Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 10. Jak szukać miar niezmienniczych – MIM UW

Zagadnienia

10. Jak szukać miar niezmienniczych

10.1. Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa

Rozważmy przekształcenie mierzalne względem \sigma- ciała \mathcal{F}, T:X\to X. Czy X ma jakąś miarę niezmienniczą określoną na \mathcal{F}? Otóż- nie musi tak być. Rozważmy

Przykład 10.1

Rozważmy przekształcenie T:[0,1]\to[0,1] określone wzorem T(x)={1\over 2}x dla x\neq 0, T(0)=1. Wówczas T jest oczywiście mierzalne względem \sigma-ciała zbiorów borelowskich na [0,1], ale nie istnieje borelowska miara niezmiennicza dla T. Istotnie, ponieważ (0,1]=T^{{-1}}(0,{1\over 2}]=T^{{-2}}(0,{1\over 4}]=\dots T^{{-n}}(0,{1\over{2^{n}}}], mamy \mu((0,1])=\mu((0,{1\over 2}], czyli \mu(({1\over 2},1]=0 i, podobnie, sprawdzamy że \mu({1\over 2^{{k}}},{1\over 2^{{k-1}}}]=0. Zatem jedyna miara niezmiennicza musiałaby być skupiona w punkcie 0, ale, ponieważ T(0)\neq 0, ta miara też nie jest niezmiennicza

Widzimy, że powyższy przykład jest nieco sztuczny; ciągłe przekształcenie zostało zmodyfikowane w punkcie stałym i w ten sposób wyrugowaliśmy jedyną miarę niezmienniczą dla wyjściowego, ciągłego przekształcenia domkniętego odcinka [0,1].

Istotnie mamy następujące

Twierdzenie 10.1 (Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa)

Jeśli X jest przestrzenią metryczną zwartą, T:X\to X przekształceniem ciągłym, to istnieje przynajmniej jedna borelowska miara niezmiennicza dla T.

Uwaga 10.1

Zauważmy że to twierdzenie jest nietrywialne, o ile T nie ma żadnej orbity okresowej. Jeśli bowiem x,Tx,...T^{n}x=x jest orbitą okresową, to miara

\mu _{x}={1\over n}\left(\delta _{x}+\delta _{{Tx}}+\dots+\delta _{{T^{{n-1}}(x)}}\right)

jest niezmienniczą miarą borelowską.

Zanim przystąpimy do dowodu Twierdzenia, zapiszemy warunek na niezmienniczość miary w innej, równoważnej formie: Przypomnijmy, że niezmienniczość miary oznacza że \mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A) dla każdego mierzalnego zbioru A. Z przekształceniem ciągłym T:X\to X możemy związać ciągłe przekształcenie T_{*}:C(X)\to C(X) dane wzprem

T_{*}(\phi)(f)=\phi(f\circ T)
Stwierdzenie 10.1

Jeśli X jest przestrzenią metryczną zwartą, T:X\to X przekształceniem ciągłym to borelowska miara regularna jest niezmiennicza dla T wtedy i tylko wtedy gdy T_{*}\mu=\mu.

Założmy że T_{*}\mu=\mu. Mamy pokazać że dla każdego borelowskiego zbioru A mamy \mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A). Z regularności miary wynika że dla każdego dodatniego \varepsilon istnieją zbiory E\supset A\supset F (E- otwarty, F- domknięty) takie że \mu(E)<\mu(A)-\varepsilon<\mu(A)+\varepsilon<\mu(F) oraz \mu(T^{{-1}}E)<\mu(T^{{-1}}A)-\varepsilon<\mu(T^{{-1}}A)+\varepsilon<\mu(T^{{-1}}F) Istnieje funkcja ciągła f:X\to\mathbb{R} taka że f_{{|F}}=1, f_{{|X\setminus E}}=0, 0\le f\le 1. Mamy zatem

|\mu(f)-\mu(A)|<2\varepsilon

,

|\mu(f\circ T)-\mu(T^{{-1}}A)|<2\varepsilon

Stąd (skoro \mu(f\circ T)=\mu(f))

|\mu(T^{{-1}}(A)-\mu(A)|<4\varepsilon

Wobec dowolności \varepsilon, \mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A). Odwrotnie, jeśli dla każdego A borelowskiego \mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A), to możemy napisać dla funkcji ciągłej f\ge 0, (ale także dla dowolnej borelowskiej,f\ge 0

