathcal{F}_{n}\right). Zatem na mocy twierdzenia Levy'ego,

\mathbb{E}(1_{A}|\mathcal{F}_{n})\xrightarrow{\mbox{p.n. i w }L^{1}}\mathbb{E}\left[1_{A}\Big|\sigma\left(\bigcup _{{n=1}}^{\infty}\mathcal{F}_{n}\right)\right]=1_{A}.

Ale z drugiej strony 1_{A} jest niezależne od \mathcal{F}_{n}, bo A\in\sigma(X_{{n+1}},X_{{n+2}},\ldots), a to \sigma-ciało jest niezależne od \mathcal{F}_{n}. Stąd

\mathbb{E}(1_{A}|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}1_{A}=\mathbb{P}(A)\to 1_{A},

a zatem \mathbb{P}(A)=0 lub 1.

Zajmiemy się teraz zbieżnością w L^{p} dla p>1.

Twierdzenie 5.6

Załóżmy, że (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}} jest martyngałem i p>1. Następujące warunki są równoważne.

a) \sup\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty.

b) Rodzina \{|X_{n}|^{p}\} _{n} jest jednostajnie całkowalna.

c) Martyngał (X_{n}) jest zbieżny w L^{p}.

d) Istnieje X\in L^{p} taka, że X_{n}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n}).

Jeśli te warunki są spełnione, to (X_{n}) jest zbieżny p.n. do zmiennej losowej X_{\infty}=\mathbb{E}(X|\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n})).

a)\Rightarrowb) Wiemy, że \mathbb{E}\sup|X_{n}|^{p}\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p}\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty, czyli \sup|X_{n}|^{p}\in L^{1}, skąd dostajemy b) (istnienie majoranty całkowalnej).

b)\Rightarrowc) Mamy, iż

\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leq\sup _{n}(\mathbb{E}|X_{n}|^{p})^{{1/p}}<\infty,

a zatem na mocy twierdzenia Dooba o zbieżności nadmartyngałów, (X_{n}) jest zbieżny p.n.. Dokładając jednostajną całkowalność dostajemy c).

c)\Rightarrowd) Mamy X_{n}\to X_{\infty} w L^{p}. Przy ustalonym n oraz m>n, \mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}. Ponieważ \mathbb{E}(\cdot|\mathcal{F}_{n}) jest kontrakcją w L^{p}, więc \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}.

d)\Rightarrowa) Mamy

\mathbb{E}|X_{n}|^{p}=\mathbb{E}|\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})|^{p}\leq\mathbb{E}(\mathbb{E}(|X|^{p}|\mathcal{F}_{n}))=\mathbb{E}|X|^{p}<\infty.

5.1. Zadania

1. Załóżmy, że (\mathcal{F}_{n}) jest filtracją, a (X_{n}) jest ciągiem zmiennych losowych adaptowanych do tej filtracji. Niech B będzie podzbiorem borelowskim \mathbb{R}.

a) Udowodnić, że \tau _{1}=\inf\{ n:X_{n}+n\in B\} jest momentem zatrzymania.

b) Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania \tau, zmienna \tau _{2}=\inf\{ n>\tau:X_{n}\in B\} też jest momentem zatrzymania.

2. Dany jest ciąg (X_{n})_{{n=1}}^{{10}} niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \mathbb{P}(X_{n}=-1)=\mathbb{P}(X_{n}=1)=1/2. Niech

\tau=\inf\{ n>1:X_{n}>X_{{n-1}}\},\qquad\sigma=\sup\{ n\geq 1:X_{n}>X_{{n-1}}\}

(przyjmujemy \inf\emptyset=\sup\emptyset=\infty). Czy \tau, \sigma są momentami zatrzymania?

3. Zmienne \tau, \sigma są momentami zatrzymania względem filtracji (\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}. Czy zmienne \tau^{2}, \tau+1, \tau+\sigma, \tau-1, \tau\wedge(2\sigma) są momentami zatrzymania?

4. Dany jest ciąg (\xi _{n}) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie \mathbb{P}(\xi _{n}=-1)=\mathbb{P}(\xi _{n}=1)=1/2. Niech X_{0}=0 i X_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+\ldots+\xi _{n} dla n\geq 1. Niech (\mathcal{F}_{n}) będzie naturalną filtracją generowaną przez ciąg (X_{n}).

a) Udowodnić,że (X_{n}) oraz (X_{n}^{2}-n) są martyngałami.

b) Wyznaczyć taką wartość parametru a, by ciąg (a^{n}\cos X_{n}) był martyngałem.

c) Udowodnić, że dla \lambda>0, ciąg (\exp(\lambda X_{n}-\lambda^{2}n/2)) jest nadmartyngałem.

5. Załóżmy, że (X_{n})_{{n=0}}^{\infty} jest ciągiem niezależnych zmiennych loswych o tym samym rozkładzie o średniej 0. Niech Z_{0}=0, Z_{n}=X_{0}X_{1}+X_{1}X_{2}+\ldots+X_{{n-1}}X_{n} dla n\geq 1. Udowodnić, że ciąg (Z_{n}) jest martyngałem.

