Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 12. Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemniej krzywiźnie- ważny przykład potoku Anosowa – MIM UW

Zagadnienia

12. Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemniej krzywiźnie- ważny przykład potoku Anosowa

12.1. Metryka hiperboliczna

Wprowadzimy bardzo ważne wanalizie zespolonej pojęcie płaszczyzny hiperbolicznej

Definicja 12.1

Niech

\mathbb{H}^{2}=\{(x,y)\in\mathbb{C}:{\rm im}(z)>0

(czyli - gówna półpłaszczyzna) W \mathbb{H}^{2} wprowadzamy metrykę (Riemannowską):

|dz|\cdot\frac{1}{y}

Inaczej mówiąc: w nowej metryce, długość ||v||_{h} wektora v należącego do przestrzeni stycznej T_{z}\mathbb{H}^{2} jest równa \frac{1}{y}||v||_{e} (przez ||v||_{e} oznaczyliśmy normę euklidesową, a przez ||v||_{h}- hiperboliczną). Jeszcze inaczej: w metryce euklidesowej iloczyn skalarny wektorów v,w stycznych w punkcie z=x+iy jest równy <v,w>_{e}=u\overline{w}. Iloczyn skalarny w nowej metryce jest równy

<v,w>_{h}=u\overline{w}\cdot\frac{1}{y^{2}}.
Ćwiczenie 12.1

Sprawdzić że wszystkie homografie (przekształcenia Möbiusa) zachowujące \mathbb{H}^{2} są postaci:

T(z)=\frac{az+b}{cz+d},
\left(\begin{array}[]{rrrr}a&b\\
c&d\\
\end{array}\right)\in GL_{+}(2,\mathbb{R})
Stwierdzenie 12.1

Wszystkie homografie zachowujące \mathbb{H}^{2} są izometriami w metryce hiperbolicznej w \mathbb{H}^{2}.

Każde takie przekształcenie można zapisać jako złożenie trzech, postaci z\to z+A, z\to Bz, z\to-\frac{1}{z}, A,B>0. Wystarczy sprawdzić że te trzy przekształcenia są izometriami. Sprawdzimy trzecie: mamy

T^{{\prime}}(z)|=\left|\left(-\frac{1}{z}\right)^{{\prime}}\right|=\frac{1}{|z|^{2}}

Należy sprawdzić że

|T^{{\prime}}(z)|\cdot\frac{1}{{\rm im}T(z)}\cdot{\rm im}z=1

Równość zachodzi, ponieważ {\rm im}T(z)=\frac{y}{|z|^{2}}, {\rm im}z=y

Ćwiczenie 12.2

Niech z\in\mathbb{H}^{2}, v\in T_{z}\mathbb{H}^{2}, z^{{\prime}}\in\mathbb{H}^{2}, v^{{\prime}}\in T_{z}\mathbb{H}^{2}. Wówczas istnieje izometria T:\mathbb{H}^{2}\to\mathbb{H}^{2} taka że T(z)=z^{{\prime}}, DT_{z}(v)=v^{{\prime}}.

Stwierdzenie 12.2

Geodezyjne w \mathbb{H}^{2} są to łuki (pół)okręgów prostopadłych do prostej y=0. Geodezyjną jest też okrąg przechodzący przez punkt w nieskończoności, czyli - każda (pół)prosta prostopadła do prostej y=0.

Definicja 12.2

Wprowadzamy metrykę w S\mathbb{H}^{2} (czyli w wiązce wektorów stycznych o długości hiperbolicznej 1). tu rysunek

Niech x=(p,v),y=(q,w). Jeśli p=q to miarą odległości między x,y jest d(v,w)- miara kąta między wektorami w,v. Jeśli p\neq q to istnieje dokładnie jedna geodezyjna \gamma przechodząca przez punkty p, q. Niech w^{{\prime}}\in T_{p}\mathbb{H}^{2} będzie obrazem w przy przesunięciu równoległym wzdłuż tej geodezyjnej. Inaczej- mozna powiedziec tak: Rozpatrujemy izometrie (przekształcenia Möbiusa) dla których geodezyjna \gamma jest niezmiennicza (jak je znaleźć?) i wybieramy przekształcenie T- taką spośród tych izometrii, która punkt q przekształca na p. Wektor w^{{\prime}} jest równy DT_{q}(w).

