Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 11. O gładkich miarach niezmienniczych – MIM UW

Zagadnienia

11. O gładkich miarach niezmienniczych

11.1. Twierdzenie Liouville'a

To twierdzenie jest znane z kursu Równań Rożniczkowych Zwyczajnych.

Rozważmy równanie różniczkowe \dot{x}=F(x) (gdzie F jest funkcją klasy C^{1} na gładkiej zwartej rozmaitości, albo (dla uproszczenia) w R^{m}. Na rozmaitości zwartej każde rozwiązanie takiego równania można przedłużyć na całą prostą; w R^{m} tak nie musi być, ale - jest tak na pewno na przykład wtedy gdy funkcja F jest ograniczona lub gdy mamy równanie hamiltonowskie i poziomice hamiltonianu są zwarte.

Niech \varphi^{t} będzie potokiem tego pola wektorowego, zatem \frac{d}{dt}\varphi^{t}(x)_{{|t=0}}=F(x). Dla t bliskich zeru mamy więc

\varphi^{t}(x)=x+F(x)\cdot t+O(t^{2}) (11.1)

Niech D będzie obszarem; oznaczmy D(t)={\rm vol}(\varphi^{t}(D).

Twierdzenie 11.1

Jeżeli {\rm div}F\equiv 0 to funkcja D(t) jest stała, czyli potok pola zachowuje objętość w przestrzeni fazowej.

Sprawdzimy że

\frac{d}{dt}D(t)_{{|t=0}}=\int _{D}{\rm div}Fdx

Istotnie, mamy policzyć

\frac{d}{dt}\int _{D}|{\rm Jac}\varphi^{t}(x)|dx=\frac{d}{dt}\int _{D}{\rm Jac}\varphi^{t}(x)dx_{{|t=0}}

Oprócz 11.1 mamy, dla t bliskich zeru:

D_{x}\varphi^{t}(x)=I+t\frac{\partial F}{\partial x}+O(t^{2})

Ten drugi wzór wyraża twierdzenie mówiace iż D_{x}\varphi^{t}(x)- funkcja zmiennej t o wartościach macierzowych, spełnia równanie różniczkowe liniowe \dot{Y}=\frac{\partial F}{\partial x}(\varphi^{t}(x))Y z warunkiem początkowym Y(0)=I.

Jeśli- licząc wyznacznik macierzy D_{x}\varphi^{t}(x) interesujemy się tylko jego pochodną względem t, to widzimy że przy liczeniu wyznacznika I+t\frac{\partial F}{\partial x}+O(t^{2}) musimy wziąć tylko te wyrazy które zawierają t w pierwszej potędze. Po zsumowaniu-mamy

\frac{d}{dt}{\rm Jac}\varphi^{t}(x)_{{|t=0}}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}+\dots+\frac{\partial F_{m}}{\partial x_{m}}={\rm div}F(x) (11.2)

Zauważamy dalej, że

\frac{d}{dt}D(t)_{{|t=t_{0}}}=\frac{d}{ds}D(t_{0}+s)_{{|s=0}}=\frac{d}{ds}{\rm vol}\varphi^{{t_{0}+s}}(D)_{{|s=0}}=\frac{d}{ds}_{{|s=0}}{\rm vol}\varphi^{s}(\varphi^{{t_{0}}}(D))

ZAtem, z udowodnionej już części, zastosowanej dla \varphi^{{t_{0}}}(D) wynika teza.

Latwo widać że warunek \div F=0 jest też konieczny (szczegóły zostawiamy jako ćwiczenie)

Uwaga 11.1

W podobny sposób można sprawdzić że jeśli \rho>0 jest funkcją klasy C^{1} i {\rm div}(\rho\cdot F)=0 to potok pola wyznaczonego przez F zachowuje miarę z gęstością \rho względem miary Lebesgue'a.

Wniosek 11.1

Rozważmy pole hamiltonowskie w R^{{2m}}; H jest funkcją klasy C^{2}, układ równań ma postać

\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\\
\displaystyle&\displaystyle\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\end{aligned} (11.3)

Zatem F=\left(\frac{\partial H}{\partial p_{1}},\dots,\frac{\partial H}{\partial p_{m}},-\frac{\partial H}{\partial q_{1}},\dots-\frac{\partial H}{\partial q_{m}}\right).

Ponieważ {\rm div}F=0, otrzymujemy ważny wniosek: Potok pola hamiltonowskiegoz achowuje objętość w przestrzeni fazowej.

Potok hamiltonowski ma calkę pierwszą: jest nią funkcja Hamiltona H. Zatem przestrzeń fazowa rozpada się na niezmiennicze powierzchnie stałej energii. Mamy

Twierdzenie 11.2

Jeśli dla układu hamiltonowskiego powierzchnia stałej energii \Sigma=\{ H=c\} spełnia {\rm grad}H\neq 0 w każdym punkcie tej powierzchni, to miara na \Sigma określona wzorem

\mu(A)=\int _{A}\frac{d\sigma}{||{\rm grad}H||}

jest niezmiennicza względem potoku pola z hamiltonianem H. \sigma oznacza tutaj standardową miarę powierzchniową na powierzchni \Sigma.

