Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 1. Układy dynamiczne- definicje i przykłady – MIM UW

Zagadnienia

1. Układy dynamiczne- definicje i przykłady

1.1. Co to jest układ dynamiczny

  • Układ dynamiczny (topologiczny)

    X -przestrzeń topologiczna (najczęściej- metryczna), \phi:X\to X- przekształcenie ciągłe.

  • Układ dynamiczny (metryczny)

    (X,\mathcal{M},\mu)- przestrzeń z miarą probabilistyczną.

    \phi:X\to X przekształcenie mierzalne zachowujące miarę \mu.

    Tu definicja:

    Definicja 1.1

    (X,\mathcal{M},\mu) przestrzeń z miarą. Mówimy że przekształcenie \phi:X\to X jest mierzalne jeśli dla każdego A\in\mathcal{M} przeciwobraz \phi^{{-1}}(A) również należy do \sigma- ciała \mathcal{M}.

    Definicja 1.2

    Przekształcenie mierzalne \phi:X\to X zachowuje miarę \mu jeśli dla każdego A\in\mathcal{M} \mu(\phi^{{-1}}(A))=\mu(A).

  • Układ dynamiczny (gładki), z czasem dyskretnym

    M- gładka rozmaitość, f:M\to M dyfeomorfizm (lub endomorfizm) klasy C^{1}

  • Układ dynamiczny (gładki) z czasem ciąglym

    M- gładka rozmaitość (na ogół zakłada się też zwartość), X- pole wektorowe na M, klasy C^{1}, \phi _{t}- potok pola wektorowego X. Jest to rodzina dyfeomorfizmów, tzn \varphi^{{t+s}}=\varphi^{t}\circ\varphi^{s}

    \frac{d}{dt}\phi^{t}(x)_{{|t=t_{0}}}=X(\phi^{{t_{0}}}(x))

    Jeśli rozmaitość jest zwarta to z twierdzenia o przedłużaniu trajektorii wynika że potok pola wektorowego X jest określony dla wszystkich t\in\mathbb{R}. Rodzina przekształceń \phi^{t} jest więc jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów M.

Definicja 1.3

Niech T będzie układem dynamicznym z czasem dyskretnym. Trajektorią punktu x nazywamy ciąg nieskończony x,Tx,\dots T^{n}x,\dots.

1.2. Najprostsze przykłady

Przykład 1.1 (Obrót na okręgu)

Niech \mathbb{S}^{1}=\{ z:|z|=1\}; określamy przekształacenie

T\alpha(z)=e^{{2\pi i\alpha}}z

To przekształcenie zachowuje oczywiście miarę Lebesgue'a na okręgu. Zauważmy że jeśli \alpha jest wymierne- każda trajektoria jest okresowa, a gdy \alpha jest niewymierne- każda trajektoria jest gęsta (dlaczego?).

Przykład 1.2 (Przesunięcie na torusie)

Torus możemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową \mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}; gdzie relacja utożsamienia jest następująca:

(x_{1},y_{1})\approx(x_{2},y_{2})\iff(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\in\mathbb{Z}^{2}

Zatem - torus można też utożsamiać z produktem dwóch okręgów \mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}. Na płaszczyźnie rozważamy przekształcenie (x,y)\mapsto(x+a,y+b). Wyznacza ono przekształcenie torusa

\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}\ni(z_{1},z_{2})\mapsto w_{1}z_{1},w_{2}z_{2}

gdzie w_{1}=e^{{2\pi ia}},w_{2}=e^{{2\pi ib}}.

Zauważmy że jeśli w_{1},w_{2} są pierwiastkami z jedynki (rówmoważnie- jeśli a,b są wymierne) to każda trajektoria jest okresowa.

Załóżmy że a,b są niezależne nad pierścieniem \mathbb{Z}, to znaczy na+mb\in\mathbb{Z} ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych: n=m=0. Poniżej sprawdzimy że wtedy każda trajektoria jest gęsta w \mathbb{T}^{2}.

