Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Teoria sterowania – 8. Istnienie sterowania optymalnego – MIM UW

Zagadnienia

8. Istnienie sterowania optymalnego

W tym rozdziale zajmiemy się warunkiem wystarczającym istnienia sterowania optymalnego. W całym rozdziale zakładamy, że \Omega=[-1,1].

8.1. Zagadnienie Mayera

Rozważamy najpierw zagadnienie Mayera (M):

\dot{x}=f(t,x,u)\,,\quad x(0)=x_{0}\,,\quad u\in{{\mathbb{U}}}_{m} (8.1)

z funkcjonałem kosztu

\mathfrak{C}[u]=\mathfrak{g}\big({t_{1}},x({t_{1}})\big)\,, (8.2)

gdzie x({t_{1}})=x({t_{1}};x_{0},{u(\,.\,)}) oraz f i \mathfrak{g} są zadanymi funkcjami o wartościach w {\mathbb{R}}^{n} i {\mathbb{R}}^{1}, odpowiednio.

Sformułujemy twierdzenia mówiące o istnieniu sterowania optymalnego, tzn. takiego u_{*}\in{\mathbb{U}}_{m}, że warunek (6.2) jest spełniony.

Analogia: Zagadnienie minimum rzeczywistej funkcji h w obszarze \mathbb{D}\in{\mathbb{R}}^{n}. Warunkiem wystarczającym (the sufficient condition) istnienia minimum jest:

\mathbb{D} jest zbiorem zwartym (compact) i h jest funkcją ciągłą.

Wprowadzamy następujące oznaczenie

Definicja 8.1

Dla T>0 zbiór \Delta(T)\subset{\mathbb{U}}_{m} jest zbiorem sterowań, które prowadzą x_{0} do {\mathcal{T}}({t_{1}}) w czasie {t_{1}}, gdzie 0<{t_{1}}\leq T.

Podstawowymi założeniami są

Założenie 8.1

Funkcja

f\,:\;[0,T]\times{\mathbb{R}}^{n}\times\Omega\,\to\,{\mathbb{R}}^{n}

jest ciągła względem wszystkich zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły

względem x\in{\mathbb{R}}^{n} oraz spełnia

|f(t,x,v)|\leq\mathrm{const}.\,(1+|x|)\,,\qquad\forall\;(t,x,v)\in[0,T]\times{\mathbb{R}}^{n}\times\Omega\,. (8.3)

Założenie (8.3) może byc zastąpione innym, gwarantującym jednostajne oszacowanie odpowiedzi.

Założenie 8.2

Zbiór

f(t,x,\Omega)=\Big\{ f(t,x,v)\,:\; v\in\Omega\Big\} (8.4)

jest zbiorem wypukłym (convex) dla wszystkich t\in[0,T], x\in{\mathbb{R}}^{n}.

Założenie 8.2 gwarantuje domkniętość zbioru trajektorii — por. [14].

Przy powyższych założeniach można sformułować twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia Mayera:

Twierdzenie 8.1 (Istnienie sterowania optymalnego dla zagadnienia Mayera)

Niech będą spełnione następujące warunki dla T>0:

  1. funkcja f spełnia założenia 8.1 oraz 8.2;

  2. funkcja \mathfrak{g}\,:\;[0,T]\times{\mathbb{R}}^{n}\,\to\,{\mathbb{R}}^{1} jest ciągła;

  3. zbiór {\mathcal{T}}(t) jest domknięty dla każdego t\in[0,T]

  4. \Delta(T)\not=\emptyset

Wówczas istnieje optymalne sterowanie.

Szkic dowodu

[14], str. 89.

\quad

Ogólna idea dowodu istnienia sterowania optymalnego jest następująca: bada się (skomplikowane, nieliniowe) przekształcenie

\mathfrak{C}\,:\quad{{\mathbb{U}}}_{m}\,\to\,{\mathbb{R}}^{1}

i pokazuje następujące fakty

  1. istnieje ciąg \{ u_{j}\} ,,minimalizujący” z odpowiedziami \{ x_{j}(t)\},

  2. pewien podciąg \{ x_{{j_{k}}}\} ciągu \{ x_{j}\} zbiega do pewnej granicy x_{*},

  3. istnieje u_{*}\in{{\mathbb{U}}}_{m}, dla którego x_{*} jest odpowiedzią,

  4. odpowiedź x_{*} spełnia wszystkie określone warunki.