Odległość między x, y definiujemy:

d(x,y)=\sqrt{d(v,w^{{\prime}})^{2}+d_{h}(p,q)^{2}}

12.2. Potok geodezyjny w \mathbb{H}^{2}

Niech x=(p,v)\in S\mathbb{H}^{2} Potok geodezyjny \varphi^{t}(x) można, jak wiemy opisac następujaco: znajdujemy jedyną geodezyjną \gamma(t) taką że \gamma(0)=p, \dot{\gamma}(0)=v. Po czasie t mamy \varphi^{t}(x)=(y,w) gdzie y=\gamma(t), w=\dot{\gamma}(t). tu rysunek

Rozpatrzmy zatem x=(i,v=(0,1)). Geodezyjna zawierająca punkt i, wypuszczona w kierunku v to oczywiście półprosta pionowa \gamma(t)=(0,e^{t})=i\cdot e^{t},t\in\mathbb{R}. Użyliśmy parametryzacji e^{t} ponieważ ma to być parametryzacja odpowiadająca ruchowi ze stała prędkościa: ||\dot{\gamma}(t)||_{h}=1. Mamy:

||\dot{\gamma}(t)||_{h}=|\dot{\gamma}(t)|\cdot\frac{1}{{\rm im}\gamma(t)}=\frac{e^{t}}{e^{t}}=1

Zatem: \varphi^{t}(x)=(e^{t}i,v_{t}), gdzie wektor v_{t} jest to wektor (0,1) zaczepiony w punkcie e^{t}i

NIech teraz y=((a+i),w)\in S\mathbb{H}^{2}, a\in\mathbb{R}. Oczywiście mamy \varphi^{t}(y)=(e^{t}(a+i),w_{t}) gdzie wektor w_{t} jest to wektor (0,1) zaczepiony w punkcie e^{t}(a+i)

Zobaczmy jak zmienia się z czasem odległość:

d(\varphi^{t}(x),\varphi^{t}(y)

. Mamy:

d_{h}\left(e^{t}i,e^{t}(a+i)\right)\asymp e^{{-t}}

(dlaczego?)

Podobnie

d(\varphi^{t}(x),\varphi^{t}(y)\asymp e^{{-t}}.

Ta obserwacja prowadzi do definicji:

Definicja 12.3

Horocykl to każda linia pozioma \mathbb{R}+ir i każdy obraz tej linii przy przekształceniu Möbiusa zachowującym \mathbb{H}^{2}.

tu rysunek Widzimy że dla każdego x=(p,v)\in S\mathbb{H}^{2} istnieje dokładnie jedna geodezyjna wyznaczona przez ten punkt i wektor i dokładnie dwa horocykle takie że punkt p należy do horocyklu, zaś wektor v jest normalny do horocyklu. Nazwijmy je odpowiednio horocyklem wchodzącym i horocyklem wychodzącym wyznaczonymi przez x=(p,v)

tu dwa rysunki: geodezyjna, horocykl wchodzący i wychodzący- dla geodezyjnej pionowej i dla geodezyjnej ”typowej”

Niech x=(p,v). Rozpatrzmy horocykl wchodzący wyznaczony przez x, W każdym punkcie horocyklu wybieramy wektor normalny do horocyklu , w ten sposób aby wybór był ciągły i aby wektor v był wybrany. Otrzymujemy jednowymiarową podrozmaitość S\mathbb{H}^{2}. Oznaczmy ją przez W^{{ss}}((p,v). Podobnie, rozważmy horocykl wychodzący wyznaczony przez x i wybierzmy ciągłą rodzine wektorów normalnych do niego, tak aby wektor v należał do tej rodziny. Tę podrozmaitość oznaczamy W^{{uu}}((p,v).

