Zagadnienia

5. Martyngały z czasem dyskretnym

Do tej pory, dysponując ciągiem zmiennych losowych, nie wiązaliśmy z ich indeksami żadnej interpretacji. W wielu naturalnych sytuacjach można je interpretować jako współrzędną czasową. W konkretnych przypadkach często Xn opisuje zachowanie układu w chwili n. Tak więc indeks odpowiada za czas.

Załóżmy, że T jest ,,zbiorem czasów”: to znaczy, jest równy 0, 1, 2,, {1, 2,,}, ,-2,-1, 0 lub m,m+1,,n.

Definicja 5.1

Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią probabilistyczną, T - jak wyżej. Filtracją nazywamy rodzinę FttT, gdzie dla każdego t, Ft jest σ-ciałem zawartym w F oraz FtFs jeśli st.

Intuicja: σ-ciało Ft opisuje wszystko co się może zdarzyć do chwili t.

Definicja 5.2

Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację FttT. Funkcję τ:ΩT+ nazywamy momentem zatrzymania, jeśli dla każdego tT mamy {τ=t}Fn.

Intuicyjnie, moment zatrzymania jest ,,sensowną” reguła stopowania: taką, iż decyzję, czy się zatrzymywać, podejmujemy na podstawie zdarzeń z przeszłości i teraźniejszości. Spójrzmy na następujący

Przykład: Rzucamy 10 razy monetą. Niech Xn=1, jeśli w n-tym rzucie wypadł orzeł, i Xn=0 w przeciwnym przypadku. Wprowadźmy σ-ciała Fn=σX1,X2,,Xn, n=1, 2,, 10 (jest to tzw. naturalna filtracja względem ciągu Xn) Rozważmy dwie strategie: τ - wycofujemy się, gdy wypadnie orzeł po raz pierwszy, σ - wycofujemy się, gdy orzeł wypada po raz ostatni (jeśli wypadają same reszki, przyjmujemy τ=σ=10). Intuicja podpowiada, iż τ jest sensowną regułą zatrzymania - decyzję o tym, czy się wycofać, czy nie, podejmujemy na podstawie informacji, które dopłynęły do nas do danej chwili. Strategia σ nie jest sensowna: skąd mamy wiedzieć - nie znając przyszłości - czy orzeł, który właśnie wypadł, jest ostatni? Formalny dowód tego, że σ nie jest momentem zatrzymania, pozostawiamy jako ćwiczenie.

Uwaga:

Warunek definiujący moment stopu można zapisać równoważnie w następujący sposób. Funkcja τ:ΩT+ jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego tT, {τt}Ft.

Dowód

Mamy

{τt}=k=1t{τ=k}Ft,

gdyż dla każdego kt, {τ=k}FkFt.

Mamy {τ=t}={τt}{τt-1} i oba zdarzenia należą do Ft.

Przykłady:

1) τn jest momentem zatrzymania względem każdej filtracji:

{τ=k}=jeśli nk,Ωjeśli n=k.

2) Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację FnnT. Załóżmy, że XnnT jest rodziną zmiennych losowych (procesem stochastycznym) o tej własności, że dla każdego n, zmienna Xn jest mierzalna względem Fn (mówimy, że proces stochastyczny Xn jest adaptowany do filtracji Fn). Dalej, niech BBR oraz

τBω=infnT:XnωB,

przy czym przyjmijmy konwencję inf=+. Funkcja τB to moment pierwszego dojścia procesu Xn do zbioru B. Wówczas τB jest momentem zatrzymania: dla każdego n,

{τB=n}={XnB oraz XkB dla k<n}={XnB}k<n{XkBc}Fn.

Analogiczny fakt zachodzi, gdy zmienne Xn przyjmują wartości w Rd, albo ogólniej, w przestrzeni metrycznej E.

Definicja 5.3

Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację FttT i niech τ będzie momentem zatrzymania. Definiujemy

Fτ=AF:Aτ=nFn dla wszystkich n=AF:AτnFn dla wszystkich n.

Intuicyjnie, Fτ opisuje wszystkie zdarzenia, które mogą zajść do momentu τ.

Uwagi:

1) Fτ jest σ-ciałem,

2) jeśli τn, to Fτ=Fn.