Uwaga 8.1

W ogólnym przypadku nie wiemy czy \{ u_{{j_{k}}}\} zbiega do u_{*}. Dla zagadnień z liniową zależnością od sterowania można pokazać zbieżność \{ u_{{j_{k}}}\} do u_{*}.

Przykład 8.1 ([14], str. 91)

Zagadnienie optymalnego sterowania dla

\dot{x}=(x)^{2}\, u\,,\qquad x_{0}=1\,,

z

\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))=-x({t_{1}})\,.

Cel nie jest ustalony, (zagadnienie swobodnego punktu końcowego), czas dotarcia t_{1}>0 jest ustalony.

Dla każdego \varepsilon\in\,]\, 0,1\,[\, określamy sterowanie

u_{{\varepsilon}}(t)=\left\{\begin{array}[]{ccc}1&\mathrm{dla}&t\in[0,1-\varepsilon]\\
0&\mathrm{dla}&t>1-\varepsilon\,.\end{array}\right.

Wówczas odpowiedź

x_{{\varepsilon}}(t)=\left\{\begin{array}[]{ccc}\,\frac{1}{1-t}&\mathrm{dla}&t\in\,[\, 0,1-\varepsilon\,]\\
\frac{1}{\varepsilon}&\mathrm{dla}&t>1-\varepsilon\,.\end{array}\right.\,.

Jeżeli {t_{1}}>1, to x_{{\varepsilon}}(t_{1})=\frac{1}{\varepsilon}. Zatem

\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))=-\frac{1}{\varepsilon}\,.

Nie ma więc sterowania optymalnego (\varepsilon może być dowolnie małe). To pokazuje, że oszacowanie (8.3) w założeniu 8.1, lub inne gwarantujące jednostajne oszacowanie, jest potrzebne.

Przykład 8.2 ([14], str. 92)

Zagadnienie optymalnego sterowania dla

\dot{x}=u\,,\qquad x_{0}=1\,,

z

\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))=\big(x({t_{1}})-1\big)\mathrm{sign}\, x({t_{1}})\,.

Infimium \mathfrak{g} to -1, ale nie jest nigdy osiągane. Funkcja \mathfrak{g} nie jest ciągła!

Założenie o wypukłości 8.2 można odrzucić dla układu liniowego względem stanu

\dot{x}=A(t)x+b(t,u)\,.
Twierdzenie 8.2

Niech będą spełnione następujące warunki dla T>0:

  1. A(t) i b(t,v) są macierzami n\times n i n\times 1, odpowiednio, dla t\in[0,T], v\in\Omega oraz A, b są ciągłe;

  2. funkcja \mathfrak{g}\,:\;[0,T]\times{\mathbb{R}}^{n}\,\to\,{\mathbb{R}}^{1} jest ciągła;

  3. zbiór {\mathcal{T}}(t) jest domknięty dla każdego t\in[0,T]

  4. \Delta(T)\not=\emptyset

Wówczas istnieje optymalne sterowanie.

Dowód: [14], str. 92.\;\clubsuit

8.2. Zagadnienie Bolzy

Dla zagadnienia Bolzy (B) (lub zagadnienia Lagrange'a (L)) określamy

x^{0}(t)=\int\limits _{{0}}^{t}\mathfrak{f}^{0}\big(s,x(s),u(s)\big)\,\mathrm{d}s\,,

wprowadzamy (n+1)–wymiarowy wektor

\mathbf{x}(t)=\big(x^{0}(t),x^{T}(t)\big)^{T}

oraz

\mathbf{f}(t,\mathbf{x})=\big(\mathfrak{f}^{0},f^{T}\big)^{T}(t,\mathbf{x})\,.

W ten sposób sprowadzamy zagadnienie Bolzy (B) do zagadnienia Mayera (M) dla

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},u)\,, (8.5)

z \mathfrak{C}[u]=x^{0}({t_{1}})+\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}})).

Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia Bolzy wynika z twierdzenia 8.1. Założenie 8.2 jest zastąpione następującym:

Założenie 8.3

Zbiór

\mathbf{f}(t,x,\Omega)=\Bigg\{\bigg(\mathfrak{f}^{0}(t,x,v)\,,\, f^{T}(t,x,v)\bigg)^{T}\;,\quad v\in\Omega\Bigg\} (8.6)

jest zbiorem wypukłym w {\mathbb{R}}^{{n+1}} dla wszystkich 0\leq t\leq T, x\in{\mathbb{R}}^{n}.

Można sformułować twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia Bolzy:

Twierdzenie 8.3 (Istnienie sterowania optymalnego dla zagadnienia Bolzy)

Niech będą spełnione następujące warunki dla T>0:

  1. funkcja f spełnia założenie 8.1;

  2. funkcje \mathfrak{f}^{0}\,:\;[0,T]\times{\mathbb{R}}^{n}\times\Omega\,\to\,{\mathbb{R}}^{1} oraz \mathfrak{g}\,:\;[0,T]\times{\mathbb{R}}^{n}\,\to\,{\mathbb{R}}^{1} są ciągłe;

  3. jest spełniony założenie wypukłości 8.3;

  4. zbiór {\mathcal{T}}(t) jest domknięty dla każdego t\in[0,T]

  5. \Delta(T)\not=\emptyset

Wówczas istnieje optymalne sterowanie.

Dowód twierdzenia 8.3: [14], str. 94; [31], str. 92–95.\;\clubsuit

Założenie 8.3 o wypukłości \mathbf{f}(t,x,\Omega) dotyczy geometrii związku pomiędzy \mathfrak{f}^{0} i f, a nie odnosi się do wypukłości \mathfrak{f}^{0} i f.

Przykład 8.3 ([31], str. 91)
\dot{x}=|u|^{{\frac{1}{2}}}\;,\qquad{\mathfrak{C}}[u]=\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}|u(s)|^{{\frac{1}{2}}}x(s)\,\mathrm{d}\, s\,,
\mathbf{f}(t,x,\Omega)=\Big\{\big(|v|^{{\frac{1}{2}}}x\,,\,|v|^{{\frac{1}{2}}}\big)\;:\quad-1\leq v\leq 1\Big\}

jest wypukły, choć f nie jest funkcją wypukłą.

Przykład 8.4 ([31], str. 91)
\dot{x}=u\,,\qquad{\mathfrak{C}}[u]=\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}\{ u(s)\}^{2}\,\mathrm{d}s\,,
\mathbf{f}(t,x,\Omega)=\Big\{\big(\big(v\big)^{2}\,,\, v\big)\;:\quad-1\leq v\leq 1\Big\}

nie jest wypukły, choć f jest liniowa, a {\mathfrak{f}}^{0} — wypukła.

Założenie 8.1 jest istotne. W poniższym przykładzie nieliniowość względem zmiennej x^{2} powoduje nieistnienie optymalnego sterowania.

Przykład 8.5 ([31], str. 83)

Niech n=2, m=1,

x=\left[\begin{array}[]{c}x^{1}\\
x^{2}\end{array}\right]\,,\quad\dot{x}^{1}=1\,,\quad\dot{x}^{2}=\big(x^{2}+1\big)^{2}u\,,\quad x_{0}=\left[\begin{array}[]{c}-2\\
\par
\end{array}\right]
\mathfrak{C}[u]=\int\limits _{0}^{{t_{1}}}\mathfrak{f}^{0}(t,x,u)\,\mathrm{d}\, t
\mathfrak{f}^{0}(t,x,u)=\left\{\begin{array}[]{cc}\; 1&\qquad\mathrm{gdy}\; x^{2}<0\\
{\frac{1}{\big(x^{2}+1\big)^{2}}}&\qquad\mathrm{gdy}\; x^{2}\geq 0\end{array}\right.

Cel jest ustalony \mathcal{T}(t)\equiv\{ 0\}.

Mamy x^{1}(t)=t-2, zatem musi być t_{1}=2. Dla u\equiv+1 mamy x^{1}(t)=t-2, x^{2}(t)={\frac{t}{1-t}}, 0\leq t<1, więc nie jest to odpowiedź pomyślna. Dla \alpha\in\,]\, 0,1\,[\, określmy

u_{{\alpha}}(t)=\left\{\begin{array}[]{cc}\;\alpha&\qquad{\rm dla}\; 0\leq t\leq 1\\
-\alpha&\qquad{\rm dla}\; 1<t\leq 2\end{array}\right.