Wyliczenie(powyżej) zmiany odległości przy \varphi^{t} dla punktów (i odpowiednich wektorów) zachowuje się przy zastosowaniu izometrii; powyższy racunek prowadzi do Stwierdzenia (szczegóły pomijamy)

Stwierdzenie 12.3

Zbiór W^{{ss}}((p,v) stanowi silną rozmaitość stabilną punktu x=(p,v); dla każdego y\in W^{{ss}}((p,v) d(\varphi^{t}(y),\varphi^{t}(x)\to 0 gdy t\to\infty.

Zbiór W^{{uu}}((p,v) jest silną rozmaitością niestabilną punktu x=(p,v); dla każdego y\in W^{{uu}}((p,v) d(\varphi^{t}(y),\varphi^{t}(x)\to 0 gdy t\to-\infty.

Ćwiczenie 12.3

Uzupełnić brakujące szczególy; w szczególności wykazać że wskazany zbiór wyczerpuje cała rozmaitość stabilną (niestabilną); tzn jeżeli y\notin W^{{ss}}((p,v), to d(\varphi^{t}(y),\varphi^{t}(x)\nrightarrow 0

Oprócz silnej rozmaitości (nie)stabilnej mamy jeszcze słabą rozmaitość (nie)stabilną. Zauważmy że jeśli (p^{{\prime}}v^{{\prime}}) jest punktem (w S\mathbb{H}^{2} należącym do geodezyjnej wyznaczonej przez (p,v), to (p^{{\prime}},v^{{\prime}})=\varphi^{s}(p,v) dla pewnego s, zatem d((p,v),(p^{{\prime}}v^{{\prime}})=d(\varphi^{t}(p,v),\varphi^{t}(p^{{\prime}},v^{{\prime}}) dla wszystkich t\in\mathbb{R}. Mamy więc

Stwierdzenie 12.4

Słaba rozmaitość stabilna W^{s}(x) punktu x=(p,v) jest sumą wszystkich silnych rozmaitości stabilnych punktów x^{{\prime}}=(p^{{\prime}},v^{{\prime}}) należących do geodezyjnej wyznaczonej przez x=(p,v).

W^{s}(x)=\{ y\in S\mathbb{H}^{2}:\sup _{{t\ge 0}}d(\varphi^{t}(x),\varphi^{t}(y))<\infty.

Oczywiscie- symetryczne stwierdzenie mamy dla rozmaitości niestabilnej. Silne rozmaitości są jednowymiarowe, słabe - są dwuwymiarowe.

Przecięciem słabej rozmaitości stabilnej i niestabilnej przechodzącej przez (p,v) jest geodezyjna wyznaczona przez (p,v), a precyzyjniej- jej podniesienie do S\mathbb{H}^{2}.

Wniosek 12.1

Otrzymalismy w ten sposób globalną foliację stabilna i niestabilną dla potoku geodezyjnego na S\mathbb{H}^{2}.

Każdą zwartą orientowalną powierzchnię M można (topologicznie) utożsamiać z przestrzenią ilorazową \mathbb{H}^{2}/\Gamma dla pewnej dyskretnej podgrupy grupy zachowujących orientację izometrii \mathbb{H}^{2} (\Gamma jest wówczas grupą podstawową tej powierzchni). Na rysunku (rysunek: osmiokąt hiperboliczny i dwuprecel i utożsamienia) przedstawiona jest realizacja ”dwuprecla” (czyli sfery z dwiema rączkami) jako hiperbolicznego ośmiokąta O z odpowiednimi sklejeniami. Po dokonaniu wskazanych utożsamień boków ośmiokąta otrzymujemy (topologicznie) dwuprecel. W szczególności wszystkie wierzchołki ośmiokąta sklejają się w jeden punkt. wszystkie kąty tego ośmiokąta są równe \frac{\pi}{4}. (zatem suma jest równa 2\pi.