Własności:

1) Jeśli τ1, τ2 są momentami zatrzymania, to τ1τ2=minτ1,τ2 oraz τ1τ2=maxτ1,τ2 też są momentami zatrzymania. Istotnie,

{τ1τ2n}={τ1n}{τ2n}Fn,
{ττ2n}={τ1n}{τ2n}Fn.

2) Jeśli τ1, τ2 są takimi momentami zatrzymania, że τ1τ2, to Fτ1Fτ2. Istotnie, jeśli AFτ1, to dla każdego n,

Aτ2n=Aτ1nτ2n,

i dwa ostatnie przecinane zbiory należą do Fn.

3) Moment zatrzymania τ jest mierzalny względem Fτ. Istotnie,

{τa}{τ=n}=jeśli a<n,τ=njeśli anFn.

4) Załóżmy, że XttT jest adaptowany do danej filtracji, a τ jest momentem zatrzymania względem tej filtracji spełniającym warunek τ< (jest to tzw. skończony moment stopu. Wówczas zmienna Xτ jest mierzalna względem Fτ. Istotnie,

{Xτa}{τ=n}={Xna}{τ=n}Fn,

jako że oba przecinane zdarzenia należą do Fn.

Przechodzimy do definicji głównych pojęć niniejszego rozdziału.

Definicja 5.4

Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację FttT. Załóżmy, że XttT jest adaptowanym ciągiem całkowalnych zmiennych losowych. Mówimy, że Xt,FttT jest

a) martyngałem, jeśli dla wszystkich s,tT, st zachodzi E(Xt|Fs)=Xs.

b) nadmartyngałem, jeśli dla wszystkich s,tT, st zachodzi E(Xt|Fs)Xs.

c) podmartyngałem, jeśli dla wszystkich s,tT, st zachodzi E(Xt|Fs)Xs.

Jeśli filtracja jest ustalona, to mówimy po prostu, że XttT jest martyngałem (nad-, pod-), jeśli zachodzą powyższe warunki.

Uwagi:

a) Xt jest martyngałem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych s,tT, s<t, oraz AFs zachodzi

AXtdP=AXsdP.

Analogicznie dla nad- i podmartyngałów.

b) U nas T=0, 1, 2,, 1, 2,, m,m+1,,n, ,-2,-1, 0.

c) Xt jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nad- i podmartyngałem.

d) Xt jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy -Xt jest nadmartyngałem.

e) Jeśli Xt, Yt są martyngałami względem tej samej filtracji i a,bR, to aXt+bYt też jest martyngałem. Analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów, o ile a,b>0.

f) Jeśli zbiór T jest taki jak w b), to XttT jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich nT takich, że n+1T, zachodzi E(Xn+1|Fn)=Xn (analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów).

Dowód:

oczywiste (szczególny przypadek).

Załóżmy, że m,nT, m>n. Wówczas FnFm-1, a więc na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,

E(Xm|Fn)=E(E(Xm|Fm-1)|Fn)=E(Xm-1|Fn),

i dalej przez indukcję.

Przykłady:

1) Załóżmy, że ξ1,ξ2, są niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o średniej 0. Niech Xn=ξ1+ξ2++ξn i Fn=σX1,X2,,Xn, n=1, 2,. Wówczas Xn,Fnn=1 jest martyngałem:

E(Xn+1|Fn)=E(Xn+ξn+1|Fn)=E(Xn|Fn)+E(ξn+1|Fn)=Xn+Eξn+1=Xn.

2) Załóżmy, że X jest całkowalną zmienną losową, FttT jest filtracją i niech Xt=E(X|Ft) dla tT. Wówczas Xt,FttT jest martyngałem.

Dowód:

Weźmy s,tT, s<t. Mamy, na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,

E(Xt|Fs)=E(E(X|Ft)|Fs)=E(X|Fs)=Xs.

Martyngał taki jak w przykładzie 2) nazywamy prawostronnie domkniętym. Czasami nazywa się tak martyngał wraz z domknięciem: Xt,FtT, gdzie X,F=X,F.

Stwierdzenie 5.1

Załóżmy, że Xt,FttT jest martyngałem, a f:RR jest funkcją wypukłą taką, że fXt jest zmienną całkowalną dla każdego tT. Wówczas fXt,FttT jest podmartyngałem.