Odpowiedzią (pomyślną) jest

x^{1}_{{\alpha}}(t)=t-2\,,\quad x^{2}_{{\alpha}}(t)=\left\{\begin{array}[]{cc}\;{\frac{\alpha\, t}{1-\alpha\, t}}&\qquad{\rm dla}\; 0\leq t\leq 1\\
{\frac{\alpha\,(2-t)}{1-(2-t)\alpha}}&\qquad{\rm dla}\; 1\leq t\leq 2\end{array}\right.

Rzeczywiście: na 0\leq t\leq 1:

\frac{{\rm d}\, x^{2}}{\big(1+x^{2}\big)^{2}}=\alpha\,{\rm d}\, t\qquad\Rightarrow\qquad\Big[-\big(1+x^{2}\big)^{{-1}}\Big]_{{-2}}^{{x^{2}}}=\alpha\, t
\quad\Rightarrow\qquad-\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1-2}=\alpha\, t\qquad\Rightarrow\qquad x^{2}=\frac{\alpha\, t}{1-\alpha\, t}

Na 1<t\leq 2: warunek początkowy dla t=1 ma postać x^{2}=\frac{\alpha}{1-\alpha}

\Big[-\big(1+x^{2}\big)^{{-1}}\Big]_{{\frac{\alpha}{1-\alpha}}}^{{x^{2}}}=-\alpha\, t+\alpha\qquad\Rightarrow
-\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+\frac{\alpha}{1-\alpha}}=-\alpha\,(t-1)\qquad\Rightarrow\qquad-\frac{1}{1+x^{2}}=2\alpha-1-\alpha t
\Rightarrow\qquad x^{2}=\frac{-\alpha\,(t-2)}{1+\alpha\,(t-2)}
\mathfrak{C}[u_{{\alpha}}]=\int\limits _{0}^{{t_{1}}}\frac{1}{\big(1+x^{2}\big)^{2}}\,\mathrm{d}t=\int\limits _{0}^{1}\frac{1}{\Big(1+\frac{\alpha\, t}{1-\alpha\, t}\Big)^{2}}\,\mathrm{d}t+\int\limits _{1}^{2}\frac{1}{\Big(1+\frac{\alpha\,(2-t)}{1-\alpha\,(2-t)}\Big)^{2}}\,\mathrm{d}t=
=\;\int\limits _{0}^{1}\big(\alpha t\big)^{2}\,\mathrm{d}t+\int\limits _{1}^{2}\Big(1-(2-t)\alpha\Big)^{2}=\frac{\big(\alpha\big)^{2}}{3}+\int\limits _{1}^{2}\Big((1-2\alpha)+\alpha t\Big)^{2}\,\mathrm{d}t=
=\;\frac{8\,\big(\alpha\big)^{2}}{3}+\big(1-2\alpha\big)^{2}+3(1-2\alpha)\alpha\,.

Gdy \alpha\uparrow 1 funkcja x^{2}_{{\alpha}}(t) zbiega do pewnej funkcji osobliwej w t=1.

Ponadto \mathfrak{C}[u_{{\alpha}}]\to\frac{2}{3} gdy \alpha\uparrow 1. Zatem optymalne sterowanie u_{*} powinno spełniać warunek

\mathfrak{C}[u_{*}]\leq\frac{2}{3}\,.

Pokażemy, że każde pomyślne sterowanie daje koszt \;>\frac{2}{3}\,.

Dla pomyślnego sterowania mamy x^{2}(0)=x^{2}(2)=0 oraz bezpośrednio z równania, dla -1\leq u(t)\leq 1 otrzymujemy

-\big(x^{2}(t)+1\big)^{2}\leq\dot{x}^{2}(t)\leq\big(x^{2}(t)+1\big)^{2}\,.

Stąd, z nierówności po prawej stronie (całkując od 0 do t<1),

-\frac{1}{x^{2}(t)+1}+1\leq t\,,\qquad{\mathrm{czyli}}\qquad\frac{1}{x^{2}(t)+1}\geq 1-t\,,

dla 0\leq t<1\,.