Natomiast jeśli a,b są zależne nad \mathbb{Z}, ale przynajmniej jedna z tych liczb jest niewymierna, to mamy jeszcze inna sytuację (niewidoczną w przypadku jednowymiarowym): niech, np a\notin Q,b=0. Wówczas torus jest sumą niezmienniczych okręgów; każda trajektoria jest gęsta na ”swoim” okręgu, ale żadna trajektoria nie jest gęsta na torusie.

W następnym rozdziale zbadamy ogólną sytuację przesunięcia na n-wymiarowym torusie. Wprowadzimy tez ważne w Układach Dynamicznych pojęcie topologicznej tranzytywności.

Przykład 1.3 (Układ z ciągłym czasem na torusie)

Określamy jednoparametrową grupę przekształceń torusa:

\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}\ni(z_{1},z_{2})\mapsto(e^{{2\pi i\alpha t}}z_{1},e^{{2\pi i\beta t}}z_{2})

Te przekształcenia w \mathbb{R}^{2} przed utożsamieniem, mają postać

(x,y)\mapsto x+\alpha t,y+\beta t.

Jest to więc potok pola wektorowego (równania różniczkowego) na płaszczyźnie:

\dot{x}=a,\dot{y}=b
Przykład 1.4 (Układ z ciągłym czasem na płaszczyźnie)
\dot{x}=-y+\mu x(1-x^{2}-y^{2})
\dot{y}=x+\mu y(1-x^{2}-y^{2})

Ten układ we współrzędnych biegunowych ma postać

\dot{\theta}=1
\dot{2}=\mu r(1-r^{2})

Zatem - dla każdego punktu (x,y), poza stacjonarnym punktem (0,0), zbiór punktów granicznych trajektorii jest okręgiem |z|=1, ten okrąg jest trajektorią zamkniętą.

Przykład 1.5 (Układ z ciągłym czasem na płaszczyźnie)
\dot{x}=y
\dot{y}=x-x^{3}-\mu y(2y^{2}-2x^{2}+x^{4})

Jest to zaburzenie układu

\dot{x}=y
\dot{y}=x-x^{3}

Łatwo sprawdzić że dla tego drugiego układu funkcja H(x,y)=2y^{2}-2x^{2}+x^{4} jest całką pierwszą. Zatem - trajektorie są zawarte w poziomicach funkcji H.

Ćwiczenie 1.1

Naszkicować poziomice H. Następnie, badając znak pochodnej \frac{d}{dt}H(x(t),y(t)) dla wyjściowego układu, naszkicować jego trajektorie. Zbadać punkty skupienia trajektorii.

1.3. Topologiczna tranzytywność: przykład- przesunięcie na torusie

Definicja 1.4

Niech X będzie przestrzenią metryczną zwartą, T:X\to X- przekształceniem ciągłym. Mówimy że T jest topologicznie tranzytywne jeśli dla dowolnych otwartych podzbiorów U,V\in X istnieje n\in\mathbb{N} takie że

T^{n}(U)\cap V\neq\emptyset (1.1)

Wykażemy

Stwierdzenie 1.1

Niech X będzie metryczną przestrzenią zwartą i ośrodkową. Niech T:X\to X będzie przekształceniem ciągłym. Wówczas T jest topologicznie tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje x\in X takie że trajektoria x jest gęsta w X.

Jeśli istnieje gęsta trajektoria to istnieją k,l>k takie że T^{k}(x)\in U, T^{l}(x)\in V. Zatem T^{{(l-k)}}(U)\cap V\neq\emptyset. Aby dowieść drugą implikację, ustalmy przeliczalną bazę topologii U_{n}. Ustalamy jeden zbiór z tej rodziny U_{{n_{0}}}. Rozpatrzmy teraz zbiór D_{{n_{0}}} złożony z punktów, których trajektorie omijają U_{{n_{0}}}:

D_{{n_{0}}}=\{ x\in X:\forall n\ge 0~~~T^{n}x\notin U_{{n_{0}}}\}.

Ten zbiór jest domknięty i brzegowy (ta druga własność wynika stąd że założyliśmy (1.1)). Z Twierdzenia Baire'a (zauważmy że przestrzeń X jest zupełna) wynika że zbiór

D=\bigcup _{n}D_{n}

jest brzegowy, i -w szczególności- niepusty. Każdy punkt x\in X\setminus D ma gęstą trajektorię.