Rozpatrzmy izometrie odpowiadające tym utożsamieniom: bok a jest utożsamiany z a^{{\prime}} (i odpowiednio pozostałe kroki) przy pomocy hiperbolicznej homografii (przesunięcia wzdłuz geodezyjnej). Grupa \Gamma generowana przez te homografie jest dyskretną podgrupą pełnej grupy izometrii. Działając elementami tej grupy na ośmiokąt O otrzymujemy ”parkietaż” dysku Poincare'go D. Ośmiokąt O (i każda z jego kopii jest dziedziną fundamentalną dla działania grupy \Gamma.

Ćwiczenie 12.4

Jakie znaczenie mają w tej konstrukcji miary kątów ośmiokąta O?

Zatem powierzchnia M jest homeomorficzna z przestrzenią ilorazową \mathbb{D}/\Gamma. Ponieważ grupa \Gamma działa przez izometrie, metryka hiperboliczna rzutuje się na metrykę riemannowską na M; mazywamy ją też metryką hiperboliczną.

Uwaga 12.1

Na jednej powierzchni istnieje wiele, nieizometrycznych metryk hiperbolicznych.

Ponieważ rzutowanie jest lokalną izometrią, obrazami ( przeciwobrazami) geodezyjnych przy rzutowaniu są geodezyjne. Potok geodezyjny na rozmaitości M=\mathbb{D}/\Gamma jest więc obrazem potoku na \mathbb{D}, czyli (izometrzycznie) na \mathbb{H}^{2}.

Wykorzystując wykazane wcześniej istnienie globalnej foliacji stabilnej i niestabilnej dla potoku geodezyjnego i powyższą uwagę otrzymujemy

Twierdzenie 12.1

Niech M bedzie zwartą rozmaitością otrzymaną jako przestrzeń ilorazowa \mathbb{D}/\Gamma (gdzie \Gamma jest dyskretną podgrupą grupy zachowujących orientację izometrii \mathbb{D}, z dziedziczoną z \mathbb{D} metryką hiperboliczną. Wówczas potok geodezyjny na SM jest potokiem Anosowa.

Wykażemy jeszcze

Twierdzenie 12.2

Jeśli \Gamma jest dyskretną podgrupą izometrii \mathbb{D} zachowujących orientację, taką że M=\mathbb{D}/\Gamma jest zwarta, to orbity okresowe (czyli podniesienia zamkniętych geodezyjnych) są gęste w SM.

Wybierzmy punkt (x,v)\in SM i wyznaczoną przez (x,v) geodezyjną C(t). Zatem C(0)=x,\dot{C}(0)=v. Wówczas krzywa c(t)- przeciwobraz C przy rzutowaniu \pi jest geodezyjną w \mathbb{D}; niech c(0)\in O. Niech z_{1},z_{2}\in\mathbb{S}^{1} będą końcami tej geodezyjnej (rysunek); rozważmy otoczenia U i V tych punktów otrzymane przez łuki geodezyjnych, prostopadłych do c. Geodezyjną c możemy pokryć kopiami dziedziny fundamentalnej O (czyli obrazami O przy działąniu elementami grupy \Gamma). Ponieważ wszystkie takie kopie O_{i} mają tę samą średnicę hiperboliczną; te kopie które są blisko brzegu \mathbb{D}, mają małą średnicę euklidesową. Można więc znaleźć jakies O_{i}\subset U i O_{j}\subset. Mamy więc wyróżnione trzy obszary z naszego parkietażu, przecinające geodezyjną c: O_{i},O, O_{j}, położone w tej kolejności ”wzdłuż” geodezyjnej c. Niech \gamma\in\Gamma będzie taką izometrią należącą do \Gamma, że \gamma(O_{i})=O_{j}. Wówczas \gamma jest izometrią hiperboliczną; jeden jej punkt stały jest w U, drugi w V. Niech \tilde{c} będzie ”osią” tej izometrii. Wówczas \tilde{c} rzutuje się na zamkniętą geodezyjną na M. Ponieważ otoczenia U,V mogą być dowolnie małe, można w ten sposób znaleźć punkt (\tilde{x},\tilde{v})\in\tilde{c} blisko (x,v). Punkt (\tilde{x},\tilde{v}) pod działaniem potoku geodezyjnego ma okresową trajektorię.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.