Zagadnienia

12. Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemniej krzywiźnie- ważny przykład potoku Anosowa

12.1. Metryka hiperboliczna

Wprowadzimy bardzo ważne wanalizie zespolonej pojęcie płaszczyzny hiperbolicznej

Definicja 12.1

Niech

H2={(x,y)C:im(z)>0

(czyli - gówna półpłaszczyzna) W H2 wprowadzamy metrykę (Riemannowską):

dz1y

Inaczej mówiąc: w nowej metryce, długość vh wektora v należącego do przestrzeni stycznej TzH2 jest równa 1yve (przez ve oznaczyliśmy normę euklidesową, a przez vh- hiperboliczną). Jeszcze inaczej: w metryce euklidesowej iloczyn skalarny wektorów v,w stycznych w punkcie z=x+iy jest równy <v,w>e=uw¯. Iloczyn skalarny w nowej metryce jest równy

<v,w>h=uw¯1y2.
Ćwiczenie 12.1

Sprawdzić że wszystkie homografie (przekształcenia Möbiusa) zachowujące H2 są postaci:

Tz=az+bcz+d,
abcdGL+2,R
Stwierdzenie 12.1

Wszystkie homografie zachowujące H2 są izometriami w metryce hiperbolicznej w H2.

Każde takie przekształcenie można zapisać jako złożenie trzech, postaci zz+A, zBz, z-1z, A,B>0. Wystarczy sprawdzić że te trzy przekształcenia są izometriami. Sprawdzimy trzecie: mamy

T(z)|=|(-1z)|=1z2

Należy sprawdzić że

Tz1imTzimz=1

Równość zachodzi, ponieważ imTz=yz2, imz=y

Ćwiczenie 12.2

Niech zH2, vTzH2, zH2, vTzH2. Wówczas istnieje izometria T:H2H2 taka że Tz=z, DTzv=v.

Stwierdzenie 12.2

Geodezyjne w H2 są to łuki (pół)okręgów prostopadłych do prostej y=0. Geodezyjną jest też okrąg przechodzący przez punkt w nieskończoności, czyli - każda (pół)prosta prostopadła do prostej y=0.

Definicja 12.2

Wprowadzamy metrykę w SH2 (czyli w wiązce wektorów stycznych o długości hiperbolicznej 1). tu rysunek

Niech x=p,v,y=q,w. Jeśli p=q to miarą odległości między x,y jest dv,w- miara kąta między wektorami w,v. Jeśli pq to istnieje dokładnie jedna geodezyjna γ przechodząca przez punkty p, q. Niech wTpH2 będzie obrazem w przy przesunięciu równoległym wzdłuż tej geodezyjnej. Inaczej- mozna powiedziec tak: Rozpatrujemy izometrie (przekształcenia Möbiusa) dla których geodezyjna γ jest niezmiennicza (jak je znaleźć?) i wybieramy przekształcenie T- taką spośród tych izometrii, która punkt q przekształca na p. Wektor w jest równy DTqw.

Odległość między x, y definiujemy:

dx,y=dv,w2+dhp,q2

12.2. Potok geodezyjny w H2

Niech x=p,vSH2 Potok geodezyjny φtx można, jak wiemy opisac następujaco: znajdujemy jedyną geodezyjną γt taką że γ0=p, γ˙0=v. Po czasie t mamy φtx=y,w gdzie y=γt, w=γ˙t. tu rysunek

Rozpatrzmy zatem x=(i,v=(0,1)). Geodezyjna zawierająca punkt i, wypuszczona w kierunku v to oczywiście półprosta pionowa γt=0,et=iet,tR. Użyliśmy parametryzacji et ponieważ ma to być parametryzacja odpowiadająca ruchowi ze stała prędkościa: γ˙th=1. Mamy:

γ˙th=γ˙t1imγt=etet=1

Zatem: φtx=eti,vt, gdzie wektor vt jest to wektor 0,1 zaczepiony w punkcie eti

NIech teraz y=a+i,wSH2, aR. Oczywiście mamy φty=eta+i,wt gdzie wektor wt jest to wektor 0,1 zaczepiony w punkcie eta+i

Zobaczmy jak zmienia się z czasem odległość:

d(φt(x),φt(y)

. Mamy:

dheti,eta+ie-t

(dlaczego?)

