Zagadnienia

11. O gładkich miarach niezmienniczych

11.1. Twierdzenie Liouville'a

To twierdzenie jest znane z kursu Równań Rożniczkowych Zwyczajnych.

Rozważmy równanie różniczkowe x˙=Fx (gdzie F jest funkcją klasy C1 na gładkiej zwartej rozmaitości, albo (dla uproszczenia) w Rm. Na rozmaitości zwartej każde rozwiązanie takiego równania można przedłużyć na całą prostą; w Rm tak nie musi być, ale - jest tak na pewno na przykład wtedy gdy funkcja F jest ograniczona lub gdy mamy równanie hamiltonowskie i poziomice hamiltonianu są zwarte.

Niech φt będzie potokiem tego pola wektorowego, zatem ddtφtx|t=0=Fx. Dla t bliskich zeru mamy więc

φtx=x+Fxt+Ot2 (11.1)

Niech D będzie obszarem; oznaczmy D(t)=vol(φt(D).

Twierdzenie 11.1

Jeżeli divF0 to funkcja Dt jest stała, czyli potok pola zachowuje objętość w przestrzeni fazowej.

Sprawdzimy że

ddtDt|t=0=DdivFdx

Istotnie, mamy policzyć

ddtDJacφtxdx=ddtDJacφtxdx|t=0

Oprócz 11.1 mamy, dla t bliskich zeru:

Dxφtx=I+tFx+Ot2

Ten drugi wzór wyraża twierdzenie mówiace iż Dxφtx- funkcja zmiennej t o wartościach macierzowych, spełnia równanie różniczkowe liniowe Y˙=FxφtxY z warunkiem początkowym Y0=I.

Jeśli- licząc wyznacznik macierzy Dxφtx interesujemy się tylko jego pochodną względem t, to widzimy że przy liczeniu wyznacznika I+tFx+Ot2 musimy wziąć tylko te wyrazy które zawierają t w pierwszej potędze. Po zsumowaniu-mamy

ddtJacφtx|t=0=F1x1+F2x2++Fmxm=divFx (11.2)

Zauważamy dalej, że

ddtDt|t=t0=ddsDt0+s|s=0=ddsvolφt0+sD|s=0=dds|s=0volφsφt0D

ZAtem, z udowodnionej już części, zastosowanej dla φt0D wynika teza.

Latwo widać że warunek ÷F=0 jest też konieczny (szczegóły zostawiamy jako ćwiczenie)

Uwaga 11.1

W podobny sposób można sprawdzić że jeśli ρ>0 jest funkcją klasy C1 i divρF=0 to potok pola wyznaczonego przez F zachowuje miarę z gęstością ρ względem miary Lebesgue'a.

Wniosek 11.1

Rozważmy pole hamiltonowskie w R2m; H jest funkcją klasy C2, układ równań ma postać

q˙i=Hpip˙i=-Hqi (11.3)

Zatem F=Hp1,,Hpm,-Hq1,-Hqm.

Ponieważ divF=0, otrzymujemy ważny wniosek: Potok pola hamiltonowskiegoz achowuje objętość w przestrzeni fazowej.

Potok hamiltonowski ma calkę pierwszą: jest nią funkcja Hamiltona H. Zatem przestrzeń fazowa rozpada się na niezmiennicze powierzchnie stałej energii. Mamy

Twierdzenie 11.2

Jeśli dla układu hamiltonowskiego powierzchnia stałej energii Σ={H=c} spełnia gradH0 w każdym punkcie tej powierzchni, to miara na Σ określona wzorem

μA=AdσgradH

jest niezmiennicza względem potoku pola z hamiltonianem H. σ oznacza tutaj standardową miarę powierzchniową na powierzchni Σ.

Skoro gradH0 na powierzchni Σ, możemy założyć (ograniczając się do pewnego otwartego podzbioru Σ) że Hpm0 na Σ. W tekim razie, pm daje się (lokalnie) wyznaczyć jako funkcja pozostałych zmiennych; pm=Fq1,,qm,p1,pm-1=Fq,p. Miara powierzchniowa σ na Σ może być więc wyliczona według formuły:

σA=A~1+gradF2

A~ jest mierzalnym zbiorem R2m-1, A={(x,F(x)),xA~} jest odpowiadającym mu zbiorem na wykresie. Bezpośrednim rachunkiem wyliczamy że