Dowód:

Załóżmy, że s,tT, s<t. Wówczas, na mocy nierówności Jensena,

E(f(Xt)|Fs)f(E(Xt|Fs))=f(Xs).
Wniosek 5.1

Załóżmy, że Xt,FttT jest martyngałem. Wówczas

a) Jeśli dla pewnego p1 mamy, iż XtLp dla wszystkich t, to Xtp,Ft jest podmartyngałem.

b) Dla dowolnej liczby rzeczywistej a, proces Xta,FttT jest podmartyngałem. W szczególności, Xt+, Xt- są podmartyngałami.

Twierdzenie 5.1 (Dooba, ,,optional sampling”)

Załóżmy, że Xn,Fnn0 jest nadmartyngałem (odp., martyngałem). Załóżmy, że τ1,τ2 są momentami zatrzymania takimi, że τ1τ2 i τ2 jest ograniczony. Wówczas mamy E(Xτ2|Fτ1)Xτ1 p.n. (odpowiednio, E(Xτ2|Fτ1)=Xτ1 p.n.).

Dowód:

Załóżmy, że τ2n. Zauważmy najpierw, iż Xτ1,Xτ2 są całkowalne, gdyż XτimaxX1,X2,,Xn. Zmienna Xτ1 jest mierzalna względem Fτ1, a zatem wystarczy wykazać, że dla każdego AFτ1,

AXτ2dPAXτ1dP

(odpowiednio, z równością w miejscu nierówności w przypadku martyngałowym).

Załóżmy najpierw, że τ2-τ11. Mamy

AXτ1-Xτ2dP=Aτ2>τ1Xτ1-Xτ2dP=k=0n{τ1=k}A{τ2>k}Xk-Xk+10

(odpowiednio, =0). Ostatnia nierówność bierze się stąd, iż {τ1=k}A{τ2>k}Fk.

Weźmy teraz dowolne τ1τ2n. Definiujemy τk=maxτ1,minτ2,k. Zmienne τk są momentami zatrzymania, a ponadto

τ1=τ0τ1τn=τ2

oraz τk+1-τk1. Zatem dla każdego AFτ1Fτk,

AXτ1=AXτ0AXτ1AXτ2AXτn=AXτ2

(z równościami w przypadku martyngałowym).

Twierdzenie 5.2 (Dooba o zbieżności p.n. nadmartyngałów)

Załóżmy, że proces Xn,Fnn=0,1,2, jest nadmartyngałem takim, że supnEXn-<. Wówczas ciąg Xn jest zbieżny p.n. do pewnej zmiennej losowej całkowalnej.

Wniosek 5.2

a) Każdy nieujemny nadmartyngał Xn,Fn (tzn. spełniający Xn0 p.n. dla wszystkich n) jest zbieżny p.n.

b) Jeśli Xn,Fnn=0,1,2, jest podmartyngałem spełniającym supnEXn+<, to Xn jest zbieżny p.n.

c) Jeśli Xn,Fnn=0,1,2, jest nadmartyngałem, to warunek supnEXn-< jest równoważny warunkowi supnEXn< (tzn. ograniczoności ciągu Xn w L1).

Dowód wniosku:

a) jest oczywiste, b) wynika wprost z twierdzenia Dooba poprzez przejście do procesu -Xn,Fn, który jest nadmartyngałem. Zajmijmy się dowodem c). Implikacja jest oczywista. Mamy Xn=Xn++Xn-=Xn+2Xn-, skąd

EXn=EXn+2EXn-EX0+2supnEXn-<.

W dowodzie twierdzenia o zbieżności będziemy używać następujących obiektów. Załóżmy, że xnn=1,2, jest ciągiem liczbowym i niech a<b to ustalone liczby rzeczywiste. Określmy

τ0=infn:xn<a,τ1=infn>τ0:xn>b,τ2k=infn>τ2k-1:xn<a,τ2k+1=infn>τ2k:xn>b,

Liczba τ2k-1 to moment k-tego przejścia w górę ciągu xn przez przedział a,b. Niech teraz

Uab=supk:τ2k-1<jeśli τ1<,0jeśli τ1=

będzie liczbą przejść w górę ciągu xn przez przedział a,b.