Podobnie

d(φt(x),φt(y)e-t.

Ta obserwacja prowadzi do definicji:

Definicja 12.3

Horocykl to każda linia pozioma R+ir i każdy obraz tej linii przy przekształceniu Möbiusa zachowującym H2.

tu rysunek Widzimy że dla każdego x=p,vSH2 istnieje dokładnie jedna geodezyjna wyznaczona przez ten punkt i wektor i dokładnie dwa horocykle takie że punkt p należy do horocyklu, zaś wektor v jest normalny do horocyklu. Nazwijmy je odpowiednio horocyklem wchodzącym i horocyklem wychodzącym wyznaczonymi przez x=p,v

tu dwa rysunki: geodezyjna, horocykl wchodzący i wychodzący- dla geodezyjnej pionowej i dla geodezyjnej ”typowej”

Niech x=p,v. Rozpatrzmy horocykl wchodzący wyznaczony przez x, W każdym punkcie horocyklu wybieramy wektor normalny do horocyklu , w ten sposób aby wybór był ciągły i aby wektor v był wybrany. Otrzymujemy jednowymiarową podrozmaitość SH2. Oznaczmy ją przez Wss((p,v). Podobnie, rozważmy horocykl wychodzący wyznaczony przez x i wybierzmy ciągłą rodzine wektorów normalnych do niego, tak aby wektor v należał do tej rodziny. Tę podrozmaitość oznaczamy Wuu((p,v).

Wyliczenie(powyżej) zmiany odległości przy φt dla punktów (i odpowiednich wektorów) zachowuje się przy zastosowaniu izometrii; powyższy racunek prowadzi do Stwierdzenia (szczegóły pomijamy)

Stwierdzenie 12.3

Zbiór Wss((p,v) stanowi silną rozmaitość stabilną punktu x=p,v; dla każdego yWss((p,v) d(φt(y),φt(x)0 gdy t.

Zbiór Wuu((p,v) jest silną rozmaitością niestabilną punktu x=p,v; dla każdego yWuu((p,v) d(φt(y),φt(x)0 gdy t-.

Ćwiczenie 12.3

Uzupełnić brakujące szczególy; w szczególności wykazać że wskazany zbiór wyczerpuje cała rozmaitość stabilną (niestabilną); tzn jeżeli yWss((p,v), to d(φt(y),φt(x)0

Oprócz silnej rozmaitości (nie)stabilnej mamy jeszcze słabą rozmaitość (nie)stabilną. Zauważmy że jeśli pv jest punktem (w SH2 należącym do geodezyjnej wyznaczonej przez p,v, to p,v=φsp,v dla pewnego s, zatem d((p,v),(pv)=d(φt(p,v),φt(p,v) dla wszystkich tR. Mamy więc

Stwierdzenie 12.4

Słaba rozmaitość stabilna Wsx punktu x=p,v jest sumą wszystkich silnych rozmaitości stabilnych punktów x=p,v należących do geodezyjnej wyznaczonej przez x=p,v.

Ws(x)={ySH2:supt0d(φt(x),φt(y))<.

Oczywiscie- symetryczne stwierdzenie mamy dla rozmaitości niestabilnej. Silne rozmaitości są jednowymiarowe, słabe - są dwuwymiarowe.

Przecięciem słabej rozmaitości stabilnej i niestabilnej przechodzącej przez p,v jest geodezyjna wyznaczona przez p,v, a precyzyjniej- jej podniesienie do SH2.

Wniosek 12.1

Otrzymalismy w ten sposób globalną foliację stabilna i niestabilną dla potoku geodezyjnego na SH2.

Każdą zwartą orientowalną powierzchnię M można (topologicznie) utożsamiać z przestrzenią ilorazową H2/Γ dla pewnej dyskretnej podgrupy grupy zachowujących orientację izometrii H2 (Γ jest wówczas grupą podstawową tej powierzchni). Na rysunku (rysunek: osmiokąt hiperboliczny i dwuprecel i utożsamienia) przedstawiona jest realizacja ”dwuprecla” (czyli sfery z dwiema rączkami) jako hiperbolicznego ośmiokąta O z odpowiednimi sklejeniami. Po dokonaniu wskazanych utożsamień boków ośmiokąta otrzymujemy (topologicznie) dwuprecel. W szczególności wszystkie wierzchołki ośmiokąta sklejają się w jeden punkt. wszystkie kąty tego ośmiokąta są równe π4. (zatem suma jest równa 2π.