\int fd\mu=\int _{{[0,\infty)}}\mu(\{ x\in X:f(x)>t\})d{\rm leb}

Z tego zapisu widać od razu że \int f\circ T=\int f. Ponieważ dowolną funkcję ciągłą f możemy teraz zapisać jako różnicę dwóch funkcji ciągłych nieujemnych f=f_{+}-f_{-}, dowód jest zakończony.

Dowód Twierdzenia Kryłowa- Bogoliubowa

Przypomnijmy że każda borelowska regularna miara na X jest ciągłym funkcjonałem liniowym działającym na przestrzeni funkcji ciągłych C(X) i, odwrotnie, każdy nieujemny (tj przyjmujący nieujemne wartości na funkcjach nieujemnych) funkcjonał ciągły na C(X) jest dany przez pewną miarę borelowską regularną. (Ta odpowiedniość jest dana przez formułę: uscislic

\mu(f)=\int _{X}fd\mu

W przestrzeni miar probabilistycznych rozpatrujemy słabą{}^{*} topologię (to znaczy topologię pochodzącą z utożsamienia miar z funkcjonałami liniowymi na C(X), czyli elementami \left(C(X)\right)^{*}. Zastosujemy znane twierdzenie Banacha- Alaoglu, mówiące że kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Banacha jest zwarta w słabej-^{*} topologii.

Uwaga 10.2

Słaba {}^{*} topologia w przestrzeni miar unormowanych jest metryzowalna uzupelnic

Wyberzmy dowolny punkt x\in X i rozpatrzmy ciąg miar

\mu _{n}={1\over n}\left(\delta _{x}+\delta _{{Tx}}+\dots\delta{T^{{n-1}}(x)}\right)

wybierzmy podciąg słabo zbieżny:

\mu _{{n_{k}}}={1\over{n_{k}}}\left(\delta _{x}+\delta _{{Tx}}+\dots\delta{T^{{n_{k}-1}}}(x)\right)\to\mu _{0} (10.1)

Miara \mu _{0} jest wówczas szukaną miarą niezmienniczą.

Istotnie, sprawdzimy że T_{*}\mu=\mu. Mamy

T_{*}\mu _{{n_{k}}}={1\over{n_{k}}}\left(\delta _{{Tx}}+\delta _{{T^{2}x}}+\dots\delta{T^{{n_{k}}}}(x)\right)=\mu _{{n_{k}}}+{1\over{n_{k}}}\left(\delta{T^{{n_{k}}}}(x)-\delta _{x}\right) (10.2)

Pozostaje jeszcze zauważyć że T_{*}\mu _{{n_{k}}}\to t_{*}\mu _{0} ,zaś {1\over{n_{k}}}\left(\delta{T^{{n_{k}}}}(x)-\delta _{x}\right)\to 0.

Przykład 10.2

Obrót o kąt niewymierny (dokładniej: niewspółmierny z \pi ) na okręgu ma tylko jedną miarę niezmienniczą (jest nią oczywiście miara Lebesgue'a) - por. Stwierdzenie 2.1. Przekształcenia które mają tylko jedną miarę niezmienniczą nazywa się ścisle ergodycznymi.

Ćwiczenie 10.1

uogólnienie na przesunięcia na torusach

Ćwiczenie 10.2 (Inna konstrukcja półsprzężenia homeomorfizmu okręgu z obrotem)

Niech f będzie zachowującym orientację homeomorfizmem okręgu, o niewymiernej liczbie obrotu. Niech \mu będzie borelowską miarą niezmienniczą. Wykazać że miara \mu jest bezatomowa. Ustalmy x_{0}\in\mathbb{S}^{1} i oznaczmy przez [x_{0},x] dodatnio zorientowany łuk między punktami x_{0},x\in\mathbb{S}^{1}. Określamy przekształcenie h:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} wzorem

h(x)=\exp(2\pi i\mu([x_{0},x])).