Lemat 5.1

Ciąg liczbowy xn jest zbieżny (być może do ±) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich a,bQ, a<b, mamy Uab<.

Dowód:

Przypuśćmy wbrew tezie, że xn jest zbieżny oraz że istnieją a,bQ takie, że a<b oraz Uab=. Wówczas znajdziemy nieskończony podciąg zawierający tylko wyrazy mniejsze od a oraz nieskończony podciąg zawierającego wyrazy tylko większe od b. Sprzeczność.

Załóżmy, że lim infxn<lim supxn. Wówczas istnieją a,bQ takie, że lim infxn<a<b<lim supxn; mamy wówczas Uab=.

Lemat 5.2 (nierówność Dooba dla przejść w górę)

Załóżmy, że Xn,Fnn=0m jest nadmartyngałem. Wówczas dla dowolnych a<b,

EUab1b-aEXm-a-.
Dowód:

Załóżmy, że τj jest ciągiem momentów przejść ciągu Xn przez przedział a,b, i niech Uab będzie łączną liczbą przejść. Widzimy, że τj jest ciągiem momentów zatrzymania (względem filtracji Fn) oraz że Uab jest zmienną losową. Połóżmy τ~j=τjm i wprowadźmy zmienne Yk=Xτ~2k+1-Xτ~2k, k=1, 2,. Z definicji widzimy, iż jeśli 0kUabω-1, to Ykω>b-a. Ponadto, jeśli k=Uabω, to

Ykω=Xm-Xτ~2k=0jeśli τ2k=,Xm-ajeśli τ2k<-Xm-a-.

Wreszcie, jeśli k>Uabω, to Ykω=0. Sumując stronami powyższe związki dostajemy

k=0mXτ~2k+1-Xτ~2kb-aUab-Xm-a-,

a zatem, biorąc wartość oczekiwaną,

k=0mEXτ~2k+1-Xτ~2kb-aEUab-EXm-a-.

Lewa strona jest niedodatnia, na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling); dostajemy zatem żądaną nierówność.

Dowód twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów

Ustalmy a,bQ, a<b. Niech Uabm będzie łączną liczbą przejść nadmartyngału Xnn=1m w górę przez przedział a,b. Mamy UabmUab. Na mocy drugiego z powyższych lematów,

EUabm1b-aEXm-a-1b-aEXm+a1b-asupEXm+a<.

Zatem, na mocy twierdzenia Lebesgue'a, EUab<, skąd Uab< p.n. Zatem

Pa,bQ,a<bUab<=1

i na mocy pierwszego z powyższych lematów, ciąg Xn jest zbieżny p.n. Pozostaje tylko wykazać, że granica jest całkowalna; wynika to natychmiast z lematu Fatou:

ElimnXn=ElimnXnlim infEXnsupnEXn<.
Twierdzenie 5.3 (Nierówność maksymalna dla nadmartyngałów)

Załóżmy, że Xn,Fnn=0,1,2, jest nadmartyngałem. Wówczas dla każdego λ>0,

PsupnXnλKsupnEXnλ,

przy czym można wziąć K=1, jeśli nadmartyngał jest nieujemny (tzn. zmienne losowe X0,X1, są nieujemne p.n.), niedodatni, bądź jest martyngałem. W przypadku ogólnym nierówność zachodzi z K=3.

Dowód:

Zauważmy, iż wystarczy szacować PsupnXn>λ, przez proste przejście graniczne. Mamy

P(supn|Xn|>λ)P(supnXn>λ)+P(infnXn<-λ).

Zajmiemy się oddzielnie prawdopodobieństwami występującymi po prawej stronie.

a) Niech τ=infn:Xn>λ. Na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling),

EX0EXτn={τn}Xτ+{τ>n}XnλP(maxknXk>λ)-{τ>n}Xn-.

Stąd

λPmaxknXk>λEX0+{τ>n}Xn-EX0+supnEXn.