Z nierówności po lewej stronie (całkując od t\geq 1 do 2),

-2+t\leq-1+\frac{1}{x^{2}+1}\,,\qquad{\rm czyli}\quad t-1\leq\frac{1}{x^{2}+1}\,,

dla 1\leq t\leq 2\,.

Ale pomyślna odpowiedź musi być ograniczona (jako funkcja ciągła na zbiorze zwartym), więc pierwsza nierówność jest ostra. Zatem

\mathfrak{C}[u]>\int\limits _{0}^{1}(1-t)^{2}\,{\rm d}t+\int\limits _{1}^{2}(t-1)^{2}\,{\rm d}t=\frac{2}{3}\,.

Wniosek: nie istnieje optymalne sterowanie!

Następujący przykład pokazuje, ze nawet dla ograniczonych odpowiedzi, zależność od sterowania u może powodować nieistnienie optymalnego sterowania. Potrzebne jest więc dodatkowe założenie, n.p. o wypukłości 8.3.

Przykład 8.6 ([31], str. 85)

Niech n=3, m=1,

x=\left[\begin{array}[]{c}x^{1}\\
x^{2}\\
x^{3}\end{array}\right]\,,\qquad{\dot{x}}=\left[\begin{array}[]{c}\sin(2\,\pi\, u)\\
\cos(2\,\pi\, u)\\
-1\end{array}\right]\,,\qquad x_{0}=\left[\begin{array}[]{c}0\\
0\\
1\end{array}\right]\,.
\mathfrak{C}[u]=\int\limits _{0}^{{t_{1}}}\Big(\big(x^{1}(t)\big)^{2}+\big(x^{2}(t)\big)^{2}\big)\,\mathrm{d}t\,.

Cel jest ustalony \mathcal{T}(t)\equiv 0.

Mamy x^{3}(t)=1-t, zatem musi być t_{1}=1

Każda odpowiedź spełnia |\dot{x}|\leq c, a zatem |x(t)|\leq|x_{0}|+ct\leq c+1 dla 0\leq t\leq 1.

Skonstruujemy ciąg sterowań \{ u_{j}\} _{{j\in{\mathbb{N}}}}, t.ż. \mathfrak{C}[u_{j}]\to 0 dla j\to\infty.

Ponieważ zawsze \mathfrak{C}[u]\geq 0, każde sterowanie optymalne u_{*} musiałoby spełniać \mathfrak{C}[u_{*}]=0

To prowadzi do sprzeczności, gdyż wtedy

x^{1}_{*}(t)=x^{2}_{*}(t)=0\,,\qquad{\rm p.w.}\,,

a zatem \dot{x}^{1}_{*}(t)=\dot{x}^{2}_{*}(t)=0, co jest niemożliwe, gdyż

\dot{x}^{1}_{*}(t)=\sin(2\,\pi\, u_{*}(t))\,,\qquad\dot{x}^{2}_{*}(t)=\cos(2\,\pi\, u_{*}(t))\,.

W.w. ciąg sterowań ma postać u_{j}(t)=jt-[jt], j=1,2,\ldots.

Wówczas

\sin\Big(2\,\pi\, u_{j}(t)\Big)=\sin(2\,\pi\, jt)\,,\qquad\cos\Big(2\,\pi\, u_{j}(t)\Big)=\cos(2\,\pi\, jt)\,.

Odpowiedź ma postać

x^{1}_{j}(t)=\frac{1-\cos\big(2\,\pi\, jt\big)}{2\,\pi\, j}\,,\quad x^{2}_{j}(t)=\frac{\sin\big(2\,\pi\, jt\big)}{2\,\pi\, j}\,,\quad x^{3}_{j}(t)=1-t\,.

Mamy więc

\mathfrak{C}[u_{j}]=\int\limits _{0}^{1}{\frac{2\,\big(1-\cos(2\,\pi\, jt)\big)\,\mathrm{d}\, t}{(2\,\pi\, j)^{2}}}=\frac{1}{2\,\pi^{2}\, j^{2}}\,,

czyli rzeczywiście \mathfrak{C}[u_{j}]\to 0 dla j\to\infty.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.