Niech \beta=\mu([x_{0},f(x_{0})]). Wykazać że wówczas h jest ”pólsprzężeniem f z obrotem T_{\beta} o kąt 2\pi\beta, tj.

h\circ f=T_{\beta}\circ h.

Jaki jest związek \beta z liczbą obrotu dla f?

10.2. O sposobach szukania miar niezmienniczych w klasie miary Lebesgue'a. Operator Perrona-Frobeniusa

Jeśli rozważane przez nas przekszgtałcenie jest określone na podzbiorze \mathbb{R}^{n} o dodatniej mierze Lebesgue'a, lub na rozmaitości gładkiej, to naturalne jest pytanie o zachowanie trajektorii punktów typowych w sensie miary Lebesgue'a. Twierdzenie ergodyczne daje taką odpowiedź, pod warunkiem że istnieje miara niezmiennicza (najlepiej: ergodyczna) bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a.

Przykład 10.3

Rozważmy kawałkami afiniczne przekształcenie odcinka T:[0,1]\to[0,1]. Mamy: 0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots<a_{n}=1. Każdy z odcinkow [a_{i},a_{{i+1}}0 jest przekształcany afinicznie na cały odcinek [0,1).

Dla tego przekształcenia miara Lebesgue'a jest niezmiennicza (dlaczego?)

Jeśli teraz rozważymy podobne przekształcenie - ale dopuścimy żeby T przekształcalo ścisle monotonicznie i gładko każdy z odcinków naszego podziału na cały odcinek [0,1) ale niekoniecznie afinicznie - to miara Lebesgue'a (na ogól) nie jest już niezmiennicza. NA tym prostym przykładzie omówimy technikę, która pozwala (również w znacznie ogólniejszych sytuacjach) rozstrzygać o istnieniu miary niezmienniczej w klasie miary Lebesgue'a i o jej własnościach. Wykres przekształcenia T jest przedstawiony na rysunku  10.1.

Wykres przekształcenia $T$
Rys. 10.1. Wykres przekształcenia T.
Twierdzenie 10.2

Niech a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\dots<a_{k}=1. Oznaczmy I_{=}[a_{{i-1}},a_{i}) (zatem [0,1)=\bigcup _{{i=1}}^{{k}}I_{i}).

Rozpatrujemy przekształcenie T:[0,1)\to[0,1) o następujących własnościach:

  1. (1) T jesli klasy C_{2} na każdym odcinku I_{i} i przekształca ścisle monotonicznie odcinek I_{i} na [0,1).

  2. (2) |T^{{\prime}}|_{{|I_{i}}}>\alpha>1

  3. (3) T rozszerza się do przekształcenia klasy C^{2} na trochę większy odcinek (zatem druga pochodna |T^{{\prime\prime}}| jest ograniczona na I_{i})

Wówczas istnieje miara niezmiennicza bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a. Ponadto, gęstość g tej miary względem miary Lebesgue'a jest ograniczona z gory i z dołu: istnieją stałe c,C takie że

0<c<g(x)<C

Będziemy postępować według dowodu twierdzenia Kryłowa- Bogoliobowa, biorąc za punkt startowy- miarę Lebesgue'a na odcinku [0,1). Oznaczmy ją przez \nu. Rozpatrujemy ciąg miar \nu _{n}=T^{n}_{*}\nu. Następnie rozpatrzymy (tak jak w dowodzie tw Kryłowa- Bogoliubowa) średnie miar \nu _{n}

\mu _{n}=\frac{1}{n}\left(\nu _{0}+\nu _{1}+\dots+\nu _{n}\right)

Nie jest trudno zauważyć że każda z tych miar jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a. Ale oczywiście nie wynika stąd że słaba granica podciągu jest też absolutnie ciągła. Dlatego udowodnimy trzy pomocnicze stwierdzenia. Najpierw wprowadzimy oznaczenie

{\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}}=I_{{i_{1}}}\cap T^{{-1}}(I_{{i_{2}}})\cap\dots\cap T^{{-n}}(I_{{i_{n}}})

Zauważmy że odcinek [0,1) jest podzielony na rozłaczne {\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}} i że każdy odcinek {\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}} jest przekształcany przez iterację T^{n} ściśle monotonicznie na [0,1).