6. Dany jest ciąg (X_{n}) adaptowany do filtracji (\mathcal{F}_{n}). Udowodnić, że ciąg (X_{n}) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania \tau zachodzi równość \mathbb{E}X_{\tau}=\mathbb{E}X_{0}.

7. Dany jest martyngał (X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}} oraz moment zatrzymania \tau. Udowodnić, że (X_{{\tau\wedge n}},\mathcal{F}_{n}) też jest martyngałem.

8. Egzaminator przygotował m zestawów pytań. Studenci kolejno losują kartki z pytaniami, przy czym zestaw raz wyciągnięty nie wraca do ponownego losowania. tudent nauczył się odpowiedzi na k zestawów (k\leq m). Obserwując przebieg egzaminu chce przystąpić do niego w takim momencie, żeby zmaksymalizować szanse zdania. Czy istnieje strategia optymalna?

9. Gramy w orła i reszkę symetryczną monetą. Przed n-tą grą, opierając się ewentualnie na wynikach poprzednich gier, sami ustalamy stawkę w n-tej grze: wybieramy V_{n}, 1\leq V_{n}\leq a, i jeśli wypadnie orzeł dostajemy V_{n} zł, jeśli reszka - płacimy V_{n} zł. Niech (S_{n}) oznacza łączną wygraną po n grach. Udowodnić, że (S_{n})_{n} jest martyngałem (względem naturalnej filtracji).

10. Mamy 10 zł w monetach 1 zł, a potrzebujemy pilnie 20 zł. Jedynym sposobem zdobycia tych pieniędzy jest gra w 3 karty z szulerem (który wygrywa z prawdopodobieństwem 2/3). Szuler gotów jest grać z nami wiele razy o dowolne stawki, jakie jesteśmy w stanie założyć (przyjmijmy dla uproszczenia, że stawka nie przekracza 10 zł). Udowodnić, że niezależnie od wyboru strategii nasze szanse na uzyskanie brakujących 10 zł nie przekraczają 1/3.

11. (Tożsamość Walda). Dany jest ciąg (X_{n}) całkowalnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, adaptowany do filtracji (\mathcal{F}_{n})_{{n=1,2,\ldots}}, taki, że zmienna X_{{n+1}} jest niezależna od \mathcal{F}_{n}. Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania \tau takiego, że \mathbb{E}\tau<\infty, zachodzi wzór

\mathbb{E}(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{\tau})=\mathbb{E}X_{1}\cdot\mathbb{E}\tau.

12. Załóżmy, że X_{1},\, X_{2},\,\ldots są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej 0, spełniającymi warunek \sum _{{n=1}}^{\infty}\mbox{Var}X_{n}<\infty. Udowodnić, że szereg \sum _{{n=1}}^{\infty}X_{n} jest zbieżny p.n.

W zadaniach 13 - 17 poniżej rozpatrujemy ciąg X_{1}, X_{2}, \ldots niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \mathbb{P}(X_{n}=1)=p=1-\mathbb{P}(X_{n}=-1), i oznaczamy S_{0}=0, S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n} dla n\geq 1. Dla a,\, b\in\mathbb{Z}, a,\, b>0, niech \tau _{a}=\inf\{ n:S_{n}=a\} oraz \tau _{{a,b}}=\inf\{ n:S_{n}\in\{-a,b\}\}.

13. Załóżmy, że p=1/2 i niech \tau=\tau _{{a,b}}. Korzystając z teorii martyngałów obliczyć \mathbb{P}(S_{\tau}=-a), \mathbb{P}(S_{\tau}=b) oraz \mathbb{E}\tau.

14. Rozwiązać zadanie 13 przy założeniu 1/2<p<1.

15. Udowodnić, że \mathbb{E}\tau _{a}=\infty.

16. Załóżmy, że p=1/2 oraz \tau jest całkowalnym momentem zatrzymania. Udowodnić, że \mathbb{E}S_{\tau}=0 oraz \mathbb{E}S_{\tau}^{2}=\mathbb{E}\tau.

17. Zbadać zbieżność p.n. oraz w L^{p} nadmartyngału (\exp(S_{n}-n/2))_{{n=0}}^{\infty} (por. zadanie 4 c)).

18. Zmienne X_{1}, X_{2}, \ldots, są niezależne i mają ten sam rozkład skoncentrowany na liczbach nieujemnych, różny od \delta _{{\{ 1\}}}, o średniej 1. Udowodnić, że ciąg (X_{1}X_{2}\ldots X_{n}) jest zbieżny p.n., ale nie jest zbieżny w L^{1}.

19. W pojemniku znajduje się pewna liczba cząstek, z których każda w chwili n z równym prawdopodobieństwem albo dzieli się na dwie, albo ginie. W chwili 0 liczba cząstek wynosi 1. Udowodnić, że z prawdopodobieństwem 1 po pewnym czasie wszystkie cząstki zginą, tzn. w pojemniku nie będzie ani jednej cząstki.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.