Skoro {\rm grad}H\neq 0 na powierzchni \Sigma, możemy założyć (ograniczając się do pewnego otwartego podzbioru \Sigma) że \frac{\partial H}{\partial p_{m}}\neq 0 na \Sigma. W tekim razie, p_{m} daje się (lokalnie) wyznaczyć jako funkcja pozostałych zmiennych; p_{m}=F(q_{1},\dots,q_{m},p_{1},\dots p_{{m-1}})=F(q,p^{{\prime}}). Miara powierzchniowa \sigma na \Sigma może być więc wyliczona według formuły:

\sigma(A)=\int _{{\tilde{A}}}\sqrt{1+||{\rm grad}F||^{2}}

\tilde{A} jest mierzalnym zbiorem \mathbb{R}^{{2m-1}}, A=\{(x,F(x)),x\in\tilde{A}\} jest odpowiadającym mu zbiorem na wykresie. Bezpośrednim rachunkiem wyliczamy że

1+||{\rm grad}F||^{2}=\frac{||{\rm grad}H||^{2}}{||\frac{\partial H}{\partial p_{m}}||^{2}}

(pominęliśmy w tym napisie argumenty funkcji) Zatem

\sigma(A)=\int _{{\tilde{A}}}\frac{||{\rm grad}H||}{||\frac{\partial H}{\partial p_{m}}||}dqdp^{{\prime}}

zaś

\int _{A}\frac{1}{||{\rm grad}H||}d\sigma=\int _{{\tilde{A}}}\frac{1}{||\frac{\partial H}{\partial p_{m}}||}dpdq^{{\prime}}

Przekształcenie

\mathbb{R}^{{2m-1}}\ni(q,p^{{\prime}})=(q_{1},\dots q_{m},p_{1},\dots,p_{{m-1}})\mapsto(q_{1},\dots q_{m},p_{1},\dots,p_{{m-1}},F(q,p^{{\prime}}))\in\mathbb{R}^{{2m}}

jest parametryzacją rozmaitości \Sigma, zaś miara \frac{1}{||{\rm grad}H||}d\sigma na \Sigma jest- jak sprawdziliśmy- obrazem miary {||\frac{\partial H}{\partial p_{m}}||}dpdq^{{\prime}} w przestrzeni parametrów. Aby sprawdzić że potok wyjściowego pola   11.3 zachowuje miarę \frac{1}{||{\rm grad}H||}d\sigma, możemy więc sprawdzić, rownoważnie, że potok pola przeniesionego parametryzacją do \mathbb{R}^{{2m-1}} zachowuje miarę {||\frac{\partial H}{\partial p_{m}}||}dpdq^{{\prime}}. Jest to miara z gęstością rho={||\frac{\partial H}{\partial p_{m}}||} względem miary Lebesgue'a. Aby sprawdzić że jest ona zachowana, skorzystamy z Uwagi  11.1).

Równania we współrzędnych (q,p^{{\prime}}) wyglądają oczywiście:

\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}(q,p,F(q,p^{{\prime}}),~~~~,i=1,\dots,m\\
\displaystyle&\displaystyle\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}(q,p,P(q,p^{{\prime}}),~~~i=1,\dots,m-1\end{aligned} (11.4)

Oznaczając przez X funkcję wektorową (w \mathbb{R}^{{2m-1}}) po prawej stronie równania mamy więc sprawdzić że {\rm div}(\rho\cdot X)=0. Liczymy

{\rm div}\left(\frac{1}{\frac{\partial H}{\partial p_{m}}}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{1}},\dots,\frac{\partial H}{\partial p_{m}},-\frac{\partial H}{\partial q_{1}},\dots,-\frac{\partial H}{\partial q_{{m-1}}}\right)\right)

(znowu pominęliśmy w zapisie argumenty występujących tu funkcji). Poszczególne składniki (występujace we wzorze na dywergencję) wypiszmy z uwzględnieniem argumentów: Pierwszy składnik to:

\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left[\frac{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}(q,p^{{\prime}},F(q,p^{{\prime}})}{\frac{\partial H}{\partial p_{m}}(q,p^{{\prime}},F(q,p^{{\prime}})}\right]=\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{1}}\right)

Stąd już łatwo widać że suma składników jest równa zero, co kończy dowód.