Stwierdzenie 10.2

Miara \nu _{n} jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a z gęstością

g_{n}(x)=\sum _{{y\in T^{{-1}}(x)}}\frac{1}{|(T^{n})^{{\prime}}|(y)|} (10.3)

Funkcja g_{n} jest klasy C^{1}

Wzór na gęstość obrazu miary Lebesgue'a przy przekstałceniu T wynika bezpośrednio z wzoru na całkowanie przez podstawienie. Zostawiamy jako ćwiczenie.

Stwierdzenie 10.3

Ciąg funkcji g_{n}(x) jest wspólnie ograniczony z góry i z dołu: istnieją stałe c,C takie że

0<c<g_{n}(x)<C

Weźmy dwa punkty x,z\in[0,1]. Wówczas każdy z tych punktów na k^{n} przeciwobrazów przy T^{n}; każdy w innym odcinku {\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}}. Możemy je więc w naturalny sposób polączyc w pary. Zatem dwa przeciwobrazy y\in t^{{-n}}(x),w\in T^{{-n}}(z) są w parze jeśli dla każdego 0\le j<n punkty T^{j}(x) i T^{j}(w) należą do tego samego przedziału monotoniczności T. POnieważ na każdym takim przedziale T"" jest ograniczona, T^{{\prime}}>1, więc funkcjia \log|T^{{\prime}}| spełnia warunek Lipschitza. Oznaczmy przez L wspólną stałą Lipschitza (dla wszystkich przedziałów). Możemy teraz porównać |(T^{n})^{{\prime}}(y)| i (T^{n})^{{\prime}}(w)|: Mamy

\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\left|\log\left|\frac{(T^{n})^{{\prime}}(y)}{(T^{n})^{{\prime}}(w)}\right|\right|=\left|\log|(T^{n})^{{\prime}}(y)|-\log|(T^{n})^{{\prime}}(w)|\right|\\
\displaystyle&\displaystyle=|\sum _{{i=0}}^{{n-1}}\log|T^{{\prime}}(T^{i}(y))|-\sum _{{i=0}}^{{n-1}}\log|T^{{\prime}}(T^{i}(w))||\\
\displaystyle&\displaystyle\le\sum _{{i=0}}^{{n-1}}|\log|T^{{\prime}}(T^{i}(y)|-\log|T^{{\prime}}(T^{i}(w)||\\
\displaystyle&\displaystyle\le L\sum _{{i=0}}^{{n-1}}|T^{i}(y)-T^{i}(w)|\end{aligned} (10.4)

Ponieważ przekształcenie T jest kawałkami rozszerzające (|T^{{\prime}}|>\alpha>1) , więc |T^{i}(x)-T^{i}(w)|<\alpha^{{n-i}}. Ostatnie wyrażenie można więc oszacować z góry przez uniwersalną stałą, niezależną od n (sumę odpowiedniego szeregu geometrycznego). Stąd wynika że

C^{{-1}}<\left|\frac{(T^{n})^{{\prime}}(y)}{(T^{n})^{{\prime}}(z)}\right|<C

dla pewniej stałej C. Z wzoru (10.3) natychmiast wynika teraz że

\frac{g_{n}(x)}{g_{n}(z)}<C

Ponieważ g_{n} jest gęstością miary T^{n}_{*}({\rm Leb}), więc \int g_{n}=1. Istnieje zatem punkt y taki że g_{n}(z)\le 1. Stąd zaś wynika że dla każdego x mamy g_{n}(x)<C. Z tego samego powodu: g_{n}(x)>\frac{1}{C} dla każdego x.