1+gradF2=gradH2Hpm2

(pominęliśmy w tym napisie argumenty funkcji) Zatem

σA=A~gradHHpmdqdp

zaś

A1gradHdσ=A~1Hpmdpdq

Przekształcenie

R2m-1q,p=q1,qm,p1,,pm-1q1,qm,p1,,pm-1,Fq,pR2m

jest parametryzacją rozmaitości Σ, zaś miara 1gradHdσ na Σ jest- jak sprawdziliśmy- obrazem miary Hpmdpdq w przestrzeni parametrów. Aby sprawdzić że potok wyjściowego pola   11.3 zachowuje miarę 1gradHdσ, możemy więc sprawdzić, rownoważnie, że potok pola przeniesionego parametryzacją do R2m-1 zachowuje miarę Hpmdpdq. Jest to miara z gęstością rho=Hpm względem miary Lebesgue'a. Aby sprawdzić że jest ona zachowana, skorzystamy z Uwagi  11.1).

Równania we współrzędnych q,p wyglądają oczywiście:

q˙i=Hpi(q,p,F(q,p),,i=1,,mp˙i=-Hqi(q,p,P(q,p),i=1,,m-1 (11.4)

Oznaczając przez X funkcję wektorową (w R2m-1) po prawej stronie równania mamy więc sprawdzić że divρX=0. Liczymy

div1HpmHp1,,Hpm,-Hq1,,-Hqm-1

(znowu pominęliśmy w zapisie argumenty występujących tu funkcji). Poszczególne składniki (występujace we wzorze na dywergencję) wypiszmy z uwzględnieniem argumentów: Pierwszy składnik to:

q1Hp1(q,p,F(q,p)Hpm(q,p,F(q,p)=q1-Fp1

Stąd już łatwo widać że suma składników jest równa zero, co kończy dowód.

11.2. Równania Lagrange'a i Hamiltona. Potoki geodezyjne

W mechanice klasycznej równania ruchu punktu materialnego w polu sił z potencjałem V są opisywane przez równania Eulera-Lagrange'a: Niech M będzie rozmaitością riemannowską (przestrzenią konfiguracji), TM-wiązką styczną (przestrzenią fazową). Funkcja Lagrange'a

L:TMR:L(x,v)=12<v,v>-V(x)=K-V (11.5)

jest rózniczkowalną funkcją opisującą ruch przez równanie różniczkowe pierwszego rzędu w TM:

ddtLv=Lx

Kv=12<v,v> jest energią kinetyczną. Rozwiązanie jest to zatem funkcja txt,vtTM. Tutaj iloczyn skalarny <v,v> odpowiadający strukturze Riemannowskiej na M (w szczególności, zależy od od punktu x, gdzie vTxM).

Stwierdzenie 11.1

Równanie Lagrange'a ma całkę pierwszą; jest nią całkowita energia Hx,v=12<v,v>+Vx

Użyjemy lokalnych współrzędnych; w tych współrzędnych możemy zapisać iloczyn skalarny w przestrzeni stycznej prz pomocy macierzy symetrycznej gij. Zatem

L=K-V12<v,v>-Vx=12i,jgijvivj-Vx.

Oznaczając przez <.,.>e zwykły iloczyn skalarny w przestrzenie euklidesowej, możemy napisać

Kvi=jgijvj

Zatem:

<Kv,v>e=2K

zaś

<Lv,v>e-L=<Kv,v>e-L=2K-K+V=K+V=H

Dzięki tej formule możemy łatwo policzyć pochodną funkcji H wzdłuż rozwiązania:

ddtH(x(t),v(t))=ddt<Lv,v>e=<ddtLv,v>e+<Lv,dvdt>e-<Lx,x˙>e-<Lv,v˙>e

Z równania Eulera-Lagrange'a ( i z faktu że x˙=v) wynika że ta suma jest równa zero.

Uwaga 11.2

Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każda poziomica funkcji H jest zwartą podrozmaitością TM. Z twierdzenia o przedłużaniu trajektorii wynika że wówczas każde rozwiązanie równania Eulera- Legrange'a można przedłużyć do nieskończoności, zatem potok pola jest określony dla wszystkich tR.

Szczególnym przypadkiem jest potok geodezyjny, opisujący ruch swobodny na rozmaitości M (w przestrzeni konfiguracji z ”więzami”):

Definicja 11.1

Potokiem geodezyjnym na rozmaitości Riemannowskiej M nazywamy potok pola zadanego przez równanie Eulera-Lagrange'a z funkcją Lagrange'a równą

Lx,v=12<v,v>

Ponieważ potok ten zachowuje dlugość wektora stycznego vt, więc potok można rozpatrywać na podrozmaitościach stałej energii; w tym przypadku- są to podrozmaitości TM odpowiadające ustalonej długości wektorów stycznych.