11.2. Równania Lagrange'a i Hamiltona. Potoki geodezyjne

W mechanice klasycznej równania ruchu punktu materialnego w polu sił z potencjałem V są opisywane przez równania Eulera-Lagrange'a: Niech M będzie rozmaitością riemannowską (przestrzenią konfiguracji), TM-wiązką styczną (przestrzenią fazową). Funkcja Lagrange'a

L:TM\to\mathbb{R}:L(x,v)=\frac{1}{2}<v,v>-V(x)=K-V (11.5)

jest rózniczkowalną funkcją opisującą ruch przez równanie różniczkowe pierwszego rzędu w TM:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}=\frac{\partial L}{\partial x}

K(v)=\frac{1}{2}<v,v> jest energią kinetyczną. Rozwiązanie jest to zatem funkcja t\mapsto(x(t),v(t))\in TM. Tutaj iloczyn skalarny <v,v> odpowiadający strukturze Riemannowskiej na M (w szczególności, zależy od od punktu x, gdzie v\in T_{x}M).

Stwierdzenie 11.1

Równanie Lagrange'a ma całkę pierwszą; jest nią całkowita energia H(x,v)=\frac{1}{2}<v,v>+V(x)

Użyjemy lokalnych współrzędnych; w tych współrzędnych możemy zapisać iloczyn skalarny w przestrzeni stycznej prz pomocy macierzy symetrycznej g^{{ij}}. Zatem

L=K-V\frac{1}{2}<v,v>-V(x)=\frac{1}{2}\sum _{{i,j}}g^{{ij}}v_{i}v_{j}-V(x).

Oznaczając przez <.,.>_{e} zwykły iloczyn skalarny w przestrzenie euklidesowej, możemy napisać

\left(\frac{\partial K}{\partial v}\right)_{i}=\sum _{j}g^{{ij}}v_{j}

Zatem:

<\frac{\partial K}{\partial v},v>_{e}=2K

zaś

<\frac{\partial L}{\partial v},v>_{e}-L=<\frac{\partial K}{\partial v},v>_{e}-L=2K-K+V=K+V=H

Dzięki tej formule możemy łatwo policzyć pochodną funkcji H wzdłuż rozwiązania:

\frac{d}{dt}H(x(t),v(t))=\frac{d}{dt}<\frac{\partial L}{\partial v},v>_{e}=<\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v},v>_{e}+<\frac{\partial L}{\partial v},\frac{dv}{dt}>_{e}-<\frac{\partial L}{\partial x},\dot{x}>_{e}-<\frac{\partial L}{\partial v},\dot{v}>_{e}

Z równania Eulera-Lagrange'a ( i z faktu że \dot{x}=v) wynika że ta suma jest równa zero.

Uwaga 11.2

Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każda poziomica funkcji H jest zwartą podrozmaitością TM. Z twierdzenia o przedłużaniu trajektorii wynika że wówczas każde rozwiązanie równania Eulera- Legrange'a można przedłużyć do nieskończoności, zatem potok pola jest określony dla wszystkich t\in\mathbb{R}.

Szczególnym przypadkiem jest potok geodezyjny, opisujący ruch swobodny na rozmaitości M (w przestrzeni konfiguracji z ”więzami”):

Definicja 11.1

Potokiem geodezyjnym na rozmaitości Riemannowskiej M nazywamy potok pola zadanego przez równanie Eulera-Lagrange'a z funkcją Lagrange'a równą

L(x,v)=\frac{1}{2}<v,v>

Ponieważ potok ten zachowuje dlugość wektora stycznego v(t), więc potok można rozpatrywać na podrozmaitościach stałej energii; w tym przypadku- są to podrozmaitości TM odpowiadające ustalonej długości wektorów stycznych.

Następujące twierdzenie, wynikające z zasady wariacyjnej, uzasadnia nazwę:

Twierdzenie 11.3

Jeśli x(t),v(t) jest trajektorią (rozwiązaniem) równania Eulera-Lagrange'a dla V=0, to rzut trajektorii na M jest geodezyjną w M.

Potok geodezyjny ma naturalną gładką miarę niezmienniczą. Wyliczymy ją, przechodząc do odpowiedniego równania Hamiltonowskiego. Opiszemy to przejście (standardowe w mechanice klasycznej).

W przestrzeni stycznej T_{x}M jest struktura iloczynu skalarnego, która pozwala utożsamic przestrzeń styczną z przestrzenią kostyczną T^{*}_{x}M w oczywisty sposób: wektor v jest utożsamiany z funkcjonałem liniowym w\mapsto<v,w>. Używając lokalnych współrzędnych możemy zapisać v=(v_{i}), wówczas

<v,w\geq\sum _{i}\left(\sum _{j}g^{{ij}}v_{j}\right)w_{i}

(g^{{ij}} zależa oczywiście od punktu x). Zatem wektorowi v odpowiada element T^{*}_{x}M, który w lokalnej bazie dx_{i} ma współrzędne \sum _{j}g^{{ij}}v_{j}. Ta ostatnia suma jest równa, jak wiemy, \left(\frac{\partial K}{\partial v}\right)_{i}. W ten sposób określiliśmy przekształcenie Legendre'a \mathcal{L} prowadzące z wiązki stycznej TM do wiązki kostycznej T^{*}M. Możemy więc użyć współrzędnych lokalnych q_{i} w M i odpowiadającym ich w opisany sposób współrzędnych p_{i} w przestrzeni T^{*}_{x}M do utworzenia lokalnych współrzędnych w T^{*}M.