Stąd teza (gdy weźmiemy n) gdy Xn jest nieujemny.

b) Rozważmy moment zatrzymania τ~=infn:Xn<-λ. Z twierdzenia Dooba,

EXnEXτ~n={τ~n}Xτ~+{τ~>n}Xn-λP(minknXk<-λ)+{minknXk-λ}Xn,

skąd

λPminknXk<-λ-{minknXk<-λ}XnsupnEXn-. (**)

Stąd teza, gdy nadmartyngał jest niedodatni. Ponadto, jeśli Xn jest martyngałem, to stosujemy powyższą nierówność do niedodatniego nadmartyngału -Xn,Fn.

W ogólnym przypadku, wystarczy zsumować dwie końcowe nierówności pochodzące z a) i b), dostać nierówność ze stałą 3.

Jeśli Xn jest podmartyngałem, to stosując (**) dla -Xn dostajemy

Wniosek 5.3

Załóżmy, że Xn,Fnn=0m jest podmartyngałem. Wówczas dla λ>0,

PmaxnmXn>λ1λ{maxnmXn>λ}Xn.
Twierdzenie 5.4 (Nierówność maksymalna Dooba)

Załóżmy, że Xn,Fnn0 jest martyngałem spełniającym warunek XnLp, n=0, 1, 2, dla pewnego p>1. Wówczas

supnXnppp-1supnXnp.
Dowód:

Niech Yn=maxknXk, k=0, 1, 2,. Mamy, stosując poprzedni wniosek do podmartyngału Xk,Fkk=0,1,2,,n, dostajemy

EYnp=p0λp-1P(Yn>λ)dλp0λp-11λ{Yn>λ}|Xn|dPdλ=p0Ωλp-21{Yn>λ}|Xn|dPdλ=pΩ0Ynλp-2|Xn|dλdP=pp-1Ω|Xn|Ynp-1dPpp-1||Xn||p||Yn||pp-1/p.

Dzieląc obustronnie przez Ynpp-1/p (jeśli ta liczba jest zerem, to otrzymana poniżej nierówność także jest prawdziwa) dostajemy

Ynppp-1Xnppp-1supkXkp

i wystarczy zbiec z n.

Twierdzenie 5.5 (Zbieżność martyngałów w L1)

Załóżmy, że Xn,Fnn0 jest martyngałem. następujące warunki są równoważne.

a) rodzina Xn:n=0, 1, 2, jest jednostajnie całkowalna.

b) Xn jest zbieżny w L1.

c) Istnieje zmienna losowa XL1 taka, że Xn=E(X|Fn), n=0, 1, 2, (czyli martyngał jest prawostronnie domknięty).

Co więcej, jeśli te warunki są spełnione, to Xn jest zbieżny p.n. do

X=E(X|σ(nFn)) (*)

i X jest jedyną zmienną losową mierzalną względem σ-ciała σnFn taką, że Xn=E(X|Fn), n=0, 1, 2,.

Wniosek 5.4 (Twierdzenie Levy'ego)

Jeśli XL1 oraz Fn jest filtracją, to

E(X|Fn)p.n. i w L1E[X|σ(nFn)].
Dowód twierdzenia o zbieżności

a)b) Na mocy jednostajnej całkowalności dostajemy, iż supnEXn<. Zatem na mocy twierdzenia Dooba martyngał Xn jest zbieżny p.n., a zatem także według prawdopodobieństwa. łącząc to z jednostajną całkowalnością dostajemy zbieżność w L1.

b)c) Załóżmy, że XmX w L1. Dla ustalonego n i m>n mamy E(Xm|Fn)=Xn. Z drugiej strony, E(Xm|Fn)E(X|Fn) w L1, gdyż operator warunkowej wartości oczekiwanej jest kontrakcją w L1: istotnie,

||E(Xm|Fn)-E(X|Fn)||1||Xm-X||10.

Stąd E(X|Fn)=Xn.

c) a) Pozostawiamy jako ćwiczenie.

Pozostaje wykazać drugą część twierdzenia. Wiemy już, że warunki a), b), c) pociągają za sobą, iż Xn=E(X|Fn), n=0, 1, 2, (gdzie X jest granicą, w sensie zbieżności w L1 i p.n., martyngału Xn). Oczywiście X jest mierzalna względem σnFn. Przypuśćmy teraz, że Y jest całkowalną zmienną losową, mierzalną względem tego σ-ciała, dla której Xn=E(Y|Fn), n=0, 1, 2,. Zatem E(X|Fn)=E(Y|Fn), skąd dla dowolnego n i dowolnego AFn,

AXdP=AYdP.