Rozpatrzmy izometrie odpowiadające tym utożsamieniom: bok a jest utożsamiany z a (i odpowiednio pozostałe kroki) przy pomocy hiperbolicznej homografii (przesunięcia wzdłuz geodezyjnej). Grupa Γ generowana przez te homografie jest dyskretną podgrupą pełnej grupy izometrii. Działając elementami tej grupy na ośmiokąt O otrzymujemy ”parkietaż” dysku Poincare'go D. Ośmiokąt O (i każda z jego kopii jest dziedziną fundamentalną dla działania grupy Γ.

Ćwiczenie 12.4

Jakie znaczenie mają w tej konstrukcji miary kątów ośmiokąta O?

Zatem powierzchnia M jest homeomorficzna z przestrzenią ilorazową D/Γ. Ponieważ grupa Γ działa przez izometrie, metryka hiperboliczna rzutuje się na metrykę riemannowską na M; mazywamy ją też metryką hiperboliczną.

Uwaga 12.1

Na jednej powierzchni istnieje wiele, nieizometrycznych metryk hiperbolicznych.

Ponieważ rzutowanie jest lokalną izometrią, obrazami ( przeciwobrazami) geodezyjnych przy rzutowaniu są geodezyjne. Potok geodezyjny na rozmaitości M=D/Γ jest więc obrazem potoku na D, czyli (izometrzycznie) na H2.

Wykorzystując wykazane wcześniej istnienie globalnej foliacji stabilnej i niestabilnej dla potoku geodezyjnego i powyższą uwagę otrzymujemy

Twierdzenie 12.1

Niech M bedzie zwartą rozmaitością otrzymaną jako przestrzeń ilorazowa D/Γ (gdzie Γ jest dyskretną podgrupą grupy zachowujących orientację izometrii D, z dziedziczoną z D metryką hiperboliczną. Wówczas potok geodezyjny na SM jest potokiem Anosowa.

Wykażemy jeszcze

Twierdzenie 12.2

Jeśli Γ jest dyskretną podgrupą izometrii D zachowujących orientację, taką że M=D/Γ jest zwarta, to orbity okresowe (czyli podniesienia zamkniętych geodezyjnych) są gęste w SM.

Wybierzmy punkt x,vSM i wyznaczoną przez x,v geodezyjną Ct. Zatem C0=x,C˙0=v. Wówczas krzywa ct- przeciwobraz C przy rzutowaniu π jest geodezyjną w D; niech c0O. Niech z1,z2S1 będą końcami tej geodezyjnej (rysunek); rozważmy otoczenia U i V tych punktów otrzymane przez łuki geodezyjnych, prostopadłych do c. Geodezyjną c możemy pokryć kopiami dziedziny fundamentalnej O (czyli obrazami O przy działąniu elementami grupy Γ). Ponieważ wszystkie takie kopie Oi mają tę samą średnicę hiperboliczną; te kopie które są blisko brzegu D, mają małą średnicę euklidesową. Można więc znaleźć jakies OiU i Oj. Mamy więc wyróżnione trzy obszary z naszego parkietażu, przecinające geodezyjną c: Oi,O, Oj, położone w tej kolejności ”wzdłuż” geodezyjnej c. Niech γΓ będzie taką izometrią należącą do Γ, że γOi=Oj. Wówczas γ jest izometrią hiperboliczną; jeden jej punkt stały jest w U, drugi w V. Niech c~ będzie ”osią” tej izometrii. Wówczas c~ rzutuje się na zamkniętą geodezyjną na M. Ponieważ otoczenia U,V mogą być dowolnie małe, można w ten sposób znaleźć punkt x~,v~c~ blisko x,v. Punkt x~,v~ pod działaniem potoku geodezyjnego ma okresową trajektorię.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.