Zbadamy teraz topologiczną tranzytywność przesunięć na n-wymiarowych torusach. Oczywiście, przesunięcie na \mathbb{T}^{n}=\mathbb{S}^{1}\times\dots\times\mathbb{S}^{1} jest dane wzorem

T(z_{1},z_{2}\dots z_{n})=(\exp(2\pi ia_{1})z_{1},\exp(2\pi ia_{2})z_{2}\dots\exp(2\pi ia_{n})z_{n}). (1.2)

Mamy

Stwierdzenie 1.2

Niech T będzie przesunięciem na torusie T^{n}. Wówczas T jest topologicznie tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy a_{1},a_{2},\dots a_{n} są niezależne nad \mathbb{Z}, tj. jeśli dla pewnych k_{1},k_{2}\dots k_{n}\in\mathbb{Z}

k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\dots k_{n}a_{n}\in\mathbb{Z}

to k_{1}=k_{2}=\dots=0.

Załóżmy że współrzedne przesunięcia (a_{1},\dots a_{n} są zależne; k_{1}a_{1}+\dots+k_{n}a_{n}\in\mathbb{Z}. Rozważmy funkcję

\phi(z_{1},\dots z_{n})=z_{1}^{{k_{1}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}}.

Wówczas \phi\circ T=\phi (mówimy że funkcja \phi jest T- niezmiennicza). Rozważmy \psi={\rm re}\phi; ta funkcja też jest t- niezmiennicza. Widzimy że dla pewnego t\in\mathbb{R} zbiory U_{t}=\{ x:\psi(x)<t\} i V_{t}=\{ x:\psi(x)>t\} są niepuste. Ponadto, są one otwarte i T-niezmiennicze: T(U_{t})=U_{t}, T(V_{t})=V_{t}. Przeczy to tranzytywności.

Załóżmy teraz że T nie jest tranzytywne, czyli dla pewnych otwartych U,V i dla wszystkich naturalnych n T^{n}(U)\cap V=\emptyset. Biorąc \tilde{U}=\bigcup _{{n=-\infty}}^{\infty}T^{n}(U) i \tilde{V}=\bigcup _{{n=-\infty}}^{\infty}T^{n}(V) widzimy że są to dwa otwarte, rozłączne, T- niezmiennicze podzbiory.

Rozważmy funkcję g=1_{{\tilde{U}}}- czyli funkcję charakterystyczną \tilde{U}

Chcemy użyć rozwinięcia Fouriera tej funkcji, dokładniej- mamy

Stwierdzenie 1.3

W przestrzeni L^{2}(T^{n}) mamy ortonormalną bazę daną przez funkcje postaci

z_{1}^{{k_{1}}}z_{2}^{{k_{2}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}},

(k_{1},k_{2}\dots k_{n})\in\mathbb{Z}^{n}.

Korzystając z tego stwierdzenia, możemy napisać

g=\sum _{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}z_{1}^{{k_{1}}}z_{2}^{{k_{2}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}}

i rozkład ten jest jednoznaczny.

Wówczas

g\circ T=\sum _{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}z_{1}^{{k_{1}}}z_{2}^{{k_{2}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}}\exp(2\pi ik_{1}a_{1})\exp(2\pi ik_{2}a_{2})\dots\exp(2\pi ik_{n}a_{n})

Z jednoznaczności rozwinięcia Fouriera wynika więc że

b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}=b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}\cdot\exp(2\pi ia_{1})\exp(2\pi ia_{2})\dots\exp(2\pi ia_{n})

Ponieważ funkcja g nie jest stała, jej rozwinięcie ma więcej niż jeden składnik. Wynika stąd że dla pewnych k_{1},\dots k_{n} (nie wszystkich równych zero) mamy

k_{1}a_{1}+\dots k_{n}a_{n}\in\mathbb{Z}.

Zauważmy jeszcze

Uwaga 1.1

Dla przesunęcia na torusie mamy równowżność: pewna trajektoria jest gęsta jest równoważne temu że każda trajektoria jest gęsta. Wynika to stąd że trajektorie dwóch różnych punktów różnią sie o przesunięcie (mnożenie przez element grupy \mathbb{T}^{n})

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.