Klasa nFn jest π-układem. Klasa tych zbiorów A, dla których zachodzi powyższa równość, jest λ-układem. Z lematu o π-λ układach mamy, iż powy'rsza równo'sć całek zachodzi dla dowolnego AσnFn. Na mocy mierzalności X oraz Y względem tego σ-ciała, mamy, iż X=Y p.n.

Wreszcie, pozostaje udowodnić równość (*). Jeśli Xn=E(X|Fn), to

Xn=E[Xn|σ(nFn)]=E[E(X|Fn)|σ(nFn)]=E[E(X|σ(nFn))|Fn].

Na mocy powyższych rozważań o jednoznaczności, dostajemy (*). Dowód jest zakończony.

Wniosek 5.5 (Prawo 0-1 Kołmogorowa)

Załóżmy, że X1, X2, są niezależnymi zmiennymi losowymi i Fn=σX1,X2,,Xn dla n1. Wówczas jeśli An=0σXn+1,Xn+2,, to PA0,1.

Dowód

Oczywiście 1A jest mierzalne względem σ-ciała σn=1Fn. Zatem na mocy twierdzenia Levy'ego,

E(1A|Fn)p.n. i w L1E[1A|σ(n=1Fn)]=1A.

Ale z drugiej strony 1A jest niezależne od Fn, bo AσXn+1,Xn+2,, a to σ-ciało jest niezależne od Fn. Stąd

E(1A|Fn)=E1A=P(A)1A,

a zatem PA=0 lub 1.

Zajmiemy się teraz zbieżnością w Lp dla p>1.

Twierdzenie 5.6

Załóżmy, że Xn,Fnn=0,1,2, jest martyngałem i p>1. Następujące warunki są równoważne.

a) supEXnp<.

b) Rodzina Xnpn jest jednostajnie całkowalna.

c) Martyngał Xn jest zbieżny w Lp.

d) Istnieje XLp taka, że Xn=E(X|Fn).

Jeśli te warunki są spełnione, to Xn jest zbieżny p.n. do zmiennej losowej X=E(X|σ(nFn)).

a)b) Wiemy, że EsupXnppp-1psupnEXnp<, czyli supXnpL1, skąd dostajemy b) (istnienie majoranty całkowalnej).

b)c) Mamy, iż

supnEXnsupnEXnp1/p<,

a zatem na mocy twierdzenia Dooba o zbieżności nadmartyngałów, Xn jest zbieżny p.n.. Dokładając jednostajną całkowalność dostajemy c).

c)d) Mamy XnX w Lp. Przy ustalonym n oraz m>n, E(Xm|Fn)=Xn. Ponieważ E(|Fn) jest kontrakcją w Lp, więc E(X|Fn)=Xn.

d)a) Mamy

E|Xn|p=E|E(X|Fn)|pE(E(|X|p|Fn))=E|X|p<.

5.1. Zadania

1. Załóżmy, że Fn jest filtracją, a Xn jest ciągiem zmiennych losowych adaptowanych do tej filtracji. Niech B będzie podzbiorem borelowskim R.

a) Udowodnić, że τ1=infn:Xn+nB jest momentem zatrzymania.

b) Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ, zmienna τ2=infn>τ:XnB też jest momentem zatrzymania.

2. Dany jest ciąg Xnn=110 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie PXn=-1=PXn=1=1/2. Niech

τ=infn>1:Xn>Xn-1,σ=supn1:Xn>Xn-1

(przyjmujemy inf=sup=). Czy τ, σ są momentami zatrzymania?

3. Zmienne τ, σ są momentami zatrzymania względem filtracji Fnn=0,1,2,. Czy zmienne τ2, τ+1, τ+σ, τ-1, τ2σ są momentami zatrzymania?

4. Dany jest ciąg ξn niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pξn=-1=Pξn=1=1/2. Niech X0=0 i Xn=ξ1+ξ2++ξn dla n1. Niech Fn będzie naturalną filtracją generowaną przez ciąg Xn.

a) Udowodnić,że Xn oraz Xn2-n są martyngałami.

b) Wyznaczyć taką wartość parametru a, by ciąg ancosXn był martyngałem.

c) Udowodnić, że dla λ>0, ciąg expλXn-λ2n/2 jest nadmartyngałem.