Ostatnie stwierdzenie jest ogólne; nie dotyczy tylko tej konkretnej sytuacji:

Stwierdzenie 10.4

Jeśli ciąg miar probabilistycznych \mu _{n} na prostej jest słabo-{}^{*} zbieżny do miary \mu i gęstości miar \mu _{n} są wspólnie ograniczone z gory i z dołu przez stałe dodatnie c,C, to miara graniczna \mu też jest bezwzględnie ciągła i gęstość jest ograniczona przez te same stałe (prawie wszędzie).

Skorzystamy z równoważnej charakteryzacji słabej zbieżności miar (rozkładów) na prostej: ciąg miar jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy ciąg dystrybuant jest zbieżny punktowo, w każdym punkcie ciągłości dystrybuanty miary granicznej. Zatem- jesli \mu _{n}\to\mu i rozpatrzymy odcinek J=[a,b]) taki że \mu(\partial J)=0 (czyli \mu nie ma atomów w końcach przedziału) to

\mu(J)=\lim\mu _{n}(J)=\lim\int _{J}g_{n}\le C|J|

Zatem- dla każdego odcinka J którego końce nie są atomami miary \mu

\mu(J)\le C|J|. (10.5)

Atomów jest tylko przeliczalnie wiele, więc każdy odcinek J można przybliżyć z góry odcinkami o końcach nie będących atomami. Łatwo stąd widać że nierówność (10.5) zachodzi dla wszystkich przedziałów J\subset[0,1]. Ponieważ dla każdego zbioru borelowskiego w [0,1] można znaleźć zawierający go zbiór otwarty (czyli sumę przeliczanej liczby otwartych odcinków) o mierze Lebesgue'a dowolnie blisko przybliżającej miarę naszego zbioru, łatwo stąd otrzymujemy nierówność (10.5) dla dowolnego zbioru borelowskiego. Wynika stąd że miara \mu jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a i że gęstość jest ograniczona z góry przez C. Podobnie otrzymujemy teraz ograniczenie z dołu gęstości przez c. Szczegóły pomijamy.

Z tych trzech stwierdzeń teza naszego Twierdzenia wynika natychmiast; wystarczy zauważyć że ograniczenia na gęstość miar \nu _{n} z góry i z dołu przenoszą się od razu na takie same ograniczenia dla gęstości miar \mu _{n}. Szukana miara niezmiennicza jest słabą granicą pewnego podciągu ciągu miar \mu _{n}.

Wykażemy jeszcze

Twierdzenie 10.3

Miara \mu jest ergodyczna.

Szkic dowodu

Do dowodu ergodyczności posłużymy się twierdzeniem Lebesgue'a o punktoach gęstości. Założmy zatem że miara \mu nie jest ergodyczna; istnieje wówczas w pełni niezmienniczy podzbiór E miary niezerowej i niepełnej Wówczas również {\rm Leb}(E)>0 i {\rm Leb}(E^{c})>\beta>0. Z twierdzenia Lebesgue'a wynika że prawie każdy punkt x_{0}\in E jest punktem gęstości tego zbioru.

Niech I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n} będzie odcinkiem n- tego podziału do którego należy x_{0}. Z szacowania (10.4) zastosowanego do dowlonych punktów z,w\in I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n} wynika że wahanie pochodnej (T^{n})^{{\prime}}| na odcinkach n-tego podziału jest ograniczone przez stałą C. Stąd i z niezmienniczości zbioru E wnioskujemy że

\frac{{\rm Leb}(E^{c}\cap I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n})}{{\rm Leb}(I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n}))}>C^{{-1}}\beta (10.6)

Jeśli teraz B jest kulą o środku w x_{0} i promieniu równym długości odcinka I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n}, to otrzymujemy stąd

\frac{{\rm Leb}(E^{c}\cap B)}{{\rm Leb}(B)}>\frac{1}{2}C^{{-1}}\beta (10.7)

co oczywiście przeczy temu że x_{0} jest punktem gęstości.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.