Następujące twierdzenie, wynikające z zasady wariacyjnej, uzasadnia nazwę:

Twierdzenie 11.3

Jeśli xt,vt jest trajektorią (rozwiązaniem) równania Eulera-Lagrange'a dla V=0, to rzut trajektorii na M jest geodezyjną w M.

Potok geodezyjny ma naturalną gładką miarę niezmienniczą. Wyliczymy ją, przechodząc do odpowiedniego równania Hamiltonowskiego. Opiszemy to przejście (standardowe w mechanice klasycznej).

W przestrzeni stycznej TxM jest struktura iloczynu skalarnego, która pozwala utożsamic przestrzeń styczną z przestrzenią kostyczną Tx*M w oczywisty sposób: wektor v jest utożsamiany z funkcjonałem liniowym w<v,w>. Używając lokalnych współrzędnych możemy zapisać v=vi, wówczas

<v,wi(jgijvj)wi

(gij zależa oczywiście od punktu x). Zatem wektorowi v odpowiada element Tx*M, który w lokalnej bazie dxi ma współrzędne jgijvj. Ta ostatnia suma jest równa, jak wiemy, Kvi. W ten sposób określiliśmy przekształcenie Legendre'a L prowadzące z wiązki stycznej TM do wiązki kostycznej T*M. Możemy więc użyć współrzędnych lokalnych qi w M i odpowiadającym ich w opisany sposób współrzędnych pi w przestrzeni Tx*M do utworzenia lokalnych współrzędnych w T*M.

Załóżmy że trajektoria qt,vt spełnia równanie Eulera-Lagrange'a. Sprawdźmy jakie równanie spełnia odpowiadająca trajektoria w przestrzeni TM: qt,pt.

Stwierdzenie 11.2

Jeśli qt,vt spełnia równanie Eulera-Lagrange'a z funkcja Lagrange'a   11.5, to qt,pt, uzyskane przez zamianę zmiennych transformatą Legendre'a- spełnia równanie Hamiltona   11.3 z funkcją H równą całkowitej energii.

W nowych współrzędnych q,p funkcja całkowitej energii H ma postać Hq,p=12i,jgijpipj+Vq gdzie gij jest macierzą odwrotną do gij.

Mamy

q˙i=vi=gijpj=Hpi

Stąd pierwsze równanie Hamiltonowskie. Pozostaje wyznaczyć p˙. Skoro p=Kv=Lv, to z równania Eulera-Lagrange'a wynika że p˙=Lq. Funkcję energii H możemy zapisać inaczej jako 12<v,v>+V=<v,p>e-L. Stąd Hq=-Lq. uzupelnic

Potok pola hamiltonowskiego otrzymanego z pola Lagrange'a przez opisaną zamianę zmiennych zachowuje- jak juz sprawdziliśmy- naturalna miarę, którą w lokalnych współrzędnych p,q można zapisać dpdq. Wracając do współrzędnych na rozmaitości TM otrzymujemy miarę niezmienniczą na TM; jej postać wyliczamy poniżej.

Macierz iloczynu skalarnego gij możemy zdiagonalizować, znajdując macierz C=Cq (zależną oczywiscie od polozenia) taką że CTGC=I Jesli zmienimy wspolrzedne w T*M kładąc p=Cqp,q=q, to otrzymamy

dqdp=dqdpdetC-1=dqdpdetGq

Ostatnia równość bierze się stąd że CTGC=I, zatem detC2detG=. Jest to wiec produkt kanonicznej miary objetości na M (dqdetGq) oraz miary objętości na TqM zadanej przez macierz G (nowa baza p jest bazą ortonormalną w przestrzeni TqM.

Na powierzchniach stałej energii H otrzymujemy indukowaną gładką miarę niezmienniczą W szczególnym i najważniejszym dla nas przypadku potoku geodezyjnego powierzchnie stałej energii odpowiadają wiązkom sfer pi2=C.

Możemy zmienić zmienne jeszcze raz, na sferyczne: r,θ, rR+,θSm-1 Mamy wtedy:

dqdp=dqdpdetGq=detGqrm-1drdθ

Ponieważ r2=pi2=2H, to

rm-1=2m-1mH12m-1

Ostatecznie, w zmiennych q,H,θ miara niezmiennicza ma postać

H12m-1212m-1detGqdHdθdq

Zaś na powierzchni stałej energii (czyli na wiązce sfer) jest to miara z gęstością proporcjonalną do

detGqdqdθ

detGqdq jest kanoniczną miarą objętości na M, zaś dθ jest miarą o rozkładzie jednostajnym na sferze.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.