5. Załóżmy, że Xnn=0 jest ciągiem niezależnych zmiennych loswych o tym samym rozkładzie o średniej 0. Niech Z0=0, Zn=X0X1+X1X2++Xn-1Xn dla n1. Udowodnić, że ciąg Zn jest martyngałem.

6. Dany jest ciąg Xn adaptowany do filtracji Fn. Udowodnić, że ciąg Xn jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania τ zachodzi równość EXτ=EX0.

7. Dany jest martyngał Xn,Fnn=0,1,2, oraz moment zatrzymania τ. Udowodnić, że Xτn,Fn też jest martyngałem.

8. Egzaminator przygotował m zestawów pytań. Studenci kolejno losują kartki z pytaniami, przy czym zestaw raz wyciągnięty nie wraca do ponownego losowania. tudent nauczył się odpowiedzi na k zestawów km. Obserwując przebieg egzaminu chce przystąpić do niego w takim momencie, żeby zmaksymalizować szanse zdania. Czy istnieje strategia optymalna?

9. Gramy w orła i reszkę symetryczną monetą. Przed n-tą grą, opierając się ewentualnie na wynikach poprzednich gier, sami ustalamy stawkę w n-tej grze: wybieramy Vn, 1Vna, i jeśli wypadnie orzeł dostajemy Vn zł, jeśli reszka - płacimy Vn zł. Niech Sn oznacza łączną wygraną po n grach. Udowodnić, że Snn jest martyngałem (względem naturalnej filtracji).

10. Mamy 10 zł w monetach 1 zł, a potrzebujemy pilnie 20 zł. Jedynym sposobem zdobycia tych pieniędzy jest gra w 3 karty z szulerem (który wygrywa z prawdopodobieństwem 2/3). Szuler gotów jest grać z nami wiele razy o dowolne stawki, jakie jesteśmy w stanie założyć (przyjmijmy dla uproszczenia, że stawka nie przekracza 10 zł). Udowodnić, że niezależnie od wyboru strategii nasze szanse na uzyskanie brakujących 10 zł nie przekraczają 1/3.

11. (Tożsamość Walda). Dany jest ciąg Xn całkowalnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, adaptowany do filtracji Fnn=1,2,, taki, że zmienna Xn+1 jest niezależna od Fn. Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ takiego, że Eτ<, zachodzi wzór

EX1+X2++Xτ=EX1Eτ.

12. Załóżmy, że X1,X2, są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej 0, spełniającymi warunek n=1VarXn<. Udowodnić, że szereg n=1Xn jest zbieżny p.n.

W zadaniach 13 - 17 poniżej rozpatrujemy ciąg X1, X2, niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie PXn=1=p=1-PXn=-1, i oznaczamy S0=0, Sn=X1+X2++Xn dla n1. Dla a,bZ, a,b>0, niech τa=infn:Sn=a oraz τa,b=infn:Sn-a,b.

13. Załóżmy, że p=1/2 i niech τ=τa,b. Korzystając z teorii martyngałów obliczyć PSτ=-a, PSτ=b oraz Eτ.

14. Rozwiązać zadanie 13 przy założeniu 1/2<p<1.

15. Udowodnić, że Eτa=.

16. Załóżmy, że p=1/2 oraz τ jest całkowalnym momentem zatrzymania. Udowodnić, że ESτ=0 oraz ESτ2=Eτ.

17. Zbadać zbieżność p.n. oraz w Lp nadmartyngału expSn-n/2n=0 (por. zadanie 4 c)).

18. Zmienne X1, X2, , są niezależne i mają ten sam rozkład skoncentrowany na liczbach nieujemnych, różny od δ1, o średniej 1. Udowodnić, że ciąg X1X2Xn jest zbieżny p.n., ale nie jest zbieżny w L1.

19. W pojemniku znajduje się pewna liczba cząstek, z których każda w chwili n z równym prawdopodobieństwem albo dzieli się na dwie, albo ginie. W chwili 0 liczba cząstek wynosi 1. Udowodnić, że z prawdopodobieństwem 1 po pewnym czasie wszystkie cząstki zginą, tzn. w pojemniku nie będzie ani jednej cząstki.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.