Załóżmy że trajektoria (q(t),v(t)) spełnia równanie Eulera-Lagrange'a. Sprawdźmy jakie równanie spełnia odpowiadająca trajektoria w przestrzeni TM: (q(t),p(t)).

Stwierdzenie 11.2

Jeśli (q(t),v(t)) spełnia równanie Eulera-Lagrange'a z funkcja Lagrange'a   11.5, to (q(t),p(t)), uzyskane przez zamianę zmiennych transformatą Legendre'a- spełnia równanie Hamiltona   11.3 z funkcją H równą całkowitej energii.

W nowych współrzędnych (q,p) funkcja całkowitej energii H ma postać H(q,p)=\frac{1}{2}\sum _{{i,j}}g_{{ij}}p_{i}p_{j}+V(q) gdzie g_{{ij}} jest macierzą odwrotną do g^{{ij}}.

Mamy

\dot{q}^{i}=v^{i}=\sum g_{{ij}}p_{j}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}

Stąd pierwsze równanie Hamiltonowskie. Pozostaje wyznaczyć \dot{p}. Skoro p=\frac{\partial K}{\partial v}=\frac{\partial L}{\partial v}, to z równania Eulera-Lagrange'a wynika że \dot{p}=\frac{\partial L}{\partial q}. Funkcję energii H możemy zapisać inaczej jako \frac{1}{2}<v,v>+V=<v,p>_{e}-L. Stąd \frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q}. uzupelnic

Potok pola hamiltonowskiego otrzymanego z pola Lagrange'a przez opisaną zamianę zmiennych zachowuje- jak juz sprawdziliśmy- naturalna miarę, którą w lokalnych współrzędnych (p,q) można zapisać dpdq. Wracając do współrzędnych na rozmaitości TM otrzymujemy miarę niezmienniczą na TM; jej postać wyliczamy poniżej.

Macierz iloczynu skalarnego (g^{i}j) możemy zdiagonalizować, znajdując macierz C=C_{q} (zależną oczywiscie od polozenia) taką że C^{T}GC=I Jesli zmienimy wspolrzedne w T^{*}M kładąc p^{{\prime}}=C_{q}(p),q^{{\prime}}=q, to otrzymamy

dqdp=dq^{{\prime}}dp^{{\prime}}({\rm det}C)^{{-1}}=dq^{{\prime}}dp^{{\prime}}\sqrt{{\rm det}G(q)}

Ostatnia równość bierze się stąd że C^{T}GC=I, zatem ({\rm det}C)^{2}{\rm det}G=. Jest to wiec produkt kanonicznej miary objetości na M (dq\sqrt{{\rm det}G(q)}) oraz miary objętości na T_{q}M zadanej przez macierz G (nowa baza p^{{\prime}} jest bazą ortonormalną w przestrzeni T_{q}M.

Na powierzchniach stałej energii H otrzymujemy indukowaną gładką miarę niezmienniczą W szczególnym i najważniejszym dla nas przypadku potoku geodezyjnego powierzchnie stałej energii odpowiadają wiązkom sfer \sum p_{i}^{{\prime}}^{2}=C.

Możemy zmienić zmienne jeszcze raz, na sferyczne: (r,\theta), r\in\mathbb{R}_{+},\theta\in\mathbb{S}^{{m-1}} Mamy wtedy:

dqdp=dq^{{\prime}}dp^{{\prime}}\sqrt{{\rm det}G(q)}=\sqrt{{\rm det}G(q)}r^{{m-1}}drd\theta

Ponieważ r^{2}=\sum p_{i}^{{\prime}}^{2}=2H, to

r^{{m-1}}=2^{{\frac{m-1}{m}}}H^{{\frac{1}{2}(m-1)}}

Ostatecznie, w zmiennych (q,H,\theta) miara niezmiennicza ma postać

H^{{\frac{1}{2}m-1}}2^{{\frac{1}{2}m-1}}\sqrt{{\rm det}G(q)}dHd\theta dq

Zaś na powierzchni stałej energii (czyli na wiązce sfer) jest to miara z gęstością proporcjonalną do

\sqrt{{\rm det}G(q)}dqd\theta

\sqrt{{\rm det}G(q)}dq jest kanoniczną miarą objętości na M, zaś d\theta jest miarą o rozkładzie jednostajnym na sferze.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.